第一篇：換元法在不等式證明中的應(yīng)用(姜本超)

換元法證明不等式例說

姜本超

換元法是指對結(jié)構(gòu)相對比較復(fù)雜的不等式，通過恰當引入新的變量，來代換原命題中的部分式子，通過代換達到減元的目的，以達到簡化結(jié)構(gòu)、便于研究的形式.換元法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛，是證明不等式的常用方法之一.常采用的方法有：三角換元法、均值換元法、幾何換元法、增量換元法及整體換元法.下面我們舉例分析。

1、三角換元法：

把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決.例1.若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?

2證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|

?r|cos2??sin2?|?2???22rcos?2????4??2r2?2

三角換元常的一些常見形式如下：

若0≤x≤1，則可令x = sin?(0????

2)或x = sin2?(??

2????

2).若x2?y2?1，則可令x = cos? , y = sin?(0???2?).若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?).若x≥1，則可令x = sec?(0???

若x?R，則可令x = tan?(??

2????

2?2).).2、均值換元法：

使用均值換元法減少變元，也可以簡化問題的結(jié)構(gòu)，使證明更加簡捷直觀有效。

22例2.已知且，求證：(a?2)?(b?2)?2

52證明：因為且 所以設(shè)

則：

即(a?2)2?(b?2)2?原不等式得證。

23.幾何換元法：

例：設(shè)a、b、c是三角形的三邊長，求證abc?(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c).證明： a?x?y,b?y?z,c?z?x,其中x,y,z均大于0，則欲證的不等式等價于

(x?y)(y?z)(z?x)?2z?2x?2y?8xyz.而(x?y)(y?z)(z?

x)

??8xyz.證畢.在△ABC中，AB?c,BC?a,CA?b，內(nèi)切圓交AB、BC、CA分別于D、E、F，如圖，則可設(shè)a?x?y,b?y?z,c?z?x，其中x,y,z均大于0，幾何換元法能達到利用等式反映出三角形任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系的功效.4.增量換元法：

若一變量在某一常量附近變化時，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個變量。例4.已知證明：設(shè)顯然則，求證：

故

5．整體換元法

對于不等式中較為復(fù)雜的式子，有時可用一個字母來表示，可使不等式的形式得以簡化，便于觀察，尋找思路 例5：設(shè)a,b,c,d?R?.且 a

1?a

?

b

1?b

?

c

1?c

?

d

1?d

?1

求證：abcd? a

證明：令m1?

1?a,m2?

b

1?b,m3?

c

1?c,m4?

d

1?d

則：a2?

m11?m1,b?

m21?m2,c?

m31?m3,d

?

m41?m4

且：m1?m2?m3?m4?

1?m1?m2?m3?m4?1?m2?m1?m3?m4?1?m3?m1?m2?m4?

1?m4?m1?m2?m3?將上面四個式子相乘得：

1m2(1?m1)(?)?(1m3)?(m14

?)m18m12m3 m

即：（mm)23

1?m11?m21?m3m1

m14? 1?m481

abcd?

181

abcd?

利用代換法解決不等式問題，可以起到事半功倍的效果，大大的提高了解題的速度，降

低了試題的難度，但如何選取合理的代換方式，還有待與研究和深思，尋求合理的代換方式

將是進一步研究的方向。

第二篇：怎樣用換元法證明不等式

怎樣用換元法證明不等式

陸世永

我們知道,無論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個難點。人們在證明不等式時創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。

所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡,或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。

一、利用對稱性換元,化繁為簡

例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a,b,c中的兩個互換,不等式不變,說明這是一個對稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為:

?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個較簡單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。

證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則

a?

?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當xyz?0時,有

?x?y???y?z???z?x??8xyz；

當xyz?0時,有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此

yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z?

2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有

?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得:

abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證:

?a

?b?c

?a??

?b?c

?

??ab?bc?ca?

??

?a?b?c?2?a2

?b?c??ab?bc?ca?.?

分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個對稱不等式,因此可考慮令

x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個簡單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。

證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則

x

?y?2z,y?z?

??a?b?

??b?c???c?a?

??0,原不等式可化為:

yy?z

?

??

x

?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得:

yy?z

?

???y?2z???y?z?,?y?z??y2

?yz??y?2z??y?z??0,?

2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對于類似于例1與例2的對稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。

二、借助幾何圖形換元

例3已知a,b,c是?ABC三邊的長，求證：

ab?bc?ca?ab?bc?ca

.分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點,令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R?

則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2????z?z????

?z2?

???x?x????

?x2?

??

?y?y??2x?2y?2z.??

利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。

證明:設(shè)D,E,F為切點,令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2?

????z?z???

?z2?

????x?x???

?x2?

???2x?2y?2z.???1? ?y?y???

又因為x,y,z?R?,則有

y

z

?z?2y,z

x

?x?2z,x

y

?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

從例3可以看出，在證明不等式時，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式。

三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元

例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0?

1???a?

a?

1??1???b??????1.a??b?

分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過對比,發(fā)現(xiàn)a相當于sec2?，b相當于

tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0???

?

??

?

??

?.2?

證明:令a?sec2?,b?tan2??0???

1???a?

1??????a??

??

?, 則 2?

a?b?

1??? b?

sec??1tan??

1???

2sec?tan?sec?

?sin??1，可見原不等式成立。

例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2?

.分析:由x2?y2?1,知點?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則

x?2xy?y

?rcos2??sin2?

?

???2

2rcos?2???

4??2r?

?

2.從例4，例5可以看出，證明不等式時，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式。

四、借助均值不等式換元

例6n個正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證:

xn?1xn?1?xn

x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

?

xn

xn?x1

?

.分析:就這個不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁剑侵苯佑镁挡坏?/p>

式卻難以證明這個不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身棧闪顇1?

x2?x3

xn?x1

n

x1?x2

?m1,x2?

?m2,?,xn?

?mn（其中?mi?0）.i?1

證明:令x1?

n

x1?x2

?m1,x2?

x2?x3

?m2,?,xn?

xn?x1

?mn,則

?m

i?1

i

?0.x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

xn?1xn?1?xn

?

xn

xn?x1

?1?

??x?x?m1n??2n??

xn?x1

?

?1?

??x?x?m21??21??

x1?x2

?

?1?

??x?x?m32??22??

x2?x3

???

?

x1?x2

?

x2?x3

4mn

???

xn?x1

??m1?m2???mn??

m1

x1?x2

?

m2

x2?x3

???

xn?x1

?

2?x1?x2???xn?

?，因而原不等式成立。

例6說明，在證明不等式時，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進行換元。

第三篇：不等式證明四(換元法)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：不等式證明四（換元法）

目的：增強學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。

過程：

一、提出課題：（換元法）

二、三角換元：

證一：證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x?

則2sin?,2y?cos2? 1121????2(1?cot2?)?(1?tan2?)22xysin?cos?

?3?(2cot2??tan2?)?3?2

2例三：若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?2

證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，1則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|

????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4??

例四：若x > 1，y > 1，求證：xy?1?(x?1)(y?1)

證：設(shè)x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)2?)2

小結(jié) 若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?)。

?)。2

??若x?R，則可令x = tan?(????)。22若x≥1，則可令x = sec?(0???

三、代數(shù)換元：

例六：證明：若a > 0，則a2?11?2?a??2 2aa

1證：設(shè)x?a?,ay?a2?

21,(a?0,x?2,y?2)2a21??21?則x2?y2??a?a?2??2 ??????a??a??

x?y?a?11?a2?2?2?2（當a = 1時取“=”）

aa

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3

第四篇：換元法證明不等式

換元法證明不等式

已知a,b,c,d都是實數(shù),且滿足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求證:|ac+bd|≤

2a=cosA,b=sinA

c=2cosB,d=2sinB

|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|

<=2

得證

若x+y+z=1，試用換元法證明x2+y2+z2≥1/

3解法一：(換元法)

證明：因為

(x-1/3)^2+(y-1/3)^2+(z-1/3)^2≥0

展開，得

x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0

x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0

x^2+y^2+z^2≥1/3。

其中等號當且僅當x=y=z=1/3時成立

解法二：

因為:x+y+z=

1所以:(x+y+z)2=1

化解為:x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1

又因為：

x2+y2≥2xy;

x2+z2≥2xz;

y2+z2≥2yz;

所以x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1<=3(x2+y2+z2)

固x2+y2+z2≥1/3

例1：已知a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3

證明：令a=m+1/3，b=n+1/3，c=t+1/3，則m+n+t=0

∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2

=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3

=m2+n2+t2+1/3

∵m2+n2+t2≥0，∴a2+b2+c2≥1/3得證。

換元的目的：轉(zhuǎn)化、化簡已知條件，使已知條件更易于使用。

例2：已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)

證明：令x=a-b，y=b-c，則a-c=x+y且x>0，y>0

∴原不等式轉(zhuǎn)化為：1/x+1/y≥4/(x+y)

因此，只要證明：(x+y)/x+(x+y)/y≥

4只要證：1+y/x+1+x/y≥4

只要證：y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立。

∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)得證。

換元的目的：

化簡、化熟命題，把復(fù)雜的、不熟悉的命題化為簡單的、熟悉的命題。

例3：已知(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0，求證：(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/

2證明：令x2+y2=t

由(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0整理得：

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2

∴(x2+y2)2-3(x2+y2)+1≤0

∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5)/2≤t≤(3+√5)/2

∴(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/2得證。

換元的目的：轉(zhuǎn)化條件，建立條件與結(jié)論間的聯(lián)系。

例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求證：x2+y2+z2≥59/1

4證明：設(shè)x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k，則x=k+1，y=2k-1，z=3k+2

∴x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2

=14k2+10k+6

=14(k2+5k/7)+6

=14(k+5/14)2+59/14≥59/14

∴x2+y2+z2≥59/14得證。

換元的目的：減少未知數(shù)的個數(shù)，直接利用已知條件。

例5：已知a>0，求證：(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5

證明：設(shè)t1=a0.5，t2=(a+a0.5)0.5，……，tn=(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5tn=(a+tn-1)0.5

tn2=a+tn-1，且tn>0，而tn>tn-

1∴tn20

∴tn

換元的目的：轉(zhuǎn)換、化簡命題

例6：已知a≥c>0，b≥c，求證：√c(a-c)+√c(b-c)≤√ab

證明：要證明原不等式，只要證明：

√c(a-c)/ab+√c(b-c)/ab≤

1只要證明：√(c/b)(1-c/a)+√c/a(1-c/b)≤1

令sinα=√c/b，sinβ=√c/a，且α、β∈(0，π]

只要證明：sinαcosβ+cosαsinβ≤

1只要證明：sin(α+β)≤1，而sin(α+β)≤1顯然成立

∴原不等式得證。

換元的目的：利用兩個正數(shù)的和等于1進行三角換元，可以將原問題得到極大

程度的化簡，在各種命題的解題中有著廣泛的應(yīng)用。

例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均為正數(shù)，求證：an+bn2且n∈N

證明：設(shè)a=csinα，b=ccosα。α∈(0，π/2)

則：an+bn=cnsinnα+cncosnα=cn(sinnα+cosnα)

∵0

第五篇：換元法證明不等式09

換元法證明不等式

教學(xué)目標：

增強學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。教學(xué)重點：三角換元 教學(xué)過程：

一、提出課題：（換元法）

對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作、適當?shù)淖儞Q，以達到化難為易的目的，這種方法叫換元法。

二、三角換元：

例

一、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：

1x?1y

?3?

22證一：?

?

?1?x

?

1?2xy?(2x?y)?3???3?2?y?yx

?

即：

1x

?

1y

?3?22

證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x則

1x?1y?

2sin

sin?,y?cos

?

?

?

1cos

?

?2(1?cot?)?(1?tan

?)

?3?(2cot??tan

?)?3?2

例二：若x2證：設(shè)x則|

x

?y

?1，求證：|x

?2xy?y|?

?rsin?,2

y?rcos?,2

(0?r?1)

2，2

?2xy?y|?|rcos??2rcos?sin??rsin

?|

?r

|cos2??sin2?|?2r

???

cos?2????

4??

???

?2

2r

?2

小結(jié)：若0≤x≤1，則可令x = sin?(0(?

?2???

?2)或x = sin2?)。

?y

若x2若x2

?1，則可令?1，則可令

x = cos? , y = sin?(0x = sec?, y = tan?(0

????2

?2

???2?)。???2?)。

?y

若x≥1，則可令x = sec?(0若x?R，則可令x = tan?(?)。

?2

???)。

三、小結(jié)：

還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法，有興趣的課后還可進一步學(xué)習(xí)。

四、作業(yè)：

1．若a

2?b

?1，求證：asinx?bcosx?

1n

n

n

2． 若|x|≤1，求證：(1?x)?(1?x)?2 3． 已知a＋b=1，求證：a4?b4?

1a

1b

4． 若正數(shù)a、b滿足a＋b=1，求證：

?

?4