第一篇：高數中的重要定理與公式及其證明(六)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數中的重要定理與公式及其證明

（六）考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

7）二元函數偏導數存在與可微的關系

如果函數z?f(x,y)在點(x,y)可微，則函數在該點連續且兩個偏導數均存在，并且?z??z?z?x??y?o?x?y 【點評】：學到多元函數時第一個困擾我們的就是多元函數的可微與可導不再等價，它們與連續性的關系也變得更為復雜了。下面希望能通過幾個定理與反例來將這個關系說清楚。

證明：

由可微的定義可知存在只與(x,y)有關而與?x,?y實數A,B使得?z?A?x?B?y?o

現證明A?在點(x,y)附近成立。?zf(x??x,y)?f(x,y)，由偏導數定義可知，這等價于證明A?

lim。?x?0?x?x

由于?z?A?x?B?y?o成立，因此f(x??x,y)?f(x,y)?A?x?o??x?

A?x?o??x?o??x?f(x??x,y)?f(x,y)?lim?A?lim則lim。?x?0?x?0?x?0?x?x?x

由高階無窮小的定義可知lim

也即A?o??x??x?x?0?0。因此，有A?lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)。?x?z。?x

跨考魔鬼集訓營0

1在這里，沒有考不上的研究生。

同理，可證B??z。?y

證畢 注1：關于二元函數可微，偏導數存在、連續和偏導數連續的關系可以用下圖來表示：

也就是說：偏導數連續的函數必然可微，可微的函數必然連續并且存在偏導數，但連續和偏導數存在這兩個概念本身是互不包含的（也就是說連續的函數不一定存在偏導數，偏導數存在的函數也不一定連續）。注二：例如：

1）函數f(x,y)?x?y，在(0,0)連續，但偏導數不存在。

?xy22?x2?y2,x?y?02）又如函數f(x,y)??，在（0，0）處的偏導數是存在的。

?0,x2?y2?0?因為fx(0,0)?limx?0'f(x,0)?f(0,0)0?lim?0，同理我們可以得到fy'(0,0)?0 x?0xx?0

x212x22?,limf(x,y)?2? 而limf(x,y)?2x?yx?y2x225x5x?0x?0

也就說(x,y)沿不同路徑趨于(0,0)得到的極限值是不一樣的。因此二重極限(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在。進而可得到f(x,y)在(0,0)點處不連續。

注三：如果二元函數f(x,y)的兩個偏導數都存在且偏導數作為二元函數是連續的，則該二元函數是可微的。這也是一個定理，證明過程不需要掌握，但定理的結論要熟記。

跨考魔鬼集訓營02

第二篇：高數中的重要定理與公式及其證明(二)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數中的重要定理與公式及其證明

（二）考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

6）定積分比較定理

如果在區間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0 ab

推論：ⅰ如果在區間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；aabb

ⅱ設M和m是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab

【點評】：定積分比較定理在解題時應用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。

7）定積分中值定理

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?b

af(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區間上連續函數的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。

跨考魔鬼集訓營01

在這里，沒有考不上的研究生。

8）變上限積分求導定理

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限的函數?(x)??f(x)dx在[a,b]上ax

可導，并且它的導數是

dx'?(x)??f(x)dx?f(x),a?x?b dxa

設函數F(x)??u(x)

v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。

9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函數。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。

10）費馬引理：

設函數f(x)在點x0的某領域U(x0)內有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。

11）羅爾定理：

如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)上可導

（3）在區間端點處的函數值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數中的難點，一定要多加注意。具體證明過

在這里，沒有考不上的研究生。

程見教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)上可導

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?

【點評】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函數f(x)和g(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)上可導

f'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)f(b)?f(a)。b?a

【點評】：同上。

第三篇：2012年考研數學：高數中的重要定理與公式及其證明(一)

高數中的重要定理與公式及其證明

（一）文章來源：跨考教育

考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

1）常用的極限

lim

ln(1?x)

x

?1，lim

e?1x

x

x?0x?0

?1，lim

a?1x

x

x?0

?lna，lim

(1?x)?1

x

a

x?0

lim?a，1?cosx

x

x?0

?

【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1?x)x?e與

x?0

lim

sinxx

x?0

?1的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技

巧。證明：

lim

ln(1?x)

x

x?0

?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數即得lim

x?0

ln(1?x)

x

x?0

?1。

lim

e?1x

x

x?0

?1：在等式lim

ln(1?x)

x

x?0

?1中，令ln(1?x)?t

te?1

t，則x?et?1。由于極限

過程是x?0，此時也有t?0，因此有lim

t?0

?1。極限的值與取極限的符號

是無關的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數即得lim

lim

a?1xe

x

e?1x

x

x?0

?1。

x?0

?lna：利用對數恒等式得lim

a?1x

x

x?0

?lim

e

xlna

?1

x?0

x

x，再利用第二個極限可

xlna

得lim

?1

x?0

x

?lnalim

e

xlna

?1

x?0

xlna

?lna。因此有lim

a?1x

x?0

?lna。

lim

(1?x)?1

x(1?x)?1

x

a

a

x?0

?a：利用對數恒等式得

lim

x?0

?lim

e

aln(1?x)

?1

x?0

x

?alim

e

aln(1?x)

?1ln(1?x)

x

x?0

aln(1?x)

?alim

e

aln(1?x)

?1

x?0

aln(1?x)

lim

ln(1?x)

x

x?0

?a

上式中同時用到了第一個和第二個極限。

x?

2sinsin

1?cosx1?cosx1?1lim?lim?lim：利用倍角公式得lim??222

x?0x?0x?0x2xx2x?0?x

?2

x

??1??

2??。

2）導數與微分的四則運算法則

(u?v)?u?v,d(u?v)?du?dv(uv)?uv?uv,d(uv)?vdu?udv()?

vu

''

'

'

'

'

'

vu?uvv

''

uvdu?udv,d()?(v?0)2

vv

【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數的定義。

而導數的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關的概念，避免到復習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則

設y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導，且f(u)在對應的u??(x)處可導，則復合函數y?f(?(x))在x處可導可導，且有：

?f(?(x))?

【點評】：同上。4）反函數求導法則

'

?f(u)?(x)或

''

dydx

?

dydududx

設函數y?f(x)在點x的某領域內連續，在點x0處可導且f'(x)?0，并令其反函數為x?g(y)，且x0所對應的y的值為y0，則有：

g(y0)?

'

1f(x0)

'

?

1f(g(y0))

'

或

dxdy

?

1dydx

【點評】：同上。

5）常見函數的導數

?x?

?

'

??x

'

??1，'

?sinx??lnx?

'

?cosx，?cosx???sinx，1x

x

?，?logax??

'

'

1xlna，?e

x

?

'

?e，?ax??exlna

【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習。現選取其中典型予以證明。證明：

?x?

?

'

??x

??1

：導數的定義是f'(x)?lim

?

?

f(x??x)?f(x)

?x，代入該公式得)?1

??x

??1

?

?x?0

?x

?

?

'

?lim

(x??x)?x

?x

(1??x

?

?x

?x?0

x?x)?1

?x

??1

?x?0

?

(1?lim

?x

x?xx

。最后一

步用到了極限lim

x?0

(1?x)?1

x

a

x?0

?a。注意，這里的推導過程僅適用于x?0的情形。的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。

'

?sinx??cosx：利用導數定義?sinx??lim

'

sin(x??x)?sinx

?x，由和差化積公式得

?x?0

?x?0

lim

sin(x??x)?sinx

?x

2cos(x?

?lim

?x?0

?x?x)sin

?x

?cosx。cosx'??sinx的證明類??

似。

?lnx?

'

?

'

1x?

：利用導數定義?lnx??lim

1xlna

'

ln(x??x)?lnx

?x

lnxlna

ln(1?

?lim

?x?0

?x)?

1x

?x?0

?x。

?logax?的證明類似（利用換底公式logax?）。

?e?

x

'

?e

x

：利用導數定義?e

x

?

'

?lim

e

(x??x)

?e

x

?x?0

?x

?lime

?x?0

x

e

?x

?1

?x

?e。?a

x

x

?

'

?elna

x的證明類似（利用對數恒等式ax?exlna）。

第四篇：2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網

微積分基本定理是考研數學中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等于其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

上面講述的微積分基本定理是考研數學的高頻考點，考生們要認真學習其解題方法，并且學會運用。湯神《考研數學接力題典1800》可以檢驗大家的復習效果，總結做題經驗，對我們現階段的復習幫助很大。

第五篇：高數中需要掌握證明過程的定理

高數中的重要定理與公式及其證明

（一）考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復習，不才憑借自己對考研數學的一點了解，總結了高數上冊中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，從長遠來看都是應當熟練掌握的。

由于水平有限，總結不是很全面，但大家在復習之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）常用的極限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

?x)?e與過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1x?01xsinx?1的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技x?0x巧。證明： lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數即得lim?1。

x?0x?0x?0xx

ln(1?x)ex?1?1中，令ln(1?x)?t，則x?et?1。由于極限lim?1：在等式limx?0x?0xx過程是x?0，此時也有t?0，因此有limt?0t?1。極限的值與取極限的符號et?1ex?1?1。是無關的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數即得limx?0x

ax?1ax?1exlna?1lim?lna：?lim利用對數恒等式得lim，再利用第二個極限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有lim?lna。得limx?0x?0xlnax?0xx(1?x)a?1lim?a：利用對數恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同時用到了第一個和第二個極限。

xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?：利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222）導數與微分的四則運算法則

(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv

u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數的定義。而導數的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關的概念，避免到復習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則

設y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導，且f(u)在對應的u??(x)處可導，則復合函數y?f(?(x))在x處可導可導，且有：

?f(?(x))??【點評】：同上。4）反函數求導法則

'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx設函數y?f(x)在點x的某領域內連續，在點x0處可導且f'(x)?0，并令其反函數為x?g(y)，且x0所對應的y的值為y0，則有：

11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【點評】：同上。g'(y0)?5）常見函數的導數

?x???x?'??1，'?sinx?'?cosx，?cosx???sinx，?lnx?x''?11'，?logax??，xxlnax?e??e，?ax??exlna '【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習?，F選取其中典型予以證明。證明：

f(x??x)?f(x)?'，代入該公式得 ?x???x??1：導數的定義是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意，這里的推導過程僅適用于x?0的情形。步用到了極限limx?0xx?0的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。

sin(x??x)?sinx''lim，由和差化積公式得?sinx??cosx：利用導數定義?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的證明類lim?lim?x?0?x?0?x?x似。

?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??：利用導數定義?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的證明類似（利用換底公式logax?）。?logax??xlnalna

?e??ex'x：利用導數定義?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x證明類似（利用對數恒等式ax?exlna）。

6）定積分比較定理

如果在區間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0

ab推論：ⅰ如果在區間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；

aabbⅱ設M和m是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab【點評】：定積分比較定理在解題時應用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區間上連續函數的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導定理

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限的函數?(x)??f(x)dx在[a,b]上

ax可導，并且它的導數是

dx?'(x)?f(x)dx?f(x),a?x?b

dx?a設函數F(x)??u(x)v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函數。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。10）費馬引理：

設函數f(x)在點x0的某領域U(x0)內有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理： 如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)上可導

（3）在區間端點處的函數值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數中的難點，一定要多加注意。具體證明過程見教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)上可導

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?【點評】：同上。13）柯西中值定理： 如果函數f(x)和g(x)滿足（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)上可導

f(b)?f(a)。

b?af'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)【點評】：同上。14）單調性定理：

設函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導。

如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數f(x)在[a,b]上單調遞增。如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數f(x)在[a,b]上單調遞減。

【點評】：這個定理利用導數與切線斜率的關系很容易理解，但實際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴密的證明過程。證明：

僅證明f'(x)?0的情形，f'(x)?0的情形類似。

?x1,x2?(a,b)，假定x1?x2

則利用拉個朗日中值定理可得，????x2,x2?使得f(x1)?f(x2)?f'???(x1?x2)。由于f'????0，因此f(x1)?f(x2)?0。

由x1,x2的任意性，可知函數f(x)在[a,b]上單調遞增。

14）(極值第一充分條件)

設函數f(x)在x0處連續，并在x0的某去心鄰域U(x0,?)內可導。

ⅰ）若x?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極大值

ⅱ）若x?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極小值；

ⅲ）若x?U(x0,?)時，f'(x)符號保持不變，則f(x)在x0處沒有極值； 【點評】：單調性定理的推論，具體證明過程見教材。??15）(極值第二充分條件)

設函數f(x)在x0處存在二階導數且f'(x0)?0，那么 ?。┤鬴''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極小值； ⅱ）若f''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極大值。

【點評】：這個定理是判斷極值點最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：

僅證明f''(x0)?0,的情形，f''(x0)?0,的情形類似。

由于f(x)在x0處存在二階導數，由帶皮亞諾余項的泰勒公式得。在x0的某領域內成立f(x)?f?x0??f'?x0??x?x0??f''?x0?由于f'(x0)?0，因此

?x?x0?222?o??x?x0?? ??f(x)?f?x0??f''?x0??x?x0?222?o??x?x0????2?''???ox?x??02?f?x0?????f?x0???x?x0????22?x?x0?????

2''o??x?x0??fx0????由高階無窮小的定義可知，當x?x0時，有又由于?0，?0，22?x?x0?2??ox?x??0f?x0????0。因此在x0的某領域內成立?22?x?x0?''2?''???ox?x??02?f?x0????fx。進一步，我們有f?x0???x?x0?????0??22?x?x0?????也即，在x0的某領域內成立f(x)?f?x0?。由極值點的定義可知f(x)在x0處取得極小值。16）洛必達法則

f'(x)設函數f(x),g(x)在x?a的空心鄰域內可導，g(x)?0，且lim'?A

x?ag(x)'則有limx?af(x)?A，其中A可以是有限數，也可以是??,??。g(x)【點評】：洛必達法則是計算極限時最常用的方法，但它的證明卻很少有人關注。洛必達法則是拉格朗日中值定理的推論，證明過程比較簡單，也是一個潛在的考點，需要引起注意。具體證明過程見教材。