第一篇：綜合法與分析法證明不等式(一)5
2011—2012學年度第二學期高二數(shù)學教案選修4-5不等式第5課時江蘇省鄭梁梅高級中學高二數(shù)學教案（理）
主備人：馮龍云做題人: 顧華章審核人: 曾慶亞
不等式的證明—綜合法和分析法(1)
一、教學目的：
1、理解綜合法和分析法證明不等式的原理與思維特點；
2、掌握由學過的基本不等式來證明一些新的不等式。
二、教學重難點：
重難點：綜合法和分析法證明不等式
三、教學方法：通過對比，體會兩種方法的異同，感受不等式證明中思路、方法的多樣性。
四、教學過程：
新課講授：
綜合法證題的思維過程：條件?結論
分析法證題的思維過程：結論?條件
例題講解：
例
1、已知a、b是正數(shù)，求證：
例
2例
3、已知a、b、m均是正數(shù)，且a< b，求證：
ab?≥2 baa?ma> b+mb
例
4、已知a、b、c?R，求證：a?b?c≥ab?bc?ca
例
5、已知a、b、c、d?R，求證： a?b
例
6、已知a、b、c是正數(shù)，求證：a?b?c≥3abc并指出等號成立的條件
例
7、已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且abc?1。求證：a?b?c?
五、課堂練習：
（1）xy?0，求證：xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx
28江蘇省鄭梁梅高級中學高二數(shù)學作業(yè)（理）
班級姓名學號_______
1、設x?R下列式子正確的有
（1）、xg(l1)2xg)(l?
（3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x
a2?b2aba?b22、若a,b?R，且ab?0，則在①?ab②??2③ab??? 2ba
2a?b2a2?b2
④?這四個式子中，恒成立的個數(shù)是??223、已知a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，則下列式子正確的是
（1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c4、設m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比較大小：mn____xy5、若x?3y-1?0，則2?8的最小值為___________
6、比較大小：lg9?lg11______
1三、簡答題：
7、已知a,b,c?R。求證：
8、已知a,b?R且a?b。求證：
?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b9、已知a、b、c是互不相等的實數(shù)。求證：
a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)
10、已知a,b,c?R，且abc?1。求證：(1?a)(1?b)(1?c)?811、已知a,b,c?R。求證：
12、已知a、b、c均是正數(shù)，且a?b?c?1。求證：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc13、已知a、b、c是不全相等的正數(shù)。
求證： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc
222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc
第二篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法
2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。
【知識要點】
綜合法：從已知出發(fā)，通過一系列正確的推理，得出結論的證明方法。（由因導果）分析法：從要證明的結論出發(fā)，尋找使命題成立的充分條件。（執(zhí)果素因）分析法書寫格式：
題目：已知A，求證B。
證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。
注意：
1．在具體處理問題時，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結合使用。
2．如果采用分析法證明時，要注意書寫的要求。
【基礎訓練】
1．判斷下列推理是否正確：
（1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab （2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（） 2（3）要證a 2．某工廠第二年增長率為a，第三年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（） a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222 1a+b 3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22 （A）R 驏驏驏111 4．設a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab （A）0?M 【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38 例1．設x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2) 解法指導：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a 只要證logaa+a(x-x2) 18(x-x2)驏1 8÷ 2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因為a>0,所以ax>0,a-x> 0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因為x-x2=-?x-÷+，0 4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號不能成立，í?2???x=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2．設a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c 解法指導：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc 1?2ab。因為c? 0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。 1125例3．設x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2 11解法指導：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結論，而xy 得不出要證明的結論。這時可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2? ?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2 (x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因為設x,y是正數(shù)，且x?y?1，所以xy?44xy2 立。故要不得證不等式成立。 思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因為2?(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22 變題1：設x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy 1125變題2：設x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4 1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4 因為 x,y是正數(shù)，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因為x?y?1，所以只要 33332332 證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488 (x?y)2***332 ?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因為xy?8848844 【能力訓練】 一、填空題 222 21．已知a,b?R+，則下列不等式： (1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2．設a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關系為____________。aa+m 二、選擇題 3．(2004年遼寧)對于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（） （A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) 三、解答題 5.設g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設n>0,求證 : 7.若a,b,c均為大于1的數(shù),且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab （1）證明這個命題為真命題； （2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明； （3）將上述命題推廣為關于n個正數(shù)的命題（不必證明）。 不等式的證明（分析法與綜合法）B 一、選擇題 1、若a、b?R，c?Q,則使ac?bc成立的充分條件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0 2、若a>b,m>0,則下列不等式恒成立的是（）A．(a?m)2?(b?m)2B． b?mb ?C．(a?m)3?(b?m)3D．? a?ma 3已知0 a (xy)<0B．0 a (xy)<1C．1 a (xy)< 2D．loga(xy)>24、設x,y,z∈(-?,0),則三數(shù)x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一個不大于-2D.只少有一個不大于-2 △ 5、設函數(shù)f(x x?1，在f(x)的定義域內任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 x?x2f(x)?f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正確的是（）?0④f（122x2?x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R?，則下列個式中成立的是（） A.cos2??lga?sin2??lg(a?b) lg(a?b)C.a cos2? ?b sin2? ?a?bD.a cos2? ?b sin2? ?a?b 二、填空題 7、若a>0且a≠1,則loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、設x,y∈R,且x+y=3,則3x?3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R?,且 xy≥x+y+1,則 x+y的最小值______________。△ 10、設x,y∈R?,0<θ<π,則 三、解答題 11、a、b、c、d∈R?,求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d) 2△ 12、設a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+，求證：（?1a1??2a2）（☆ 13、設a>0,b>0,c>0, 求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1x?yxsin??y(用不等式填空)x?yxsin??y?1?a2?2）≤(?1??2)4?1? 2不等式的證明（分析法與綜合法）B答案； 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略 不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題: （一）比較法證明不等式 ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn? 2.a,b,m,n?R 3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a? 3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證： （二）綜合法證明不等式 ?a,b,c?R1.設,3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證: ?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc 124???18(2)abc 1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc （三）分析法證明不等式 1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設,求證: 4.若a,b,c三數(shù)均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc 41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322 6.實數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證: ?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2 (1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab §4.2.2證明不等式的基本方法—綜合法與分析法 【學習目標】 能熟練運用綜合法與分析法來證明不等式。 【新知探究】 1．用綜合法證明不等式：從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，又稱為順推證法或由因導果法。 2．用分析法證明不等式：從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件或充要條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的命題成立的方法叫分析法，又稱為逆推證法或執(zhí)果索因法。 3．不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達 【自我檢測】 1．分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 2．若a＞b＞c，則D.既不充分又不必要條件 113+_______.（填“＞”“=”“＜”）a?bb?ca?c 222222【典型例題】 例1．已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc． 變式訓練：課本P25頁習題2.2第2題 例2．已知x1?x2?x3?xn?1且x1,x2,?,xn都是正數(shù)，求證：(1?x1)(1?x2)?(1?xn)?2.例3．求證2?7?3?6 變式訓練：課本P26頁習題2.2第3題 –“學海無涯苦作舟，書山有路勤為徑” n a2b2?b2c2?c2a 2?abc.例4．若a,b,c>0，求證：a?b?c 變式訓練：已知：a?b?c?0，求證：ab?bc?ca?0.例5．設a、b∈R，關于x的方程x2＋ax＋b＝0的實根為α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求證：｜α｜＜1，｜β｜＜1.變式訓練：課本P26頁習題2.2第6題 yyxx例6．是否存在常數(shù)C，使得不等式+≤C≤+對任意正數(shù)x、y恒成2x?yx?2yx?2y2x?y 立?試證明你的結論.【課堂練習】課本P26頁習題2.2第4，5，7，8，9題 –“天下事，必作于細”第三篇：不等式的證明(分析法與綜合法)B
第四篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法
第五篇：證明不等式的基本方法—綜合法與分析法
點擊咨詢 