第一篇：考研高數局部保號性在定理證明中的應用

Born To Win

考研數學：局部保號性在定理證明中的應用

學習函數極限的性質的時候，有一個重要的性質叫做函數極限的局部保號性，也稱為局部保序性，今天跨考教育數學教研室邵偉如老師為大家具體講解局部保號性在定理證明中的應用知識。

函數極限的局部保號性定理內容為：如果limf(x)?A,且A?0(或A?0)，那么存在x?x00?x?x0??常數??0,使得當時，有f(x)?0(或f(x)?0),即一個函數極限的符號確定的話，求極限的函數在一個鄰域內與該點處極限保持相同的符號。這個定理還有一個常用的x?(x0??,x0)?(x0,x0??)時，推論：若存在常數??0,使得當有f(x)?0(或f(x)?0)，且極限x?x0limf(x)存在，則

x?x0limf(x)?0(或?0),即在某點的去心鄰域內，函數的符號確定的話，那么其極限的符號在這一去心鄰域內也能確定。這個定理溝通了函數與極限之間符號之間的關系，所以凡是討論到極限的符號或函數的符號問題的時候都應該想到應用這個定理去解決。那么，在高等數學中哪些考點哪些定理是應用了局部保號性的呢？下面邵老師為大家做一個整理。

與局部保號性聯系最緊密的是函數的極值部分的定理，大家知道，在駐點是可疑的極值點，要判定駐點是否為極值點，有兩個方法，一個的極值第一充分條件，一個是極值第二充分條件，如果函數二階可導的話，顯然極值第二充分條件有不可替代的優勢，尤其是極值問題與隱函數結合考查的時候。

'''xf(x)?0f(x0)?0,f(x)00第二充分條件的內容是：設函數在處存在二階導數且，''''xxf(x)?0,f(x0)?0,f(x)f(x)000則在處取得極小值；②若則在處取得極大值；③若x則f(x)在0處是否取極值未知.這個定理涉及到了導數的符號問題，所以是依靠局部保號性來證明的。與這個定理平行的另一個定理是判定拐點的第二充分條件，定理內容是：設函

'''“xf(x)?0,f(x0)?0,則點(x0,f(x0))為曲線f(x)00數三階可導且在點處有且y?f(x)的拐點。這個定理中一樣涉及到導數的符號問題，所以仍是由局部保號性證明的。

再來看一道真題，設函數f(x)有二階連續導數，f'(0)?0,limx?0f”(x)?1,x則討論f(0)是否為極值點，(0,f(0))是否為拐點。這道題非常典型，已知極限的符號，討論函數的符人生也許就是要學會愚忠。選我所愛，愛我所選。

Born To Win

f“(x)?0,x號，明顯的局部保號性的使用標志。由極限等于1可知，函數極限在0的左右鄰域內符號為正，那么根據保號性，在這一去心鄰域內，要求極限的函數而分母恒大于0，所以可以斷定，分子f”(x)在去心鄰域內大于0，此時不能根據二階導函數大于0就斷定0點為極小值點，因為第二充分條件需要的是f"(0)的符號，不是去心鄰域內導函數的符號，那么接下去就根據二階導函數的符號可以得到一階導函數在去心鄰域內單調遞增，而f'(0)?0，結合二者可知在0點的左右兩側鄰域，一階導函數符號發生了改變，先減后增，因此0這一點為極小值點，此題得解。從整個分析過程可知，第一步由局部保號性得到的結論在解題過程中起到了至關重要的作用。

經過以上分析我們需要掌握兩點：

1、局部保號性定理內容及結論；

2、何時需要考慮使用局部保號性去解決問題。

文章來源：跨考教育

人生也許就是要學會愚忠。選我所愛，愛我所選。

第二篇：2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網

微積分基本定理是考研數學中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等于其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

上面講述的微積分基本定理是考研數學的高頻考點，考生們要認真學習其解題方法，并且學會運用。湯神《考研數學接力題典1800》可以檢驗大家的復習效果，總結做題經驗，對我們現階段的復習幫助很大。

第三篇：高數中需要掌握證明過程的定理

高數中的重要定理與公式及其證明

（一）考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復習，不才憑借自己對考研數學的一點了解，總結了高數上冊中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，從長遠來看都是應當熟練掌握的。

由于水平有限，總結不是很全面，但大家在復習之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）常用的極限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

?x)?e與過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1x?01xsinx?1的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技x?0x巧。證明： lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數即得lim?1。

x?0x?0x?0xx

ln(1?x)ex?1?1中，令ln(1?x)?t，則x?et?1。由于極限lim?1：在等式limx?0x?0xx過程是x?0，此時也有t?0，因此有limt?0t?1。極限的值與取極限的符號et?1ex?1?1。是無關的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數即得limx?0x

ax?1ax?1exlna?1lim?lna：?lim利用對數恒等式得lim，再利用第二個極限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有lim?lna。得limx?0x?0xlnax?0xx(1?x)a?1lim?a：利用對數恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同時用到了第一個和第二個極限。

xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?：利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222）導數與微分的四則運算法則

(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv

u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數的定義。而導數的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關的概念，避免到復習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則

設y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導，且f(u)在對應的u??(x)處可導，則復合函數y?f(?(x))在x處可導可導，且有：

?f(?(x))??【點評】：同上。4）反函數求導法則

'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx設函數y?f(x)在點x的某領域內連續，在點x0處可導且f'(x)?0，并令其反函數為x?g(y)，且x0所對應的y的值為y0，則有：

11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【點評】：同上。g'(y0)?5）常見函數的導數

?x???x?'??1，'?sinx?'?cosx，?cosx???sinx，?lnx?x''?11'，?logax??，xxlnax?e??e，?ax??exlna '【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習。現選取其中典型予以證明。證明：

f(x??x)?f(x)?'，代入該公式得 ?x???x??1：導數的定義是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意，這里的推導過程僅適用于x?0的情形。步用到了極限limx?0xx?0的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。

sin(x??x)?sinx''lim，由和差化積公式得?sinx??cosx：利用導數定義?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的證明類lim?lim?x?0?x?0?x?x似。

?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??：利用導數定義?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的證明類似（利用換底公式logax?）。?logax??xlnalna

?e??ex'x：利用導數定義?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x證明類似（利用對數恒等式ax?exlna）。

6）定積分比較定理

如果在區間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0

ab推論：ⅰ如果在區間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；

aabbⅱ設M和m是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab【點評】：定積分比較定理在解題時應用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區間上連續函數的推論，在證明題中有重要的作用。考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導定理

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限的函數?(x)??f(x)dx在[a,b]上

ax可導，并且它的導數是

dx?'(x)?f(x)dx?f(x),a?x?b

dx?a設函數F(x)??u(x)v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函數。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。10）費馬引理：

設函數f(x)在點x0的某領域U(x0)內有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理： 如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)上可導

（3）在區間端點處的函數值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數中的難點，一定要多加注意。具體證明過程見教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)上可導

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?【點評】：同上。13）柯西中值定理： 如果函數f(x)和g(x)滿足（1）在閉區間[a,b]上連續；（2）在開區間(a,b)上可導

f(b)?f(a)。

b?af'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)【點評】：同上。14）單調性定理：

設函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導。

如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數f(x)在[a,b]上單調遞增。如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數f(x)在[a,b]上單調遞減。

【點評】：這個定理利用導數與切線斜率的關系很容易理解，但實際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴密的證明過程。證明：

僅證明f'(x)?0的情形，f'(x)?0的情形類似。

?x1,x2?(a,b)，假定x1?x2

則利用拉個朗日中值定理可得，????x2,x2?使得f(x1)?f(x2)?f'???(x1?x2)。由于f'????0，因此f(x1)?f(x2)?0。

由x1,x2的任意性，可知函數f(x)在[a,b]上單調遞增。

14）(極值第一充分條件)

設函數f(x)在x0處連續，并在x0的某去心鄰域U(x0,?)內可導。

ⅰ）若x?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極大值

ⅱ）若x?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極小值；

ⅲ）若x?U(x0,?)時，f'(x)符號保持不變，則f(x)在x0處沒有極值； 【點評】：單調性定理的推論，具體證明過程見教材。??15）(極值第二充分條件)

設函數f(x)在x0處存在二階導數且f'(x0)?0，那么 ⅰ）若f''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極小值； ⅱ）若f''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極大值。

【點評】：這個定理是判斷極值點最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：

僅證明f''(x0)?0,的情形，f''(x0)?0,的情形類似。

由于f(x)在x0處存在二階導數，由帶皮亞諾余項的泰勒公式得。在x0的某領域內成立f(x)?f?x0??f'?x0??x?x0??f''?x0?由于f'(x0)?0，因此

?x?x0?222?o??x?x0?? ??f(x)?f?x0??f''?x0??x?x0?222?o??x?x0????2?''???ox?x??02?f?x0?????f?x0???x?x0????22?x?x0?????

2''o??x?x0??fx0????由高階無窮小的定義可知，當x?x0時，有又由于?0，?0，22?x?x0?2??ox?x??0f?x0????0。因此在x0的某領域內成立?22?x?x0?''2?''???ox?x??02?f?x0????fx。進一步，我們有f?x0???x?x0?????0??22?x?x0?????也即，在x0的某領域內成立f(x)?f?x0?。由極值點的定義可知f(x)在x0處取得極小值。16）洛必達法則

f'(x)設函數f(x),g(x)在x?a的空心鄰域內可導，g(x)?0，且lim'?A

x?ag(x)'則有limx?af(x)?A，其中A可以是有限數，也可以是??,??。g(x)【點評】：洛必達法則是計算極限時最常用的方法，但它的證明卻很少有人關注。洛必達法則是拉格朗日中值定理的推論，證明過程比較簡單，也是一個潛在的考點，需要引起注意。具體證明過程見教材。

第四篇：2012年考研數學：高數中的重要定理與公式及其證明(一)

高數中的重要定理與公式及其證明

（一）文章來源：跨考教育

考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

1）常用的極限

lim

ln(1?x)

x

?1，lim

e?1x

x

x?0x?0

?1，lim

a?1x

x

x?0

?lna，lim

(1?x)?1

x

a

x?0

lim?a，1?cosx

x

x?0

?

【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1?x)x?e與

x?0

lim

sinxx

x?0

?1的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技

巧。證明：

lim

ln(1?x)

x

x?0

?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數即得lim

x?0

ln(1?x)

x

x?0

?1。

lim

e?1x

x

x?0

?1：在等式lim

ln(1?x)

x

x?0

?1中，令ln(1?x)?t

te?1

t，則x?et?1。由于極限

過程是x?0，此時也有t?0，因此有lim

t?0

?1。極限的值與取極限的符號

是無關的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數即得lim

lim

a?1xe

x

e?1x

x

x?0

?1。

x?0

?lna：利用對數恒等式得lim

a?1x

x

x?0

?lim

e

xlna

?1

x?0

x

x，再利用第二個極限可

xlna

得lim

?1

x?0

x

?lnalim

e

xlna

?1

x?0

xlna

?lna。因此有lim

a?1x

x?0

?lna。

lim

(1?x)?1

x(1?x)?1

x

a

a

x?0

?a：利用對數恒等式得

lim

x?0

?lim

e

aln(1?x)

?1

x?0

x

?alim

e

aln(1?x)

?1ln(1?x)

x

x?0

aln(1?x)

?alim

e

aln(1?x)

?1

x?0

aln(1?x)

lim

ln(1?x)

x

x?0

?a

上式中同時用到了第一個和第二個極限。

x?

2sinsin

1?cosx1?cosx1?1lim?lim?lim：利用倍角公式得lim??222

x?0x?0x?0x2xx2x?0?x

?2

x

??1??

2??。

2）導數與微分的四則運算法則

(u?v)?u?v,d(u?v)?du?dv(uv)?uv?uv,d(uv)?vdu?udv()?

vu

''

'

'

'

'

'

vu?uvv

''

uvdu?udv,d()?(v?0)2

vv

【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數的定義。

而導數的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關的概念，避免到復習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則

設y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導，且f(u)在對應的u??(x)處可導，則復合函數y?f(?(x))在x處可導可導，且有：

?f(?(x))?

【點評】：同上。4）反函數求導法則

'

?f(u)?(x)或

''

dydx

?

dydududx

設函數y?f(x)在點x的某領域內連續，在點x0處可導且f'(x)?0，并令其反函數為x?g(y)，且x0所對應的y的值為y0，則有：

g(y0)?

'

1f(x0)

'

?

1f(g(y0))

'

或

dxdy

?

1dydx

【點評】：同上。

5）常見函數的導數

?x?

?

'

??x

'

??1，'

?sinx??lnx?

'

?cosx，?cosx???sinx，1x

x

?，?logax??

'

'

1xlna，?e

x

?

'

?e，?ax??exlna

【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習。現選取其中典型予以證明。證明：

?x?

?

'

??x

??1

：導數的定義是f'(x)?lim

?

?

f(x??x)?f(x)

?x，代入該公式得)?1

??x

??1

?

?x?0

?x

?

?

'

?lim

(x??x)?x

?x

(1??x

?

?x

?x?0

x?x)?1

?x

??1

?x?0

?

(1?lim

?x

x?xx

。最后一

步用到了極限lim

x?0

(1?x)?1

x

a

x?0

?a。注意，這里的推導過程僅適用于x?0的情形。的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。

'

?sinx??cosx：利用導數定義?sinx??lim

'

sin(x??x)?sinx

?x，由和差化積公式得

?x?0

?x?0

lim

sin(x??x)?sinx

?x

2cos(x?

?lim

?x?0

?x?x)sin

?x

?cosx。cosx'??sinx的證明類??

似。

?lnx?

'

?

'

1x?

：利用導數定義?lnx??lim

1xlna

'

ln(x??x)?lnx

?x

lnxlna

ln(1?

?lim

?x?0

?x)?

1x

?x?0

?x。

?logax?的證明類似（利用換底公式logax?）。

?e?

x

'

?e

x

：利用導數定義?e

x

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x

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?elna

x的證明類似（利用對數恒等式ax?exlna）。

第五篇：中值定理在不等式證明中的應用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數構造法.在泰勒中值定理證明不等式的應用中，給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區間的中點、已知區間的兩端點、函數的極值點或最值點、已知區間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好的運用泰勒中值定理證明不等式.并對柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應用問題作簡單介紹.關鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數構造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結束語 ……………………………………………………………………………（18）參考文獻 …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數學中的重要內容，也是數學中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實用的方法.人們對中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，它們建立了函數值與導數值之間的定量聯系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應用導數判斷函數上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態.此外，在極值問題中有重要的實際應用.微分中值定理是數學分析乃至整個高等數學的重要理論，它架起了利用微分研究函數的橋梁.微分中值定理從誕生到現在的近300年間，對它的研究時有出現.特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內發表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數的單調性證明，利用微分中值定理證明，利用函數的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無從下手，探究其原因，一是中值定理的內容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對中值定理的基礎及靈活性要求較高.我們在日常教學中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數學中最基本的內容之一，我們有必要把這類問題單獨拿出來進行研究，找出它們的共性，以方便我們日后的教學研究工作的開展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國數學家，力學家，文學家）.拉格朗日中值定理 設函數f?x?在閉區間[a,b]上連續，在開區間?a,b?內可導，則在開區間(a,b)內至少存在一點x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當f?a??f?b?時的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構造一個輔助函數f?x?；a 由欲證形式構成“形似”的函數區間.b 運用拉格朗日公式來判斷.證明 設f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因為 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評注 此題如果單純地應用初等數學的方法來證明，會難以得出結論，而應用了拉格朗日公式，再利用三角函數的簡單知識，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數的有關知識，構造一個輔助函數f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因為1?1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設函數，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區間?b,a?上滿足拉格朗日定理條件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因為xp當p?1時為單調增函數，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據題中式子構造一個相似函數，f?x??lnx和定義區間?a,b?.（2）利用對數的四則運算法則，將對數式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結論.證明 設f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評注 解此題關健在于觀察要證明的不等式中把對數式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來輕松地得出結論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對數的有關知識，構造了一個輔助函數lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當h?0時，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當-1?h?0時，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評注 證明此種不等式的關健是構造一個輔助函數，再利用初等數學的有關知識來證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續、可導，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當x?0時，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因為e??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當x?0時，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因為此時0?e??1，三邊同時乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當x?0時，ex?x成立.從以上例題可以發現：靈活構造“a,b”的取值，不僅可使證明過程簡單，有時甚至是解題的關鍵.2.2.3 輔助函數構造法

例2.6[4] 設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?內可導，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數．證明至少存在一點?（a???b）證明 做輔導函數

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數．

因為f(x)不為形如Ax?B的函數，所以至少存在一點c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因為?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因為?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內至少有一點?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應用定理進行證明．利用拉格朗日中值定理證明問題時，如何構造輔助函數，是證明的關鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數f(x)在含有x0的開區間?a,b?內有直到n?1階導數，則對任一點x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數展開點x?(a,b)的不同情況來證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點取值法

選區間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當的值，通過兩式相加，并對某些項進行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式.下面以實例說明.例3.1[5] 設在區間?a,b?內，f''(x)> 0，試證：對于?a,b?內的任意兩個不同點x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因為f''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結論可推廣如下：

對?a,b?內任意n個不同點x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設函數f(x)在區間[a，b]上二階連續可導，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個值.因為f(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點取值法

當條件中出現f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現廠f(a),f(b),f''(?)，展開點常選為區間兩端點a,b,然后在泰勒公式中取x為適當的值，消去多余的項，可得待證的不等式.例3.3 函數f(x)在區間[a，b]上二階可導，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內至少存在一點?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當題中不等式出現函數的極值或最值項，展開點常選為該函數的極值點或最

值點.例3.4[6] 設函數f(x))在區間?a,b?內二階可導，且存在極值f(c)及點p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當x0??a,?時，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當x0??a,?時，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當題中條件“連續”去掉，而其他條件不變時，結論可改為在?a,b?內至少存在一點，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當題中條件添加maxf(x)?0時，結論可改為：在?a,b?內至少存在一點

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點取值法

當題中結論考察f(x),f'(x),f''(x)的關系時，展開點常選為該區間內的任意點，然后在泰勒公式中取x為適當的值，并對某些項作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數f(x)在區間?a,b?上二階可導，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負常數，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數f(x)在區問?a,b?上二階可導，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點出發，應用實際范例給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區間的中點，已知區間的兩端點，函數的極值點或最值點，已知區間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設函數f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區間?a,b?上連續；

（2）在開區間?a,b?內可導；

（3）對任一x??a,b?有g?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設函數f?x?在?-1,1?內可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內，f?x??1.證明 引入輔助函數g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因為f?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉化為f?x??g?x??x?0?.由于上應用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉化為f'????g'???.因為

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當x???0時，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實際上只需證

cosx1?cosx2設f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理條件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調增加函數.sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一點?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區間?a,b?上連續，且g?x?在?a,b?上不變號，則在?a,b?至少存在一點?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因為

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區間?0,2?上求函數f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運算性質，故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也常考慮用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數是兩個函數之積時，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時，可以根據估計定積分的值在證明比較簡單方便.結束語

深入挖掘滲透在這一定理中的數學思想，對于啟迪思維，培養創造能力具有重要 意義.偉大的數學家希爾伯特說“數學的生命力在于聯系” ．數學中存在著概念之間的親緣關系，存在著理論結構各要素之間的聯系，存在著方法和理論之間的聯系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯系，因此探索數學中各種各樣的聯系乃是指導數學研究的一個重要思想．實際上，具體地分析事物的具體聯系，是正確認識和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說，數學的真正任務就在于揭示數學對象之間、數學方法之間的內在固有聯系，這一任務的解決不斷推動數學科學向前發展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯系其它，只從式子本身所表達的意思去證明.今后應當注重研究中值定理各定理之間的聯系，更好的應用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻

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從2008年9月到現在，我在黃淮學院已經渡過接近四年的時光．在論文即將完成之際，回想起大學生活的日日夜夜，百感交集.在大學學習的四年時間里，正是老師們的悉心指導、同學們的熱情關照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學業．在此對他們表示誠摯的謝意!本論文是在導師鐘銘的悉心指導下完成的.導師淵博的專業知識，嚴謹的治學態度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠.他對數學理論在經濟，金融領域中的應用的想法和建議，使學生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導師的指導下完成的，傾注了導師大量的心血.在此，謹向導師表示崇高的敬意和衷心的感謝！

感謝數學科學系其他老師講授的數學基礎課程，為我夯實了數學研究的理論基礎，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數學系全體領導、老師、同學創造了一個寬松，自由的學習環境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對我的論文完成過程中給我的指導，她們深厚的數學功底以及對數學應用軟件操作等方面的知識給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠摯的感謝送給他們，感謝他們無微不至的關心和支持，感謝他們的無私奉獻以及為我所做的一切．