第一篇：04分析法與綜合法

分析法與綜合法

教學(xué)目的：

讓學(xué)生理解分析法與綜合法證明及其關(guān)系

讓學(xué)生學(xué)會綜合運用分析法與綜合法證明數(shù)學(xué)命題

教學(xué)過程：

引例：已知a?b?0,求證a??a?b1、綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。由因?qū)Ч?/p>

2、分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。

執(zhí)果索因

例1：在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

例2：△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c分別為三內(nèi)角A，B，C的對邊．

113求證：＝.a＋bb＋ca＋b＋c

例3：若a?b?c?d?0且a?d?b?c，求證：d?a?b?c

例4：已知數(shù)列{an}中各項為：12、1122、111222、……、11??????122??????2……,證明??????????

個 個 nn

這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積.例5：對于定義域為?0,1?的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x??0,1?，總有f(x)?0；②f1③若x1?0,x2?0,x1?x2?1，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2))(1?；

成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．

(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)?2?1（x?[0,1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明。

例6：是否存在常數(shù)C，使得xxyxy對于任意的實數(shù)x,y??C??2x?yx?2yx?2y2x?y

均成立，若存在求出該值，若不存在請說明理由。

第二篇：分析法與綜合法

實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)（理科）學(xué)案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

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2.2分析法與綜合法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的分析法；

2.會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.二．【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】

1.先精讀一遍教材，用紅色筆進行勾畫，再針對導(dǎo)學(xué)案問題導(dǎo)學(xué)部分二次閱讀并回答提出的問題；

2.限時完成導(dǎo)學(xué)案合作探究部分，書寫規(guī)范。

3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準(zhǔn)備課上討論質(zhì)疑；

三．自學(xué)指導(dǎo)：

證明方法可以分為直接證明和間接證明

1．直接證明分為和

2．直接證明是從命題的或出發(fā)，根據(jù)以知的定義，公

里，定理，推證結(jié)論的真實性。

3．綜合法是從推導(dǎo)到的方法。而分析法是一種從追溯到的思維方法，具體的說，綜合法是從已知的條件出

發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達到待證結(jié)論，分析法則是從待證的結(jié)論出發(fā)，一步一步

尋求結(jié)論成立的條件，最后達到題設(shè)的以知條件或以被證明的事實。綜

合法是由導(dǎo)，分析法是執(zhí)索。

【預(yù)習(xí)自測】

【我的疑惑】

課中案 一.【教學(xué)重點與難點】： 重點: 分析法的思維過程及特點 難點：分析法的應(yīng)用 二．合作、探究、展示 變式1求證

實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)（理科）學(xué)案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足

為F,求證AF?SC.三.課堂檢測

1.2?,其中最合理的是()

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是()ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

【課堂小結(jié)】

1.知識方面

2.數(shù)學(xué)思想方法

課后案

1.已知y?x?0,且x?y?1,那么()x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2.若a,b,c?R,則a2?b2?c2ab?bc?ac.

第三篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學(xué)重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數(shù)）（10）設(shè)a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進度。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。

考點預(yù)測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內(nèi)容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學(xué)例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于

a,b對稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數(shù)x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時,(2)當(dāng)ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學(xué)案31頁6、7,33頁3、4.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.

第四篇：綜合法與分析法 2

高

（二）數(shù)學(xué)選修2－2第二章 推理與證明 導(dǎo)學(xué)案 課題：綜合法與分析法（2）

課型：新課

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法

教學(xué)重點：培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學(xué)難點:根據(jù)問題的特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)方法：探究、精講

學(xué)習(xí)方法:自主、合作探究學(xué)習(xí)法

教學(xué)過程:

【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)內(nèi)容：

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種方法叫做。

【合作探究】

探究任務(wù)：

1.分析法是合情推理還是演繹推理？

2.綜合法與分析法的區(qū)別是什么？

【精講釋疑】

例題分析：

例：基本不等式

要證

a?b?ab，2只需證a?b?ab（a>0，b>0）的證明就用了上述方法。2

a?b?2ab，只需證a?b?2ab?0，只需證(a?)2?0 由于(a?)2?0顯然成立，因此原不等式成立。

變式練習(xí)： 變式：求證?7?25。

【內(nèi)化反饋】

?1x?a＋b，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，則A、B、C的大小關(guān)系＋1．已知函數(shù)f(x)＝?，a、b∈R，A＝f??a＋b??2??2???

為()

A．A≤B≤C

C．B≤C≤AB．A≤C≤B D．C≤B≤A

2．對任意的銳角α、β，下列不等式關(guān)系中正確的是()

A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβ

B．sin(α＋β)＞cosα＋cosβ

C．cos(α＋β)＞sinα＋sinβ

D．cos(α＋β)

3．設(shè)a、b、c∈R，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零”的()＋

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

4．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()

A．xC．xx＋y22

1．給出下列不等式：

①a>b>0，且a＋1，則ab>ab； 42b22

2a2＋b2②a，b∈R，且ab<02； ab

③a>b>0，m>0，則a＋ma> b＋mb

?4④?x≥4(x≠0)． ?x?

其中正確不等式的序號為________．

2．已知a、b、c表示△ABC的三邊長，m＞0，求證：

3．若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lgaa＋mb＋mc＋mbca＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc.【小結(jié)】：

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立； 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.【作業(yè)】：

教材P100 練習(xí)2、3題.

第五篇：_直接證明--綜合法與分析法

教學(xué)反思：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進度。

直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和

綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析

問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學(xué)難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b?c)?b(c?a)?4abc

教師活動：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.教師——引導(dǎo)

學(xué)生——小組討論

討論：若題設(shè)中去掉x?1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，明尸 2 成立，再去尋求尸 2 成立的充分條件尸 3 件、定理、定義、公理等）為止．乞，再去尋求尸 1 成立的充分條件尸 2 ；為了證 ? ? 直到找到一個明顯成立的條件（已知條即使 Q 成立的充分條件尸 1 ．為了證明尸 1 成立，分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?7?2

學(xué)生——自主解決

例4 已知?,??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin2?②1?tan2?1?tan2?求證：。?221?tan?2(1?tan?)

教師——引導(dǎo)

學(xué)生——小組合作交流

練習(xí)：課本89頁1,2,3

課后作業(yè)：第84頁1，2,3

板書設(shè)計