第一篇：由一個定理的證明談面積法在平面幾何證明中的應用

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由一個定理的證明談面積法在平面幾何證明中的應用

作者：王召坤

來源：《中學數學雜志(初中版)》2013年第04期

大家熟知的平行線段成比例定理：“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.”是一個常用的定理，由此可以推出多個性質，特別是可以推導出三角形相似的判定定理.人教版九年級下冊沒有給出證明，只是在第41頁給出“經證明（這里從略）”，學生頗感困惑.教師教學用書上（第66頁）是這樣解釋的：“由于這個定理的證明涉及無理數、極限等知識，學生尚不能理解”，因此采取了“學生度量相關的線段長度，發現規律，然后直接給出了定理.”因此，這只是一個驗證性的結果.圖1

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-1·A版·幾何證明選講》（人民教育出版社，2007年第2版）第7頁給出了該定理，并用平行線等分線段定理給出了證明.但也只證明了圖1中ABBC為正有理數時定理成立，當ABBC為正無理數時沒有給出證明.明顯不夠完善.在這里我們可以利用三角形的面積公式S=12ah給出其簡潔的證明.

第二篇：部分課外平面幾何定理證明

部分課外平面幾何定理證明

一.四點共圓

很有用的定理，下面的定理證明中部分會用到這個，這也是我把它放在第一個的原因。

這個定理根據區域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，據筆者所知，北京中考是可以直接用的。其余的還是問問老師比較好。起碼在選擇題是大有用處的。

二.三角形三垂線交于一點

四點共圓的一次運用。很多人都知道三垂線交于一點，在這里給出證明

三．三角形垂心是連接三垂直所得到新三角新的內心

由三角形的三垂線可得多組四點共圓，一般有垂心的題都離不開四點共圓。

估計這個結論在中考是不能直接用的，如果地區允許四點共圓的話稍微證一下就行了。

四．圓冪定理（在這里只是一部分）

·為割線定理、切割線定理于相交弦定理的總稱。

這個應該是很多地方都允許用的，如果不能用的話也是稍微證一下就行了。

五．射影定理（歐幾里得定理）

什么也不說了，初中幾何里應該是比較常用的。目測考試隨便用

六．三角形切線長公式

·已知三角形三邊長可求內切圓切點到頂點距離

可能是做的題比較少吧，很少見有這樣的中考題。推導也是很簡單的。

七．廣勾股定理

估計中考允許用的地方不多，除非你那允許“引理”這貨

八．弦切角定理

很簡單，估計每個地方都允許的。就算不把它當定理，自己也能發現這個結論

九．燕尾定理（共邊比例定理）

面積法思想，出現中點時可以用來證線段相等（例如下一個，重心），另外用于比例也是挺好使的。

中考的時候，直接用的話估計老師會認為你跳躍度太大，考慮的時候想到這個，證明的時候用面積法就行了。

十．海倫公式

已知三角形三邊可求其面積，可用余弦定理和正弦求面積公式推導，但余弦定理是高中知識（在后面會放出

來）所以不用在這里。另外公式里帶根號，若三邊中有根號的配湊一下應該可以開根。這里是海倫公式的一個探討，推廣至n邊形面積。在第五頁有海倫公式的各種變形，其中變形⑤的個邊帶有平方，可以解決邊長帶根號的問題，缺點是過于冗繁。吧友可以根據自己的情況進行探討。

中考嘛，一直不是很喜歡，過多的限制，不能發揮自己的能力。這個公式就不推薦考試的時候用了。

十一．重心

三中線交于一點。同垂心

十二．重心定理：重心把中線分為2:1兩部分。

總的來說這些定理考試能用否得問老師，不能用的話，作平行線把推導過程代進證明過程就算是側面使用定理了，肯定不會扣分的。

十三．歐拉線

由重心定理簡單得出

估計中考題都不會考共線神馬的（起碼廣東這地方是不會考的）。

十四．托勒密定理

很好用的一個競賽定理。中考填空就能用這個解，作垂線設方程就得出來了，其他人還向外做了正三角形神馬的。所以個人感覺了解多點知識對于考試或對于興趣都是挺好的

十五．余弦定理

十六．正弦定理

十七．賽瓦定理（ceva定理）

十八．梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理menelaus定理）

如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

十九．調和點列

二十．中線定理

·表述了三角形三邊與中線長的關系

三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。即，對任意三角形△ABC，設I是線段BC的中點，AI為中線，則有如下關系： AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2 或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2

二十一．角平分線定理

·角平分線的比例性質

二十二．九點共園定理（歐拉圓、費爾巴赫圓）

三角形三邊的中點，三條高的垂足，垂心與各頂點連線的中點這九點共圓

二十三．張角定理

在△ABC中，D是BC上的一點，連結AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理： 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三點共線。

定理的推論：

在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B D C共線的充要條件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

二十四．蝴蝶定理

由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內容：圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

二十五．清宮定理

設P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上

二十六．西姆松定理（cave定理）

過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

二十七．角元塞瓦定理

設P為平面上一點（不在AB、BC、AC三條直線上），且（sinBAP/sinPAC）（sinACP/sinPCB）（sinCBP/sinPBA）=1則AD、BE、CF三線共點或互相平行． 推論若所引的三條線段都在△ABC 內部，則這三條直線共點。

【暫時缺圖】

二十八．莫利定理

將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

二十九．斯坦納定理

如果三角形中兩內角平分線相等，則必為等腰三角形

三十．斯臺沃特定理（斯氏定理）

任意三角形ABC中，D是底邊BC上一點，聯結AD，則有：AB^2×CD+AC^2×BD=(AD^2+BD×DC)×BC 也可以有另一種表達形式：設BD=u，DC=v，則有：AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv

三十一．笛沙格定理

平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

三十二．牛頓定理

牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

牛頓定理3 圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合。．

第三篇：中值定理在不等式證明中的應用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數構造法.在泰勒中值定理證明不等式的應用中，給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區間的中點、已知區間的兩端點、函數的極值點或最值點、已知區間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好的運用泰勒中值定理證明不等式.并對柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應用問題作簡單介紹.關鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數構造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結束語 ……………………………………………………………………………（18）參考文獻 …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數學中的重要內容，也是數學中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實用的方法.人們對中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，它們建立了函數值與導數值之間的定量聯系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應用導數判斷函數上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態.此外，在極值問題中有重要的實際應用.微分中值定理是數學分析乃至整個高等數學的重要理論，它架起了利用微分研究函數的橋梁.微分中值定理從誕生到現在的近300年間，對它的研究時有出現.特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內發表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數的單調性證明，利用微分中值定理證明，利用函數的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無從下手，探究其原因，一是中值定理的內容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對中值定理的基礎及靈活性要求較高.我們在日常教學中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數學中最基本的內容之一，我們有必要把這類問題單獨拿出來進行研究，找出它們的共性，以方便我們日后的教學研究工作的開展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國數學家，力學家，文學家）.拉格朗日中值定理 設函數f?x?在閉區間[a,b]上連續，在開區間?a,b?內可導，則在開區間(a,b)內至少存在一點x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當f?a??f?b?時的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構造一個輔助函數f?x?；a 由欲證形式構成“形似”的函數區間.b 運用拉格朗日公式來判斷.證明 設f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因為 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評注 此題如果單純地應用初等數學的方法來證明，會難以得出結論，而應用了拉格朗日公式，再利用三角函數的簡單知識，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數的有關知識，構造一個輔助函數f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因為1?1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設函數，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區間?b,a?上滿足拉格朗日定理條件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因為xp當p?1時為單調增函數，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據題中式子構造一個相似函數，f?x??lnx和定義區間?a,b?.（2）利用對數的四則運算法則，將對數式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結論.證明 設f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評注 解此題關健在于觀察要證明的不等式中把對數式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來輕松地得出結論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對數的有關知識，構造了一個輔助函數lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當h?0時，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當-1?h?0時，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評注 證明此種不等式的關健是構造一個輔助函數，再利用初等數學的有關知識來證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續、可導，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當x?0時，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因為e??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當x?0時，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因為此時0?e??1，三邊同時乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當x?0時，ex?x成立.從以上例題可以發現：靈活構造“a,b”的取值，不僅可使證明過程簡單，有時甚至是解題的關鍵.2.2.3 輔助函數構造法

例2.6[4] 設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?內可導，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數．證明至少存在一點?（a???b）證明 做輔導函數

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數．

因為f(x)不為形如Ax?B的函數，所以至少存在一點c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因為?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因為?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內至少有一點?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應用定理進行證明．利用拉格朗日中值定理證明問題時，如何構造輔助函數，是證明的關鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數f(x)在含有x0的開區間?a,b?內有直到n?1階導數，則對任一點x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數展開點x?(a,b)的不同情況來證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點取值法

選區間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當的值，通過兩式相加，并對某些項進行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式.下面以實例說明.例3.1[5] 設在區間?a,b?內，f''(x)> 0，試證：對于?a,b?內的任意兩個不同點x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因為f''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結論可推廣如下：

對?a,b?內任意n個不同點x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設函數f(x)在區間[a，b]上二階連續可導，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個值.因為f(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點取值法

當條件中出現f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現廠f(a),f(b),f''(?)，展開點常選為區間兩端點a,b,然后在泰勒公式中取x為適當的值，消去多余的項，可得待證的不等式.例3.3 函數f(x)在區間[a，b]上二階可導，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內至少存在一點?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當題中不等式出現函數的極值或最值項，展開點常選為該函數的極值點或最

值點.例3.4[6] 設函數f(x))在區間?a,b?內二階可導，且存在極值f(c)及點p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當x0??a,?時，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當x0??a,?時，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當題中條件“連續”去掉，而其他條件不變時，結論可改為在?a,b?內至少存在一點，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當題中條件添加maxf(x)?0時，結論可改為：在?a,b?內至少存在一點

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點取值法

當題中結論考察f(x),f'(x),f''(x)的關系時，展開點常選為該區間內的任意點，然后在泰勒公式中取x為適當的值，并對某些項作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數f(x)在區間?a,b?上二階可導，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負常數，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數f(x)在區問?a,b?上二階可導，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點出發，應用實際范例給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區間的中點，已知區間的兩端點，函數的極值點或最值點，已知區間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設函數f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區間?a,b?上連續；

（2）在開區間?a,b?內可導；

（3）對任一x??a,b?有g?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設函數f?x?在?-1,1?內可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內，f?x??1.證明 引入輔助函數g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因為f?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉化為f?x??g?x??x?0?.由于上應用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉化為f'????g'???.因為

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當x???0時，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實際上只需證

cosx1?cosx2設f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理條件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調增加函數.sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一點?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區間?a,b?上連續，且g?x?在?a,b?上不變號，則在?a,b?至少存在一點?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因為

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區間?0,2?上求函數f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運算性質，故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也常考慮用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數是兩個函數之積時，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時，可以根據估計定積分的值在證明比較簡單方便.結束語

深入挖掘滲透在這一定理中的數學思想，對于啟迪思維，培養創造能力具有重要 意義.偉大的數學家希爾伯特說“數學的生命力在于聯系” ．數學中存在著概念之間的親緣關系，存在著理論結構各要素之間的聯系，存在著方法和理論之間的聯系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯系，因此探索數學中各種各樣的聯系乃是指導數學研究的一個重要思想．實際上，具體地分析事物的具體聯系，是正確認識和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說，數學的真正任務就在于揭示數學對象之間、數學方法之間的內在固有聯系，這一任務的解決不斷推動數學科學向前發展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯系其它，只從式子本身所表達的意思去證明.今后應當注重研究中值定理各定理之間的聯系，更好的應用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻

[1] 高尚華.華中師范大學第三版.數學分析(上)[M].北京:高等教育出版社，2001，(06).[2] 董煥河、張玉峰.高等數學與思想方法[M].陜西:西安出版社，2000，(09).[3] 高崚峰.應用微分中值定理時構造輔助函數的三種方法[J].四川:成都紡織高等專科學校學報.2007，(07):18-19.[4] 張太忠、黃星、朱建國.微分中值定理應用的新研究[J].江蘇:南京工業職業技術學院學報.2007，(8):12-14.[5] 張元德、宋列俠.高等數學輔導30講[M].清華大學出版社，1994，(6).[6]AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University，Vol.17，No.2，Jun.2003:132-136.[7] 鐘朝艷.Cauchy中值定理與Taylor定理得新證明[J].云南:曲靖師專學報.1998，(9):9.[8] 荊天.柯西中值定理的證明及應用[J].北京:科技信息(學術版).2008，(06):14.[9] 葛健牙、張躍平、沈利紅.再探柯西中值定理[J].浙江:金華職業技術學院學報.2007，(06):23.[10]劉劍秋、徐綏、高立仁.高等數學習題集(上)[M].天津:天津大學出版社，1987，(07).[11] 劉法貴、左衛兵.證明積分不等式的幾種方法[J].高等數學研究，2008，(06).[12] 蔡高廳.高等數學[M].天津大學出版社，1994，(06).[13] W.Rmdin，Principle of Mathematical Analysis（Second edition）[J].Mc Graw-Hill，New York，1964，(09):96-102.致謝

從2008年9月到現在，我在黃淮學院已經渡過接近四年的時光．在論文即將完成之際，回想起大學生活的日日夜夜，百感交集.在大學學習的四年時間里，正是老師們的悉心指導、同學們的熱情關照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學業．在此對他們表示誠摯的謝意!本論文是在導師鐘銘的悉心指導下完成的.導師淵博的專業知識，嚴謹的治學態度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠.他對數學理論在經濟，金融領域中的應用的想法和建議，使學生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導師的指導下完成的，傾注了導師大量的心血.在此，謹向導師表示崇高的敬意和衷心的感謝！

感謝數學科學系其他老師講授的數學基礎課程，為我夯實了數學研究的理論基礎，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數學系全體領導、老師、同學創造了一個寬松，自由的學習環境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對我的論文完成過程中給我的指導，她們深厚的數學功底以及對數學應用軟件操作等方面的知識給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠摯的感謝送給他們，感謝他們無微不至的關心和支持，感謝他們的無私奉獻以及為我所做的一切．

第四篇：李明波四點定理的平面幾何證明

李明波四點定理的平面幾何證明

郝錫鵬

提要2009年9月19日，李明波導出和角余弦恒等式 cos2??cos2??cos2(???)?2cos?cos?cos(???)?1 并用此給出他四點定理的一個平面幾何證明。1和角余弦恒等式

2009年9月19日，李明波由和角三角函數公式

cos(???)?cos?cos??sin?sin?下推

cos(???)?cos?cos???cos2??cos2?，(1?cos2?)(1?cos2?)?[cos?cos??cos(???)]2，1?cos2??cos2??cos2?cos2?

?cos2?cos2??2cos?cos?cos(???)?cos2(???)，從上式兩面消去cos2?cos2?再移項便得恒等式

cos2??cos2??cos2(???)?2cos?cos?cos(???)?12四點定理的證明

在圖1中，李明波根據余弦定理得

a2?c2?b

2cos??

12ac

b2?c2?a2

cos??1

2bc

cos(???)?a2?b2?c2

2ab（1）（2）3-1）3-2）3-3）（（（B

B

a

A

c c1

a1

圖 1

b1 c1

b1

b

C

A c

D

C

a1

圖 2

D

將(3-1)、(3-2)、(3-3)代入（2式）得

a2?c2?b122b2?c2?a122a2?b2?c122()?()?()

2ac2bc2aba2?c2?b12b2?c2?a12a2?b2?c12

?2???1

2ac2bc2ab

上式兩面同乘4a2b2c2去分母得

b2(a2?c2?b12)2?a2(b2?c2?a12)2?c2(a2?b2?c12)2

?(a2?c2?b12)(b2?c2?a12)(a2?b2?c12)?4a2b2c2（4）

將（4）展開并進行繁雜的整理便得四點定理：

a2a12(?a2?a12?b2?b12?c2?c12)?b2b12(a2?a12?b2?b12?c2?c12)

?c2c12(a2?a1?b2?b12?c2?c1)

2?a2b2c1?a2b12c2?a12b2c2?a12b12c12（5）

在圖2中，上述證明過程的（3-3）式可改寫為cos[360??(???)]

a2?b2?c12

?cos(???)?，所以（5）式同樣也適合于圖2。

2ab

第五篇：解析法證明平面幾何經典問題--舉例

五、用解析法證明平面幾何問題----極度精彩！充分展現數學之美感！何妨一試？

例

1、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引兩條直線分別交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1圖）（例2圖）

例

2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

【部分題目解答】

例

1、(難度相當于高考壓軸題)

如圖，以MN為x軸，A為原點，AO為Y軸建立坐標系，設圓的方程為：x2?(y-a)2?r2,設直線AB的方程為：y?mx,直線AD的方程為：y?nx,點B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；則B、C222x?(y-a)?r,消去y得：（1?m2)x2-2amx?a2-r2?{y?mx2ama2-r

2由韋達定理知：x1?x2?2;x1x2?2,m?1m?12ana2-r2

同理得：x3?x4?2;x3x4?2, n?1n?1直線CD方程為：y-y2?y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q點橫坐標：xQ?

同理得P點橫坐標：xP?x1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要證明AP?AQ，只需證明：xQ?-xP3223?-1441, y2-y3y4-y1

即證明：（x3y2-x2y3）（?y4-y1）?（-x1y4-x4y1）（?y2-y3）

將上式整理得：y3y4(x1?x2)?y1y2(x3?x4)?x1y2y4?x2y1y3?x3y2y4?x4y1y3

注意到：y1?mx1,y2?mx2;y3?nx3,y4?nx4，代入整理得：

左邊?m2x1x2(x3?x4)?n2x3x4(x1?x2),右邊?mn[x1x2(x3?x4)?x3x4(x1?x2)] 把上述韋達定理的結論代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m?n)2a-r左邊?m?2?2?n?2?2? 22m?1n?1n?1m?1(m?1)(n?1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m?n)右邊?mn(2???)?m?1n2?1n2?1m2?1(m2?1)(n2?1)

可見：左邊=右邊，故xQ?-xP，即AP?AQ.證畢！

【此題充分體現：化歸思想、設而不求思想方法、數形結合方法、以及分析計算的能力】 標系.例

2、分析：如右圖，建立坐

總體思路：設點A、B、C、D坐標后，求出直線AD、從而求出兩個角度的正切值，證明這兩個角度問題的關鍵是：如何設點C、D而C、D兩點是相互獨立運動的，故把點C、D設AD=BC= r，則C點可以看作是以B為圓心，r上的動點，類似看待D點，故，設

C(a?rcosθ,rsinθ)、D(-a?rcos?,rsin?), 從而得N(cosθ?cos?sinθ?sin?,)22

易得：kBC?tan?,kAD?tan?【此處充分展現了圓的,參數方程的美妙之處】kMN?

sinθ?sin?????tan;cosθ?cos?2