第一篇：高數B(上)試題及答案1
高等數學B（上）試題1答案
一、判斷題（每題2分，共16分）（在括號里填寫“√”或“×”分別表示“對”或“錯”）（×）1.兩個無窮大量之和必定是無窮大量.（×）2.閉區間上的間斷函數必無界.（√）3.若f(x)在某點處連續，則f(x)在該點處必有極限.（×）4.單調函數的導函數也是單調函數.（√）5.無窮小量與有界變量之積為無窮小量.（×）6.y?f(x)在點x0連續，則y?f(x)在點x0必定可導.（×）7.若x0點為y?f(x)的極值點，則必有f?(x0)?0.（×）8.若f?(x)?g?(x)，則f(x)?g(x).二、填空題（每題3分，共24分）1.設f(x?1)?x，則f(3)?16.2．limxsinx??21＝x1。
x?11?2?x??3.lim?xsin?sinx?????x??xx?x?????1?e2.4.曲線x?6y?y在(?2,2)點切線的斜率為2323.5．設f?(x0)?A，則limh?0f(x0?2h)?f(x0?3h)＝
h05A.6.設f(x)?sinxcos31,(x?0)，當f(0)?x?1處有極大值.時，f(x)在x?0點連續.7.函數y?x?3x在x?8.設f(x)為可導函數,f?(1)?1，F(x)?f?
三、計算題（每題6分，共42分）
?1?2?f(x)，則F?(1)???x?1.(n?2)(n?3)(n?4).3n???5n(n?2)(n?3)(n?4)解： lim
n???5n31．求極限 lim?2??3??4??lim?1???1???1??
（3分）n????n??n??n??
1（3分）
x?xcosx2.求極限 lim.x?0x?sinxx?xcosx解：lim
x?0x?sinx1?cosx?xsinx
（2分）?limx?01?cosx2sinx?xcosx
（2分）?limx?0sinx?
33.求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3在(0,??)內的導數.解：lny?ln(x?1)?2ln(x?2)?3ln(x?3)，y?123y?x?1?x?2?x?3，故y??(x?1)(x?2)2(x?3)3??123??x?1?x?2?x?3??
4.求不定積分?2x?11?x2dx.解： ?2x?11?x2dx
??11?x2d(1?x2)??11?x2dx
?ln(1?x2)?arctanx?C
5.求不定積分?xsinx2dx.解：?xsinx2dx
?12?sinx2d?x2?
??12cosx2?C
6．求不定積分?xsin2xdx.解： ?xsin2xdx
?12?xsin2xd(2x)??12?xdcos2x
??12?xcos2x??cos2xdx?
2分）
（2分）
（2分）（2分）
（3分）
（3分）（3分）（3分）（2分）（2分）（11??xcos2x?sin2x?C
（2分）
247.求函數y??sinx?cosx的導數.解：lny?cosxlnsinx
（3分）
y???sinx?cosx?1?cot2x?lnsinx?
（3分）
四、解答題（共9分）
某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋,現有存磚只夠砌20米長的墻壁,問應圍成的長方形的長,寬各為多少才能使這間小屋面積最大.解：設垂直于墻壁的邊為x，所以平行于墻壁的邊為20?2x，所以，面積為S?x(20?2x)??2x?20x，（3分）
由S???4x?20?0，知
（3分）當寬x?5時，長y?20?2x?10，（3分）面積最大S?5?10?50（平方米）。
五、證明題（共9分）
若在(??,??)上f??(x)?0,f(0)?0.證明：F(x)?增加.證明：F?(x)?2f(x)在區間(??,0)和(0,??)上單調xxf?(x)?f(x)，令G(x)?xf?(x)?f(x)
（2分）2xG(0)?0?f?(0)?f(0)?0，（2分）
在區間(??,0)上，G?(x)?xf??(x)?0，（2分）所以G(x)?G(0)?0，單調增加。
（2分）在區間(0,??)上，G?(x)?xf??(x)?0，所以0?G(0)?G(x)，單調增加。
（1分）
第二篇：高數試題1
一、一、填空題(每小題3分，共15分)
1． 1．設u=x4+y4-4x2y2，則u x x
2． 2．設u=xy+y/x，則u y
3． 3．函數z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的駐點是4． 4．設冪級數n?0的收斂半徑是4，則冪級數n?0的收斂半徑是
225． 5．設Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之間部分曲面，它的法向指向含oz軸的一側，則?=二、二、單選(每小題2分，共8分)
1、函數z?f(x,y)在點(x0,y0)處連續是它在該點偏導數存在的：
(A)必要而非充分條件；(B)充分而非必要條件；
(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。答（）
2、微分方程y??y???xy??滿足條件y’(2)=1, y(2)=1的解是
(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/
4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/4?a?nxn?a?nx2n?1??x2?y2?z2dxdy答（）
3、若方程y???py??qy?0的系數p+qx=0，則該方程有特解
(A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答（）
4、微分方程y????y??sinx的一個特解應具有形式答（）
(A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)
三、三、解答下列各題
1． 1．(本小題6分)
利用二重積分計算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所圍成的曲頂柱體的體積。
2、(本小題7分)證明極限y?0不存在。
3、(本小題5分)
2驗證：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并寫出該方程的通解。
4、(本小題5分)x2ylim4x?0x?y
3?1?cosx?0?x??f(x)????x????x?0若s(x)是以2為周期的函數f(x)的Fourier級數之和函?x設
數，求S(-3π)。
四、四、解答下列各題：
1、(本小題6分)
12?x
更換積分次序：?
22、(本小題6分)?dx?f(x,y)dyx
2求曲線五、五、解答下列各題：
1、(本小題6分)x?t1?t,y?,z?t21?tt在t=1處的切線及法平面方程。
已知Σ是z=x2+y2上 z≤1的部分曲面，試計算????4zds2、(本小題6分)
(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy計算，其中光滑曲面∑圍成的Ω的體積為
?
V。
六、六、解答下列各題
1、(本小題5分)
判別級數n?
12、(本小題5分)級數
3、(本小題5分)
?
?nsin
?
n的斂散性。
1?
111????325272是否收斂，是否絕對收斂？
?3n?!xn
?
2試求冪級數k?1n!的收斂半徑
4、(本小題5分)
試將函數y=1/(4-x4)展開為x的冪級數
七、(本大題10分)已知上半平面內一曲線y=y(x)(x≥0)過點(0,1)，且曲線 上任一點M(x0,y0)處切線斜率數值上等于此曲線與x軸，y軸，直線x=x0所圍成的面積與該點縱坐標之和，求此曲線方程。
七、一、填空題(每小題3分，共15分)
1． 1．設u=x4+y4-4x2y2，則u x x22 2． 2．設u=xy+y/x，則u y
3． 3．函數z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的駐點是4． 4．設冪級數n?0的收斂半徑是4，則冪級數n?0的收斂半徑是 R=
222
5． 5．設Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之間部分曲面，它的法向指向含oz軸的一側，則?= 0八、二、單選(每小題2分，共8分)
1、函數z?f(x,y)在點(x0,y0)處連續是它在該點偏導數存在的：(A)必要而非充分條件；(B)充分而非必要條件；
(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。答（A）
2、微分方程y??y???xy??滿足條件y’(2)=1, y(2)=1的解是(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/
4?a
?
n
x
n
?a
?
n
x2n?
1??
x2?y2?z2dxdy
答（C）
3、若方程y???py??qy?0的系數p+qx=0，則該方程有特解(A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答（A）
4、微分方程y????y??sinx的一個特解應具有形式答（D）(A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)九、三、解答下列各題
1． 1．(本小題6分)
利用二重積分計算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所圍成的曲頂柱體的體積。
1V??dx?x2?y2dy?
?1
x
2??
2、(本小題7分)
8810
5證明極限y?0
x2ylim
4x?0x?y
3不存在。
[證明]：取不同的直線路徑y=kx y?kx?0 沿不同的路徑極限不同，故由定義二重極限不存在。
3、(本小題5分)
驗證：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并寫出該方程的通解。
2[驗證]：y1’=-ωsinωx,y1’’=-ωcosωx代入方程左端-ωcosωx+ωcosωx=0滿足方程。
222
y2’=ωcosωx,y2’’=--ωsinωx代入方程左端-ωsinωx+ωsinωx=0滿足方程。故y1、y2皆是微分方程的解。又y1 /y2=(cosωx)/(sinωx)≠常數，故y1與y2線性無關。方程的通解為y=C1cosωx+C2sinωx
4、(本小題5分)
x2kx
1lim4?x?0x?k3x3k
2?1?cosx
?0?x??f(x)????x
????x?0若s(x)是以2為周期的函數f(x)的Fourier級數之和函?x設
數，求S(-3π)。解：S(-3π)=-π/2 十、四、解答下列各題：
1、(本小題6分)
更換積分次序：?
22、(本小題6分)
?dx?f(x,y)dy??dyf?x,y?dx??dyf?x,y?dx
x
2?y
?y
12?x
1y
42?y
t1?t,y?,z?t2
1?tt求曲線在t=1處的切線及法平面方程。
x?2y?2z?11?1?
???x????y?1??2?z?1??0?12法線方程4?2?解：切線方程：
4x?十一、五、解答下列各題：
1、(本小題6分)
2?
已知Σ是z=x+y上 z≤1的部分曲面，計算:
2、(本小題6分)
?
??
?
?4zds??d??1?4r2rdr?3?
??
(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy計算，其中光滑曲面∑圍成的Ω的體積為
V。
解：由高斯公式，原積分=十二、六、解答下列各題
1、(本小題5分)
???3dv
v
=3V
判別級數n?
1解：因為當n趨于∞時，一般項u n的極限為1，其極限不為0，故級數發散。
2、(本小題5分)級數
?nsin
?
n的斂散性。
1?
111????222357是否收斂，是否絕對收斂？
n
(2n?1)21
1??(?1)(2n?1)2?limn??1/n4解：原級數=
3、(本小題5分)
?
?
原級數絕對收斂。
?3n?!xn?3n?3?!n!
2??lim?????22n??3n!n?1!試求冪級數k?1n!的收斂半徑。解
4、(本小題5分)
試將函數y=1/(4-x4)展開為x的冪級數
R?0
1y??
解：
七、(本大題10分)已知上半平面內一曲線y=y(x)(x≥0)過點(0,1)，且曲線 上任一點M(x0,y0)處切線斜率數值上等于此曲線與x軸，y軸，直線x=x0所圍成的面積與該點縱坐標之和，求此曲線方程。
??x4n11?x4x4?2x4n
??1??2???n?????n?14??44x44??n?041?4
??
2?x?2
?
解：
y???y?x?dx?y
x
y???y?y?即y???y??y?0
特征方程：r2-r-1=0
r1,2?
1?2
1?5
x2
通解：y?c1e?c2e
1?x2
5?5?5
初始條件：y(0)=1 , y’(0)=1解得：C1=10，C2=10
1?5
x2
5?特解是：y?e
1?5
x2
5??e
第三篇：高數B教學大綱
《高等數學
（二）B》教學大綱 Advanced Mathematics(2)B
課程編碼：09A00050
學分：3.5
課程類別：專業基礎課
計劃學時：56
其中講課：56
實驗或實踐：0
上機：0 適用專業：材料與工程學院，化學化工學院，歷史與文化產業學院，商學院，生物科學與技術學院，醫學與生命科學學院。
推薦教材：同濟大學數學系編，《高等數學》第七版（下冊），高等教育出版社，2014年7月。參考書目：
1、齊民友主編，高等數學（下冊），高等教育出版社，2009年8月；
2、同濟大學數學系編，高等數學習題全解指南（下冊），第七版，高等教育出版社，2014年8月。
課程的教學目的與任務
高等數學
（二）B是工科院校的一門極其重要的專業基礎課。通過本課程的學習，能使學生獲得空間解析幾何、二元函數微積分和無窮級數的基本知識，基本理論和基本運算技能，逐步增加學生自學能力，比較熟練的運算能力，抽象思維和空間想象能力。同時強調分析問題和解決問題的實際能力。使學生在得到思維訓練和提高數學素養的同時，為后繼課程的學習和進一步擴大數學知識面打下必要的數學基礎。
課程的基本要求
通過本課程的學習，使學生掌握向量的概念及計算，空間平面、直線、曲面、曲線的概念和運算。掌握多元函數微分的計算及其應用。掌握二重積分的概念、計算和應用。握常數項級數和冪級數的概念和計算。
各章節授課內容、教學方法及學時分配建議（含課內實驗）
第八章 向量代數與空間解析幾何
建議學時：12
[教學目的與要求] 理解向量的概念及其表示，掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積），了解兩個向量垂直、平行的條件；理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。掌握平面方程和直線方程及其求法，會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等））解決有關問題，會求點到直線以及點到平面的距離。了解曲面方程和空間曲線方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程，了解空間曲線的參數方程和一般方程，了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。
[教學重點與難點]平面方程和直線方程。
[授 課 方 法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授 課 內 容] 第一節 向量及其線性運算 第二節 數量積 向量積
第三節平面及其方程 第四節 空間直線及其方程 第五節 曲面及其方程 第六節 空間曲線及其方程
第九章 多元函數微分法及其應用
建議學時：20
[教學目的與要求] 了解點集、鄰域、區域、多元函數等概念。理解二元函數的幾何意義；了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法；了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。了解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法。理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值；會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。
[教學重點與難點] 偏導數、全微分的概念及其計算，多元函數的極值。[授 課 方 法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授 課 內 容] 第一節 多元函數的基本概念 第二節 偏導數 第三節 全微分
第四節 多元復合函數的求導法則 第五節 隱函數的求導公式 第六節 多元函數微分學的幾何應用 第七節 方向導數與梯度 第八節 多元函數的極值及其求法
第十章 重積分
建議學時：10
[教學目的與要求] 理解二重積分的概念，了解二重積分的性質，了解二重積分的中值定理。掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會用二重積分計算一些幾何量與物理量（體積、曲面面積、質量、質心、轉動慣量、引力）。
[教學重點與難點] 二重積分的計算。
[授 課 方 法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授 課 內 容] 第一節 二重積分的概念與性質 第二節 二重積分的計算法 第四節 重積分的應用
第十二章 無窮級數
建議學時：14
[教學目的與要求] 理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件；掌握幾何級數與p級數收斂與發散的條件。掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法；掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法，了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件，掌握某些函數的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數。[教學重點與難點] 數項級數的收斂性判定，冪級數展開，求和函數及收斂域。[授 課 方 法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授 課 內 容]
第一節 常數項級數的概念和性質 第二節 常數項級數的審斂法 第三節 冪級數
第四節 函數展開成冪級數
撰稿人：楊殿武
審核人：王紀輝
第四篇：2010成人高考專升本高數試題及答案
賀新郎 1923 揮手從茲去。更那堪凄然相向，苦情重訴。眼角眉梢都似恨，熱淚欲零還住。知誤會前翻書語。過眼滔滔云共霧，算人間知己吾與汝。人有病，天知否？ 今朝霜重東門路，照橫塘半天殘月，凄清如許。汽笛一聲腸已斷，從此天涯孤旅。憑割斷愁思恨縷。要似昆侖崩絕壁，又恰像臺風掃環宇。重比翼，和云翥。沁園春 長沙 1925 獨立寒秋，湘江北去，橘子洲頭。看萬山紅遍，層林盡染；漫江碧透，百舸爭流。鷹擊長空，魚翔淺底，萬類霜天競自由。悵寥廓，問蒼茫大地，誰主沉浮。攜來百侶曾游，憶往昔崢嶸歲月稠。恰同學少年，風華正茂；書生意氣，揮斥方遒。指點江山，激揚文字，糞土當年萬戶侯。曾記否，到中流擊水，浪遏飛舟。菩薩蠻 黃鶴樓 1927 春
茫茫九派流中國，沉沉一線穿南北。煙雨莽蒼蒼，龜蛇鎖大江。黃鶴知何去？剩有游人處。把酒酹滔滔，心潮逐浪高！
西江月 秋收起義 1927.09 軍叫工農革命，旗號鐮刀斧頭。匡廬一帶不停留，要向瀟湘直進。地主重重壓迫，農民個個同仇。秋收時節暮云愁，霹靂一聲暴動。
西江月 井岡山 1928 秋
山下旌旗在望，山頭鼓角相聞。敵軍圍困萬千重，我自巋然不動。早已森嚴壁壘，更加眾志成城。黃洋界上炮聲隆，報道敵軍宵遁。
清平樂 蔣桂戰爭 1929 秋
風云突變，軍閥重開戰。灑向人間都是怨，一枕黃梁再現。紅旗躍過汀江，直下龍巖上杭。收拾金甌一片，分田分地真忙。
采桑子 重陽 1929.10 人生易老天難老，歲歲重陽。今又重陽，戰地黃花分外香。一年一度秋風勁，不似春光。勝似春光，寥廓江天萬里霜。
如夢令 元旦 1930.01 寧化、清流、歸化，路隘林深苔滑。今日向何方，直指武夷山下。山下山下，風展紅旗如畫。
減字木蘭花 廣昌路上 1930.02 漫天皆白，雪里行軍情更迫。頭上高山，風卷紅旗過大關。此行何去？贛江風雪迷漫處。命令昨頒，十萬工農下吉安。
蝶戀花 從汀州向長沙 1930.07 六月天兵征腐惡，萬丈長纓要把鯤鵬縛。贛水那邊紅一角，偏師借重黃公略。百萬工農齊踴躍，席卷江西直搗湘和鄂。國際悲歌歌一曲，狂飆為我從天落。漁家傲 反第一次大“圍剿” 1931 春 萬木霜天紅爛漫，天兵怒氣沖霄漢。霧滿龍岡千嶂暗，齊聲喚，前頭捉了張輝瓚。二十萬軍重入贛，風煙滾滾來天半。喚起工農千百萬，同心干，不周山下紅旗亂。
漁家傲 反第二次大“圍剿” 1931 夏 白云山頭云欲立，白云山下呼聲急，枯木朽株齊努力。槍林逼，飛將軍自重霄入。七百里驅十五日，贛水蒼茫閩山碧，橫掃千軍如卷席。有人泣，為營步步嗟何及！
菩薩蠻 大柏地 1933 夏
赤橙黃綠青藍紫，誰持彩練當空舞？雨后復斜陽，關山陣陣蒼。當年鏖戰急，彈洞前村壁。裝點此關山，今朝更好看。
清平樂 會昌 1934 夏
東方欲曉，莫道君行早。踏遍青山人未老，風景這邊獨好。會昌城外高峰，顛連直接東溟。戰士指看南粵，更加郁郁蔥蔥。
憶秦娥 婁山關 1935.02 西風烈，長空雁叫霜晨月。霜晨月，馬蹄聲碎，喇叭聲咽。雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越。從頭越，蒼山如海，殘陽如血。十六字令 三首 1934-35 山，快馬加鞭未下鞍。驚回首，離天三尺三。山，倒海翻江卷巨瀾。奔騰急，萬馬戰猶酣。山，刺破青天鍔未殘。天欲墮，賴以拄其間。
【原注】民謠：“上有骷髏山，下有八寶山，離天三尺三。人過要低頭，馬過要下鞍。”
七律 長征 1935.10 紅軍不怕遠征難，萬水千山只等閑。五嶺逶迤騰細浪，烏蒙磅礴走泥丸。金沙水拍云崖暖，大渡橋橫鐵索寒。更喜岷山千里雪，三軍過后盡開顏。
念奴嬌 昆侖 1935.10 橫空出世，莽昆侖，閱盡人間春色。飛起玉龍三百萬，攪得周天寒徹。夏日消溶，江河橫溢，人或為魚鱉。千秋功罪，誰人曾與評說？ 而今我謂昆侖：不要這高，不要這多雪。安得倚天抽寶劍，把汝裁為三截？一截遺歐，一截贈美，一截還東國。太平世界，環球同此涼熱。
清平樂 六盤山 1935.10 天高云淡，望斷南飛雁。不到長城非好漢，屈指行程二萬。六盤山上高峰，紅旗漫卷西風。今日長纓在手，何時縛住蒼龍？ 沁園春 雪 1936.02 北國風光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內外，惟馀莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高。須晴日，看紅妝素裹，分外妖嬈。江山如此多嬌，引無數英雄競折腰。惜秦皇漢武，略輸文采；唐宗宋祖，稍遜風騷。一代天驕，成吉思汗，只識彎弓射大雕。俱往矣，數風流人物，還看今朝。【原注】“原”指高原，即秦晉高原。
臨江仙 贈丁玲 1936.12 壁上紅旗飄落照，西風漫卷孤城。保安人物一時新。洞中開宴會，招待出牢人。纖筆一支誰與似，三千毛瑟精兵。陣圖開向隴山東。昨天文小姐，今日武將軍。七律 人民解放軍占領南京 1949.04 鐘山風雨起蒼黃，百萬雄師過大江。虎踞龍盤今勝昔，天翻地覆慨而慷。宜將剩勇追窮寇，不可沽名學霸王。天若有情天亦老，人間正道是滄桑。
七律 和柳亞子先生 1949.04.29 飲茶粵海未能忘，索句渝州葉正黃。三十一年還舊國，落花時節讀華章。牢騷太盛防腸斷，風物長宜放眼量。莫道昆明池水淺，觀魚勝過富春江。
【附】 柳亞子原詩《感事呈毛主席一首》
開天辟地君真健，說項依劉我大難。奪席談經非五鹿，無車彈鋏怨馮□。〔□：灌換馬旁，huan1〕頭顱早悔平生賤，肝膽寧忘一寸丹！安得南征馳捷報，分湖便是子陵灘。
浣溪沙 和柳亞子先生 1950.10 一九五零年國慶觀劇，柳亞子先生即席賦《浣溪沙》，因步其韻奉和。
長夜難明赤縣天，百年魔怪舞翩躚，人民五億不團圓。一唱雄雞天下白，萬方樂奏有于闐，詩人興會更無前。
【附】 柳亞子原詞
火樹銀花不夜天，弟兄姐妹舞翩躚，歌聲唱徹月兒圓。不是一人能領導，那容百族共駢闐，良宵盛會喜空前。
浪淘沙 北戴河 1954 夏
大雨落幽燕，白浪滔天，秦皇島外打魚船。一片汪洋都不見，知向誰邊？ 往事越千年，魏武揮鞭，東臨碣石有遺篇。蕭瑟秋風今又是，換了人間。
水調歌頭 游泳 1956.06 才飲長江水，又食武昌魚。萬里長江橫渡，極目楚天舒。不管風吹浪打，勝似閑庭信步，今日得寬余。子在川上曰：逝者如斯夫！風檣動，龜蛇靜，起宏圖。一橋飛架南北，天塹變通途。更立西江石壁，截斷巫山云雨，高峽出平湖。神女應無恙，當今世界殊。蝶戀花 答李淑一 1957.05.11 我失驕楊君失柳，楊柳輕揚直上重霄九。問訊吳剛何所有，吳剛捧出桂花酒。寂寞嫦娥舒廣袖，萬里長空且為忠魂舞。忽報人間曾伏虎，淚飛頓作傾盆雨。【附】 李淑一原詞《菩薩蠻·驚夢》
蘭閨索莫翻身早，夜來觸動離愁了。底事太難堪，驚儂曉夢殘。征人何處覓，六載無消息。醒憶別伊時，滿衫清淚滋。
七律二首 送瘟神 1958.07.01 讀六月三十日《人民日報》，余江縣消滅了血吸蟲。浮想聯翩，夜不能寐。微風拂曉，旭日臨窗，遙望南天，欣然命筆。
綠水青山枉自多，華佗無奈小蟲何！千村薜荔人遺矢，萬戶蕭疏鬼唱歌。坐地日行八萬里，巡天遙看一千河。牛郎欲問瘟神事，一樣悲歡逐逝波。
春風楊柳萬千條，六億神州盡舜堯。紅雨隨心翻作浪，青山著意化為橋。天連五嶺銀鋤落，地動三河鐵臂搖。借問瘟君欲何往，紙船明燭照天燒。
七律 到韶山 1959.06 一九五九年六月二十五日到韶山。離別這個地方已有三十二年了。
別夢依稀咒逝川，故園三十二年前。紅旗卷起農奴戟，黑手高懸霸主鞭。為有犧牲多壯志，敢教日月換新天。喜看稻菽千重浪，遍地英雄下夕煙。
七律 登廬山 1959.07.01 一山飛峙大江邊，躍上蔥蘢四百旋。冷眼向洋看世界，熱風吹雨灑江天。云橫九派浮黃鶴，浪下三吳起白煙。陶令不知何處去，桃花源里可耕田？ 七絕 為女民兵題照 1961.02 颯爽英姿五尺槍，曙光初照演兵場。中華兒女多奇志，不愛紅裝愛武裝。七律 答友人 1961 九嶷山上白云飛，帝子乘風下翠微。斑竹一枝千滴淚，紅霞萬朵百重衣。洞庭波涌連天雪，長島人歌動地詩。我欲因之夢寥廓，芙蓉國里盡朝暉。七絕 為李進同志題所攝廬山仙人洞照 1961.09.09 暮色蒼茫看勁松，亂云飛渡仍從容。天生一個仙人洞，無限風光在險峰。七律 和郭沫若同志 1961.11.17 一從大地起風雷，便有精生白骨堆。僧是愚氓猶可訓，妖為鬼蜮必成災。金猴奮起千鈞棒，玉宇澄清萬里埃。今日歡呼孫大圣，只緣妖霧又重來。
【附】 郭沫若原詩《看孫悟空三打白骨精》
人妖顛倒是非淆，對敵慈悲對友刁。咒念金箍聞萬遍，精逃白骨累三遭。千刀當剮唐僧肉，一拔何虧大圣毛。教育及時堪贊賞，豬猶智慧勝愚曹。卜算子 詠梅 1961.12 讀陸游詠梅詞，反其意而用之。
風雨送春歸，飛雪迎春到。已是懸崖百丈冰，猶有花枝俏。俏也不爭春，只把春來報。待到山花爛漫時，她在叢中笑。
【附】 陸游原詞《卜算子·詠梅》
驛外斷橋邊，寂寞開無主。已是黃昏獨自愁，更著風和雨。無意苦爭春，一任群芳妒。零落成泥輾作塵，只有香如故。
七律 冬云 1962.12.26 雪壓冬云白絮飛，萬花紛謝一時稀。高天滾滾寒流急，大地微微暖氣吹。獨有英雄驅虎豹，更無豪杰怕熊羆。梅花歡喜漫天雪，凍死蒼蠅未足奇。
滿江紅 和郭沫若同志 1963.01.09 小小寰球，有幾個蒼蠅碰壁。嗡嗡叫，幾聲凄厲，幾聲抽泣。螞蟻緣槐夸大國，蚍蜉撼樹談何易。正西風落葉下長安，飛鳴鏑。多少事，從來急；天地轉，光陰迫。一萬年太久，只爭朝夕。四海翻騰云水怒，五洲震蕩風雷激。要掃除一切害人蟲，全無敵。
【附】 郭沫若原詞
滄海橫流，方顯出英雄本色。人六億，加強團結，堅持原則。天垮下來擎得起，世披靡矣扶之直。聽雄雞一唱遍寰中，東方白。太陽出，冰山滴；真金在，豈銷鑠？有雄文四卷，為民立極。桀犬吠堯堪笑止，泥牛入海無消息。迎東風革命展紅旗，乾坤赤。
七律 吊羅榮桓同志 1963.12 記得當年草上飛，紅軍隊里每相違。長征不是難堪日，戰錦方為大問題。斥□每聞欺大鳥，昆雞長笑老鷹非。〔□：晏鳥〕君今不幸離人世，國有疑難可問誰？ 賀新郎 讀史 1964 春
人猿相揖別。只幾個石頭磨過，小兒時節。銅鐵爐中翻火焰，為問何時猜得？不過幾千寒熱。人世難逢開口笑，上疆場彼此彎弓月。流遍了，郊原血。一篇讀罷頭飛雪，但記得斑斑點點，幾行陳跡。五帝三皇神圣事，騙了無涯過客。有多少風流人物。盜跖莊□流譽后，更陳王奮起揮黃鉞。〔□：足喬〕歌未竟，東方白。
水調歌頭 重上井岡山 1965.05 久有凌云志，重上井岡山。千里來尋故地，舊貌變新顏。到處鶯歌燕舞，更有潺潺流水，高路入云端。過了黃洋界，險處不須看。風雷動，旌旗奮，是人寰。三十八年過去，彈指一揮間。可上九天攬月，可下五洋捉鱉，談笑凱歌還。世上無難事，只要肯登攀。
念奴嬌 鳥兒問答 1965 秋
鯤鵬展翅，九萬里，翻動扶搖羊角。背負青天朝下看，都是人間城郭。炮火連天，彈痕遍地，嚇倒蓬間雀。怎么得了，哎呀我要飛躍。借問君去何方，雀兒答道：有仙山瓊閣。不見前年秋月朗，訂了三家條約。還有吃的，土豆燒熟了，再加牛肉。不須放屁！試看天地翻覆。
第五篇：大學高數下冊試題及答案
《高等數學》（下冊）測試題一
一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）
1．設有直線
及平面，則直線（A）
A．平行于平面；
B．在平面上；
C．垂直于平面；
D．與平面斜交.2．二元函數在點處（C）
A．連續、偏導數存在；
B．連續、偏導數不存在；
C．不連續、偏導數存在；
D．不連續、偏導數不存在.3．設為連續函數，則＝（B）
A．；
B．；
C．
D．.4．設是平面由，所確定的三角形區域，則曲面積分
＝（D）
A．7；
B．；
C．；
D．.5．微分方程的一個特解應具有形式（B）
A．；
B．；
C．；
D．.二、填空題（每小題3分，本大題共15分）
1．設一平面經過原點及點，且與平面垂直，則此平面方程為；
2．設，則＝；
3．設為正向一周，則
0；
4．設圓柱面，與曲面在點相交，且它們的交角為，則正數；
5．設一階線性非齊次微分方程有兩個線性無關的解，若也是該方程的解，則應有
.三、（本題7分）設由方程組確定了，是，的函數，求及與.解：方程兩邊取全微分，則
解出
從而
四、（本題7分）已知點及點，求函數在點處沿方向的方向導數.解：，從而
五、（本題8分）計算累次積分）.解：依據上下限知，即分區域為
作圖可知，該區域也可以表示為
從而
六、（本題8分）計算，其中是由柱面及平面圍成的區域.解：先二后一比較方便，七．（本題8分）計算，其中是拋物面被平面所截下的有限部分.解：由對稱性
從而
八、（本題8分）計算，是點到點在上半平面上的任意逐段光滑曲線.解：在上半平面上
且連續，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關，取
九、（本題8分）計算，其中為半球面上側.解：補取下側，則構成封閉曲面的外側
十、（本題8分）設二階連續可導函數，適合，求．
解：
由已知
即
十一、（本題4分）求方程的通解.解：解：對應齊次方程特征方程為
非齊次項，與標準式
比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為
代入方程得
十二、（本題4分）在球面的第一卦限上求一點，使以為一個頂點、各面平行于坐標面的球內接長方體的表面積最小.解：設點的坐標為，則問題即在求最小值。
令，則由
推出，的坐標為
附加題：（供學習無窮級數的學生作為測試）
1．判別級數是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？
解：由于，該級數不會絕對收斂，顯然該級數為交錯級數且一般項的單調減少趨于零，從而該級數條件收斂
2．求冪級數的收斂區間及和函數.解：
從而收斂區間為，3．將展成以為周期的傅立葉級數.解：已知該函數為奇函數，周期延拓后可展開為正弦級數。
《高等數學》（下冊）測試題二
一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）
1．設，且可導，則為（D）
A．；；
B．；
C．；
D．．
2．從點到一個平面引垂線，垂足為點，則這個平面的方
程是（B）
A．；
B．；
C．；
D．．
3．微分方程的通解是（D）
A．；
B．；
C．；
D．．
4．設平面曲線為下半圓周，則曲線積分等于（A）
A．；
B．；
C．；
D．．
5．累次積分＝（A）
A．；
B．；
C．；
D．．
二．填空題（每小題5分，本大題共15分）
1．曲面在點處的切平面方程是；.2．微分方程的待定特解形式是；
3．設是球面的外測，則曲面積分
＝．
三、一條直線在平面：上，且與另兩條直線L1：及L2：（即L2：）都相交，求該直線方程．（本題7分）
解：先求兩已知直線與平面的交點，由
由
由兩點式方程得該直線：
四、求函數在點處的梯度及沿梯度方向上函數的方向導數．（本題7分）
解：
沿梯度方向上函數的方向導數
五、做一個容積為1立方米的有蓋圓柱形桶，問尺寸應如何，才能使用料最省？（本題8分）
解：設底圓半徑為，高為，則由題意，要求的是在條件下的最小值。
由實際問題知，底圓半徑和高分別為才能使用料最省
六、設積分域D為所圍成，試計算二重積分．（本題8分）
解：觀察得知該用極坐標，七、計算三重積分，式中為由所確定的固定的圓臺體．（本題8分）
解：解：觀察得知該用先二后一的方法
八、設在上有連續的一階導數，求曲線積分，其中曲線L是從點到點的直線段．（本題8分）
解：在上半平面上
且連續，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關，取折線
九、計算曲面積分，其中，為上半球面：．（本題8分）
解：由于，故
為上半球面，則
原式
十、求微分方程的解．（本題8分）
解：
由，得
十一、試證在點處不連續，但存在有一階偏導數．（本題4分）
解：沿著直線，依賴而變化，從而二重極限不存在，函數在點處不連續。
而
十二、設二階常系數線性微分方程的一個特解為，試確定常數，并求該方程的通解．（本題4分）
解：由解的結構定理可知，該微分方程對應齊次方程的特征根應為，否則不能有這樣的特解。從而特征方程為
因此
為非齊次方程的另一個特解，故，通解為
附加題：（供學習無窮級數的學生作為測試）
1．求無窮級數的收斂域及在收斂域上的和函數．
解：
由于在時發散，在時條件收斂，故收斂域為
看，則
從而
2．求函數在處的冪級數展開式．
解：
3．將函數展開成傅立葉級數，并指明展開式成立的范圍．
解：作周期延拓，從而
《高等數學》（下冊）測試題三
一、填空題
1．若函數在點處取得極值，則常數．
2．設，則．
3．設S是立方體的邊界外側，則曲面積分
．
4．設冪級數的收斂半徑為，則冪級數的收斂區間為．
5．微分方程用待定系數法確定的特解（系數值不求）的形式為．
二、選擇題
1．函數在點處（D）．
（A）無定義；
（B）無極限；
（C）有極限但不連續；
（D）連續．
2．設，則（B）．
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
3．兩個圓柱體，公共部分的體積為（B）．
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
4．若，則數列有界是級數收斂的（A）．
（A）充分必要條件；
（B）充分條件，但非必要條件；
（C）必要條件，但非充分條件；
（D）既非充分條件，又非必要條件．
5．函數（為任意常數）是微分方程的（C）．
（A）通解；
（B）特解；
（C）是解，但既非通解也非特解；
（D）不是解．
三、求曲面上點處的切平面和法線方程．
解：
切平面為
法線為
四、求通過直線的兩個互相垂直的平面，其中一個平面平行于直線．
解：設過直線的平面束為
即
第一個平面平行于直線，即有
從而第一個平面為
第二個平面要與第一個平面垂直，也即
從而第二個平面為
五、求微分方程的解，使得該解所表示的曲線在點處與直線相切．
解：直線為，從而有定解條件，特征方程為
方程通解為，由定解的初值條件，由定解的初值條件
從而，特解為
六、設函數有二階連續導數，而函數滿足方程
試求出函數．
解：因為
特征方程為
七、計算曲面積分，其中是球體與錐體的公共部分的表面，，是其外法線方向的方向余弦．
解：兩表面的交線為
原式，投影域為，用柱坐標
原式
另解：用球坐標
原式
八、試將函數展成的冪級數（要求寫出該冪級數的一般項并指出其收斂區間）．
解：
九、判斷級數的斂散性．
解：
當，級數收斂；當，級數發散；
當時級數收斂；當時級數發散
十、計算曲線積分，其中為在第一象限內逆時針方向的半圓弧．
解：再取，圍成半圓的正向邊界
則
原式
十一、求曲面：到平面：的最短距離．
解：問題即求在約束下的最小值
可先求在約束下的最小值點
取
時，這也說明了是不可能的，因為平面與曲面最小距離為。
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