第一篇：高數(shù)積分總結(jié)

高數(shù)積分總結(jié)

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質(zhì)

定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導(dǎo)，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設(shè)x??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設(shè)f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設(shè)x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設(shè)函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為

????'??'????'

移項(xiàng)得

??'?(??)'??'?

對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對(duì)冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設(shè)

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質(zhì)

（1）定義：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個(gè)小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個(gè)小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點(diǎn)?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長(zhǎng)度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對(duì)?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點(diǎn)?i怎么選取，只要當(dāng)??0時(shí)，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個(gè)極限I為函數(shù)(簡(jiǎn)稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設(shè)在?a,b?上可積。（2）性質(zhì)1：

性質(zhì)2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質(zhì)3：設(shè)a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質(zhì)4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質(zhì)5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質(zhì)6：設(shè)M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個(gè)原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個(gè)原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數(shù)微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

第二篇：高數(shù)積分總結(jié)

高數(shù)積分總結(jié)

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質(zhì)

定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導(dǎo)，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設(shè)x??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設(shè)f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設(shè)x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設(shè)函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為

????'??'????'

移項(xiàng)得

??'?(??)'??'?

對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對(duì)冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設(shè)

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質(zhì)

（1）定義：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個(gè)小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個(gè)小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點(diǎn)?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長(zhǎng)度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對(duì)?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點(diǎn)?i怎么選取，只要當(dāng)??0時(shí)，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個(gè)極限I為函數(shù)(簡(jiǎn)稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設(shè)在?a,b?上可積。（2）性質(zhì)1：

性質(zhì)2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質(zhì)3：設(shè)a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質(zhì)4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質(zhì)5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質(zhì)6：設(shè)M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個(gè)原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個(gè)原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理： 假設(shè)函數(shù)?(α)=a,?(β)=b;

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)x=?(t)滿足條件: ?(t)在[α,β]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域R?=[a,b],則有

?baf(x)dx??f[?(t)]?(t)dt??'

(1)公式(1)叫做定積分的換元公式(2)定積分的分部積分法

依據(jù)不定積分的分部積分法，可得

?uvdx?[uv]??vdu'aba

三、反常積分

（一）無窮限的反常積分 bab

定義1 設(shè)函數(shù)法f(x)在區(qū)間[a,??)上連續(xù)，取t>a,如果極限

lim?t???taf(x)dx

存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,??)上的反常積分，即

???af(x)dx?limt????taf(x)dx

（二）無界函數(shù)的反常積分

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，點(diǎn)a為f(x)的丅點(diǎn)。取t>a,如果極限

lim?t?ba?tf(x)dx

b存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的反常積分，仍然記作?a即

f(x)dx，?例題 討論反常積分baf(x)dx=

lim?t?ba?tf(x)dx

1?1?dxx的收斂性。21解：被積函數(shù)（fx）=x在積分區(qū)間[-1,1]上除x=0外連續(xù)，且由于

2limx?01x2??

?即反常積分

0dx?1x21?lim(?)?1???xx?0

?0dx?1x2發(fā)散，所以反常積分

?1dx?1x2發(fā)散

定積分?abf?x?dx的積分區(qū)間?a，b?是有限區(qū)間，又f?x?在?a，b?上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或f?x?推廣到無界函數(shù)，就是兩種不同類型的反常積分：

1.無窮區(qū)間上的反常積分（1）概念 定義：?a??f?x?dx?lim?f?x?dxb???ab

f?x?dx??若極限存在，則稱反常積分?a??是收斂的，它的值就是極

是發(fā)散的，而發(fā)散的限值；若極限不存在，則稱反常積分?反常積分沒有值的概念.af?x?dx??b??f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab

??同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念.????f?x?dx??f?x?dx????ccf?x?dx

?lim?f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab???ccb

同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念，值得注意：判斷?要求???c????f?x?dx的收斂性不能用

f?x?dxR????Rlim?Rf?x?dx的極限存在性.必須

??f?x?dx和?c??兩個(gè)反常積分都收斂，才能知道?????f?x?dx是收斂的，但是如果已經(jīng)知道?么計(jì)算R?????RlimR??f?x?dx是收斂的，而求它的值，那f?x?dx是可以的.（2）常用公式 ???11??, p?1收斂，dx?p?1?xp?? p?1發(fā)散，dx?x(lnx)p?1?????e1??, p?1收斂，du??p?1up?? p?1發(fā)散，???a?收斂(?＞0）xke??xdx??發(fā)散(??0），(k?0）

2.無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）（1）概念： ①設(shè)baf?x?limf?x????[a，b)x?b在內(nèi)連續(xù)，且，則稱b為f?x?的瑕點(diǎn)，b???o?af?x?dx?lim???定義

f?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?a若極限不存在，則稱反常積分?a的概念.②設(shè)f?x?bbf?x?dx收斂，且它的值就是極限值.f?x?dx發(fā)散，發(fā)散的反常積分沒有值

lim?f?x???(a，b]x在內(nèi)連續(xù)，且?a，則稱a為f?x?的瑕點(diǎn)，b?0?a??f?x?dx?lim???定義af?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?abf?x?dx收斂，且它的值就是極限值，f?x?dx?若極限不存在，則稱反常積分發(fā)散，它沒有值.a③設(shè)的瑕點(diǎn)，f?x?limf?x???[a，c)(c，b]在和皆連續(xù)，且x?C，則稱c為f?x?定義cbC??1ac?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?lim???1?0af?x?dx?lim???2?0bC??2f?x?dx

(值得注意：這里判別收斂性時(shí)，?1和?2要獨(dú)立地取極限，不能都???0用來代替)

f?x?dx?若上面兩個(gè)極限都存在時(shí)才稱反常積分是收斂的，否則

ab反常積分?abf?x?dx發(fā)散.dx?收斂(q＜1時(shí)）?0xq??發(fā)散(q?1時(shí)）1（2）常用公式：1

1dxdxq?q?0x?1）類似地考慮（和?1x

最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運(yùn)算法則和極限的運(yùn)算法則就可以得到反常積分的運(yùn)算法則.(乙)典型例題

一、用常規(guī)方法計(jì)算定積分 【例1】 求下列定積分（1）?0（3）?02?x2cosxdx（2）?0

2?23xarctanxdx

ln2ex?1dx2?解（1）?02?xcosxdx=?xdsinx?xsinx0?2?xsinxdx002?2?222?2?

＝2?xdcosx?2xcosx0?2?cosxdx00 ＝4??2sinx0?4?2?

（2）?3013x213x232xarctanxdx??arctanxdx?arctanx0??dx2002221?x

313?1?arctan3???1?dx2?02?1?x? ＝2?＝2?12?3?arctanx03???2?31?2?3???22332

（3）令dx?ex?1?t,x?ln?t2?1?

2tdt,x?02t?1時(shí)t?0；x?ln2時(shí)，t?1

于是?ln201?2t21?e?1dx??2dt?2??1?dt2?0t?10?1?t? x11???2[t?arctant]0?2?1???4? ＝【例2】 計(jì)算下列定積分（分段函數(shù)）（1）??1（3）??231x2?3xdx（2）

0?e1elnxdx

min?1,x2?dx1解（1）??1（2）＝x2?3xdx??1?1?x2?3x?dx???x2?3x?dx?30e11

?e1elnxdx??1??lnx?dx??lnxdxe

??xlnx?x?1??xlnx?x?1?2??1?1ee?1??e?

3（3）?3?2min?1,x2?dx??dx??x2dx??dx??2?11?11113

二、用特殊方法計(jì)算定積分 【例1】 計(jì)算下列定積分

?（1）I??20f(sinx)dxf(sinx)?f(cosx)

（f為連續(xù)函數(shù)，f(sinx)?f(cosx)?0）

?（2）I??4ln(1?tanx)dx0

解（1）令?x=p-t2，則

I??20?f(cost)??dt,2I??2dt?,I?0f(cost)?f(sint)24

（2）令0x=p-t4，則

?2?1?tant?4I???ln?1?d(?t)?lndt??01?tant1?tant??4

?＝4ln2?I,2I??4ln2,I??8ln2

f?x??lnx??f?x?dx1e【例2】 設(shè)連續(xù)函數(shù)f?x?滿足e，求?1ef?x?dx

解 f?x?dx?A?令，則f?x??lnx?A，1兩邊從1到e進(jìn)行積分，得

?e1f?x?dx??lnxdx??Adx?(xlnx?x)1?A(e?1)11eee

于是

A?e?(e?1)?A(e?1),eA?1,A?e1e

則

?1f?x?dx?1e

三、遞推公式形式的定積分 【例1】

設(shè)

In??sinnxdx?n?01，2，?2?0

求證當(dāng)n?2時(shí)，求In 解

（1）

In?n?1In?2n

In??sin2?n?10xd??cosx???sin?2n?1xcosx??cosxd?sinn?1x?22??00

??n?1??cosxsin20n?2xdx??n?1???1?sin2x?sinn?2xdx2?0

??n?1?In?2??n?1?In

nIn??n?1?In?2?2，則

?2In?n?1In?2?n?2?n

?2（2）I0??dx?0，I1??sinxdx?10

當(dāng)n?2k，正偶數(shù)時(shí)，In?I2k?2k?12k?12k?3I2k?2?　　2k2k2k?21　I02

2k?!?2k?!????　　?2k　　22k22?k!?2?2k!?

2I13 當(dāng)n?2k?1，正奇數(shù)時(shí)，In?I2k?1?2k2k2k?2I2k?1?　　2k?12k?12k?122k!???k22k?k!?　?　?2k?1?!?2k?1?!2

2【例2】 設(shè)

Jn??cosnxdx?n?01，2，?0?，2，?，求證：Jn?In?n?01

????2x??t，Jn???cos??t?d??t???sinntdt022?2?證

令

?0n1，2，??n?0，則

Jn?In 【例3】 設(shè)求證：Kn?Kn??tan2nxdx ?n?1，2，3，4?0?

1?Kn?12n?1

2，3，??n?1，求Kn

解（1）Kn??tan4?2?n?1?0x?sec2x?1?dxxdtanx?Kn?1

（2）??tan4?2?n?1?0

??41?Kn?12n?1

2?42K1??tanxdx?　secx?1?dx??00

4??tanx?x? ?1?40

，??

1???1?1????K2???1??，K3?????1???3?4?5?3?4??

當(dāng)n?3，正整數(shù)時(shí)

Kn???1?n?4???1?n?1k?1n??1????1???2k?1???k?2?

四、重積分

（一）二重積分的性質(zhì)與概念

定義：設(shè)D是錯(cuò)誤！未找到引用源。面上的有界閉區(qū)域，錯(cuò)誤！未找到引用源。在D上有界，將區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。既表示第i個(gè)小閉區(qū)域又表示它的面積，在每個(gè)小區(qū)域錯(cuò)誤！未找到引用源。上任意取一點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。，作n個(gè)乘積錯(cuò)誤！未找到引用源。，然后作和式

記錯(cuò)誤！未找到引用源。，如當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，以上和式有確定的極限，則稱該極限為錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)域D上的二重積分，記作錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。，即

其中錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為被積函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為被積表達(dá)式，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為面積元素，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域，錯(cuò)誤！未找到引用源。稱為積分和式 幾何意義

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。等于以區(qū)域D為底，曲面錯(cuò)誤！未找到引用源。為頂?shù)那斨w體積；

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。等于以上所說的曲頂柱體體積的相反數(shù)；

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。等于區(qū)域D的面積。

1.二重積分的性質(zhì)

存在性：若錯(cuò)誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則錯(cuò)誤！未找到引用源。存在 線性性質(zhì)：

區(qū)域可加性

設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。只在它們的邊界上相交，則：

有序性

若在區(qū)域D上錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：

特殊地，有

估值不等式

設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)域D上有最大值M，最小值m，錯(cuò)誤！未找到引用源。是D的面積，則有：

積分中值定理

設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。是D的面積，則至少存在一點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使

錯(cuò)誤！未找到引用源。

例1 試用二重積分表示極限錯(cuò)誤！未找到引用源。.解：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.例2 估計(jì)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。解：因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，積分區(qū)域錯(cuò)誤！未找到引用源。，在D上錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值錯(cuò)誤！未找到引用源。，最小值錯(cuò)誤！未找到引用源。，故:

（二）二重積分的計(jì)算

（一）直角坐標(biāo)系 X型區(qū)域

將區(qū)域D投影到x軸上，投影區(qū)間為錯(cuò)誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。，則D表示為：

y型區(qū)域

將區(qū)域D投影到y(tǒng)軸上，投影區(qū)間為錯(cuò)誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。，則D表示為：

例1 計(jì)算所圍成的閉區(qū)域。解：，其中D是由直線錯(cuò)誤！未找到引用源。

（三）二重積分的計(jì)算

（二）極坐標(biāo)系

極點(diǎn)在D外，則D:

極點(diǎn)在D的邊界上，則D:

極點(diǎn)在D內(nèi)：

例1 計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中D為由圓錯(cuò)誤！未找到引用源。及直線錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的平面閉區(qū)域 解： 因?yàn)?/p>

所以

五、曲面和曲線積分

（一）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（又稱第一類曲線積分）

1、定義

nn? Lf(x,y)ds?lim??0?f(?,?)?s，?iiii?1 ?f(x,y,z)ds?lim?f(?i,?i,?i)?si

??0i?

12、物理意義 線密度為?(x,y)的曲線L質(zhì)量為M?? L?(x,y)ds

線密度為f(x,y,z)的曲線?質(zhì)量為M?? ?f(x,y,z)ds

3、幾何意義 曲線L的弧長(zhǎng)s?? Lds，曲線?的弧長(zhǎng)s?? ?ds

4、若L：f(x,y)?k（常數(shù)），則? Lf(x,y)ds?? Lkds?k? Lds?ks

5、計(jì)算（上限大于下限）（1）? ?L:x??(t),y??(t),22 ???t???X，則? Lf(x,y)ds??f??(t),?(t)????(t)?????(t)?dt

（2）L：y??(x)（3）L：x??(y)則?f(x,y(x0?x?X)，)ds??[f,x(?)]x1Lx0Y?(?)?2xdx

2??(?)y.dy

(y0?y?Y)，則?f(x,y)ds??f[?(),y]y1Ly0（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(??t??)，則 ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt??(???)

(二)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1、定義

? LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim??0??P(?,?)?xiii?1ni?Q(?i,?i)?yi?

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?,?,?iii?1ni)?xi?Q(?i,?i,?i)?yi?R(?i,?i,?i)?zi?

2、計(jì)算（下限對(duì)應(yīng)起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)終點(diǎn)）（1）L:x??(t),y??(t),?t:????，則

?（LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

??2）baL：

y??(x)?t:x0?X??t:y0?Y?，則?LPdx?Qdy??{Px?[x?Q,x?x?(?xdx)

（3）dcL：

x??(y)，則?LPdx?Qdy??{P?y[y??y(?Q?y)ydy，（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(t:???)，則

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt

??

3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

?LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds

L?(x,y),?(x,y)為有向曲線弧L上點(diǎn)(x,y)處的切線向量的方向角。其中，??Pdx?Qdy?Rdz??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?其中?(x,y,z),?(x,y,z),?(x,y,z)為有向曲線弧?上點(diǎn)(x,y,z)處切向量的方向角。

(三)、格林公式及其應(yīng)用

1、格林公式 個(gè)邊界曲線

2、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件（D為單連通區(qū)域）??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy 其中L是D的取正向的整L?x?y定理 設(shè)D是單連通閉區(qū)域，若P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：

(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L，有?LPdx?Qdy?0；

(ii)對(duì)D內(nèi)任一光滑曲線L，曲線積分?LPdx?Qdy與路徑無關(guān)，只與L的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)；(iii)Pdx?Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內(nèi)有du?Pdx?Qd；y

(iv)在D內(nèi)處處成立

注 若(x,y)(x0,y0)?P?Q? ?y?x?P?Q?x?D?y?x 則

Pdx?Qdy的全微分u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy：

xyx0y0u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dyu(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx

y0x0yx

或

(四)、對(duì)面積的曲面積分

1、定義

?f(?,?,?)?S ??f(x,y,z)dS?lim???0iiiii?1n2、物理意義： ??f(x,y,z)dS表示面密度為f(x,y,z)的光滑曲面?的質(zhì)量。?

3、幾何意義

曲面?的面積S???dS

?

4、若?：f(x,y,z)?k（常數(shù)），則??f(x,y,z)dS=??kdS=k??dS=kS

???

5、計(jì)算（一投、二代、三換元）（S1）D?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，則

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))（2）Dxz221?zx?zydxdy

?:y?y(x,z)22，(x,z)?Dxz，則???f(x,y,z)dS????f[x,y(x,z),z]1?y?;x?yzdxdz?：x?x(y,z)（?3）Dyz，(y,z)?Dyz，則??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]2?21?x?y?xzdydz。(五)、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

1、定義

?R(?,?,?)(?S)??R(x,y,z)dxdy?lim???0iiii?1nixy

?P(?,?,?)(?S)??P(x,y,z)dydz?lim???0iiiii?1nyz?Q(?,?,?)(?S)??Q(x,y,z)dzdx?lim???0iiiizxi?1n2、物理意義

流量????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy。

?????P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??dS????vdS

?

3、計(jì)算（一投、二代、三定號(hào)）

?:z?z(x,y)，（1）則??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)?Dxy，?Dxy側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)）

（2）則??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)?Dxz，?:x?x(y,z)，?Dyz側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)）

（3）?:y?y(z,x)(y,z)?Dyz，則??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx（右

?Dzx側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)）

4、兩類曲面積分之間的聯(lián)系

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS，??dS?dydzdzdxdxdy?? cos?cos?cos?其中cos?,cos?,cos?為有向曲面Σ上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦(六)、高斯公式

1、高斯公式

?P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ?x?y?z?????(??,?,?是?上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量其中?為?的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，的方向角。

????

2、通量 向量場(chǎng)A?Pi?Qj?Rk，沿場(chǎng)中有向曲面Σ????0????A?dS???A?ndS???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?稱為向量場(chǎng)A(x,y,z)向正側(cè)穿過曲面Σ的通量 ??????P?Q?R????

3、散度 設(shè)A?Pi?Qj?Rk，則divA??

?x?y?z(七)、斯托克斯公式

1、Stokes公式

dydzdzdxdxdy?????x?y?zPQRcos???xPcos???yQ?????(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy ?y?z?z?x?x?y=???cos???R?Q??Q?P?P?R??)cos??(?)cos??(?)cos??dSds=???(?y?z?z?x?x?y?z???R??Pdx?Qdy?Rdz

?其中有向曲線?是有向曲面?的整個(gè)邊界，且滿足右手系法則

2、環(huán)流量 向量場(chǎng)A?Pi?Qj?Rk沿場(chǎng)A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分???????CA?ds??CPdx?Qdy?Rdz稱為向量場(chǎng)A沿曲線C按所取

ij??yQk??dS ?zR方向的環(huán)流量。環(huán)流量??i?

3、旋度

向量?xPj??yQ?CA?ds??????xPk?????為向量場(chǎng)A?Pi?Qj?Rk的旋度(rotA)。?zRi?旋度

rotA??xPj??yQk??R?Q??P?R??Q?P??(?)i?(?)j?(?)k.?z?y?z?z?x?x?yR

第三篇：高數(shù)積分總結(jié)

第四章 一元函數(shù)的積分及其應(yīng)用

第一節(jié) 不定積分

一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F?(x)或dF?f(x)(x)?f(x)dx,則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)

定義2.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)?C叫做f(x)的不定積分，記為:

?f(x)dx?F(x)?C

f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達(dá)式 C叫做積分常數(shù)

“?其中

”叫做積分號(hào)

二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式

性質(zhì)1.不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即

?f(x)dx??f(x)；d?f(x)dx?f(x)dx.?性質(zhì)2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即

??f?(x)dx?f(x)?C,或?df(x)?f(x)?C

性質(zhì)3.非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k?0).性質(zhì)4.兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx

基本積分公式(1)?kdx?kx?C(k為常數(shù))(2)?x?dx?1??1x??1?C(???1)1(3)?dx?lnx?C x

(4)?exdx?ex?C(6)?cosxdx?sinx?C(8)?sec2xdx?tanx?C(10)?secxtanxdx?secx?C(12)?secxdx?lnsecx?tanx?C(14)?(16)?11?x11?x2(5)?axdx?axlna?C(7)?sinxdx??cosx?C(9)?csc2xdx??cotx?C

(11)?cscxcotxdx??cscx?C

(13)?cscxdx?lncscx?cotx?C(15)? 11?x22dx?arctanx?C dx?arcsinx?C dx?arcsinx?C

三、換元積分法和分部積分法

定理1.設(shè)?(x)可導(dǎo)，并且f(u)du?F(u)?C.則有

??f[?(x)]??(x)dxF(u)?C湊微分?f[?(x)]d?(x)令u??(x)

?f(u)du代回u??(x)F(?(x))?C該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設(shè)x數(shù)F??(t)是可微函數(shù)且??(t)?0，若f(?(t))??(t)具有原函(t)，則

x???t?換元?f?x?dx ?f????t??????t?dt積分F?t??Ct???1?x?回代?1F???x?????C.該方法叫第二換元積分法

選取u及v?(或dv)的原則:

1)v 容易求得;2)?u?vdx比?uv?dx

解題技巧: 選取u及v?的一般方法:

把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對(duì)冪指三” 的順序，第二節(jié) 定積分概念

一、原函數(shù)與不定積分的概念

二、定積分的定義和存在定理

三、定積分的幾何意義與定積分的性質(zhì) 1．定積分的幾何意義 2.定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1.?b[f(x)?g(x)]dx?bf(x)dx??bg(x)dx

?aaa性質(zhì)2.b?akf(x)dx?k?af(x)dx

(k是常數(shù)).前者為u后者為v?..b性質(zhì)3.性質(zhì)4.??af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx.babcbf(x)dx??adx?b?a.b f(x)dx??af(x)dx?abb推論1.如果在[a,b] 上，f(x)?g(x),則bf(x)dx?bg(x)dx(a

(a?b).性質(zhì)6.設(shè)M與m分別是函數(shù)

f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，則

m(b?a)??abf(x)dx?M(b?a)(a?b).性質(zhì)7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]]上至少存在一點(diǎn)?，使下式成立：

?af(x)dx?f(?)(b?a)(ab???b)

可積的充分條件:

定理1.函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]可積.定理2.函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]可積.第三節(jié) 微積分基本公式

一、微積分基本公式 1.變上限函數(shù)

定義1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]任意一個(gè)子區(qū)間[a,x]上可積，則

?(x)?xf(t)dx

(a?x?b)

?a是上限變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù).2.微積分基本公式

定理2.bf(x)dx?F(b)?F(a)x?a

1.定積分的換元積分法

定理3.bf(x)dx??f??(t)???(t)dt ???a

注：設(shè)f(x)在[?a,a]上連續(xù),證明

(1)若f(x)在[?a,a]為偶函數(shù)，則 af(x)dx=2af(x)dx；

??a?0(2)若f(x)在[?a,a]上為奇函數(shù)，則 af(x)dx=0.??a2.定積分的分部積分法

定理4.budv?[uv]b?bvdu ?aa?a 第四節(jié)

定積分的應(yīng)用（這點(diǎn)跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=~）

一、定積分的微元法 其實(shí)質(zhì)是找出A的微元dA的微分表達(dá)式.b

二、定積分在幾何中的應(yīng)用 1.平面圖形的面積 A??af(x)dx.2.旋轉(zhuǎn)體的體積V?bA(x)dx ?a

三、定積分在物理上的應(yīng)用 1.變力做功W?bF(x)dx

?a2.液體靜壓F?bg?xf(x)dx ?a

四、定積分在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用

第四篇：高數(shù)下冊(cè)各類積分方法總結(jié)

綜述：高數(shù)下冊(cè)，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個(gè)人認(rèn)為，拿到題后，首先應(yīng)用對(duì)稱性把運(yùn)算簡(jiǎn)化，線積分的對(duì)稱性，不太常用，可以參照面積分的對(duì)稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時(shí)針為正方向，面積分以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎较颉６胤e分 對(duì)稱性：

積分區(qū)間D關(guān)于X軸對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于Y的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于Y的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：分別對(duì)x、y積分，將其中一個(gè)變量寫成另一個(gè)的表達(dá)形式||極坐標(biāo)換元 三重積分 對(duì)稱性：

積分區(qū)間Ω關(guān)于xy面對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0；

被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重（極坐標(biāo)）||柱坐標(biāo)||球坐標(biāo)

第一類線積分

x,y,z型：具有關(guān)于參數(shù)t的表達(dá)試，用基本公式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類線積分

2、有參數(shù)t，可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的積分

3、將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構(gòu)造，可采用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分 另：注意與路徑無關(guān)的積分

第一類面積分 對(duì)稱性：

積分曲面關(guān)于XY面對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍

計(jì)算方法：常規(guī)的話，只有一種，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對(duì)稱性:

積分曲面關(guān)于XY面對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍（注意區(qū)別于第一類）計(jì)算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類面積分

2、轉(zhuǎn)化為二重積分，直接在前面添正負(fù)號(hào)即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉(zhuǎn)化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構(gòu)造的，所以注意減掉構(gòu)造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉(zhuǎn)化為第二類線積分，不常用

PS：用函數(shù)表達(dá)式，可以化簡(jiǎn)線面積分的被積函數(shù)，另有積分相關(guān)考點(diǎn)，旋度，散度，質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求曲面?zhèn)让婷娣e，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復(fù)習(xí)，牢記公式，一定可以渡過積分這個(gè)難關(guān)~

第五篇：高數(shù)總結(jié)

高數(shù)總結(jié)

公式總結(jié)：

1.函數(shù)

定義域

值域

Y=arcsinx

[-1,1]

[-π/2, π/2] Y=arccosx

[-1,1]

[0, π] Y=arctanx

(-∞，+∞)

（-π/2, π/2）Y=arccotx

(-∞，+∞)

(0, π)Y=shx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數(shù)，遞增

Y=chx

(-∞，+∞)

[1, +∞)偶函數(shù)，(-∞，0)遞減 Y=thx

(-∞，+∞)

(-1,1)奇函數(shù)，遞增

Y=arshx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數(shù)，遞增 Y=archx

[1，+∞)

[0，+∞)遞增

Y=arthx

(-1,1)

奇函數(shù)，遞增 2.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)：

shx = [(e^x-e^(-x))/2，sh(x+y)=shxchy+chxshy(shx)' =chx

sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = [(e^x + e^(-x)]/2

ch(x+y)=chxchy+shxshy ,(chx)' =shx

ch(x-y)=chxchy-shxshy thx = shx / chx，(chx)^2-(shx)^2=1(thx)' = 1/(chx)^2

sh2x=2shxchx arsh x = ln[ x+(x^2+1)^(1/2)]

ch2x=(chx)^2+(shx)^2 ,(arsh x)' = 1/(x^2+1)^(1/2)arch x = ln[ x+(x^2-1)^(1/2)] ,(arch x)' = 1/(x^2-1)^(1/2)arth x =(1/2)[ ln(1+x)/(1-x)],(arth x)' = 1/(1-x^2)我只記得考了幾個(gè)這里的公式，不過不記得是哪次考試了，所以就給你們寫上咯

3.對(duì)于x趨近于∞，f(x)/g(x)的極限，f(x)和g(x)均為多項(xiàng)式時(shí)，分子分母同時(shí)除以其中x的最高次項(xiàng)，利用x趨近于∞時(shí)，由1/(x^k)的極限為0（k>0）,可以求得結(jié)果。4.極限存在準(zhǔn)則：

夾逼準(zhǔn)則:證明極限存在并求得極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則：僅用于證明極限存在，對(duì)于有遞推式的數(shù)列比較常用。一般都是先根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在 P54例3 P55例5 5.兩個(gè)重要極限：

（1）當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx/x的極限等于1（2）當(dāng)x趨近于∞時(shí)，（1+1/x）^x的極限為e,也可以說當(dāng)x趨近于0時(shí)，(1+x)^(1/x)的極限為e,但是不能說當(dāng)x趨近于0時(shí)，（1+1/x）^x的極限為e.要求（1+在x趨近于∞或0時(shí)，該部分極限為0），指數(shù)部分為∞ 6.無窮小的比較：

b/a的極限為0，則稱b是比a高階的無窮小，b=o(a)b/a的極限為∞，則稱b是比a低階的無窮小 b/a的極限為常數(shù)，則為同階無窮小，常數(shù)為1，為等價(jià)無窮小，記作a~b b/a^k的極限為常數(shù)（k>0）,則稱b是a的k階無窮小 7.等價(jià)無窮小：

Sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~(1/2)x^2

ln(1+x)~x

e^x-1~x

a^x-1~xlna

(1+x)^a-1~ax

(1+ax)^b-1~abx

tanx-x~(1/3)x^3

x-sinx~(1/6)x^3

loga(x+1)~x/lna

加減運(yùn)算時(shí)不能用等價(jià)無窮小，乘除的時(shí)候可以。如P61例5 8.函數(shù)的連續(xù)與間斷：

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為f(x)在該點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。函數(shù)的各種間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的條件要記住。我們上一年有考這種題。P64-P68 9.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等。

如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)處連續(xù)。逆命題不成立。10.熟記函數(shù)的求導(dǎo)法則： P96-97初等函數(shù)的求導(dǎo)法則。

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。11.n階導(dǎo)：

X ln(1+x)的n階導(dǎo)=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n

sinkx

=(k^n)sin(kx+nπ/2)

coskx

=(k^n)cos(kx+nπ/2)

1/x

=[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]

x^a

=a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)

a^x

=a^x(lna)^n

e^x

=e^x

lnx

=[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n

1/(ax+b)

=[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]

u(ax+b)

=a^n(ax+b)u(n)

u(n)為u的n階導(dǎo)

cu(x)

=cu(x)(n)

u(x)(n)為u(x)的n階導(dǎo)

u(x)+-v(x)

=u(x)(n)+-v(x)(n)

v(x)(n)為v(x)的n階導(dǎo)

x^n

=n!

x^n的（n+1）階導(dǎo)為0 至于萊布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心還是背會(huì)吧，同情你們。

12.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)。（1）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：注意x=e^(lnx)的化簡(jiǎn)

（2）參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)和二階導(dǎo)的公式都要記住。（3）極坐標(biāo)表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：同參數(shù)都需把公式記住或者自己會(huì)推導(dǎo)。（4）相關(guān)變化率：以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，看一下書上的例題P111-112。13.函數(shù)的微分：重要

熟記基本初等函數(shù)的微分公式，考試會(huì)考，而且同求導(dǎo)法則一樣，在下學(xué)期的高數(shù)中可能會(huì)有用。P117

應(yīng)用題中，可用微分 dA近似代替△A。復(fù)合函數(shù)的微分：dy=f’(u)du 14.函數(shù)的線性化：

L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的線性化。近似式f(x)≈L(x)稱為f(x)在點(diǎn)x0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似，點(diǎn)x0稱為該近似的中心。

常用函數(shù)在x=0處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似公式：

（1+x）^(1/n)≈1+x/n sinx~x(x為弧度)tanx~x(x為弧度)e^x~1+x ln(1+x)~x 常用于估計(jì)某式的近似值。15,誤差計(jì)算： P123表格

16.費(fèi)馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。這些定理的條件以及結(jié)論均需記住，會(huì)考。17.洛必達(dá)法則：

0/0型：當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0

在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于a時(shí)，f’(x)/g’(x)存在或?yàn)闊o窮大

則有x趨近于a時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 ∞/∞型：當(dāng)x趨近于∞時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0

對(duì)于充分大的|x|，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于∞時(shí)，f’(x)/g’(x)存在或?yàn)闊o窮大

則有x趨近于∞時(shí)，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 0*∞型：化為0/0或者∞/∞型來計(jì)算 ∞-∞型：通分化為0/0型來計(jì)算

0^0,1^∞, ∞^0型：可先化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再求極限 X趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限為A可化為

X趨近于a時(shí)，f(x)的極限等于e^(lnf(x))的極限等于e^(x趨近于a時(shí)，lnf(x)的極限)等于A。P141 18.泰勒公式：

e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…+[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…+[(-1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+[(-1)^(n-1)]x^n/n+o(x^n)1/(1-x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+…+[m(m-1)…(m-n+1)/n!]x^n+o(x^n)泰勒公式和麥克勞林公式的一般形式也要記住。我們上一年有考過一題，不過不記得是啥題了。

19.補(bǔ)充一些關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)，可能會(huì)用到：

tan(x/2)=(1-cosx)/sinx

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2 和差化積公式：

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 積化和差公式：

sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]

cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]

cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)] 補(bǔ)充兩個(gè)公式：

（1）x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]（2）n^(1/n)-1=(n-1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n-1)/n)] <(n-1)/[(1/2)(n-1)n^(1/2)]=2/[n^(1/2)]