第一篇：導數在證明不等式中的應用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學生數理化(學研版)【出版日期】201

1【期 號】第11期【頁 碼】2-3【參考文獻格式】楊建輝,布春霞.導數在證明不等式中的應用[J].中學生數理化(學研版),2011,(第11期).2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國新技術新產品【出版日期】2010【期 號】第14期【參考文獻格式】趙京之.導數在證明不等式中的應用[J].中國新技術新產品,2010,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數學問題中都是非常重要的課題,不等式的研究范圍更廣,難度更大,以函數觀點認識不等式,應用導數為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,Taylor公式,函數的單調性,最值,以及Jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】2004【期 號】第3期【頁 碼】13-14【參考文獻格式】劉偉.導數在證明不等式中的應用[J].電大理工,2004,(第3期).4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢臺師范高專學報【出版日期】1995【期 號】第1期【頁 碼】118-120【參考文獻格式】顧慶菏.導數在證明不等式中的應用[J].邢臺師范高專學報,1995,(第1期).5.【作 者】 劉開生;潘書林【刊 名】天水師范學院學報【出版日期】2000【期 號】第3期【頁 碼】115-116【參考文獻格式】劉開生,潘書林.導數在證明不等式中的應用[J].天水師范學院學報,2000,(第3期).6.【作 者】 陳萬鵬;陳萬超【刊 名】大學數學【出版日期】1990【期 號】第4期【頁 碼】67-71【參考文獻格式】陳萬鵬,陳萬超.導數在證明不等式中的應用[J].大學數學,1990,(第4期).7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號】第60期【頁 碼】69-70【參考文獻格式】高燕.導數在不等式證明中的應用[J].考試周刊,2011,(第60期).8.導數法在證明不等式中的應用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2011【期 號】第Z1期【頁 碼】

5【參考文獻格式】郝文武.導數法在證明不等式中的應用[J].中學生數理化(高二版),2011,(第Z1期).9.導數在證明不等式中的一些應用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師范學院學報(自然科學版)【出版日期】2011【期 號】第S1期【頁 碼】73-75

【參考文獻格式】甘啟才.導數在證明不等式中的一些應用[J].廣西師范學院學報(自然科學版),2011,(第S1期).10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號】第82期【參考文獻格式】王莉聞.導數在不等式證明中的應用[J].考試周刊,2011,(第82期).【摘 要】導數知識是高等數學中極其重要的部分,它的內容、思想和應用貫穿于整個高等數學的教學之中.利用導數證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數的單調性,利用函數的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數學之友【出版日期】2011【期 號】第6期【頁 碼】84，86【參考文獻格式】王翠麗.導數在不等式證明中的應用[J].數學之友,2011,(第6期).12.【作 者】 王強;申玉芹【刊 名】中學數學【出版日期】2012【期 號】第9期【頁 碼】6【參考文獻格式】王強,申玉芹.導數在不等式中的應用[J].中學數學,2012,(第9期).13.【作 者】 朱帝【刊 名】數理化學習【出版日期】2008【期 號】第3期【頁 碼】2-4【參考文獻格式】朱帝.導數在證明不等式中的應用[J].數理化學習,2008,(第3期).14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學院學報【出版日期】2010【期 號】第6期【參考文獻格式】王偉珠.導數在不等式證明中的應用[J].佳木斯教育學院學報,2010,(第6期).15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學數學研究【出版日期】2010【期 號】第11期【頁 碼】24-25【參考文獻格式】張根榮,李連方.導數在不等式證明中的應用[J].中學數學研究,2010,(第11期).【摘 要】“問題是數學的心臟”，數學學習的核心就應該是培養解決數學問題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數學就是意味著善于解題．”“中學數學首要的任務就是加強解題的訓練”．在數學教學中，例題、習題的解答過程是學生建構知識的重要基礎，是學生學習不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學有限的45分鐘內，如何發揮例題的功能，16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開發：中旬刊【出版日期】2010【期 號】第7期【頁 碼】176-177【參考文獻格式】張萍.導數在證明不等式中的有關應用[J].西部大開發：中旬刊,2010,(第7期).【摘 要】導數是高等數學中最基本最重要的內容之一，用導數的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強的靈活性和技巧性。掌握導數在不等式中的證明方法和技巧對學好高等數學有很大幫助。本文將通過舉例和說明的方式來闡述不等式證明中導數的一些方法和技巧，提高學生用導數證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學研究)【出版日期】2011【期 號】第11期【頁 碼】31【參考文獻格式】李旭金.導數在不等式中的應用[J].新作文(教育教學研究),2011,(第11期).18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】2009【期 號】第3期【頁 碼】241-243【參考文獻格式】李晉.導數在不等式證明中的應用[J].大視野,2009,(第3期).第5期【頁 碼】24-26【參考文獻格式】高芳.導數在不等式證明中的應用[J].商丘職業技術學院學報,2009,(第5期).20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學院學報(學科版)【出版日期】2009

【期 號】第9期【頁 碼】85-86【參考文獻格式】蔡金寶.導數在不等式證明中的應用[J].吉林省教育學院學報(學科版),2009,(第9期).21.淺談導數在不等式證明問題中的應用【作 者】 姜治國【刊 名】考試(高考 數學版)【出版日期】2009【期 號】第Z5期【頁 碼】54-56【參考文獻格式】姜治國.淺談導數在不等式證明問題中的應用[J].考試(高考 數學版),2009,(第Z5期).22.導數在不等式中的一些應用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學報·自然科學版【出版日期】2010【期 號】第2期【頁 碼】123-124，127【參考文獻格式】陶毅翔.導數在不等式中的一些應用[J].寧德師專學報·自然科學版,2010,(第2期).23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】2010【期 號】第8期【參考文獻格式】陳海蘭.導數在不等式中的應用[J].科技信息,2010,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導數來證明不等式的方法,通過這些方法,可以比較簡潔,快速地解決一些不等式的證明問題.24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨詢導報【出版日期】2007【期 號】第5期

【頁 碼】95-96【參考文獻格式】胡林.導數在不等式證明中的應用[J].科技咨詢導報,2007,(第5期).25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】2006【期 號】第36期【頁 碼】148【參考文獻格式】胡林.導數在不等式證明中的應用[J].科技資訊,2006,(第36期).26.【作 者】 周曉農【刊 名】貴陽金筑大學學報【出版日期】2000【期 號】第3期【頁 碼】107-110+87【參考文獻格式】周曉農.導數在不等式證明中的應用[J].貴陽金筑大學學報,2000,(第3期).27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中學理科：綜合【出版日期】2008【期 號】第9期【頁 碼】52【參考文獻格式】葛江峰.導數在不等式中的應用[J].中學理科：綜合,2008,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導數與傳統的不等式證明有機結合在一起設問，是一種新穎的命題模式，體現導數在分析和解決一些函數性質問題的工具作用，以下介紹幾種應用導數證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龍巖師專學報(自然科學版)【出版日期】1997

【期 號】第3期【頁 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻格式】梁俊平.導數在不等式證明中的應用[J].龍巖師專學報(自然科學版),1997,(第3期).期【頁 碼】48-53【參考文獻格式】楊耀池.導數在不等式中的應用[J].數學的實踐與認識,1985,(第2期).30.例說應用導數證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數學學習與研究(教研版)【出版日期】2008【期 號】第11期【頁 碼】109-110【參考文獻格式】馮仕虎.例說應用導數證明不等式[J].數學學習與研究(教研版),2008,(第11期).

第二篇：導數在不等式證明中的應用

導數在不等式證明中的應用

引言

不等式的證明是數學學習中的難點，而導數在不等式的證明中起著關鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待,不等式的證明是數學學習的重要內容之一,也是難點之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數學歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學完導數及其應用這一內容以后,可以利用導數的定義、函數的單調性、最值性(極值性)等相關知識解決一些不等式證明的問題。導數也是微積分的初步基礎知識，是研究函數、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導數應用。不等式的證明在數學課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培養我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。對導數的定義、微分中值定理、函數的單調性、泰勒公式、函數的極值、函數的凹凸性在不等式證明中的應用進行了舉例。

一、利用導數的定義證明不等式

定義 設函數f?f?x?在點x0的某領域內有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為函數f在點x0處的導數，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導數是函數增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個增量比稱為函?x數關于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導數f'?x0?則為f在x0處關于x的變化率。

以下是導數的定義的兩種等價形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因為 f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導數的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因為h?1???0, 326例

2、已知函數f?y??要證當x?1時，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因為 當y?1時, h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結論中不等式的一邊；再利用導數的定義并結合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試利用中值公式

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當的放縮到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數滿足如下條件:(i)f在閉區間[a,b]上連續；(ii)在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當h?0時，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當?1?h?0時，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關鍵是將所要證明的結論與已知條件歸結為一個函數在某區間上的函數增量，然后利用中值定理轉化為其導數的單調性等問題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設函數f和g滿足(i)在[a,b]上都連續；(ii)在(a,b)內都可導；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設 f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構造輔助函數f?y?和g?y?，則對任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數的單調性證明不等式

證明思路 首先根據題設條件及所證不等式，構造適當的輔助函數f?x?，并確定區間[a,b]；然后利用導數確定f?x?在[a,b]上的單調性；最后根據f?x?的單調性導出所證的不等式.1.直接構造函數，再運用函數的單調性來證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時，f''?y??0，有f'?y?單調增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構造函數并來證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對數的底)證明 設f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因為 lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導數思想,先通過特征不等式構 造一個函數, 再判定其函數單調性來證明不等式成立,這就是利用函數的單調性證明不等式的思想。

構造輔助函數有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構造輔助函數；  2.用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數； 3.根據不等式兩邊結構構造“形似”輔助函數； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數形式,則可通過取對數將其化為易證明的形式再根據具體情況由以上所列方法構造輔助函數.四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內具有(n+1)階導數，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設f?y?在[0,1]上二階可導，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導，故在[0,1]上連續, 據最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當c?(0,]時，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當c?(,1)時, f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數f?x? 在所給區間端點或一些特點(如區間的中點，零點)進行展開，通過分析余項在?點的性質，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時要結合其它知識一起使用,如當使用的不等式中含有積分號時,一般要利用定積分的性質結合使用泰勒公式進行證明;當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數的混合式時,需要作一個輔助函數并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。

五、利用函數的最值(極值)證明不等式

由連續函數在[a,b]上的性質,若函數f在閉區間[a,b]上連續,則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續函數的最大,最小值提供了理論保證。

若函數f的最大(小)值點x0在區間(a,b)內,則x0必定是f的極大(小)點。又若f在x0可導,則x0還是一個穩定點。所以我們只要比較f在所有穩定點、不可導點和區間端點上的函數值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構造輔助函數，再求出f?x?在所設區間上的極值與最大、最小值，進而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當r?1時，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因為 f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點為x?又因為當r?1時，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當y?1時, ey?證明 作輔助函數 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內的唯一駐點，且當y?0時，f'(y)?0 ；當0?y?1時，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點，f?0??1是f?y?的極大值.因為當y由小變大時，f?y?由單調增變為單調減, 故f?0??1同時也是f?y?的最大值, 所以，當y?1時，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對不等式的證明過程中，可以以不等式的特點為根據，以此來構造函數，從而運用導數來得出函數的最值，而此項作用也是導數的另一個功能，即可以被用作求函數的最值。例如，當此函數為最大或最小值的時候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠成立的，從而可以將證明不等式的問題轉化到求函數最值的問題上來。

六、利用函數的凹凸性質證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數y?f?x?的圖形為凹的，即對任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當且僅當x1?x2時成立． 22 8 例

10、設r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號僅在r?h 時2由上式看出，左邊是函數f?k??klnk在r，h兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點r?h處的函數值．這時只需證f''?k??0即可． 2證明 構造輔助函數

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號僅在r?h 時成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因為有

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結:通過對導數證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應用原理，挖掘導數的各種性質。多做此類難題，不但有利于我們在學習和考試中輕松解決同類問題，更有利于培養我們的數學思維和推理論證能力。因而導數在不等式證明當中的應用很有研究價值。

第三篇：導數在不等式證明中的應用

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導數在不等式證明中的應用

作者：唐力 張歡

來源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過程太難，應用高等數學中的導數方法來證明不等式，往往能使問題變得簡單.關鍵詞： 導數 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數y=f（x）滿足：1）在閉區間[a，b]上連續，2）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少有在一點ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.

第四篇：應用導數證明不等式

應用導數證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數學與統計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數學和高等代數中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數的觀點來認識不等式，以導數為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數 不等式最值中值定理單調性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內容為：

定理1.如果函數f?x?在閉區間?a,b?上連續，在開區間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據函數的單調性和最大值和最小值。

（2）我們可根據其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數單調性證明不等式

我們在初等數學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據函數的導數的思想來判斷大小。

定理：設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?可導，那么

（1）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞增。

（2）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞減。

使用定理：要證明區間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數的最大值和最小值證明不等式

當等式中含有“=”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數f(x)在閉區間?0,1?上連續，因而在閉區間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區間端點(x?0和x?1)的函數值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數的泰勒展式證明不等式

若函數f(x)在含有x0的某區間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變為麥克勞林公式

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數f(x)滿足：（1）在區間?a,b?上有二階導函數f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區間?a,b?內至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.?4?華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

第五篇：導數在不等式中的應用

指導教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數的單調性，極值，冪級數展開式，凹凸性等進行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結了應用各種方法進行證明的基本思路。

關鍵字：導數的應用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數學里已介紹過若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數學歸納法和構造法等。然而，有些不等式用初等數學的方法是很難證明的，但是應用導數證明卻相對較容易些，在處理與不等式有關的綜合性問題時，也常常需要構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數來研究函數的性態。因此，很多時候可以以導數為工具得出函數的性質，從而解決不等式問題，現具體討論導數在解決不等式有關的問題時的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導數與函數之間的關系，證明不等式則是它的一個簡單應用。

拉格朗日中值定理：若函數f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區間?a,b?上連續；（2）在開區間?a,b?內可導，則在?a,b?內至少存在一點?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應用拉格朗日中值定理證明的不等式的類型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當的選取函數f(x)并使函數f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導數形式和M或m形式上的聯系。

（2）通過求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構造函數f(x)?x，則顯然f在區間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又