第一篇：由一個(gè)定理的證明談面積法在平面幾何證明中的應(yīng)用

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由一個(gè)定理的證明談面積法在平面幾何證明中的應(yīng)用

作者：王召坤

來(lái)源：《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)》2013年第04期

大家熟知的平行線段成比例定理：“三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.”是一個(gè)常用的定理，由此可以推出多個(gè)性質(zhì)，特別是可以推導(dǎo)出三角形相似的判定定理.人教版九年級(jí)下冊(cè)沒(méi)有給出證明，只是在第41頁(yè)給出“經(jīng)證明（這里從略）”，學(xué)生頗感困惑.教師教學(xué)用書上（第66頁(yè)）是這樣解釋的：“由于這個(gè)定理的證明涉及無(wú)理數(shù)、極限等知識(shí)，學(xué)生尚不能理解”，因此采取了“學(xué)生度量相關(guān)的線段長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后直接給出了定理.”因此，這只是一個(gè)驗(yàn)證性的結(jié)果.圖1

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修4-1·A版·幾何證明選講》（人民教育出版社，2007年第2版）第7頁(yè)給出了該定理，并用平行線等分線段定理給出了證明.但也只證明了圖1中ABBC為正有理數(shù)時(shí)定理成立，當(dāng)ABBC為正無(wú)理數(shù)時(shí)沒(méi)有給出證明.明顯不夠完善.在這里我們可以利用三角形的面積公式S=12ah給出其簡(jiǎn)潔的證明.

第二篇：部分課外平面幾何定理證明

部分課外平面幾何定理證明

一.四點(diǎn)共圓

很有用的定理，下面的定理證明中部分會(huì)用到這個(gè)，這也是我把它放在第一個(gè)的原因。

這個(gè)定理根據(jù)區(qū)域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，據(jù)筆者所知，北京中考是可以直接用的。其余的還是問(wèn)問(wèn)老師比較好。起碼在選擇題是大有用處的。

二.三角形三垂線交于一點(diǎn)

四點(diǎn)共圓的一次運(yùn)用。很多人都知道三垂線交于一點(diǎn)，在這里給出證明

三．三角形垂心是連接三垂直所得到新三角新的內(nèi)心

由三角形的三垂線可得多組四點(diǎn)共圓，一般有垂心的題都離不開(kāi)四點(diǎn)共圓。

估計(jì)這個(gè)結(jié)論在中考是不能直接用的，如果地區(qū)允許四點(diǎn)共圓的話稍微證一下就行了。

四．圓冪定理（在這里只是一部分）

·為割線定理、切割線定理于相交弦定理的總稱。

這個(gè)應(yīng)該是很多地方都允許用的，如果不能用的話也是稍微證一下就行了。

五．射影定理（歐幾里得定理）

什么也不說(shuō)了，初中幾何里應(yīng)該是比較常用的。目測(cè)考試隨便用

六．三角形切線長(zhǎng)公式

·已知三角形三邊長(zhǎng)可求內(nèi)切圓切點(diǎn)到頂點(diǎn)距離

可能是做的題比較少吧，很少見(jiàn)有這樣的中考題。推導(dǎo)也是很簡(jiǎn)單的。

七．廣勾股定理

估計(jì)中考允許用的地方不多，除非你那允許“引理”這貨

八．弦切角定理

很簡(jiǎn)單，估計(jì)每個(gè)地方都允許的。就算不把它當(dāng)定理，自己也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論

九．燕尾定理（共邊比例定理）

面積法思想，出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)可以用來(lái)證線段相等（例如下一個(gè)，重心），另外用于比例也是挺好使的。

中考的時(shí)候，直接用的話估計(jì)老師會(huì)認(rèn)為你跳躍度太大，考慮的時(shí)候想到這個(gè)，證明的時(shí)候用面積法就行了。

十．海倫公式

已知三角形三邊可求其面積，可用余弦定理和正弦求面積公式推導(dǎo)，但余弦定理是高中知識(shí)（在后面會(huì)放出

來(lái)）所以不用在這里。另外公式里帶根號(hào)，若三邊中有根號(hào)的配湊一下應(yīng)該可以開(kāi)根。這里是海倫公式的一個(gè)探討，推廣至n邊形面積。在第五頁(yè)有海倫公式的各種變形，其中變形⑤的個(gè)邊帶有平方，可以解決邊長(zhǎng)帶根號(hào)的問(wèn)題，缺點(diǎn)是過(guò)于冗繁。吧友可以根據(jù)自己的情況進(jìn)行探討。

中考嘛，一直不是很喜歡，過(guò)多的限制，不能發(fā)揮自己的能力。這個(gè)公式就不推薦考試的時(shí)候用了。

十一．重心

三中線交于一點(diǎn)。同垂心

十二．重心定理：重心把中線分為2:1兩部分。

總的來(lái)說(shuō)這些定理考試能用否得問(wèn)老師，不能用的話，作平行線把推導(dǎo)過(guò)程代進(jìn)證明過(guò)程就算是側(cè)面使用定理了，肯定不會(huì)扣分的。

十三．歐拉線

由重心定理簡(jiǎn)單得出

估計(jì)中考題都不會(huì)考共線神馬的（起碼廣東這地方是不會(huì)考的）。

十四．托勒密定理

很好用的一個(gè)競(jìng)賽定理。中考填空就能用這個(gè)解，作垂線設(shè)方程就得出來(lái)了，其他人還向外做了正三角形神馬的。所以個(gè)人感覺(jué)了解多點(diǎn)知識(shí)對(duì)于考試或?qū)τ谂d趣都是挺好的

十五．余弦定理

十六．正弦定理

十七．賽瓦定理（ceva定理）

十八．梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理menelaus定理）

如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

十九．調(diào)和點(diǎn)列

二十．中線定理

·表述了三角形三邊與中線長(zhǎng)的關(guān)系

三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。即，對(duì)任意三角形△ABC，設(shè)I是線段BC的中點(diǎn)，AI為中線，則有如下關(guān)系： AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2 或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2

二十一．角平分線定理

·角平分線的比例性質(zhì)

二十二．九點(diǎn)共園定理（歐拉圓、費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）

三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這九點(diǎn)共圓

二十三．張角定理

在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理： 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三點(diǎn)共線。

定理的推論：

在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B D C共線的充要條件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

二十四．蝴蝶定理

由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。

二十五．清宮定理

設(shè)P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上

二十六．西姆松定理（cave定理）

過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。

二十七．角元塞瓦定理

設(shè)P為平面上一點(diǎn)（不在AB、BC、AC三條直線上），且（sinBAP/sinPAC）（sinACP/sinPCB）（sinCBP/sinPBA）=1則AD、BE、CF三線共點(diǎn)或互相平行． 推論若所引的三條線段都在△ABC 內(nèi)部，則這三條直線共點(diǎn)。

【暫時(shí)缺圖】

二十八．莫利定理

將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。

二十九．斯坦納定理

如果三角形中兩內(nèi)角平分線相等，則必為等腰三角形

三十．斯臺(tái)沃特定理（斯氏定理）

任意三角形ABC中，D是底邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD，則有：AB^2×CD+AC^2×BD=(AD^2+BD×DC)×BC 也可以有另一種表達(dá)形式：設(shè)BD=u，DC=v，則有：AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv

三十一．笛沙格定理

平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。

三十二．牛頓定理

牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。

牛頓定理3 圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。．

第三篇：中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過(guò)程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應(yīng)用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應(yīng)用中，給出了泰勒公式中展開(kāi)點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)、已知區(qū)間的兩端點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)、已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好的運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.并對(duì)柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過(guò)程中的應(yīng)用問(wèn)題作簡(jiǎn)單介紹.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點(diǎn)取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點(diǎn)取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點(diǎn)取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結(jié)束語(yǔ) ……………………………………………………………………………（18）參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見(jiàn)和實(shí)用的方法.人們對(duì)中值定理的研究，從微積分建立之后就開(kāi)始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài).此外，在極值問(wèn)題中有重要的實(shí)際應(yīng)用.微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對(duì)它的研究時(shí)有出現(xiàn).特別是近十年來(lái)，我國(guó)對(duì)中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國(guó)內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見(jiàn)的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無(wú)從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對(duì)中值定理的基礎(chǔ)及靈活性要求較高.我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中常常遇到不等式的證明問(wèn)題，不等式是初等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類問(wèn)題單獨(dú)拿出來(lái)進(jìn)行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)研究工作的開(kāi)展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國(guó)數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，文學(xué)家）.拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當(dāng)f?a??f?b?時(shí)的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f?x?；a 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間.b 運(yùn)用拉格朗日公式來(lái)判斷.證明 設(shè)f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對(duì)值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因?yàn)? 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評(píng)注 此題如果單純地應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)證明，會(huì)難以得出結(jié)論，而應(yīng)用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡(jiǎn)單知識(shí)，問(wèn)題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設(shè)f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因?yàn)??1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設(shè)函數(shù)，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因?yàn)閤p當(dāng)p?1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時(shí)乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個(gè)相似函數(shù)，f?x??lnx和定義區(qū)間?a,b?.（2）利用對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將對(duì)數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設(shè)f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評(píng)注 解此題關(guān)健在于觀察要證明的不等式中把對(duì)數(shù)式ln拆開(kāi)成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來(lái)輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對(duì)一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對(duì)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù)lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當(dāng)h?0時(shí)，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當(dāng)-1?h?0時(shí)，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評(píng)注 證明此種不等式的關(guān)健是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)來(lái)證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當(dāng)x?0時(shí)，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因?yàn)閑??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當(dāng)x?0時(shí)，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因?yàn)榇藭r(shí)0?e??1，三邊同時(shí)乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當(dāng)x?0時(shí)，ex?x成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“a,b”的取值，不僅可使證明過(guò)程簡(jiǎn)單，有時(shí)甚至是解題的關(guān)鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法

例2.6[4] 設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數(shù)．證明至少存在一點(diǎn)?（a???b）證明 做輔導(dǎo)函數(shù)

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數(shù)．

因?yàn)閒(x)不為形如Ax?B的函數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時(shí)

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因?yàn)?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時(shí)

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因?yàn)?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應(yīng)用定理進(jìn)行證明．利用拉格朗日中值定理證明問(wèn)題時(shí)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關(guān)鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一點(diǎn)x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個(gè)值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開(kāi)的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開(kāi)點(diǎn)x?(a,b)的不同情況來(lái)證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點(diǎn)取值法

選區(qū)間中點(diǎn)展開(kāi)是較常見(jiàn)的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ㄟ^(guò)兩式相加，并對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行放縮，便可將多余的項(xiàng)去掉而得所要的不等式.下面以實(shí)例說(shuō)明.例3.1[5] 設(shè)在區(qū)間?a,b?內(nèi)，f''(x)> 0，試證：對(duì)于?a,b?內(nèi)的任意兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開(kāi)，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個(gè)值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因?yàn)閒''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結(jié)論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：

對(duì)?a,b?內(nèi)任意n個(gè)不同點(diǎn)x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開(kāi)，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個(gè)值.因?yàn)閒(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對(duì)值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點(diǎn)取值法

當(dāng)條件中出現(xiàn)f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現(xiàn)廠f(a),f(b),f''(?)，展開(kāi)點(diǎn)常選為區(qū)間兩端點(diǎn)a,b,然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ザ嘤嗟捻?xiàng)，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開(kāi)，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng)，展開(kāi)點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最

值點(diǎn).例3.4[6] 設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間?a,b?內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點(diǎn)p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開(kāi)，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當(dāng)x0??a,?時(shí)，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當(dāng)x0??a,?時(shí)，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續(xù)性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當(dāng)題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時(shí)，結(jié)論可改為在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當(dāng)題中條件添加maxf(x)?0時(shí)，結(jié)論可改為：在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點(diǎn)取值法

當(dāng)題中結(jié)論考察f(x),f'(x),f''(x)的關(guān)系時(shí)，展開(kāi)點(diǎn)常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担?duì)某些項(xiàng)作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開(kāi)，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數(shù)f(x)在區(qū)問(wèn)?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開(kāi)，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對(duì)t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用實(shí)際范例給出了泰勒公式中展開(kāi)點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)，已知區(qū)間的兩端點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)，已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好地運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對(duì)任一x??a,b?有g(shù)?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在?-1,1?內(nèi)可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內(nèi)，f?x??1.證明 引入輔助函數(shù)g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應(yīng)用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因?yàn)閒?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉(zhuǎn)化為f?x??g?x??x?0?.由于上應(yīng)用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉(zhuǎn)化為f'????g'???.因?yàn)?/p>

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當(dāng)x???0時(shí)，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實(shí)際上只需證

cosx1?cosx2設(shè)f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調(diào)增加函數(shù).sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一點(diǎn)?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且g?x?在?a,b?上不變號(hào)，則在?a,b?至少存在一點(diǎn)?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計(jì)積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因?yàn)?/p>

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區(qū)間?0,2?上求函數(shù)f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點(diǎn)x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí)，也常考慮用積分中值定理，以便去掉積分符號(hào)，若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時(shí)，可以根據(jù)估計(jì)定積分的值在證明比較簡(jiǎn)單方便.結(jié)束語(yǔ)

深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要 意義.偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系” ．?dāng)?shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系乃是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要思想．實(shí)際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認(rèn)識(shí)和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的真正任務(wù)就在于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務(wù)的解決不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對(duì)于原來(lái)的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明.今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應(yīng)用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻(xiàn)

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從2008年9月到現(xiàn)在，我在黃淮學(xué)院已經(jīng)渡過(guò)接近四年的時(shí)光．在論文即將完成之際，回想起大學(xué)生活的日日夜夜，百感交集.在大學(xué)學(xué)習(xí)的四年時(shí)間里，正是老師們的悉心指導(dǎo)、同學(xué)們的熱情關(guān)照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學(xué)業(yè)．在此對(duì)他們表示誠(chéng)摯的謝意!本論文是在導(dǎo)師鐘銘的悉心指導(dǎo)下完成的.導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn).他對(duì)數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)，金融領(lǐng)域中的應(yīng)用的想法和建議，使學(xué)生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！

感謝數(shù)學(xué)科學(xué)系其他老師講授的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，為我夯實(shí)了數(shù)學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數(shù)學(xué)系全體領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)寬松，自由的學(xué)習(xí)環(huán)境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對(duì)我的論文完成過(guò)程中給我的指導(dǎo)，她們深厚的數(shù)學(xué)功底以及對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件操作等方面的知識(shí)給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠(chéng)摯的感謝送給他們，感謝他們無(wú)微不至的關(guān)心和支持，感謝他們的無(wú)私奉獻(xiàn)以及為我所做的一切．

第四篇：李明波四點(diǎn)定理的平面幾何證明

李明波四點(diǎn)定理的平面幾何證明

郝錫鵬

提要2009年9月19日，李明波導(dǎo)出和角余弦恒等式 cos2??cos2??cos2(???)?2cos?cos?cos(???)?1 并用此給出他四點(diǎn)定理的一個(gè)平面幾何證明。1和角余弦恒等式

2009年9月19日，李明波由和角三角函數(shù)公式

cos(???)?cos?cos??sin?sin?下推

cos(???)?cos?cos???cos2??cos2?，(1?cos2?)(1?cos2?)?[cos?cos??cos(???)]2，1?cos2??cos2??cos2?cos2?

?cos2?cos2??2cos?cos?cos(???)?cos2(???)，從上式兩面消去cos2?cos2?再移項(xiàng)便得恒等式

cos2??cos2??cos2(???)?2cos?cos?cos(???)?12四點(diǎn)定理的證明

在圖1中，李明波根據(jù)余弦定理得

a2?c2?b

2cos??

12ac

b2?c2?a2

cos??1

2bc

cos(???)?a2?b2?c2

2ab（1）（2）3-1）3-2）3-3）（（（B

B

a

A

c c1

a1

圖 1

b1 c1

b1

b

C

A c

D

C

a1

圖 2

D

將(3-1)、(3-2)、(3-3)代入（2式）得

a2?c2?b122b2?c2?a122a2?b2?c122()?()?()

2ac2bc2aba2?c2?b12b2?c2?a12a2?b2?c12

?2???1

2ac2bc2ab

上式兩面同乘4a2b2c2去分母得

b2(a2?c2?b12)2?a2(b2?c2?a12)2?c2(a2?b2?c12)2

?(a2?c2?b12)(b2?c2?a12)(a2?b2?c12)?4a2b2c2（4）

將（4）展開(kāi)并進(jìn)行繁雜的整理便得四點(diǎn)定理：

a2a12(?a2?a12?b2?b12?c2?c12)?b2b12(a2?a12?b2?b12?c2?c12)

?c2c12(a2?a1?b2?b12?c2?c1)

2?a2b2c1?a2b12c2?a12b2c2?a12b12c12（5）

在圖2中，上述證明過(guò)程的（3-3）式可改寫為cos[360??(???)]

a2?b2?c12

?cos(???)?，所以（5）式同樣也適合于圖2。

2ab

第五篇：解析法證明平面幾何經(jīng)典問(wèn)題--舉例

五、用解析法證明平面幾何問(wèn)題----極度精彩！充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美感！何妨一試？

例

1、設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)O作OA⊥MN于A，自A引兩條直線分別交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1圖）（例2圖）

例

2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

【部分題目解答】

例

1、(難度相當(dāng)于高考?jí)狠S題)

如圖，以MN為x軸，A為原點(diǎn)，AO為Y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程為：x2?(y-a)2?r2,設(shè)直線AB的方程為：y?mx,直線AD的方程為：y?nx,點(diǎn)B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；則B、C222x?(y-a)?r,消去y得：（1?m2)x2-2amx?a2-r2?{y?mx2ama2-r

2由韋達(dá)定理知：x1?x2?2;x1x2?2,m?1m?12ana2-r2

同理得：x3?x4?2;x3x4?2, n?1n?1直線CD方程為：y-y2?y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)：xQ?

同理得P點(diǎn)橫坐標(biāo)：xP?x1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要證明AP?AQ，只需證明：xQ?-xP3223?-1441, y2-y3y4-y1

即證明：（x3y2-x2y3）（?y4-y1）?（-x1y4-x4y1）（?y2-y3）

將上式整理得：y3y4(x1?x2)?y1y2(x3?x4)?x1y2y4?x2y1y3?x3y2y4?x4y1y3

注意到：y1?mx1,y2?mx2;y3?nx3,y4?nx4，代入整理得：

左邊?m2x1x2(x3?x4)?n2x3x4(x1?x2),右邊?mn[x1x2(x3?x4)?x3x4(x1?x2)] 把上述韋達(dá)定理的結(jié)論代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m?n)2a-r左邊?m?2?2?n?2?2? 22m?1n?1n?1m?1(m?1)(n?1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m?n)右邊?mn(2???)?m?1n2?1n2?1m2?1(m2?1)(n2?1)

可見(jiàn)：左邊=右邊，故xQ?-xP，即AP?AQ.證畢！

【此題充分體現(xiàn)：化歸思想、設(shè)而不求思想方法、數(shù)形結(jié)合方法、以及分析計(jì)算的能力】 標(biāo)系.例

2、分析：如右圖，建立坐

總體思路：設(shè)點(diǎn)A、B、C、D坐標(biāo)后，求出直線AD、從而求出兩個(gè)角度的正切值，證明這兩個(gè)角度問(wèn)題的關(guān)鍵是：如何設(shè)點(diǎn)C、D而C、D兩點(diǎn)是相互獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的，故把點(diǎn)C、D設(shè)AD=BC= r，則C點(diǎn)可以看作是以B為圓心，r上的動(dòng)點(diǎn)，類似看待D點(diǎn)，故，設(shè)

C(a?rcosθ,rsinθ)、D(-a?rcos?,rsin?), 從而得N(cosθ?cos?sinθ?sin?,)22

易得：kBC?tan?,kAD?tan?【此處充分展現(xiàn)了圓的,參數(shù)方程的美妙之處】kMN?

sinθ?sin?????tan;cosθ?cos?2