第一篇：高數積分總結

高數積分總結

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質

定義1：如果在區間I上，可導函數F（x）的導函數為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的原函數。定義2：在區間I上，函數f（x）的帶有任意常數項的原函數稱為f（x）（或者f(x)dx）在區間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質1：設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質2：設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調的、可導的函數，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數???(x)及???(x)具有連續導數。那么，兩個函數乘積的導數公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數可以化做有理函數。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質

（1）定義：設函數f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區間?a,b?分成n個小區間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數值f(?i)與小區間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(簡稱積分)，記作

f(x)在區間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區間。

f(x)在區間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區間?a,b?上連續，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質1：

性質2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數)

性質3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質4：如果在區間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質5：如果在區間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質6：設M及m分別是函數最小值，則

f(x)在區間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質7(定積分中值定理)：如果函數f(x)在積分區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數及其導數

定理1：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則積分上限的函數

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則函數

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區間?a,b?上的一個原函數。

f(x)在區間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數F(x)是連續函數數，則

?(1)定積分的換元法 定理： 假設函數?(α)=a,?(β)=b;

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

f(x)在區間[a,b]上連續，函數x=?(t)滿足條件: ?(t)在[α,β]上具有連續導數，且其值域R?=[a,b],則有

?baf(x)dx??f[?(t)]?(t)dt??'

(1)公式(1)叫做定積分的換元公式(2)定積分的分部積分法

依據不定積分的分部積分法，可得

?uvdx?[uv]??vdu'aba

三、反常積分

（一）無窮限的反常積分 bab

定義1 設函數法f(x)在區間[a,??)上連續，取t>a,如果極限

lim?t???taf(x)dx

存在，則稱此極限為函數f(x)在無窮區間[a,??)上的反常積分，即

???af(x)dx?limt????taf(x)dx

（二）無界函數的反常積分

定義2 設函數f(x)在(a,b]上連續，點a為f(x)的丅點。取t>a,如果極限

lim?t?ba?tf(x)dx

b存在，則稱此極限為函數f(x)在(a,b]上的反常積分，仍然記作?a即

f(x)dx，?例題 討論反常積分baf(x)dx=

lim?t?ba?tf(x)dx

1?1?dxx的收斂性。21解：被積函數（fx）=x在積分區間[-1,1]上除x=0外連續，且由于

2limx?01x2??

?即反常積分

0dx?1x21?lim(?)?1???xx?0

?0dx?1x2發散，所以反常積分

?1dx?1x2發散

定積分?abf?x?dx的積分區間?a，b?是有限區間，又f?x?在?a，b?上是有界的，如果積分區間推廣到無窮區間或f?x?推廣到無界函數，就是兩種不同類型的反常積分：

1.無窮區間上的反常積分（1）概念 定義：?a??f?x?dx?lim?f?x?dxb???ab

f?x?dx??若極限存在，則稱反常積分?a??是收斂的，它的值就是極

是發散的，而發散的限值；若極限不存在，則稱反常積分?反常積分沒有值的概念.af?x?dx??b??f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab

??同樣有收斂和發散的概念，收斂的反常積分有值的概念.????f?x?dx??f?x?dx????ccf?x?dx

?lim?f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab???ccb

同樣有收斂和發散的概念，收斂的反常積分有值的概念，值得注意：判斷?要求???c????f?x?dx的收斂性不能用

f?x?dxR????Rlim?Rf?x?dx的極限存在性.必須

??f?x?dx和?c??兩個反常積分都收斂，才能知道?????f?x?dx是收斂的，但是如果已經知道?么計算R?????RlimR??f?x?dx是收斂的，而求它的值，那f?x?dx是可以的.（2）常用公式 ???11??, p?1收斂，dx?p?1?xp?? p?1發散，dx?x(lnx)p?1?????e1??, p?1收斂，du??p?1up?? p?1發散，???a?收斂(?＞0）xke??xdx??發散(??0），(k?0）

2.無界函數的反常積分（瑕積分）（1）概念： ①設baf?x?limf?x????[a，b)x?b在內連續，且，則稱b為f?x?的瑕點，b???o?af?x?dx?lim???定義

f?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?a若極限不存在，則稱反常積分?a的概念.②設f?x?bbf?x?dx收斂，且它的值就是極限值.f?x?dx發散，發散的反常積分沒有值

lim?f?x???(a，b]x在內連續，且?a，則稱a為f?x?的瑕點，b?0?a??f?x?dx?lim???定義af?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?abf?x?dx收斂，且它的值就是極限值，f?x?dx?若極限不存在，則稱反常積分發散，它沒有值.a③設的瑕點，f?x?limf?x???[a，c)(c，b]在和皆連續，且x?C，則稱c為f?x?定義cbC??1ac?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?lim???1?0af?x?dx?lim???2?0bC??2f?x?dx

(值得注意：這里判別收斂性時，?1和?2要獨立地取極限，不能都???0用來代替)

f?x?dx?若上面兩個極限都存在時才稱反常積分是收斂的，否則

ab反常積分?abf?x?dx發散.dx?收斂(q＜1時）?0xq??發散(q?1時）1（2）常用公式：1

1dxdxq?q?0x?1）類似地考慮（和?1x

最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運算法則和極限的運算法則就可以得到反常積分的運算法則.(乙)典型例題

一、用常規方法計算定積分 【例1】 求下列定積分（1）?0（3）?02?x2cosxdx（2）?0

2?23xarctanxdx

ln2ex?1dx2?解（1）?02?xcosxdx=?xdsinx?xsinx0?2?xsinxdx002?2?222?2?

＝2?xdcosx?2xcosx0?2?cosxdx00 ＝4??2sinx0?4?2?

（2）?3013x213x232xarctanxdx??arctanxdx?arctanx0??dx2002221?x

313?1?arctan3???1?dx2?02?1?x? ＝2?＝2?12?3?arctanx03???2?31?2?3???22332

（3）令dx?ex?1?t,x?ln?t2?1?

2tdt,x?02t?1時t?0；x?ln2時，t?1

于是?ln201?2t21?e?1dx??2dt?2??1?dt2?0t?10?1?t? x11???2[t?arctant]0?2?1???4? ＝【例2】 計算下列定積分（分段函數）（1）??1（3）??231x2?3xdx（2）

0?e1elnxdx

min?1,x2?dx1解（1）??1（2）＝x2?3xdx??1?1?x2?3x?dx???x2?3x?dx?30e11

?e1elnxdx??1??lnx?dx??lnxdxe

??xlnx?x?1??xlnx?x?1?2??1?1ee?1??e?

3（3）?3?2min?1,x2?dx??dx??x2dx??dx??2?11?11113

二、用特殊方法計算定積分 【例1】 計算下列定積分

?（1）I??20f(sinx)dxf(sinx)?f(cosx)

（f為連續函數，f(sinx)?f(cosx)?0）

?（2）I??4ln(1?tanx)dx0

解（1）令?x=p-t2，則

I??20?f(cost)??dt,2I??2dt?,I?0f(cost)?f(sint)24

（2）令0x=p-t4，則

?2?1?tant?4I???ln?1?d(?t)?lndt??01?tant1?tant??4

?＝4ln2?I,2I??4ln2,I??8ln2

f?x??lnx??f?x?dx1e【例2】 設連續函數f?x?滿足e，求?1ef?x?dx

解 f?x?dx?A?令，則f?x??lnx?A，1兩邊從1到e進行積分，得

?e1f?x?dx??lnxdx??Adx?(xlnx?x)1?A(e?1)11eee

于是

A?e?(e?1)?A(e?1),eA?1,A?e1e

則

?1f?x?dx?1e

三、遞推公式形式的定積分 【例1】

設

In??sinnxdx?n?01，2，?2?0

求證當n?2時，求In 解

（1）

In?n?1In?2n

In??sin2?n?10xd??cosx???sin?2n?1xcosx??cosxd?sinn?1x?22??00

??n?1??cosxsin20n?2xdx??n?1???1?sin2x?sinn?2xdx2?0

??n?1?In?2??n?1?In

nIn??n?1?In?2?2，則

?2In?n?1In?2?n?2?n

?2（2）I0??dx?0，I1??sinxdx?10

當n?2k，正偶數時，In?I2k?2k?12k?12k?3I2k?2?　　2k2k2k?21　I02

2k?!?2k?!????　　?2k　　22k22?k!?2?2k!?

2I13 當n?2k?1，正奇數時，In?I2k?1?2k2k2k?2I2k?1?　　2k?12k?12k?122k!???k22k?k!?　?　?2k?1?!?2k?1?!2

2【例2】 設

Jn??cosnxdx?n?01，2，?0?，2，?，求證：Jn?In?n?01

????2x??t，Jn???cos??t?d??t???sinntdt022?2?證

令

?0n1，2，??n?0，則

Jn?In 【例3】 設求證：Kn?Kn??tan2nxdx ?n?1，2，3，4?0?

1?Kn?12n?1

2，3，??n?1，求Kn

解（1）Kn??tan4?2?n?1?0x?sec2x?1?dxxdtanx?Kn?1

（2）??tan4?2?n?1?0

??41?Kn?12n?1

2?42K1??tanxdx?　secx?1?dx??00

4??tanx?x? ?1?40

，??

1???1?1????K2???1??，K3?????1???3?4?5?3?4??

當n?3，正整數時

Kn???1?n?4???1?n?1k?1n??1????1???2k?1???k?2?

四、重積分

（一）二重積分的性質與概念

定義：設D是錯誤！未找到引用源。面上的有界閉區域，錯誤！未找到引用源。在D上有界，將區域D任意分成n個小閉區域錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。既表示第i個小閉區域又表示它的面積，在每個小區域錯誤！未找到引用源。上任意取一點錯誤！未找到引用源。，作n個乘積錯誤！未找到引用源。，然后作和式

記錯誤！未找到引用源。，如當錯誤！未找到引用源。時，以上和式有確定的極限，則稱該極限為錯誤！未找到引用源。在區域D上的二重積分，記作錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。，即

其中錯誤！未找到引用源。稱為被積函數，錯誤！未找到引用源。稱為被積表達式，錯誤！未找到引用源。稱為面積元素，錯誤！未找到引用源。稱為積分變量，D稱為積分區域，錯誤！未找到引用源。稱為積分和式 幾何意義

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于以區域D為底，曲面錯誤！未找到引用源。為頂的曲頂柱體體積；

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于以上所說的曲頂柱體體積的相反數；

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于區域D的面積。

1.二重積分的性質

存在性：若錯誤！未找到引用源。在有界閉區域D上連續，則錯誤！未找到引用源。存在 線性性質：

區域可加性

設錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。只在它們的邊界上相交，則：

有序性

若在區域D上錯誤！未找到引用源。，則有：

特殊地，有

估值不等式

設錯誤！未找到引用源。在區域D上有最大值M，最小值m，錯誤！未找到引用源。是D的面積，則有：

積分中值定理

設函數錯誤！未找到引用源。在有界閉區域D上連續，錯誤！未找到引用源。是D的面積，則至少存在一點錯誤！未找到引用源。，使

錯誤！未找到引用源。

例1 試用二重積分表示極限錯誤！未找到引用源。.解：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.例2 估計錯誤！未找到引用源。的值，其中錯誤！未找到引用源。解：因為錯誤！未找到引用源。，積分區域錯誤！未找到引用源。，在D上錯誤！未找到引用源。的最大值錯誤！未找到引用源。，最小值錯誤！未找到引用源。，故:

（二）二重積分的計算

（一）直角坐標系 X型區域

將區域D投影到x軸上，投影區間為錯誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯誤！未找到引用源。，則D表示為：

y型區域

將區域D投影到y軸上，投影區間為錯誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯誤！未找到引用源。，則D表示為：

例1 計算所圍成的閉區域。解：，其中D是由直線錯誤！未找到引用源。

（三）二重積分的計算

（二）極坐標系

極點在D外，則D:

極點在D的邊界上，則D:

極點在D內：

例1 計算錯誤！未找到引用源。，其中D為由圓錯誤！未找到引用源。及直線錯誤！未找到引用源。所圍成的平面閉區域 解： 因為

所以

五、曲面和曲線積分

（一）對弧長的曲線積分（又稱第一類曲線積分）

1、定義

nn? Lf(x,y)ds?lim??0?f(?,?)?s，?iiii?1 ?f(x,y,z)ds?lim?f(?i,?i,?i)?si

??0i?

12、物理意義 線密度為?(x,y)的曲線L質量為M?? L?(x,y)ds

線密度為f(x,y,z)的曲線?質量為M?? ?f(x,y,z)ds

3、幾何意義 曲線L的弧長s?? Lds，曲線?的弧長s?? ?ds

4、若L：f(x,y)?k（常數），則? Lf(x,y)ds?? Lkds?k? Lds?ks

5、計算（上限大于下限）（1）? ?L:x??(t),y??(t),22 ???t???X，則? Lf(x,y)ds??f??(t),?(t)????(t)?????(t)?dt

（2）L：y??(x)（3）L：x??(y)則?f(x,y(x0?x?X)，)ds??[f,x(?)]x1Lx0Y?(?)?2xdx

2??(?)y.dy

(y0?y?Y)，則?f(x,y)ds??f[?(),y]y1Ly0（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(??t??)，則 ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt??(???)

(二)、對坐標的曲線積分

1、定義

? LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim??0??P(?,?)?xiii?1ni?Q(?i,?i)?yi?

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?,?,?iii?1ni)?xi?Q(?i,?i,?i)?yi?R(?i,?i,?i)?zi?

2、計算（下限對應起點，上限對應終點）（1）L:x??(t),y??(t),?t:????，則

?（LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

??2）baL：

y??(x)?t:x0?X??t:y0?Y?，則?LPdx?Qdy??{Px?[x?Q,x?x?(?xdx)

（3）dcL：

x??(y)，則?LPdx?Qdy??{P?y[y??y(?Q?y)ydy，（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(t:???)，則

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt

??

3、兩類曲線積分之間的聯系

?LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds

L?(x,y),?(x,y)為有向曲線弧L上點(x,y)處的切線向量的方向角。其中，??Pdx?Qdy?Rdz??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?其中?(x,y,z),?(x,y,z),?(x,y,z)為有向曲線弧?上點(x,y,z)處切向量的方向角。

(三)、格林公式及其應用

1、格林公式 個邊界曲線

2、平面上曲線積分與路徑無關的條件（D為單連通區域）??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy 其中L是D的取正向的整L?x?y定理 設D是單連通閉區域，若P(x,y),Q(x,y)在D內連續，且具有一階連續偏導數，則以下四個條件等價：

(i)沿D內任一按段光滑封閉曲線L，有?LPdx?Qdy?0；

(ii)對D內任一光滑曲線L，曲線積分?LPdx?Qdy與路徑無關，只與L的起點和終點有關；(iii)Pdx?Qdy是D內某一函數u(x,y)的全微分，即在D內有du?Pdx?Qd；y

(iv)在D內處處成立

注 若(x,y)(x0,y0)?P?Q? ?y?x?P?Q?x?D?y?x 則

Pdx?Qdy的全微分u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy：

xyx0y0u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dyu(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx

y0x0yx

或

(四)、對面積的曲面積分

1、定義

?f(?,?,?)?S ??f(x,y,z)dS?lim???0iiiii?1n2、物理意義： ??f(x,y,z)dS表示面密度為f(x,y,z)的光滑曲面?的質量。?

3、幾何意義

曲面?的面積S???dS

?

4、若?：f(x,y,z)?k（常數），則??f(x,y,z)dS=??kdS=k??dS=kS

???

5、計算（一投、二代、三換元）（S1）D?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，則

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))（2）Dxz221?zx?zydxdy

?:y?y(x,z)22，(x,z)?Dxz，則???f(x,y,z)dS????f[x,y(x,z),z]1?y?;x?yzdxdz?：x?x(y,z)（?3）Dyz，(y,z)?Dyz，則??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]2?21?x?y?xzdydz。(五)、對坐標的曲面積分

1、定義

?R(?,?,?)(?S)??R(x,y,z)dxdy?lim???0iiii?1nixy

?P(?,?,?)(?S)??P(x,y,z)dydz?lim???0iiiii?1nyz?Q(?,?,?)(?S)??Q(x,y,z)dzdx?lim???0iiiizxi?1n2、物理意義

流量????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy。

?????P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??dS????vdS

?

3、計算（一投、二代、三定號）

?:z?z(x,y)，（1）則??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)?Dxy，?Dxy側取正，下側取負）

（2）則??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)?Dxz，?:x?x(y,z)，?Dyz側取正，后側取負）

（3）?:y?y(z,x)(y,z)?Dyz，則??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx（右

?Dzx側取正，左側取負）

4、兩類曲面積分之間的聯系

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS，??dS?dydzdzdxdxdy?? cos?cos?cos?其中cos?,cos?,cos?為有向曲面Σ上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦(六)、高斯公式

1、高斯公式

?P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ?x?y?z?????(??,?,?是?上點(x,y,z)處的法向量其中?為?的整個邊界曲面的外側，的方向角。

????

2、通量 向量場A?Pi?Qj?Rk，沿場中有向曲面Σ????0????A?dS???A?ndS???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?稱為向量場A(x,y,z)向正側穿過曲面Σ的通量 ??????P?Q?R????

3、散度 設A?Pi?Qj?Rk，則divA??

?x?y?z(七)、斯托克斯公式

1、Stokes公式

dydzdzdxdxdy?????x?y?zPQRcos???xPcos???yQ?????(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy ?y?z?z?x?x?y=???cos???R?Q??Q?P?P?R??)cos??(?)cos??(?)cos??dSds=???(?y?z?z?x?x?y?z???R??Pdx?Qdy?Rdz

?其中有向曲線?是有向曲面?的整個邊界，且滿足右手系法則

2、環流量 向量場A?Pi?Qj?Rk沿場A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分???????CA?ds??CPdx?Qdy?Rdz稱為向量場A沿曲線C按所取

ij??yQk??dS ?zR方向的環流量。環流量??i?

3、旋度

向量?xPj??yQ?CA?ds??????xPk?????為向量場A?Pi?Qj?Rk的旋度(rotA)。?zRi?旋度

rotA??xPj??yQk??R?Q??P?R??Q?P??(?)i?(?)j?(?)k.?z?y?z?z?x?x?yR

第二篇：高數積分總結

高數積分總結

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質

定義1：如果在區間I上，可導函數F（x）的導函數為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的原函數。定義2：在區間I上，函數f（x）的帶有任意常數項的原函數稱為f（x）（或者f(x)dx）在區間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質1：設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質2：設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調的、可導的函數，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數???(x)及???(x)具有連續導數。那么，兩個函數乘積的導數公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數可以化做有理函數。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質

（1）定義：設函數f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區間?a,b?分成n個小區間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數值f(?i)與小區間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(簡稱積分)，記作

f(x)在區間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區間。

f(x)在區間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區間?a,b?上連續，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質1：

性質2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數)

性質3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質4：如果在區間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質5：如果在區間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質6：設M及m分別是函數最小值，則

f(x)在區間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質7(定積分中值定理)：如果函數f(x)在積分區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數及其導數

定理1：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則積分上限的函數

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則函數

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區間?a,b?上的一個原函數。

f(x)在區間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數F(x)是連續函數數，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

第三篇：高數積分總結

第四章 一元函數的積分及其應用

第一節 不定積分

一、原函數與不定積分的概念

定義1.設f(x)是定義在某區間的已知函數，若存在函數F(x)，使得F?(x)或dF?f(x)(x)?f(x)dx,則稱F(x)為f(x)的一個原函數

定義2.函數f(x)的全體原函數F(x)?C叫做f(x)的不定積分，記為:

?f(x)dx?F(x)?C

f(x)叫做被積函數 f(x)dx叫做被積表達式 C叫做積分常數

“?其中

”叫做積分號

二、不定積分的性質和基本積分公式

性質1.不定積分的導數等于被積函數，不定積分的微分等于被積表達式，即

?f(x)dx??f(x)；d?f(x)dx?f(x)dx.?性質2.函數的導數或微分的不定積分等于該函數加上一個任意函數，即

??f?(x)dx?f(x)?C,或?df(x)?f(x)?C

性質3.非零的常數因子可以由積分號內提出來，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k?0).性質4.兩個函數的代數和的不定積分等于每個函數不定積分的代數和，即

??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx

基本積分公式(1)?kdx?kx?C(k為常數)(2)?x?dx?1??1x??1?C(???1)1(3)?dx?lnx?C x

(4)?exdx?ex?C(6)?cosxdx?sinx?C(8)?sec2xdx?tanx?C(10)?secxtanxdx?secx?C(12)?secxdx?lnsecx?tanx?C(14)?(16)?11?x11?x2(5)?axdx?axlna?C(7)?sinxdx??cosx?C(9)?csc2xdx??cotx?C

(11)?cscxcotxdx??cscx?C

(13)?cscxdx?lncscx?cotx?C(15)? 11?x22dx?arctanx?C dx?arcsinx?C dx?arcsinx?C

三、換元積分法和分部積分法

定理1.設?(x)可導，并且f(u)du?F(u)?C.則有

??f[?(x)]??(x)dxF(u)?C湊微分?f[?(x)]d?(x)令u??(x)

?f(u)du代回u??(x)F(?(x))?C該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設x數F??(t)是可微函數且??(t)?0，若f(?(t))??(t)具有原函(t)，則

x???t?換元?f?x?dx ?f????t??????t?dt積分F?t??Ct???1?x?回代?1F???x?????C.該方法叫第二換元積分法

選取u及v?(或dv)的原則:

1)v 容易求得;2)?u?vdx比?uv?dx

解題技巧: 選取u及v?的一般方法:

把被積函數視為兩個函數之積 ,按 “ 反對冪指三” 的順序，第二節 定積分概念

一、原函數與不定積分的概念

二、定積分的定義和存在定理

三、定積分的幾何意義與定積分的性質 1．定積分的幾何意義 2.定積分的性質

性質1.?b[f(x)?g(x)]dx?bf(x)dx??bg(x)dx

?aaa性質2.b?akf(x)dx?k?af(x)dx

(k是常數).前者為u后者為v?..b性質3.性質4.??af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx.babcbf(x)dx??adx?b?a.b f(x)dx??af(x)dx?abb推論1.如果在[a,b] 上，f(x)?g(x),則bf(x)dx?bg(x)dx(a

(a?b).性質6.設M與m分別是函數

f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，則

m(b?a)??abf(x)dx?M(b?a)(a?b).性質7.(定積分中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]]上至少存在一點?，使下式成立：

?af(x)dx?f(?)(b?a)(ab???b)

可積的充分條件:

定理1.函數f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]可積.定理2.函數f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]可積.第三節 微積分基本公式

一、微積分基本公式 1.變上限函數

定義1.設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則它在[a,b]任意一個子區間[a,x]上可積，則

?(x)?xf(t)dx

(a?x?b)

?a是上限變量的函數，稱此函數為積分上限函數，也稱為變上限函數.2.微積分基本公式

定理2.bf(x)dx?F(b)?F(a)x?a

1.定積分的換元積分法

定理3.bf(x)dx??f??(t)???(t)dt ???a

注：設f(x)在[?a,a]上連續,證明

(1)若f(x)在[?a,a]為偶函數，則 af(x)dx=2af(x)dx；

??a?0(2)若f(x)在[?a,a]上為奇函數，則 af(x)dx=0.??a2.定積分的分部積分法

定理4.budv?[uv]b?bvdu ?aa?a 第四節

定積分的應用（這點跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=~）

一、定積分的微元法 其實質是找出A的微元dA的微分表達式.b

二、定積分在幾何中的應用 1.平面圖形的面積 A??af(x)dx.2.旋轉體的體積V?bA(x)dx ?a

三、定積分在物理上的應用 1.變力做功W?bF(x)dx

?a2.液體靜壓F?bg?xf(x)dx ?a

四、定積分在醫學上的應用

第四篇：高數下冊各類積分方法總結

綜述：高數下冊，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個人認為，拿到題后，首先應用對稱性把運算簡化，線積分的對稱性，不太常用，可以參照面積分的對稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時針為正方向，面積分以坐標軸正向為正方向。二重積分 對稱性：

積分區間D關于X軸對稱：被積函數是關于Y的奇函數，則結果為0：

被積函數是關于Y的偶函數，則結果為在一半區間上積分的2倍 方法：分別對x、y積分，將其中一個變量寫成另一個的表達形式||極坐標換元 三重積分 對稱性：

積分區間Ω關于xy面對稱：被積函數是關于z的奇函數，則結果為0；

被積函數是關于z的偶函數，則結果為在一半區間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重（極坐標）||柱坐標||球坐標

第一類線積分

x,y,z型：具有關于參數t的表達試，用基本公式，轉化成關于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關于x的函數，轉化成關于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉化成第一類線積分

2、有參數t，可以轉化成關于t的積分

3、將y表示為關于x的函數，轉化成關于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構造，可采用格林公式轉化為二重積分 另：注意與路徑無關的積分

第一類面積分 對稱性：

積分曲面關于XY面對稱：被積函數是關于z的奇函數，則結果為0：

被積函數是關于z的偶函數，則結果為在一半曲面上積分的2倍

計算方法：常規的話，只有一種，轉化為關于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對稱性:

積分曲面關于XY面對稱：被積函數是關于z的偶函數，則結果為0：

被積函數是關于z的奇函數，則結果為在一半曲面上積分的2倍（注意區別于第一類）計算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉化成第一類面積分

2、轉化為二重積分，直接在前面添正負號即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構造的，所以注意減掉構造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉化為第二類線積分，不常用

PS：用函數表達式，可以化簡線面積分的被積函數，另有積分相關考點，旋度，散度，質量，質心，轉動慣量，求曲面側面面積，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復習，牢記公式，一定可以渡過積分這個難關~

第五篇：高數總結

高數總結

公式總結：

1.函數

定義域

值域

Y=arcsinx

[-1,1]

[-π/2, π/2] Y=arccosx

[-1,1]

[0, π] Y=arctanx

(-∞，+∞)

（-π/2, π/2）Y=arccotx

(-∞，+∞)

(0, π)Y=shx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數，遞增

Y=chx

(-∞，+∞)

[1, +∞)偶函數，(-∞，0)遞減 Y=thx

(-∞，+∞)

(-1,1)奇函數，遞增

Y=arshx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數，遞增 Y=archx

[1，+∞)

[0，+∞)遞增

Y=arthx

(-1,1)

奇函數，遞增 2.雙曲函數和反雙曲函數：

shx = [(e^x-e^(-x))/2，sh(x+y)=shxchy+chxshy(shx)' =chx

sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = [(e^x + e^(-x)]/2

ch(x+y)=chxchy+shxshy ,(chx)' =shx

ch(x-y)=chxchy-shxshy thx = shx / chx，(chx)^2-(shx)^2=1(thx)' = 1/(chx)^2

sh2x=2shxchx arsh x = ln[ x+(x^2+1)^(1/2)]

ch2x=(chx)^2+(shx)^2 ,(arsh x)' = 1/(x^2+1)^(1/2)arch x = ln[ x+(x^2-1)^(1/2)] ,(arch x)' = 1/(x^2-1)^(1/2)arth x =(1/2)[ ln(1+x)/(1-x)],(arth x)' = 1/(1-x^2)我只記得考了幾個這里的公式，不過不記得是哪次考試了，所以就給你們寫上咯

3.對于x趨近于∞，f(x)/g(x)的極限，f(x)和g(x)均為多項式時，分子分母同時除以其中x的最高次項，利用x趨近于∞時，由1/(x^k)的極限為0（k>0）,可以求得結果。4.極限存在準則：

夾逼準則:證明極限存在并求得極限

單調有界準則：僅用于證明極限存在，對于有遞推式的數列比較常用。一般都是先根據單調有界準則證明極限存在 P54例3 P55例5 5.兩個重要極限：

（1）當x趨近于0時，sinx/x的極限等于1（2）當x趨近于∞時，（1+1/x）^x的極限為e,也可以說當x趨近于0時，(1+x)^(1/x)的極限為e,但是不能說當x趨近于0時，（1+1/x）^x的極限為e.要求（1+在x趨近于∞或0時，該部分極限為0），指數部分為∞ 6.無窮小的比較：

b/a的極限為0，則稱b是比a高階的無窮小，b=o(a)b/a的極限為∞，則稱b是比a低階的無窮小 b/a的極限為常數，則為同階無窮小，常數為1，為等價無窮小，記作a~b b/a^k的極限為常數（k>0）,則稱b是a的k階無窮小 7.等價無窮小：

Sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~(1/2)x^2

ln(1+x)~x

e^x-1~x

a^x-1~xlna

(1+x)^a-1~ax

(1+ax)^b-1~abx

tanx-x~(1/3)x^3

x-sinx~(1/6)x^3

loga(x+1)~x/lna

加減運算時不能用等價無窮小，乘除的時候可以。如P61例5 8.函數的連續與間斷：

函數f(x)在某點連續的充要條件為f(x)在該點處既左連續又右連續。函數的各種間斷點以及間斷點的條件要記住。我們上一年有考這種題。P64-P68 9.函數在某點可導的充要條件為函數在該點的左右導數均存在且相等。

如果函數在某點可導，則它在該點處連續。逆命題不成立。10.熟記函數的求導法則： P96-97初等函數的求導法則。

反函數的導數等于直接函數導數的倒數。會求復合函數的導數。11.n階導：

X ln(1+x)的n階導=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n

sinkx

=(k^n)sin(kx+nπ/2)

coskx

=(k^n)cos(kx+nπ/2)

1/x

=[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]

x^a

=a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)

a^x

=a^x(lna)^n

e^x

=e^x

lnx

=[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n

1/(ax+b)

=[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]

u(ax+b)

=a^n(ax+b)u(n)

u(n)為u的n階導

cu(x)

=cu(x)(n)

u(x)(n)為u(x)的n階導

u(x)+-v(x)

=u(x)(n)+-v(x)(n)

v(x)(n)為v(x)的n階導

x^n

=n!

x^n的（n+1）階導為0 至于萊布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心還是背會吧，同情你們。

12.隱函數的導數：

求隱函數的導數時，只需將確定隱函數的方程兩邊對自變量x求導。（1）對數求導法：注意x=e^(lnx)的化簡

（2）參數方程表示的函數的導數：一階導和二階導的公式都要記住。（3）極坐標表示的函數的導數：同參數都需把公式記住或者自己會推導。（4）相關變化率：以應用題的形式出現，看一下書上的例題P111-112。13.函數的微分：重要

熟記基本初等函數的微分公式，考試會考，而且同求導法則一樣，在下學期的高數中可能會有用。P117

應用題中，可用微分 dA近似代替△A。復合函數的微分：dy=f’(u)du 14.函數的線性化：

L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)稱為f(x)在點x0處的線性化。近似式f(x)≈L(x)稱為f(x)在點x0處的標準線性近似，點x0稱為該近似的中心。

常用函數在x=0處的標準線性近似公式：

（1+x）^(1/n)≈1+x/n sinx~x(x為弧度)tanx~x(x為弧度)e^x~1+x ln(1+x)~x 常用于估計某式的近似值。15,誤差計算： P123表格

16.費馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。這些定理的條件以及結論均需記住，會考。17.洛必達法則：

0/0型：當x趨近于a時，函數f(x)及g(x)都趨于0

在點a的某去心領域內，函數的導數均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于a時，f’(x)/g’(x)存在或為無窮大

則有x趨近于a時，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 ∞/∞型：當x趨近于∞時，函數f(x)及g(x)都趨于0

對于充分大的|x|，函數的導數均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于∞時，f’(x)/g’(x)存在或為無窮大

則有x趨近于∞時，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 0*∞型：化為0/0或者∞/∞型來計算 ∞-∞型：通分化為0/0型來計算

0^0,1^∞, ∞^0型：可先化為以e為底的指數函數，再求極限 X趨近于a時，lnf(x)的極限為A可化為

X趨近于a時，f(x)的極限等于e^(lnf(x))的極限等于e^(x趨近于a時，lnf(x)的極限)等于A。P141 18.泰勒公式：

e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…+[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…+[(-1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+[(-1)^(n-1)]x^n/n+o(x^n)1/(1-x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+…+[m(m-1)…(m-n+1)/n!]x^n+o(x^n)泰勒公式和麥克勞林公式的一般形式也要記住。我們上一年有考過一題，不過不記得是啥題了。

19.補充一些關于三角函數的知識，可能會用到：

tan(x/2)=(1-cosx)/sinx

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2 和差化積公式：

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 積化和差公式：

sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]

cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]

cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)] 補充兩個公式：

（1）x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]（2）n^(1/n)-1=(n-1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n-1)/n)] <(n-1)/[(1/2)(n-1)n^(1/2)]=2/[n^(1/2)]