第十章

微分方程

作業20

微分方程基本概念

1．寫出下列條件所確定的微分方程：

（1）曲線在點處的法線與軸的交點為，且線段被軸平分；

解：法線方程為，法線與軸的交點

由已知

（2）曲線上任意點處的切線與線段垂直；

解：切線的斜率為，線段的斜率為

由已知

（3）曲線上任意點處的切線，以及點與原點的連線，和軸所圍成的三角形的面積為常數．

解：切線方程為，點與原點的連線為

切線與軸即直線的交點，由已知

2.．求曲線簇

所滿足的微分方程．

解：由已知，兩邊對自變量求導

兩邊再對自變量求導

3．潛水艇垂直下沉時所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潛水艇的質量為，且是在水面由靜止開始下沉，求下沉的速度所滿足的微分方程和初始條件．

解：由已知，作業21

可分離變量的微分方程

1．解微分方程．

解：微分方程即

分離變量

兩邊積分

從而

2.求解初值問題：

．

解：微分方程即

分離變量

兩邊積分

從而

由，3．當時，是比高階的無窮小量，函數在任意點處的增量+，且，求．

解：由已知，從而

分離變量

兩邊積分

由，4．解微分方程．

解：微分方程即

分離變量

兩邊積分

5．一曲線通過點（2，3），它在兩坐標軸之間的任意切線段均被切點所平分，求這曲線方程．

解：由已知

當

分離變量

兩邊積分

由，6．設有連接的一段向上凸的曲線弧,對于上任一點，曲線弧與直線段所圍成的面積為，求曲線弧的方程．

解：設曲線為

由已知

微分方程即

從而

由，作業22

齊次方程

1．解微分方程．

解：令則

微分方程，即，分離變量

兩邊積分

2．求解初值問題．

解：令則

微分方程，即，分離變量，兩邊積分

由，3．作適當的變量代換，求下列方程的通解：

（1）；

解：令

（2）；

解：令，則

再令，再令

從而

（3）．

解：令，則，分離變量，兩邊積分

4．求曲線，使它正交于圓心在軸上且過原點的任何圓（注：兩曲線正交是指在交點處兩曲線的切線互相垂直）．

解：可設在軸上且過原點的任何圓為，則

由已知曲線應滿足

令則，作業23

一階線性微分方程

1．解微分方程

．

解：對照標準的一階線性微分方程

2．解微分方程

．

解：微分方程即

3．解微分方程

．

解：觀察發現，微分方程等價為

4．求解初值問題，．

解：對照標準的一階線性微分方程，由，5．設曲線積分

在右半平面（內與路徑無關，其中可導，且，求．

解：由曲線積分在右半平面（內與路徑無關可知，由，6．解微分方程．

解：微分方程化為

令為一階線性微分方程

作業24

全微分方程

1．判別下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：

（1）；

解：因為且連續，從而該方程是全微分方程，從而

（2）；

解：方程即

因為且連續，從而該方程是全微分方程，方程右邊為某個函數的全微分，即

從而微分方程的通解為

（3）

．

解：因為且連續，從而該方程是全微分方程，從而該方程是全微分方程，方程右邊為某個勢函數的全微分，可用曲線積分法求一個來。

從而微分方程的通解為

作業25

可降階的高階微分方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

解：

（2）；

解：令

分離變量，兩邊積分，分離變量，兩邊積分

（3）；

解：令

分離變量，兩邊積分，分離變量，兩邊積分

(4).解：令

分離變量，兩邊積分，分離變量，兩邊積分，2．求解初值問題．

解：令

分離變量，兩邊積分，由，分離變量，兩邊積分，由，從而

3．設第一象限內的曲線對應于一段的長在數值上等于曲邊梯形：，的面積，其中是任意給定的，求．

解：由已知

由，作業26

線性微分方程解的結構

1．已知是齊次線性方程的一個解，求此方程的通解．

解：方程即

由劉維爾公式

由解的結構定理可知，方程的通解

2．若,，是二階非齊次線性微分方程（1）的線性無關的解，試用，表達方程（1）的通解．

解：由解的結構定理可知，均為對應的二階齊次線性微分方程的解，而且現行無關。

從而：由解的結構定理方程（1）的通解為

3．已知都是二階線性非齊次方程的解，求此方程的通解．

解：易知線性無關，從而為二階線性齊次方程的線性無關的特解，由解的結構定理，二階線性非齊次方程的通解為

作業27

二階常系數齊次線性微分方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

解：特征方程為

從而通解為

（2）；

解：特征方程為

從而通解為

（3）；

解：特征方程為

從而通解為

（4）．

解：特征方程為

從而通解為

2．求方程滿足所給初始條件，的特解．

解：特征方程為

從而通解為，由得

由，得

因此

3．設可微函數滿足方程，求．

解：由已知，特征方程為

從而通解為，由得

由，得

因此

作業

二階線性非齊次微分方程

1．求下列各方程的通解

（1）；

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式比較得

對比特征根，推得，從而

代入方程得

從而通解為

（2）；

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式比較得

對比特征根，推得，從而

代入方程得

從而通解為

（3）；

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式比較得

對比特征根，推得，從而

代入方程得,（4）；

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式

比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為

代入方程得

（5）．

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項利用解的結構定理知特解形式可設為

代入方程得

2．求方程滿足初始條件，的特解．

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式比較得

對比特征根，推得，從而

代入方程得

從而通解為，要的特解為

3．已知二階線性非齊次微分方程的三個特解為，．試求方程滿足初始條件，的特解．

解：由這個三個解的線性無關性，以及解的結構理論，得通解為，由得

及得

所要特解為

4．設，其中連續，求．

解：，對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式

比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為

代入方程得，由，由

因此

第十章《微分方程》測試題

1．填空題

（1）函數是常系數線性微分方程的解的充分必要條件是；

（2）曲線簇（為任意常數）滿足的一階微分方程是；

（3）已知二階線性齊次方程的兩個解，則該方程為；

（4）方程的通解為；

（5）設，都是方程的解，則方程的通解為．

2．求下列各方程的通解

（1）；

解：令，則

原方程化為，分離變量，兩邊積分得

從而

（2）；

解：原方程化為，從而

（3）；

解：令，則原方程化為，分離變量，兩邊積分得

從而

（4）；

解：令，則原方程化為，從而

（5）；

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式

比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為

代入方程得

（6）；

解：方程可化為，從而

因此

（7）；

解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式比較得

對比特征根，推得，從而

代入方程得

從而通解為

(8)

．

解：令，則

再令，再令

從而

即

3.設具有二階連續導數，且，并且

為一全微分方程，求．

解：由已知

對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式

比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為

從通解為，由,因此

4．已知方程有形如的解，試求出這個解．

解：因為

特征方程為

因而，這個解為

5．設函數在內具有連續導數，且滿足，求．

解：由極坐標

從而，即

由，得

6．設函數在實軸上連續，存在，且具有性質，試求出．

解：由已知

從而，因此，由于，故

7．設函數（）二階可導，且，過曲線上任一點作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形面積記為，區間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設恒為1．求此曲線的方程．

解:過曲線上任一點作該曲線的切線為

當，從而

由已知，令

從而，由于，因此