作業14

對坐標的曲線積分

1．計算下列第二型曲線積分：

(1)，其中為按逆時針方向繞橢圓一周；

解：為

原式

(2)，其中是從點到點的一段直線；

解：是

原式

(3)，其中是圓柱螺線從到的一段弧；

解：是

原式

(4)

計算曲線積分,其中為由點A

(-1,1)沿拋物線到點O

(0,0),再沿x軸到點B

(2,0)的弧段．

解：由于積分曲線是分段表達的，需要分段積分；

原式

2．設力的大小等于作用點的橫坐標的平方，而方向依軸的負方向，求質量為的質點沿拋物線從點移動到點時，力所作的功．

解：

3．把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中

為：

(1)

在平面內沿直線從點到點；

(2)

沿拋物線從點到點．

解：（1）

（2）

作業15

格林公式及其應用

1．填空題

(1)

設是三頂點(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界,12

．

(2)

設曲線是以為頂點的正方形邊界，不能直接用格林公式的理由是_所圍區域內部有不可道的點_．

（3）相應于曲線積分的第一型的曲線積分是．

其中為從點(1,1,1)到點(1,2,3)的直線段．

2．計算,其中L是沿半圓周從點到點的弧．

解：L加上構成區域邊界的負向

3．計算,其中為橢圓

正向一周．

解：原式

4．計算曲線積分

其中為連續函數，是沿圓周按逆時針方向由點到點的一段弧．

解：令

則，原式

5．計算,其中為

（1）圓周（按反時針方向）；

解：，而且原點不在該圓域內部，從而由格林公式，原式

（2）閉曲線（按反時針方向）．

解：，但所圍區域內部的原點且僅有該點不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時針方向），在圓環域上用格林公式得，原式

6．證明下列曲線積分在平面內與路徑無關,并計算積分值：

（1）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內與路徑無關，沿折線積分即可，原式

（2）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內與路徑無關，沿直線積分也可，原式

（3）．

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內與路徑無關，沿折線積分即可，原式

7．設在上具有連續導數，計算，其中L為從點到點的直線段．

解：由于在右半平面連續，從而該曲線積分右半平面內與路徑無關，沿曲線積分即可，原式

8．驗證下列在整個平面內是某一函數的全微分,并求出它的一個原函數：

（1）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內是某一函數的全微分，設這個函數為，則

從而，（2）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內是某一函數的全微分，設這個函數為，則原式

可取

（3）

解：可取折線作曲線積分

9．設有一變力在坐標軸上的投影為,這變力確定了一個力場,證明質點在此場內移動時,場力所作的功與路徑無關．

證：，質點在此場內任意曲線移動時，場力所作的功為

由于在全平面連續，從而質點在此場內移動時，場力所作的功與路徑無關．