第一篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式大全
2a ?b?? ??1?1a?b
2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2
2??2 2??a?b????整式形
式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數(shù)形式??1 ?a?0?a???2?a??
1.比較法、分析法、換元法
一.比較法（作差比較或作商比較）
1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負）、得出結(jié)論。
2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證
作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。
222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb
22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?
1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab
b?a
2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a
二.分析法
a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：
2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2
∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22
∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223
3a3?b3(a?b)3
?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。
2?a?b?練習．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2
2.求證
a2?b2a?a?
均值不等式
例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?
111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a
（2）a?b?c?
例4設(shè)a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1 114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c 2.均值換元法： 使用均值換元法能達到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2?? 2225 2 例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證： 4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c 例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab 不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題: （一）比較法證明不等式 ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn? 2.a,b,m,n?R 3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a? 3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證： （二）綜合法證明不等式 ?a,b,c?R1.設(shè),3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證: ?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc 124???18(2)abc 1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc （三）分析法證明不等式 1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設(shè),求證: 4.若a,b,c三數(shù)均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc 41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322 6.實數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證: ?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2 (1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab 高三第一輪復習——比較法、分析法、綜合法與換元法證明不等式 1.比較法、分析法、綜合法證明不等式 “比較法”、“分析法”、“綜合法”是不等式的證明最基本的三種方法，是高考考查的重要思維方法，雖然證明不等式的方法靈活多樣，但都是圍繞這三種基本方法展開。 一.比較法（作差比較或作商比較） 1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負）、得出結(jié)論。 2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證 作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。 222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb 證：bc2?ca2?ab2?b2c?c2a?a2b??c?b?a2?b2?c2a?bc2?b2c ?????? ??c?b?[a2??b?c?a?bc] ??c?b??a?b??a?c? ?a?b?c,?c?b?0,a?b?0,a?c?0，故?c?b??a?b??a?c??0，即bc?ca?ab?bc?ca?ab 22222 2【評注】用比較法證明不等式的關(guān)鍵是變形，變形的目的為了第三步判斷服務(wù)，作差變形的方向主要是因式分解和配方。作商比較法在證明冪、指數(shù)不等式中經(jīng)常用到，同時應(yīng)注意作商法時除式的正負。 二.分析法 從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件已具備，那么就可以斷定所證不等式成立。 2?a?b?例2．已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b 222?a?b?證：要證8a?a?b? a?b??ab?28b 2?a?b?只需證8a?a?b 2?22?a?b?，?8b ?a?b?0，?只需證a?b 22a?a?2?a?b 22b，即a?b 2a?1?a?2 欲證a?b 2a?1，只需證a??2a，即?a顯然成立。 欲證a?b 22a?1，只需證a??2，即b?a顯然成立。a?2?a?b?1?成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。 【評注】分析法是“執(zhí)果索因”，重在對命題成立條件的探索，不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”，分析法的過程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件。敘述雖繁鎖，但也要注意書寫的嚴謹規(guī)范，“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞不可缺少。 三.綜合法 它是一種“由因執(zhí)果”的證明方法，即從一個已知或已證明的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件替代前面的不等式，直到推出欲證的不等式。 例3.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg 證：要證lga?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc 222a?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc成立 22 2即證lg??a?bb?cc?a?????lg?abc?成立。222?? a?bb?cc?a???abc成立。222只需證 ?a?bb?cc?a?ab?0,??0,?ca?0，222 a?bb?cc?a???abc?0成立（*）222? 又?a,b,c是不全相等的正數(shù)，?（*）式等號不成立，?原不等式成立。 【評注】綜合法實質(zhì)上是分析法的逆過程，在實際證題時，可將分析法、綜合法結(jié)合起來使用，即用分析法分析，用綜合法書寫。也可證明過程中即使用分析法，又結(jié)合綜合法來證明不等式成立。 2.換元法證明不等式 換元法是指對結(jié)構(gòu)比較復雜、量與量之間關(guān)系不太直觀的命題，通過恰當引入新的變量，來代換原命題中的部分式子，通過代換達到減元的目的，以達到簡化結(jié)構(gòu)、便于研究的形式。換元法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛，常采用的方法有：（1）三角換元法、（2）均值換元法、（3）幾何換元法及（4）增量換元法。 一.三角換元法： 把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。 2222例1.已知a，b?R，且a?b?1，求證：a?2ab?b? 2證明：設(shè)a?rcos?，b?rsin?，其中r?1，??0，2? 2222222則a?2ab?b?rcos??2rsin?cos??rsin? ?? ?r2cos2??r2sin2? ????2rsin?2????24??2 ?a2?2ab?b2?2，原不等式得證。 2.均值換元法： 使用均值換元法能達到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。 例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2??2225 2 證明：因為a，b?R且a?b?1，所以設(shè)a? 211?t，b??t(t?R)222 則：?a?2???b?2?22?1??1????t?2????t?2? ?2??2? 22?5??5????t????t?2??2?? 2525??2t2?22 即?a?b???b?2?? 3.幾何換元法： 在△ABC中，AB?c，BC?a，CA?b，內(nèi)切圓交AB、BC、CA分別于D、E、F，如圖，則可設(shè)a?x?y，b?y?z，c?z?x，其中x?0，y?0，z?0。幾何換元法能達到利用等式反映出三角形任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系的功效。2225，原不等式得證。2 例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c證明：設(shè)a?x?y，b?y?z，c?z?x，其中x，y，z?0 則abcx?yy?zz?x?? ???b?c?aa?c?ba?b?c2z2x2y ?1??xz??yz??yx??????????????? ????2??zx??xy??xy?? 1?xzyzyx??2?2?2??3 2?zyxy??zx?? 原不等式得證。 4.增量換元法： 若一變量在某一常量附近變化時，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個變量。例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab 證明：設(shè)a?2?m，b?2?n，顯然m?0，n?0 則a?b?ab?2?m?2?n??2?m??2?n? ?4?m?n?4?2m?2n?mn ??m?n?mn?0 故a?b?ab Xupeisen110高中數(shù)學 教材：不等式證明四（換元法） 目的：增強學生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。 過程： 一、提出課題：（換元法） 二、三角換元： 證一：證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x? 則2sin?,2y?cos2? 1121????2(1?cot2?)?(1?tan2?)22xysin?cos? ?3?(2cot2??tan2?)?3?2 2例三：若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?2 證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，1則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?| ????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4?? 例四：若x > 1，y > 1，求證：xy?1?(x?1)(y?1) 證：設(shè)x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)2?)2 小結(jié) 若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?)。 ?)。2 ??若x?R，則可令x = tan?(????)。22若x≥1，則可令x = sec?(0??? 三、代數(shù)換元： 例六：證明：若a > 0，則a2?11?2?a??2 2aa 1證：設(shè)x?a?,ay?a2? 21,(a?0,x?2,y?2)2a21??21?則x2?y2??a?a?2??2 ??????a??a?? x?y?a?11?a2?2?2?2（當a = 1時取“=”） aa 四、小結(jié)： 五、作業(yè)： 1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3 怎樣用換元法證明不等式 陸世永 我們知道,無論在中學,還是在大學,不等式的證明都是一個難點。人們在證明不等式時創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。 所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡,或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化,變得容易處理。 一、利用對稱性換元,化繁為簡 例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a,b,c中的兩個互換,不等式不變,說明這是一個對稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為: ?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個較簡單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。 證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則 a? ?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當xyz?0時,有 ?x?y???y?z???z?x??8xyz； 當xyz?0時,有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此 yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z? 2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有 ?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得: abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證: ?a ?b?c ?a?? ?b?c ? ??ab?bc?ca? ?? ?a?b?c?2?a2 ?b?c??ab?bc?ca?.? 分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個對稱不等式,因此可考慮令 x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個簡單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。 證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則 x ?y?2z,y?z? ??a?b? ??b?c???c?a? ??0,原不等式可化為: yy?z ? ?? x ?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得: yy?z ? ???y?2z???y?z?,?y?z??y2 ?yz??y?2z??y?z??0,? 2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對于類似于例1與例2的對稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。 二、借助幾何圖形換元 例3已知a,b,c是?ABC三邊的長，求證： ab?bc?ca?ab?bc?ca .分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點,令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R? 則原不等式可轉(zhuǎn)化為: ?y2????z?z???? ?z2? ???x?x???? ?x2? ?? ?y?y??2x?2y?2z.?? 利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。 證明:設(shè)D,E,F為切點,令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為: ?y2? ????z?z??? ?z2? ????x?x??? ?x2? ???2x?2y?2z.???1? ?y?y??? 又因為x,y,z?R?,則有 y z ?z?2y,z x ?x?2z,x y ?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。 從例3可以看出，在證明不等式時，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式。 三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元 例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0? 1???a? a? 1??1???b??????1.a??b? 分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過對比,發(fā)現(xiàn)a相當于sec2?，b相當于 tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0??? ? ?? ? ?? ?.2? 證明:令a?sec2?,b?tan2??0??? 1???a? 1??????a?? ?? ?, 則 2? a?b? 1??? b? sec??1tan?? 1??? 2sec?tan?sec? ?sin??1，可見原不等式成立。 例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2? .分析:由x2?y2?1,知點?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則 x?2xy?y ?rcos2??sin2? ? ???2 2rcos?2??? 4??2r? ? 2.從例4，例5可以看出，證明不等式時，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式。 四、借助均值不等式換元 例6n個正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證: xn?1xn?1?xn x1 x1?x2 ? x2 x2?x3 ??? ? xn xn?x1 ? .分析:就這個不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁剑侵苯佑镁挡坏?/p> 式卻難以證明這個不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身棧闪顇1? x2?x3 xn?x1 n x1?x2 ?m1,x2? ?m2,?,xn? ?mn（其中?mi?0）.i?1 證明:令x1? n x1?x2 ?m1,x2? x2?x3 ?m2,?,xn? xn?x1 ?mn,則 ?m i?1 i ?0.x1 x1?x2 ? x2 x2?x3 ??? xn?1xn?1?xn ? xn xn?x1 ?1? ??x?x?m1n??2n?? xn?x1 ? ?1? ??x?x?m21??21?? x1?x2 ? ?1? ??x?x?m32??22?? x2?x3 ??? ? x1?x2 ? x2?x3 4mn ??? xn?x1 ??m1?m2???mn?? m1 x1?x2 ? m2 x2?x3 ??? xn?x1 ? 2?x1?x2???xn? ?，因而原不等式成立。 例6說明，在證明不等式時，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進行換元。第二篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法
第三篇：5高三第一輪復習——比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式
第四篇：不等式證明四(換元法)
第五篇：怎樣用換元法證明不等式
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