第一篇：高數(shù)競賽（本站推薦）

高數(shù)

說明：請用A4紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學完積分之后才能做）

第一章 函數(shù)與極限

一、本章主要知識點概述

1、本章重點是函數(shù)、極限和連續(xù)性概念；函數(shù)是高等數(shù)學研究的主要對象，而極限是高等數(shù)學研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數(shù)學中的一些的重要概念，如連續(xù)、導數(shù)、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數(shù)學的始終。

然而，極限又是一個難學、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現(xiàn)代數(shù)學的兩大矛盾于一身。（1）、動與靜的矛盾：極限描述的是一個動態(tài)的過程，而人的認識能力本質(zhì)上具有靜態(tài)的特征。（2）無窮與有窮的矛盾：極限是一個無窮運算，而人的運算能力本質(zhì)上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運動中產(chǎn)生，這也是極限難學、難懂、難用之所在。

連續(xù)性是高等數(shù)學研究對象的一個基本性質(zhì)，又往往作為討論函數(shù)問題的一個先決條件，且與函數(shù)的可導性、可積性存在著不可分割的邏輯關系。

2、從2001年第一屆天津市大學數(shù)學競賽至今共八屆競賽試題分析，函數(shù)極限及其連續(xù)性在有的年份占了比較大的比重，連續(xù)性、極限與導數(shù)、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個別題目是研究生入學考試題目的原題，如2004年競賽試題二為1997年研究生入學考試題目；2006年競賽試題一為2002年研究生入學考試試題；2005年競賽試題一為1997年研究生入學考試試題等，這也從側(cè)面反映了部分試題難度系數(shù)。

二、證明極限存在及求極限的常用方法

1、用定義證明極限；

2、利用極限的四則運算法則；

3、利用數(shù)學公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）

4、利用極限的夾逼準則求極限；

5、利用等價無窮小的代換求極限；

6、利用變量代換與兩個重要極限求極限（也常結(jié)合冪指函數(shù)極限運算公式求極限）；（2）利用洛必達法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

9、利用導數(shù)的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證明數(shù)列極限的存在（常用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準則，再利用遞歸關系求極限）

12、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限等。當然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達法則時經(jīng)常用到變量代換與等價無窮小的代換，這大大簡化計算。

對于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如

（二）高數(shù)

極限的運算

要靈活運用極限的運算方法，如初等變形，不僅是求極限的基本方法之一，也是微分、積分運算中經(jīng)常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

（四）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及有關的證明、極限與導數(shù)、積分等結(jié)合的綜合性題目。

16、（2006年數(shù)學一）

（五）無窮小的比較與無窮小的階的確定常用工具——洛必達法則與泰勒公式。

高數(shù)

（六）由極限值確定函數(shù)式中的參數(shù)

求極限式中的常數(shù)，主要根據(jù)極限存在這一前提條件，利用初等數(shù)學變形、等價無窮小、必

達法則、泰勒公式等來求解。

高數(shù)

四、練習題

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

五、歷屆競賽試題

2001年天津市理工類大學數(shù)學競賽

2002年天津市理工類大學數(shù)學競賽

2003年天津市理工類大學數(shù)學競賽

高數(shù)

高數(shù)

2004年天津市理工類大學數(shù)學競賽

2005年天津市理工類大學數(shù)學競賽

高數(shù)

2007年天津市理工類大學數(shù)學競賽

高數(shù)

2010年天津市大學數(shù)學競賽一元函數(shù)微分學部分試題

一、填空

注：本題為第十屆（1998年）北京市大學數(shù)學競賽試題

二、選擇

三、計算

四、證明

高數(shù)

首屆中國大學生數(shù)學競賽賽區(qū)賽（初賽）試題2009年

一、填空

二、計算

第二篇：高數(shù)競賽策劃書

河南科技大學

2011級“高等數(shù)學”競賽策劃書

大學的榮譽，不在于它的校舍和人數(shù)，而在于它一代又

一代人的質(zhì)量。我想這句話真正的注解了一個學校的內(nèi)涵，今天我們是一個學院人，以我們學院的榮譽為驕傲。而明天，我們應該讓學院因曾經(jīng)有過我們而感到欣慰。我院決定面向2011級全體學生進行開展“高等數(shù)學競賽”活動。具體策劃方案如下：

一、主題

“高等數(shù)學”競賽

二、主辦單位

材料學院

三、目的和意義

1.通過競賽可以激發(fā)廣大學生學習高等數(shù)學的興趣和熱情。

2.我院多數(shù)專業(yè)的專業(yè)課程中涉及較多的數(shù)學知識，對學生

更好的學習專業(yè)知識有很大的幫助。

3.通過競賽，使學生加深學習數(shù)學知識和數(shù)學思想，有利于

學生提高邏輯思維能力，提升解決實際問題的素質(zhì)。

4.通過學院競賽，可以宣傳與擴大我院在學校中的知名度。

四、競賽方式與創(chuàng)新點

1.競賽以考試的形式進行。

2.本次競賽將增加學生以專業(yè)為背景，為以后設計數(shù)學建模

并解決問題題奠定基礎。

五、競賽工作安排

1.張貼宣傳海報

張貼時間:4月15日

2.場地申請

3.邀請老師配合出題

4.試卷批改

學習委員監(jiān)考并批閱

批閱時間4月26日（周四）下午5:40

5.賽后衛(wèi)生打掃

六、競賽辦法

1.競賽對象

材料學院2011級學生，每班5—10名

2.競賽報名

各班學生報名到班級學習委員，然后上報年級學習委員

3.競賽內(nèi)容

高等數(shù)學第六版上冊1/3，下冊2/3。（難易適中）

4.競賽時間

2012年4月26日（周四）下午3：00---5:00

5.競賽地點

開元校區(qū)教學樓五區(qū)416

6.競賽獎勵

一等獎1名：德育分30分+50元獎品+獎狀

二等獎3名：德育分20分+30元獎品+獎狀

三等獎6名：德育分10分+20元獎品+獎狀 賽后公示

以板報或院報的形式公布

七、競賽要求

遵守考試秩序，誠信答卷，杜絕作弊。

材料學院

2012年4月10日

第三篇：2012高數(shù)競賽24111報名表

中國地質(zhì)大學（武漢）2012高數(shù)競賽報名表

所在學院:資源學院學院負責人:

總計人數(shù):

10負責人聯(lián)系電話：***

第四篇：極限連續(xù)-高數(shù)競賽超好

高數(shù)競賽例題

第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn??(1?n2???nn).lim1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)n??

limx?0x?3????5?x?，其中[?]為取整函數(shù)

lim1?cosxx2x?0

lim(cosn???n)n2

lim(x??x?ax?a)2x?1e，求常數(shù)a.lim(sinx??2x?cos1x)x

lim[(n?n?n??32n21)en?1?n]

6limln(1?3x)(e2x3x?0?1)sinx2 例10.例11.例12.lim1?tanx?1?sinx2x?0xln(1?x)?x

limln(1?2)ln(1?x??x3x)

limsinx?xcosxsinx3x?0

例13.已知f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導數(shù)，且lim(sin2x?x?0f(x)xx)?2，求 f(0),f?(0).例14.例15.例16.lim(n??nn?12?nn?222???nn?n22)

?2?n??sinsinsin?n?n???nlim?n??11?n?1n?n?2n??????

x???lim[x?x?1?(ax?b)]?0，求常數(shù)a,b.2例17.設f(x)?nlim???

x2n?1?ax?bxx2n2?1為連續(xù)函數(shù)，求a,b.例18.設f(x)在(??,??)上連續(xù)，且f(f(x))?x，證明至少??，使得f(?)??.....................................................................................................................極 限

例1.例2.nlim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

limn???k?1kn?k?122

先兩邊夾，再用定積分定義 例3.例4.例5.設limx?0 例6.例7.?1x2lim(n?1)nnn?1n??sin1n

lime?e2xsinx2x?0x[ln(1?x?x)?ln(1?x?x)]

ln(1?)f(x)tanx?5，求limx2x?02?1xf(x).12(3sint?tcos)dt?0tlimxx?0(1?cosx)?ln(1?t)dtx0

x???limln(2e2?x?x?1)x?xsinx?1

例8.例9.limexx?0100

x???lim(x?x?x?x)

1例10.xxxlim??a1?a2???an?x?，其中，ax?0?.?n??1,a2?,an均為正數(shù)

例11.已知2nf(x)?limxe(1?x)n?xen??e(1?x)n?x2n?1，求?0f(x)dx.例12.設10?a?b，求lim?a?n?b?n?nn??

例13.設f(x)在(??,??)內(nèi)可導，且limf?(x)?ex??，xlim?的值.??x?c???lim[f(x)?f(x?1)]，求cx??x?c?x??

例14.設f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)二階可導，且f??(0)?0，x又已知)dtlim?0f(tx?0?x??sinx???0,求?,?.例15.當x?1時，lim(1?x)(1?x2)(1?x4)n?(1?x2)n??

例16.當x?0時，求limxn??cosx2cosx4?cos2n

例17.lim(1?1(1?1n??22)(1?132)?n2)

例18.lim1nn??nn(n?1)?(2n?1)

limf(x)x?0x?0，連 續(xù)

例1.求f(x)?lim

例2.設g(x)在x?0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim?1g(x2t)dt?1??02?x??1f(x)???2?a?bcosx2?x??x?0x?0x?01?x1?x2n的間斷點，并判斷其類型

n??g(x)?1xn?0?a，已知

在x?0處連續(xù)，求a,b的值.例3.證方程ln實根.例4.f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a?c?d?b，證：在(a,b)內(nèi)至少存在?x?xe???01?cos2xdx在區(qū)間(0,??)內(nèi)有且僅有兩個不同，使得pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?)，其中p,q為任意正常數(shù).例5.設f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且x1,x2,?,xn?(a,b)，試證：???(a,b)，使

例6.試證方程x?asin且它不超過b?a.例7.設f(x),g(x)在(??,??)上連續(xù)，且g(x)?0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點??[a,b]，使?abf(?)?1n[f(x1)?f(x2)???f(xn)].x?b，其中a?0,b?0，至少存在一個正根，并

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab

第五篇：高數(shù)競賽練習題答案(函數(shù)、極限、連續(xù))

函數(shù)、極限、連續(xù)

1.f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又f(a)?g(a),f(b)?g(b),證明：(1)???(a,b),使f(?)?g(?)

(2)???(a,b),使f??(?)?g??(?)證明：設f(x),g(x)分別在x?c,x?d處取得最大值M，不妨設c?d(此時a?c?d?b)，作輔助函數(shù)F(x)?f(x)?g(x),往證???(a,b),使F??(?)?0

令F(x)?f(x)?g(x),則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)二階可導，且F(a)?F(b)?0，① 當c?d，由于 F(c)?f(c)?g(c)?M?g(c)?0F(d)?f(d)?g(d)?f(d)?M?0由“閉.連.”零點定理，???[c,d]?(a,b),使f(?)?g(?)② 當c?d，由于F(c)?f(c)?g(c)?f(c)?g(d)?M?M?0即???(a,b),使f(?)?g(?)

對F(x)分別在[a,?],[?,b]上用羅爾定理，??1?(a,?),?2?(?,b)，使

在[?1,?2]上對F(x)在用羅爾定理，F(xiàn)?(?1)?F?(?2)?0，???(?1,?2)?(a,b)，使F??(?)?0，???(a,b),使f??(?)?g??(?).2.設數(shù)列{xn}滿足0?x1??,xn?1?sinxn,n?1,2,?

xn存在，并求該極限(1)證明limn??

xn?1x1n(2)計算lim()n??xn

分析：(1)確定{xn}為單調(diào)減少有下界即可

1xn，用洛必達法則.(2)利用(1)確定的limn??

解：易得0?xn?1(n?2,3,?)，所以xn?1?sinxn?xn,n?(2,3,?)，即{xn}為

xn存在，并記為limxn?a,則a?[0,1]，單調(diào)減少有下界的數(shù)列，所以 lim n??n??

對等式xn?1?sinxn?xn,兩邊令n??取極限，得a?sina,a?[0,1]，所以

a?0,即limxn?0.n??

lim((2)n

??

xn?1sinxn)?lim()

n??xnxn

2xn

2xn

令t?xn

?lim（t?0

sint)?et?0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t?0

t

ln(sin)ttsint

ln[1?(sin?1)]?1-1t2sint?t洛cost?11tt2

?lim?lim?lim?lim?lim?? t?0t?0t?0t?0t?03t2t2t2t33t26

xn?1xn?1

所以lim()?e.n??xn

3.已知f(x)在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導，且f(0)?0,f(1)?1，證明：(1)???(0,1),使f(?)?1??，(2)存在兩個不同點?,??(0,1),使f?(?)f?(?)?1

證：(1)令F(x)?f(x)?x?1，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且

F(0)??1?0,F(1)?1?0，由“閉.連.”零點定理，???(0,1),使F(?)?0,即f(?)?1??

(2)f(x)在[0,?],[?,1]上都滿足拉格朗日中值定理，所以

???(0,?),??(?,1)，使

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),f(1)?f(?)?f?(?)(1??)，即

f?(?)?f?(?)?

f(?)

?

?

1??

?

1?f(?)1?(1??)?

??1??1??1??

?f?(?)f?(?)?

1??

?

?

?

1??

?1

4.設方程xn?nx?1?0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正

?

實根xn，并證明當??1時，級數(shù)?xn收斂.n?1?

證：令f(x)?xn?nx?1,則f(x)在(0,??)上連續(xù)，且

f(0)??1?0,f()?()n?0

nn

所以由連續(xù)函數(shù)的零點定理，所給方程在(0,)內(nèi)有根，又由f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，所以所給方程(0,)內(nèi)只有唯一的根，在(，?)上無根，即所給方程存在唯一的正實根xn.?

?由上述知，對n?1,2,?，有0?xn?,有0?xn

?

1n

1n1n

1n

1n1，n?

此外，由??1知，級數(shù)?

收斂，所以由正項級數(shù)比較審斂法，知?

n?1n

?x?收斂.nn?1

?

5.求lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

x?0ln(1?x)

解：lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

=e

lim

lncosx，其中l(wèi)imln(1?x

x?0

lncosx)

?lim

x?0

ln[1?(cosx?1)]ln(1?x)

?lim

x?0

?x22x

??

(cosx)所以，limx?0

ln(1?x)

?e

?

6.f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)?0,f?(0)?0,若

af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0時是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.解1：（利用導數(shù)定義）

0?lim

af(h)?bf(2h)?f(0)af(h)?af(0)?af(0)?bf(2h)?bf(0)?bf(0)?f(0)

?lim

h?0h?0hhaf(h)?af(0)bf(2h)?bf(0)[(a?b)?1]f(0)[(a?b)?1]f(0)?lim?lim?lim?(a?b)f?(0)?limh?0h?0h?0h?0hhhh

?a?b?1

?由f(0)?0,f(0)?0,得?,即a?2,b??1

a?2b?0?

解2：按解1，只要假定f(x)在x?0處可導即可，但在題中“f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)”的假定下，有以下解法：由lim

h?0

h?0

af(h)?bf(2h)?f(0)

?0得 limaf(h)?bf(2h)?f(0)=0

h?0h

即0?limaf(h)?bf(2h)?f(0)?(a?b?1)f(0)，由f(0)?0,得a?b?1（1）

af(h)?bf(2h)?f(0)洛

?limaf?(h)?2bf?(2h)?(a?2b)f?(0)且f?(0)?0,又由0?lim

h?0h?0h

所以 a?2b?0（2）

由（1）、（2）得a?2,b??1.?2?esinx?

?.7.求lim?4??x?0x??1?e?

解：

?2e??e?sinx??2?esinx?

??1 ???lim?lim?4?4????x?0x?0?x?x??1?e??e?1??2?esinx??2?esinx?

?????1 lim?lim4?4??????x?0x?x?0?1?ex??1?e?

所以 原式 = 1

8.求lim

x?0

143

?x??x?2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

?x??x?2?[1?

1111

x?x2?o(x2)]?[1?x?x2?o(x2)]?22828(x?0)

??x2?o(x2)~?x2

所以

1?x2

?x??x?2??1lim?limx?0x?0x2x24

解2：（洛必達法則）

?

?x??x?2洛必達lim?limx?0x?0x22x1?x??x1

?lim?lim x?0?x?x4x?0x

1?2x1?lim.??4x?0x(?x??x)4