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第一篇：高數期末復習總結

高數期末復習

定積分

1、變上限定積分求導數

dxf(t)dtdx?a，2、定積分的計算牛頓—萊布尼茲公式（用到不定積分主要公式?tdt、?1dt、?edt、t?t，?sintdt、?costdt，湊微分法）

3、對稱區間奇偶函數的定積分，4、定積分的幾何意義，5、a?0，???a1dxx?收斂、發散的充要條件，6、定積分應用：求平面曲線所圍成圖形的面積，已知邊際收益，求平均收益。

多元函數

1、求已知多元函數的偏導數及全微分，2、半抽象函數的一階偏導數，3、求一個已知二元函數的極值，4、直角坐標系下??f(x,y)dxdy的計算及交換

D二次積分的順序。

微分方程

1、一階微分方程，2、可分離變量微分方程求解，3、一階線性非齊次微分方程的求解（公式法、常數變易法）。

無窮級數

記住e、sinx、cosx展開式，并理解展開式中的x可以換元。

線性代數部分

1、計算行列式，2、矩陣乘法，3、利用行變換求矩陣的秩，4、方陣可逆的充要條件，矩陣可逆時求逆矩陣，5、非齊次線性方程組AX?B無解、有解、有唯一解、有無窮多解的充要條件，一個具體的線性方程組的求解，6、求一般二階方陣和特殊三階方陣（對角矩陣、上三角形矩陣、下三角形矩陣）的特征值及特征向量。xm?nn?1m?1

第二篇：期末高數復習

期末高數復習重點：

一．求極限

1.等價無窮小的代換;

2.洛必達法則;

3.兩個重要極限;lim(1-1/x)^x=1/e

二．求導，求微分

1.復合函數;

2.隱函數；

3.參數函數；

4.求切線，法線方程；

5.反三角函數：sin y=xy=arcsin x

三．函數連續性質

1.連續的定義；左（右）連續

2.分段函數，分段點處的連續性：求函數的間斷點及類型

3.閉區間連續函數的性質：零點定理，介值定理

四．求函數的單調性，凹凸區間和拐點

五．中值定理（閉區間開區間連續可導）

課本重點復習章節：

第一章函數與極限

第五節極限運算法則

無窮小因子分出法 P47例5-例7;消去零因子法P46例3；通分化簡

第六節極限存在法則；兩個重要極限

P58：例7可用洛必達法則求；求冪指函數的極限：如例8

第七節無窮小的比較

幾個重要等價無窮小的代換

第八節函數的連續性

證明函數的連續性;求函數的間斷點及類型，特別是可去間斷點

第九節閉區間上連續函數的性質

中值定理和介值定理

第二章導數與微分

第三節復合函數的求導法則

第五節隱函數的導數以及參數方程所確定的函數的導數

對數求導法 P116 例5，例6；參數求導

第三章中值定理與導數的應用

第一節中值定理

第二節洛必達法則

各種未定式類型求極限

第四節函數的單調性和曲線的凹凸性

單調性和駐點；凹凸性和拐點；不可導點

第三篇：高數期末復習題

重點：會求多元函數的定義域、極限、偏導數（注意復合函數鏈式法）、全微分；會判斷二元函數的極限有不存在、多元函數的連續、可偏導、可微分的必要條件與充分條件；會求多元函數的極值（特別是條件極值）、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線（向量）以及方向導數及方向余弦。

一、單項選擇題

1．設f(x,y)在(x0,y0)點的偏導數存在，則fx(x0,y0)?（）。

A．limf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)Ｂ．lim ?x?0?x?0?x?x

f(x,y)?f(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)Ｃ．limＤ．lim x?x0x?x0x?x0x?x0y?y0

2．函數f(x,y)在?x,y??(x0,y0)處可微是在該處連續的（）條件.A.充分B.必要C.充分必要D.無關的3．設fx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0,則().Ａ.(x0,y0)為極值點B.(x0,y0)為駐點

C.f(x,y)在(x0,y0)有定義D.(x0,y0)為連續點

4．設f(x,y)在(x0,y0)處偏導數存在,則f(x,y)在該點().Ａ.極限存在B.連續C.可微D.以上結論均不成 5.若函數f(x, y)在點(x?,y?)處不連續，則()。

A．limf(x, y)必不存在；B．f(x?,y?)必不存在； x?x?y?y?

C．f(x, y)在點(x?,y?)必不可微；D．fx(x?,y?)、fy(x?,y?)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函數f(x,y)在點(x0,y0)連續的（）

A．必要非充分條件；B．充分非必要條件；

C．充分且必要條件；D．既非充分又非必要條件。

7．考慮二元函數f(x, y)的下面4 條性質：

①函數f(x, y)在點(x?,y?)處連續； ②函數f(x, y)在點(x?,y?)處兩個偏導數連續；③函數f(x, y)在點(x?,y?)處可微； ④函數f(x, y)在點(x?,y?)處兩個偏導數存在。則下面結論正確的是（）。

A．②?③?①B．③?②?①C．③?④?①D．③?①?④。8．下列極限存在的為（）．

x2x11A．limB．limC．limD．limxsin

x?0x?yx?0x?yx?0x?yx?0x?yy?0

y?0

x2y

9．二元函數極限lim為（）。

(x,y)?(0,0)x4?y

2A．0B．?;C．2D．不存在 10．設f(x,y)?xyex，則fx?(1,x)?（）。

A．0B．eC．e(x?1)D． 1+ex 11．函數z?Ln(x3?y3)在（1，1）處的全微分dz=（）。

A.dx?dyB.2(dx?dy)C.3(dx?dy)D.(dx?dy)

?2z

12．設z?esin3y，則。?（）

?x?y

A．e2xsin3yB．e2x?e2xsin3yC．6e2xcos3yD．?6e2xsin3y 13．設y?xey?0,則

?()。dx

eyey1?xeyxey?1A．B.C.D.xey?11?xeyeyey

14．設函數z?f?x,y?在點（0，0）的某鄰域內有定義，且fx?0,0??3，fy?0,0???1，則有（）．

A．dz?0,0??3dx?dy．

B．曲面z?f?x,y?在點?0,0,f?0,0??的一個法向量為?3,?1,1?．

C．曲線?

?z?f?x,y?

在點?0,0,f?0,0??的一個切向量為?1,0,3?．

?y?0

?z?f?x,y?D．曲線?在點?0,0,f?0,0??的一個切向量為?3,0,1?．

y?0?

15．設函數 f(x,y)?x?8y?6xy?5，則f(x,y)(D)。A．在(0,0)點有極小值B．沒有極值

C．在(0,0)點有極大值D．在（1，16．函數f?x,y??4?x?y??x2?y2的極值為（）。）點有極小值2

A．極大值為8B．極小值為0C．極小值為8D．極大值為0 17.函數z?2x?y在點(1，2)沿各方向的方向導數的最大值為（）。A．3B．C． 0D．

5二、填空題

1．函數z?ln(1?x)?

y?x2?x?y?1的定義域是______________________。

2．極限lim

sinxy

? ＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

x?2yy?0

lim

3．二元函數的極限

(x,y)?(0,0)

?x2?y2?cos

?。2

2xy

4．設z?e

x2y，則dz?。

5．設函數z?z(x,y)由方程sinx?2y?z?ez所確定，則

= ______________。?x

6．設函數f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內有定義, 且fx(0,0)?3,fy(0,0)??1, 則曲線?z?f(x,y),在點(0,0,f(0,0))的一個法平面為。?

x?0?

7．設函數f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內有定義, 且fx(0,0)?2,fy(0,0)??5, 則曲線

?z?f(x,y),在點(0,0,f(0,0))處的切線方程為。?

x?0?

8.若曲面z?4?x2?y2上點P的切平面平行于2x?2y?z?1,則點P的坐標為9．旋轉拋物面z?x?y?1在點（2，1，4）處的切平面方程為 10．曲面z?e

x2y

?2xy?3在點(1, 0, ?2)處的切平面方程為_________________。

11.曲面 z?x?y?3上點（１,2，２）處的單位切向量為＿________________ 12．求曲線 x?t,y?t2,z?t3在t?1時的點的切線方程__。

13．函數u?ln(xy?z)?2yz在點(1,3,1)處沿方向l?(1,1,?1)的方向導數

=。?l

14．u?xyz在點M(5,1,2)處沿點（5，1，2）到點（9，4，14）的方向的方向導數為。

三、解答題 1．

計算極限：。

(x,y)?(0,0)lim

(1,1)

．計算極限：

3．設函數z?z(x,y)由方程2xz?2xyz?ln(xyz)所確定，求dz4．設z?eusinv，而u?xy，v?x?y求。

?z?z和．?x?y

?z??z?2zx

5．設函數z?z(x,y)由方程?ln?所確定，求。,z?x?x?y?y?

y2?2z

6．設z?f(2xy,),f具有二階連續偏導數，求。

x?x?y

7．設函數u?(xy)z，求du

(1,2,1)。

8．設x,y均是z的函數,且?

?x?y?z?0dxdy,。，求22

2dzdzx?y?z?1?

8．已知兩點A（2，2，2）和B（1，3，0），求向量的模、方向余弦和方向角． 9．求函數z?xy?x2?11y?y3的極值點和極值。10．求曲線x2?y2?z2?6,x?y?z?0在點(1,?2,1)處的切線及法平面方程。11．求函數f?x,y??x3?y3?3x2?3y2?9x的極值．

12．將一個正數a分為三個正數x,y,z之和，當x,y,z為何值時它們的乘積xyz最大.13．求函數z?x?y?1在y?1?x下的極值。

14．求曲面z?x?y與平面x?y?2z?2之間的最短距離。15．求表面積為a而體積最大的長方體。

17．求二元函數f(x,y)?x?xy?x?y在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)為頂點的閉

222

矩形區域D上的最大值和最小值。

19．某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告，據統計資料，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費x(萬元)及報紙廣告費y(萬元)之間有如下經驗公式：。R(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2，求最優廣告策略（利潤＝收入－成本）

四、證明題

x2y2

1．證明極限lim不存在。

(x,y)?(0,0)x2y2?(x?y)2

2．證明極限lim(1?

x???y???

1)x

x2x?y

不存在。

?xy,x2?y2?0?22

3.設函數f(x,y)??x?y，證明：函數在（0，0）點不連續。

?0,x2?y2?0?

4．設z?x?

y)，求證x

?z?z1?y?。?x?y2

5．設z?xy?yF(u)，而u?

x?z?z，F(u)為可導函數，證明x?y?z?xy y?x?y

?z?z

?b?1。?x?y

6．設f為可微函數，且x?az?f(y?bz)，證明：a

?2u?2u?2u

7．函數u?(x?y?z),證明：2?2?2?0。

?x?y?z

8．證明：曲面xyz?c3(c?0)上任意點處的切平面與三坐標面所圍成立體的體積為一定值.

第四篇：上冊高數復習必備

第一章：

1、極限

2、連續（學會用定義證明一個函數連續，判斷間斷點類型）

第二章：

1、導數（學會用定義證明一個函數是否可導）注：連續不一定可導，可導一定連續

2、求導法則（背）

3、求導公式也可以是微分公式

第三章：

1、微分中值定理（一定要熟悉并靈活運用--第一節）

2、洛必達法則

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性、極值（高中學過，不需要過多復習）

5、曲率公式曲率半徑

第四章、第五章：積分

不定積分：

1、兩類換元法

2、分部積分法（注意加C）

定積分：

1、定義

2、反常積分

第六章：定積分的應用

主要有幾類：極坐標、求做功、求面積、求體積、求弧長

第七章：向量問題不會有很難

1、方向余弦

2、向量積

3、空間直線（兩直線的夾角、線面夾角、求直線方程）

3、空間平面

4、空間旋轉面（柱面）

高數解題技巧。（高等數學、考研數學通用）

高數解題的四種思維定勢

●第一句話：在題設條件中給出一個函數f(x)二階和二階以上可導，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。

●第二句話：在題設條件或欲證結論中有定積分表達式時，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

●第三句話：在題設條件中函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

●第四句話：對定限或變限積分，若被積函數或其主要部分為復合函數，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

第五篇：高數復習要點

高數（上冊）期末復習要點