第九章

曲線積分與曲面積分

作業13

對弧長的曲線積分

1．計算，其中為直線及拋物線所圍成的區域的整個邊界．

解：可以分解為及

2．，其中為星形線在第一象限內的弧．

解：為

原式

3．計算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點．

解：

4．，其中為螺線上相應于從變到的一段弧．

解：為

5．計算，其中L：．

解：將L參數化，6．計算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界．

解：邊界曲線需要分段表達，從而需要分段積分

從而

作業14

對坐標的曲線積分

1．計算下列第二型曲線積分：

(1)，其中為按逆時針方向繞橢圓一周；

解：為

原式

(2)，其中是從點到點的一段直線；

解：是

原式

(3)，其中是圓柱螺線從到的一段弧；

解：是

原式

(4)

計算曲線積分,其中為由點A

(-1,1)沿拋物線到點O

(0,0),再沿x軸到點B

(2,0)的弧段．

解：由于積分曲線是分段表達的，需要分段積分；

原式

2．設力的大小等于作用點的橫坐標的平方，而方向依軸的負方向，求質量為的質點沿拋物線從點移動到點時，力所作的功．

解：

3．把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中

為：

(1)

在平面內沿直線從點到點；

(2)

沿拋物線從點到點．

解：（1）

（2）

作業15

格林公式及其應用

1．填空題

(1)

設是三頂點(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界,12

．

(2)

設曲線是以為頂點的正方形邊界，不能直接用格林公式的理由是_所圍區域內部有不可道的點_．

（3）相應于曲線積分的第一型的曲線積分是．

其中為從點(1,1,1)到點(1,2,3)的直線段．

2．計算,其中L是沿半圓周從點到點的弧．

解：L加上構成區域邊界的負向

3．計算,其中為橢圓

正向一周．

解：原式

4．計算曲線積分

其中為連續函數，是沿圓周按逆時針方向由點到點的一段弧．

解：令

則，原式

5．計算,其中為

（1）圓周（按反時針方向）；

解：，而且原點不在該圓域內部，從而由格林公式，原式

（2）閉曲線（按反時針方向）．

解：，但所圍區域內部的原點且僅有該點不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時針方向），在圓環域上用格林公式得，原式

6．證明下列曲線積分在平面內與路徑無關,并計算積分值：

（1）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內與路徑無關，沿折線積分即可，原式

（2）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內與路徑無關，沿直線積分也可，原式

（3）．

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內與路徑無關，沿折線積分即可，原式

7．設在上具有連續導數，計算，其中L為從點到點的直線段．

解：由于在右半平面連續，從而該曲線積分右半平面內與路徑無關，沿曲線積分即可，原式

8．驗證下列在整個平面內是某一函數的全微分,并求出它的一個原函數：

（1）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內是某一函數的全微分，設這個函數為，則

從而，（2）；

解：由于在全平面連續，從而該曲線積分在平面內是某一函數的全微分，設這個函數為，則原式

可取

（3）

解：可取折線作曲線積分

9．設有一變力在坐標軸上的投影為,這變力確定了一個力場,證明質點在此場內移動時,場力所作的功與路徑無關．

證：，質點在此場內任意曲線移動時，場力所作的功為

由于在全平面連續，從而質點在此場內移動時，場力所作的功與路徑無關．

作業16

對面積的曲面積分

1．計算下列對面積的曲面積分：

(1),其中為錐面被柱面所截得的有限部分；

解：為，原式

（2）,其中為球面．

解：為兩塊，原式

2．計算，是平面被圓柱面截出的有限部分．

解：為兩塊，原式

（或由，而積分微元反號推出）

3．求球面含在圓柱面內部的那部分面積．

解：為兩塊，原式

4．設圓錐面,其質量均勻分布,求它的重心位置．

解：設密度為單位1，由對稱性可設重點坐標為，故重點坐標為

5．求拋物面殼的質量，此殼的密度按規律而變更．

解：

作業17

對坐標的曲面積分

1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內的部分前側．

解：

原式=

2．計算曲面積分，其中為旋轉拋物面下側介于平面及之間的部分．

解：

原式=

3．計算

其中是平面所圍成的空間區域的整個邊界曲面的外側．

解：分片積分。

原式=（由輪換對稱性）

4．把對坐標的曲面積分

化為對面積的曲面積分：

（1）是平面在第一卦限的部分的上側；

（2）是拋物面在面上方的部分的上側．

解：（1）

原式=

（2）

原式=

5．計算曲面積分,其中為旋轉拋物面下側介于平面z=0及z=2之間的部分．

解：

原式=（兩類曲面積分的互化）

（第二類曲面積分投影法計算）

（用了重積分的對稱性）

．已知速度場，求流體在單位時間內通過上半錐面與平面所圍成錐體表面向外流出的流量．

解：

同樣。

作業18

高斯公式和斯托克斯公式

1．利用高斯公式計算曲面積分：

(1)，其中是平面，及所圍成的立體的表面外側；

解：原式

（2），其中為柱面及平面，所圍成的立體的表面外側；

解：原式

(3)

計算,其中，是由曲面繞y軸旋轉一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角恒大于．

解：加上右側，構成封閉區域的外側。

原式

2．設函數有一階連續導數，利用高斯公式計算曲面積分，式中是下半球面的上側．

解：加上下側，構成封閉區域的內側。

原式

3．利用斯托克斯公式計算曲面積分：

（1）

式中是圓周，從軸正向看去,取逆時針方向．

解：原式

（2），其中為圓周，從軸的正向看去，取逆時針方向．．

解：原式

作業19

場論初步

1．求下列向量場通過曲面指定一側的通量：

（1），為由平面與，所圍成立體的表面，流向外側；

解：

（2），為以點(3,-1,2)為球心，半徑的球面，流向外側．

解：

2．求向量場沿閉曲線的環流量(從z軸正向看

依逆時針的方向),其中為圓周．

解：

3．求向量場在點M

(1,-1,2)處的散度和旋度．

解：

4．證明向量場為平面調和場，并求勢函數．

解：由于

因此是無源場且為無旋場從而為調和場

由為勢函數

5．驗證下列向量場為保守場，并求其勢函數：

（1）；

解：由于

因此為無旋場從而為有勢場

由

為勢函數

（2）

解：由于

因此為無旋場從而為有勢場

由

為勢函數

6．設具有二階連續偏導數，計算

解：由于

從而

由于具有二階連續偏導數，從而

第九章《曲線積分與曲面積分》測試題

1．填空題

（1）對坐標的曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為有向曲線弧在點處的切向量的方向角；

（2）設為取正向的圓周則曲線積分；

（3）設曲線積分.與積分路徑無關，其中

一階連續可導，且，則；

（4）=_0_，其中為單位球面的外側；

（5）設，則

0，．

2．計算下列曲線積分：

（1）計算，其中為球面與平面的相交部分．

解：由輪換對稱性

（2），其中是，．

解：用球坐標表達是

原式

（3）其中為橢圓由點經點到點的弧段；

解：參數表達是

原式

（4），其中是與的交線，其方向與軸正向成右手系；

解：參數表達是

原式

（5），其中為上半圓周，沿逆時針方向；

解：加上形成半圓區域的正向邊界

原式

（6），其中是以點為定點，，的正方形的整個邊界（取正向）．

解：正向

原式

3．計算下列曲面積分：

（1）,為錐面介于之間的部分．

解：原式

（2）計算．

解：為兩片

令

原式

（3）其中錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。是上半球面的上側；

解：為

原式

（4），其中為錐面的外側；

解：加上上側，構成封閉區域的外側。

原式

（5），其中是圓周，若正對著軸正向看去，取逆時針方向；

解：由STOCHS公式，原式

（6），其中是曲線繞軸旋轉所得旋轉曲面的上側．

解：加上下側，構成封閉區域的內側。

原式

4．設曲線積分與路徑無關，其中，且

求．

解：曲線積分與路徑無關，連續可導

從而，又

故

5．設具有連續的導數，且使表達式是某函數的全微分，求，并求一個．

解：由已知，是某函數的全微分，從而，又

故

6．證明在右半平面內，力所做的功與所走的路徑無關，并計算由點到所做的功．

解：

8．證明：在整個平面除去的負半軸及原點的區域內是某個二元函數的全微分，并求出一個這樣的二元函數．

解：由于且偏導數在整個平面除去的負半軸及原點的區域內是連續的，從而在整個平面除去的負半軸及原點的區域內是某個二元函數的全微分，函數如

9．求向量通過的邊界曲面流向外側的通量．

解：

11．求向量場在點處的散度．

解：