第八章

重積分

作業9

二重積分的概念與性質

1．利用二重積分的性質,比較下列積分的大小：

（1）與

(a)D是由直線及所圍成的閉區域；

(b)

D是由圓周所圍成的閉區域．

解：(a)因為在區域內部有，從而大

(b)因為在區域內部有，從而大

（2）與

(a)D是矩形閉區域：；

(b)

D是矩形閉區域：．

解：(a)因為在區域內部有，從而大

(b)因為在區域內部有，從而大

（3）與，其中是由三個坐標面與平面所圍成的閉區域．

解：因為在區域內部有，從而，因此大

2．利用積分的性質，估計下列各積分的值：

（1），其中D是矩形閉區域：；

解：因為在區域內部有，因此

（2），其中為球體；

解：因為在區域內部有，因此

（3），其中L為圓周位于第一象限的部分；

解：因為在曲線上積分，不妨設，因此

（4），其中為柱面被平面所截下的部分．

解：因為在曲面上積分，從而，因此

作業10

二重積分的計算

1．試將二重積分化為兩種不同的二次積分，其中區域D分別為：

（1）由直線及雙曲線所圍成的閉區域；

解：作圖得知區域D可以表示為：，得

區域D也可以分塊表示為：

從而

（2）環形閉區域：．

解：在極坐標下環形閉區域為

從而

在直角坐標下環形閉區域需分塊表達，分塊積分變為

2．改換下列二次積分的積分次序（填空）：

（1）；

（2）；

（3）．

3．畫出積分區域，并計算下列二重積分：

（1），其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區域；

解：作圖，原式=

（2），其中D是由所確定的閉區域；

解：作圖，原式=

（3），其中D是由不等式所圍成的閉區域；

解：作圖，原式=

（4），其中D是頂點分別為的三角形閉區域．

解：作圖，原式=

4．求由曲線所圍成的閉區域的面積．

解：曲線方程聯立，得

作圖知，原式=

5．求由四個平面所圍柱體被平面及

所截得的立體的體積．

解：四個平面決定的區域D為：

在區域D內部

從而所截得的立體的體積

6．化下列二次積分為極坐標系下的二次積分：

（1）

（2）；

7．利用極坐標計算下列積分：

（1），其中D是由圓周所圍成的閉區域；

解：D是圓周，即

從而

（2），其中是由圓所圍成的閉區域；

解：D是圓周圍成，知其為

從而原式=

（3），D是與所確定的閉區域；

解：D是圓環的關于原點對稱的兩部分，與

從而原式=

（由對稱性更簡單：因為，對稱點的積分微元反號）

（4），其中D是介于兩圓和之間的閉區域．

解：D介于兩圓之間，可知

從而原式=

8．用適當的坐標計算下列積分：

（1），其中是由直線，，（）所圍成的閉區域；

解：作圖知由直角坐標表達方便，（2），其中是由圓周所圍成的閉區域；

解：由表達式由極坐標表達方便，原式=

（3），D：；

解：先作坐標軸平移，再用極坐標

原式=

（4），D：．

解：用廣義極坐標

原式=

作業11

三重積分的概念與計算

1．試將三重積分化為三次積分，其中積分區域分別為：

（1）由雙曲拋物面及平面所圍的閉區域；

（2）由曲面及所圍的閉區域

．

2．計算下列三重積分：

（1），其中為平面，所圍成的四面體；

解：分析邊界作圖知為，原式=

（2），其中是由曲面與平面所圍的閉區域；

解：分析邊界作圖知為，原式=

（3），其中是由平面及拋物柱面所圍的閉區域．

解：分析邊界作圖知為，原式=

3．利用柱面坐標計算下列三重積分：

（1），其中是曲面和平面所圍成的閉區域；

解：原式

（2），其中是曲面及所圍成的閉區域；

解：原式

（3），其中是曲面和平面所圍成的閉區域；

解：原式

（4），其中是曲面和平面所圍成的閉區域．

解：先作坐標軸平移，再用柱坐標

原式

=

4．利用球面坐標計算下列三重積分：

（1），其中是球面所圍成的閉區域；

解：

原式

（2），其中是由不等式（），所確定的閉區域；

解：

原式

（3），其中是不等式，所確定的閉區域．

解：

原式

5.選取適當的坐標計算下列三重積分：

（1），其中是柱面及平面，所圍成的在第一卦限內的閉區域；

解：用柱坐標

原式=

（2），其中是球面所圍的閉區域；

解：用球坐標

原式

（3），其中是由曲面及平面所圍的閉區域；

解：用柱坐標

原式=

（4），其中是球面所圍的在第一卦限內的閉區域；

解：用球坐標

原式

（5），其中是橢球面所圍成的閉區域．

解：用廣義球坐標

原式

作業12

重積分的應用

1．球心在原點，半徑為的球體，在其上任意一點的體密度與該點到球心的距離成正比，求這球體的質量．

解：設球面的方程為，球的密度為

則球體的質量為

2．求球體的質心，這里假設球體內各點處的密度等于該點到坐標原點的距離的平方．

解：由對稱性，質心應該在z軸上，可設為，3．設均勻平面薄片為橢圓形閉區域：，求轉動慣量．

解：用廣義極坐標

4．設半徑為的球體內每一點密度的大小與該點到球心的距離成正比，求質量為非均勻球體對其直徑的轉動慣量．

解：設球面的方程為，球的密度為

則球體對其直徑的轉動慣量為

5．求面密度為常數的均勻圓環形薄片：對位于軸上的點處的單位質量的質點的引力．

解：設環域上點處的單位面積產生的引力微元為，由對稱性

6．一均勻物體（密度為常量）占有的閉區域由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的體積；（2）求物體的質心；（3）求物體關于z軸的轉動慣量．

解：

由對稱性，質心應該在z軸上，可設為，第八章《重積分》測試題

1．選擇以下各題中給出的四個結論中一個正確的結論：

（1）設有空間閉區域，則有（D）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

（2）設平面閉區域，則（A）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

（3）設是有界閉區域上的連續函數，則當時，得極限為（B）.A.不存在；

B.等于

C.等于

D.等于．

2．選擇適當的坐標系計算下列二重積分：

（1），是由直線所圍成的區域；

解：作圖，分塊積分。

原式

（2），其中D是由和所圍成；

解：作圖，分塊積分。

原式

（3），其中；

原式=

（4），其中D是由和所圍成的平面區域，且；

解：作圖知沒有用上

原式

（5），D：；

解：作圖知，分塊積分區別處理較方便

原式

3．交換下列二次積分的次序：

（1）；

（2）；

（3）．

4．將變為極坐標形式的二次積分，其中D由不等式和所規定．

解：由，從而

5．計算，其中D是矩形域：．

解：作圖，需要分塊積分

原式

6．計算，其中由所圍．

解：作圖或分析推理，得：

原式

7．將三次積分變為柱坐標及球坐標的形式．

解：由上下限知

從而由坐標轉化公式可推出區域表達式，因此得出

在柱坐標下

在球坐標下

8．計算，其中:．

解：由知:

從而，原式

9．計算下列三重積分：

（1），是由球面所圍成的閉區域．

解：由于當時就有，而積分微元在對稱點剛好反號，從而

（2），其中是由xOy平面上曲線繞軸旋轉而成的曲面與平面所圍成的閉區域．

解：曲線繞軸旋轉而成的曲面為，與平面的交線為，所圍成的閉區域為

10．求平面被三坐標面所割出的有限部分的面積．

解：平面為

11．設在上連續，試證：，其中為正整數．

證：左邊

=右邊

12．求曲面上點處的切平面與曲面所圍成的空間立體的體積．

解：切平面的法向量為

從而切平面為

切平面與曲面的交線為投影柱面交切平面，13．一平面薄片所占的閉區域由不等式：所確定，其上每一點的面密度為，試求該薄片的質量．

解：，用極坐標做方便些

求交點，14．求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數）對于直線的轉動慣量．

解：

15．設在面上有一質量為M的勻質半圓形薄片，占有平面閉區域，過圓心垂直于薄片的直線上有一質量為的質點，求半圓形薄片質點的引力．

解：，由對稱性，