第十一章

無窮級數

作業29

常數項級數的概念和性質

1．按定義判斷下列級數的斂散性，若收斂，并求其和：

（1）；

解：因為

所以

因此由定義可知該級數收斂

（2）；

解：因為

所以，因此由定義可知該級數發散

（3）；

解：因為

所以，因此由定義可知該級數收斂

（4）；

解：因為，依次重復

所以，不存在因此由定義可知該級數發散

2．利用基本性質判別下列級數的斂散性：

（1）；

解：觀察發現該級數為，是發散的調和級數每項乘以得到的，由級數的基本性質，該級數發散

（2）；

解：觀察發現該級數為，是收斂的兩個等比級數，逐項相加得到的，由級數的基本性質，該級數收斂

（3）；

解：觀察發現該級數為，是收斂的等比級數與發散的逐項相加得到的，由級數的基本性質，該級數發散

（4）．

解：觀察發現該級數一般項為，但

由級數收斂的必要條件，該級數發散

作業30

正項級數及其收斂性

1．用比較判別法（或定理2的推論）判定下列級數的斂散性：

（1）；

解：由于，而是收斂的等比級數

從而由比較判別法，該級數收斂

（2）．

解：由于，而是收斂的等比級數

從而由比較判別法的極限形式，該級數收斂

2．用達朗貝爾判別法判定下列級數的斂散性：

（1）；

解：由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數收斂

（2）；

解：由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數收斂

（3）；

解：由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數收斂

（4）．

解：由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數收斂

3．用柯西判別法判定下列級數的斂散性：

（1）；

解：由于，從而由柯西判別法，該級數收斂

（2）．

解：由于，從而由柯西判別法，該級數收斂

4．用判別法判定下列級數的斂散性：

（1）；

解：由于，而為的發散的級數，從而由判別法，該級數發散

（2）．

解：由于，而為的發散的級數，從而由判別法，該級數發散

5．設為正整數，證明：

（1）；

解：對來說，由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數收斂

再由級數收斂的必要條件可知

（2）．

解：對來說，由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數收斂

再由級數收斂的必要條件可知，從而由無窮大量與無窮小的關系

作業31

交錯級數與任意項級數的收斂性

1．判別下列級數的斂散性；若收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂：

（1）；

解：該級數為交錯級數，其一般項的絕對值為

單調減少，且，從而由萊布尼茨判別法知其收斂

再由于，由判別法知發散，從而原級數不會絕對收斂，只有條件收斂

（2）；

解：由于，由判別法知，絕對收斂

（3）；

解：由于不存在，由收斂級數的必要條件，從而該級數發散

（4）；

解：由于，從而由達朗貝爾判別法，該級數絕對收斂

（5）．

解：當時顯然收斂，否則，當時由達朗貝爾判別法，從而該級數絕對收斂，當時級數變為發散

當時級數變為條件收斂

7．若存在，證明絕對收斂．

證明：由已知

從而絕對收斂．

8．若級數絕對收斂，且，試證：級數和都收斂．級數是否收斂？為什么？

證明：若級數絕對收斂，則必收斂，由必要條件

由，從而級數和都有意義，而，從而級數和都收斂。

級數發散，因為，收斂的必要條件不滿足。

作業32

冪級數及其求和

1．求下列冪級數的收斂半徑和收斂域：

（1）；

解：

當時即為條件收斂，從而收斂域為

（2）；

解：

當時即為，由于從而級數發散，因此收斂域為

（3）；

解：當時，當時冪級數即為，由于從而級數發散

當時冪級數即為，由于且從而級數收斂。因此收斂域當時

當時，當時即為即為，由于從而級數發散，從而當時收斂域為

（4）；

解：

當時即為條件收斂，從而收斂域為

（5）；

解：

因此收斂域為

（6）．

解：對于，當時即為條件收斂，當時即為發散，從而原級數的收斂半徑為1，收斂域為

2．求下列冪級數的收斂域及其和函數：

（1）；

解：

當時，即為條件收斂，當時即為發散，從而冪級數的收斂域為

設，則

從而

故

（2）；

解：

當時，即為發散，從而冪級數的收斂域為

故，（3）．

解：

從而冪級數的收斂域為

設，則，由特征方程，得通解

再由得特解

（4），并求數項級數的和．

解：，當時發散，從而冪級數的收斂域為

設，則，作業33

函數展開成冪級數

1．將下列函數展開成麥克勞林級數（要指出其成立的區間）：

（1）；

解：

（2）；

解：

（3）；

解：

（4）(提示：利用)；

解：，（5）．

解：

2．將下列函數展開成的冪級數（要指出其成立區間）：

（1）；

解：

（2）．

解：

3．求下列函數的冪級數展開式，并確定其成立區間：

（1）；

解：

（2）．

解：

4．展開為的冪級數，并證明：．

解：

從而

作業34

傅里葉級數

1．下列周期函數的周期為，它在一個周期上的表達式列舉如下，試求的傅里葉級數展開式．

（1）；

解：

（2）；

解：

（3）；

解：

（4）．

解：

2．將下列函數展開成傅里葉級數：

（1）；

解：

（2）；

解：

3．將下列各函數分別展開成正弦級數和余弦級數：

（1）

解：展開成正弦級數，則作奇延拓，展開成余弦級數，則作偶延拓，（2）

解：展開成正弦級數，則作奇延拓，展開成余弦級數則，作偶延拓，作業35

一般周期函數的傅里葉級數

1．設是周期為6的周期函數，它在上的表達式為

試求的傅里葉展開式．

解：

2．在指定區間上展開下列函數為傅里葉級數：

解：取作周期延拖在限定即可，函數為偶函數，故

時

時

3．將函數

分別展開成正弦級數和余弦級數．

解：展開成正弦級數，則作奇延拓，展開成余弦級數，則作偶延拓，4．試將函數展開成周期為8的正弦級數．

解：展開成正弦級數，則作奇延拓，第十一章《無窮級數》測試題

1．選擇題：

（1）對級數，“”是它收斂的B

條件．

A．充分；

B．必要；

C．充要；

D．非充分且非必要．

（2）“部分和數列有界”是正項級數收斂的C

條件．

A．充分；

B．必要；

C．充要；

D．非充分且非必要．

（3）若級數絕對收斂，則級數必定

A

．

A．收斂；

B．發散；

C．絕對收斂；

D．條件收斂．

（4）若級數條件收斂，則級數必定

B

．

A．收斂；

B．發散；

C．絕對收斂；

D．條件收斂．

2．用適當的方法判定下列級數的斂散性：

（1）；

解：因為

從而該正項級數發散

（2）；

解：因為

從而該正項級數收斂

（3）；

解：因為

從而該正項級數收斂

（4）；

解：因為

從而該正項級數收斂

（5）；

解：因為

從而該正項級數發散

（6）；

解：因為

從而該正項級數發散

（7）；

解：因為

從而該正項級數發散

（8）；

解：設，則而，時，從而

收斂的必要條件滿足。

設，則同理可以推出

而的級數收斂，從而原正項級數也收斂

（9），其中均為正數，且；

解：用柯西判別法

當時發散，當時該正項級數收斂

當時不能判定斂散性。

（10）．

解：由積分中值定理，從而

有比較判別法收斂

3．判別下列級數的斂散性；若收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂：

（1）；

解：令，則時

從而單碟減少，又

從而以來布尼茨判別法收斂

但是，因此是條件收斂而不能絕對收斂

（2）；

解：

從而該級數是交錯級數，由于單碟減少且

從而以來布尼茨判別法收斂

但是，因此是條件收斂而不能絕對收斂

（3）；

解：因為

從而該級數絕對收斂

（4）．

解：去掉前面有限項即當足夠大時為交錯級數，由于，對足夠大的單碟減少且

從而以來布尼茨判別法收斂但不絕對收斂

4．求下列極限：

（1）；

解：由于單調增加且

從而

因此由夾逼準則

（2）．

解：令，由于

看

從而，因此

5．求下列冪級數的收斂半徑和收斂域：

（1）；

解：看，而因一般項極限不為零而發散

從而該冪級數的收斂半徑也為，收斂域為

（2）．

解：為收斂半徑

考慮端點，當時收斂域為；當時收斂域為；

當時收斂域為；

6．求下列冪級數的收斂域及其和函數：

（1）；

解：為收斂半徑

考慮端點則知收斂域為。

在收斂域內設，則

在收斂域內再設，則

（2）．

解：解：為收斂半徑

考慮端點則知收斂域為。

在收斂域內設，則

7．將下列函數展開成麥克勞林級數（要指出其成立的區間）：

（1）；

解：由于

（2）；

解：由于，從而

（3）．

解：由于，從而

8．將下列函數展開成的冪級數（要指出其成立區間）：

（1）；

解：

（2）．

解：，而

從而

9．將下列函數展開成傅里葉級數：

解：該函數為奇函數，延拓為周期的周期函數展開，當

10．將函數在區間上分別展開成正弦級數和余弦級數．

解：該函數延拓為奇函數，再延拓為周期的周期函數展開得正弦級數，；

該函數延拓為偶函數，再延拓為周期的周期函數展開得余弦級數，；