第一篇：分析法與綜合法論文

目錄

內容摘要和關鍵詞??????????????????????????

21.分析法與綜合法?????????????????????????2

2.分析法與綜合法在高中解題的體現(xiàn)?????????????????2

2.1 分析法????????????????????????????

32.2 綜合法????????????????????????????3

2.3 分析綜合法??????????????????????????

43.給高中生在做幾何證明題時的建議?????????????????5 參考文獻??????????????????????????????

5分析法與綜合法在高中幾何證明題的應用

專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學學號：201013007212姓名：賓婉伶 組名：第十一組201013007215秦丹 指導老師：沈陽老師201013007168蒙玲艷201013007160楊姍姍201013007213嚴燕飛

【內容摘要】推理與證明是數(shù)學的基礎思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式，本文主要通過分析證明題中經(jīng)常出現(xiàn)的分析法與綜合法來幫助高中生解決幾何證明題。分析法與綜合法屬于直接證明，在數(shù)學中，分析法是一種從結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法，而綜合法則是從原因推導到由原因產生的結果的思維方法。

【關鍵詞】分析法；綜合法；幾何；證明

1分析法與綜合法

在科學史、哲學史上很早就提出了分析與綜合的問題，兩千多年前的《幾何原本》用演繹推理的方式來表現(xiàn)思維進程，書中就已經(jīng)出現(xiàn)了綜合法與分析法這兩種基本的演繹證明方法。所謂綜合法，從方法論的角度講，即從事物各部分、方面、因素、層次的特點、屬性出發(fā)，尋找它們之間的內在聯(lián)系，然后加以概括與上升（即綜合），從而在整體上把握事物的本質與規(guī)律的一種思維方法。所謂分析法，從方法論的角度講，就是把研究對象分解為它的各個組成部分、方面、因素、層次，然后分別加以研究，從而認識事物的基礎或本質的一種思維方法。中學數(shù)學解題中的綜合法是一種“由因導果”的邏輯推理方法，而分析法則是一種“執(zhí)果索因”的邏輯推理方法。2分析法與綜合法在高中解題的體現(xiàn)

數(shù)學證明是引用一些真實的命題來確定某一命題正確性的一種思維方式，而數(shù)學結論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明。從結構形式來看，證明由論題、論證、論據(jù)三部分構成。證明的過程是把論據(jù)作為推理的前提，應用正確的推理形式推出論題的過程。數(shù)學證明的關鍵在于構建從已知到求證的命題邏輯鏈，找出構建途徑，打通推理要道。要證明某個命題成立，有兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。現(xiàn)在，我們主要研究的是直接證明中的分析法與綜合法。2.1分析法

一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，要把證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）這種證明的方法叫做分析法。

例1（10年全國高考數(shù)學理科卷1)正方體ABCD?A1B

1C1D1中，BB1與平面

ACD

1所成角的余弦值為

2ABCD

A

1A

C B 1

C1

答案：D

分析法思考：要求BB1與平面ACD1所成角的余弦值，則要找到BB1與平面ACD1所成的角，即要找到DD1與平面ACD1所成的角，設DO?平面ACD1，則?DD1O為索要找的角?，此時只須求出sin?的值即可得到cos?，而求sin?只需求DO的值，DD1

DO與DD1分別看作三棱錐D?ACD1與三棱錐D1?ACD的高，故求 DO與DD1可利用體積相等來求，從而得到本道題答案為D。

綜上可見，分析法執(zhí)果索因，四位目標明確，常常根底漸進，有利于構思推理程序。2.2綜合法

綜合法是指從已知條件出發(fā)，借助其性質和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題的證明方法。簡單地說，綜合法則是從原因推導到由原因產生的結果的思維方法。其特點和思路是“由因導果”。

例2（09年全國高考數(shù)學文科卷)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E

BC

1分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面B1BCC1。證明：AB=AC綜合法分析：取BC中點F，連接EF，則

EF

//B1B，從

EF//DA。

E

連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE，又DE⊥平面B1BCC1，故AF⊥平面B1BCC1，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。

綜上可見，綜合法由因導果，形式簡單，條理清晰、嚴謹，有利于推理過程的簡明表達。2.3分析綜合法

對于前面所說的分析法與綜合法雖然都能解決問題，但對于一些比較復雜的證明題，單靠分析法或綜合法顯得較為困難。在我們平時做題中我們可以發(fā)現(xiàn)，事實上我們在做題時一般都不會單一地使用分析法或綜合法，而是采用由題設到題斷和由題斷到題設的“雙向”思考，即同時使用綜合法和分析法的思考方式進行探索，這樣的思考方式，俗稱“兩頭湊”。

例3（11年全國高考數(shù)學理科卷2)如圖，四棱錐S-ABCD中，AB//CD，BC?CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1，證明：SD?平面SAB

證明：由分析法思路，要證SD?平面SAB，只須證SD與平面SAB中兩條相交的直線都垂直（*）由綜合法思路，取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩

形，DE=CB=2，連結SE，則SE?AB,SE?，又SD=1，故ED?SE?SD，所以?DSE為直角，由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E得

AB?平面SDB，所以AB?SD

即SD與兩條相交直線AB、SE都垂直，即（*）成立所以SD?平面SAB.綜上可見，分析綜合法，從兩個方向思考尋找證題橋梁，可以比較容易找到證題途徑，有利于培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)。3給高中生在做幾何證明題時的建議

通過上文的分析，我們很清楚地看到，分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，實際上是要尋找它的充分條件。綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向未知，實際上是尋找它的必要條件。從解題思路來看，分析法執(zhí)果索因，常常根底漸進，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節(jié)橫生，不易奏效。但從表達形式來看，分析法敘述繁瑣，綜合法形式簡單，條理清晰。故分析法有利于思考，綜合法有利于表達，我們在實際解題時，應該把分析法與綜合法結合起來運用，先用分析法來思考，然后用綜合法來表述解題過程。此外，還可以使用分析綜合法：根據(jù)條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；根據(jù)結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P，若由P可以推出Q成立，就可以證明原命題成立。

【參考文獻】

[1]葉立軍.初等數(shù)學研究.上海：華東師范大學出版社,2008.[2]孫杰遠.現(xiàn)代數(shù)學教育學.廣西：廣西師范大學出版社,2004.[3]湯服成.中學數(shù)學解題思想方法.廣西：廣西師范大學出版社,2005.[4]數(shù)學課程標準研制組.數(shù)學課程標準（實驗）解讀.江蘇：江蘇教育出版社,2005.[5]課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修2-2.深圳：人民教育出版社,2007.

第二篇：綜合法與分析法（范文模版）

課題：§2.2.1 綜合法與分析法（說課稿）

各位評委、各位老師：

大家好！我是來自……..，希望我今天的說課能給大家留下美好的印象。我說課的課題是高中課程標準實驗教材數(shù)學選修2－2第二章第二節(jié)的《綜合法與分析法》。我想通過這節(jié)課表達一種教學理念——關注學生成長，構建高效課堂。本節(jié)說課分教學設計和教學反思兩部分。在教學設計部分，我將以“教什么，怎么教，為何這樣教”為思路從以下這五個方面進行闡述。? 教材分析-------教材編寫背景、地位與作用、重點與難點（關于教材分析我將從……三個方向進行說明）? 學情分析-------有利因素、不利因素（然后從……兩點來對學情進行分析）

? 目標分析-------知識目標、能力目標、情感目標（…….是本節(jié)課的三大目標）? 教法分析-------教法、學法

（之后是從教法與學法來分析如何處理本節(jié)課）

? 過程分析-------定義、范例、練習、歸納總結、作業(yè)（本節(jié)課的教學過程我將從………五點來安排）? 評價分析-------課程設計、課后感想

（最后是對本節(jié)課的課程設計的介紹以及課后的一些感想）

一、教材分析

（關于教材分析首先我要講的是）

1、教材編寫背景

在以前的學習中，學生已經(jīng)能應用綜合法、分析法證明數(shù)學命題，但他們對這些證明方法的內涵和特點不一定非常清楚。本節(jié)結合學生已學過的數(shù)學知識，通過實例引導學生分析這些基本證明方法的思考過程和特點，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學習和生活中，能自覺地、有意識的用這些方法進行數(shù)學證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。

2、教材地位與作用

（我們知道）《綜合法和分析法》是直接證明中最基本的兩種證明方法，是在學習了合情推理與演繹推理的基礎上，學習證明數(shù)學結論的兩種常見方法，他不是孤立存在的，這種證明方法已經(jīng)滲透到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等等，可見，直接證明的方法在中學數(shù)學里占有極其重要的地位。

綜合法與分析法已經(jīng)與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等問題結合的比較緊密，這類問題重在考察學生的邏輯思維能力，并且立意新穎，抽象程度高，更能體現(xiàn)高觀點、低起點，深入淺出的特點

3、教材的重點和難點

教學重點：綜合法和分析法的概念及思考過程、特點

教學難點：結合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不

同的證明方法結合使用

（本節(jié)課的最終目標是能）從實際問題中，命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、定理、公理，直接推證結果的真實性，從證明過程上認識分析法和綜合法的推理過程，學會用綜合法和分析法證明實際問題，并且理解分析法和綜合法的內在聯(lián)系（突破本節(jié)課難點所在）

二、學情分析

（對于本節(jié)課有以下兩點值得注意）

1、有利因素

學生在數(shù)學的學習中已經(jīng)初步形成了一定的證明思想，例如初中階段的幾何證明題，高一學習了一元二次不等式，初步證明了一些不等式的問題，在本節(jié)課前，學習了合情推理與演繹推理，都為本節(jié)課的學習打下了基礎

2、不利因素

學生對以學知識的應用意識不強，三角代換、代數(shù)式的變形沒有目的性，隨意性較大。特別是與其他章節(jié)知識的交匯存在很大障礙

三、目標分析

根據(jù)《高中數(shù)學教學大綱》的要求和教學內容的結構特征，依據(jù)學生學習的心理規(guī)律和素質教育的要求，結合學生的實際水平，我制定本節(jié)課的教學目標如下： 知識目標：了解直接證明的兩種方法—分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點（這也是本節(jié)課重點所在），能運用綜合法分析法證題（解決本節(jié)課的難點）。

能力目標：通過綜合法和分析法的學習，提升分析解決問題的能力。情感目標：通過分析法和綜合法的學習體會數(shù)學思維的嚴密性，同時在以后的生活中能應用這種能力解決現(xiàn)實生活中的問題，幫助身心健康成長.四、教法與學法分析

教法：（因為）本節(jié)課是直接證明的復習課，學生容易產生對已學習知識的輕視態(tài)度與厭倦心理，較難發(fā)揮學生的主觀能動性。因此，如果教學方法、策略不合適，很難以達到理想的教學效果。為了貫徹啟發(fā)性教學原則，體現(xiàn)以教師為主導，學生為主體的教學思想，深化課堂教學改革，我采用了回顧、分析、啟發(fā)、引導、歸納相結合的教學方法，以及一題多解，錯題剖析等教學策略，以幫助學生克服上述心理，激發(fā)學生的求知欲、探索欲，體現(xiàn)學生的主體作用。

學法：在引導分析時，要留出空間和時間，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法弄清。在促進學生知識體系的構建和數(shù)學思想方法的形成的同時，要注意面向全體學生，培養(yǎng)學生多觀察、勤思考、勤動手的精神，提高學生合作學習和教學交流的能力

五、教學過程設計

我把整個教學過程分為如下三部分

1、定義引入，考點詮釋

2、演練導航，規(guī)范方法

3、歸納總結，布置作業(yè)

1、定義引入，考點詮釋

（定義引入這部分內容的設計意圖在于突破本節(jié)課的重點：綜合法、分析法的定義，思考過程）

引入：因為本節(jié)屬于推理性證明，所以我以學生熟悉的《名偵探柯南》中一個片段引導學生熟悉有序的邏輯思考過程

（看完影片后我要求學生回答從影片中都有什么收獲）

提示：每一個結論的得出都必須有證據(jù)存在，已有事實是推理的依據(jù)。

①學生演示例1的做題過程

例

1、在?ABC中，三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：?ABC為等邊三角形

②教師以推理的結構重組做題過程

（討論教師書寫結構的特點以及看到這種結構的感想）③歸納綜合法定義 綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的方法，又叫順推證法。

綜合法是一種由因導果的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，由條件出發(fā)，推導出所要證明的結論成立

用P表示已知條件、已有定義、定理、公理等，Q表示所需證明的結論 則框圖表示為

特點：由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找“已知”的必要條件

提示學生把解題過程進行綜合法概念轉化

P(已知條件)?Q1? 1??Q3P（定義）?Q2? 2Q? 3?P(定理)??Q5?Q6?Q7?Q83

?P（已知條件）?Q44?

Q8??Q?Q?9 Q3?總結綜合法證明問題的步驟

第一步：分析條件，選擇方向.仔細分析題目的已知條件（包括隱含條件），分析已知與結論之間的聯(lián)系和區(qū)別，選擇相關的公理、定理、公式、結論，確定恰當?shù)慕忸}方法

第二步：轉化條件，組織過程.把題目的已知條件轉化成解題所需的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉化.組織過程時要有嚴密的邏輯，簡介的語言，清晰的思路

第三步：適當調整，回顧反思.解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調整，并對一些語言進行適當?shù)男揎棧此伎偨Y解題方法的選取

（例2是一個幾何證明題，接下來我做的工作是讓學生）分析例2思考過程，寫出思考過程

（分析完之后教師提示這個過程就是分析法）類比例1總結做題過程得出分析法的定義及流程圖

分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、公理等）

分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法

用Q表示要證明的結論，則分析法可得框圖表示為

特點：從“未知”看“需知”，在逐步靠近“已知” 分析法的做題步驟

用分析法證明數(shù)學命題時，一定要恰當?shù)挠煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語.2、演練導航，規(guī)范方法

做一個綜合法與分析法綜合使用的例題，熟悉綜合法與分析發(fā)的使用，突破本節(jié)課的難點

3、歸納總結、布置作業(yè)

（學生總結什么是綜合法，什么是分析法，聯(lián)系與區(qū)別）

分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過程恰好是綜合法的分析、思考過程，即綜合法是分析法的逆過程。混淆了他們之間的區(qū)別和聯(lián)系易產生思維障礙，要注意兩種證明方法的書寫格式，否則易產生邏輯上的錯誤.六、評價分析

設計意圖：數(shù)學總結，教師完善.復習課在很大程度上就是一個歸納總結的過程，特別是注意事項的總結.讓學生養(yǎng)成善于總結的好習慣，是對學習知識的升華過程.防范錯誤于未然也是我們追求的目標，可見，歸納總結是非常重要的.同時必要的訓練也是提高學生解題能力的重要途徑.課后反思：通過本節(jié)課的講授，我進行了以下四個方面的反思：

1、力求達到教師主導學生主體的教學理念，積極參與到探索、發(fā)現(xiàn)、討論、交流的學習活動中去。在動手實踐、師生交流、合作探究、生生互動中一次次產生思維火花，使課堂教學成為學生親自參與的豐富數(shù)學思想場所,充分體現(xiàn)了課堂中學生的主體地位。

2、在突破重點問題上，通過學生自主探究、合作交流，質疑等教學方式，引導學生體會邏輯過程，使問題自然流暢，層層遞進，體現(xiàn)高效課堂。

3、設計愉快的引入環(huán)節(jié)讓同學們在愉悅的心情中發(fā)散思維，體會推理帶來的興奮情緒，同時希望能提高同學們對生活細節(jié)的把握，為以后的人際交往打下基礎.4、本節(jié)課在課堂的把握上還是有所欠缺，引導不是很到位，這是日后我要改進的地方.我的說課到此結束，謝謝各位！

第三篇：分析法與綜合法

實驗中學高二數(shù)學（理科）學案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

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2.2分析法與綜合法

學習目標：

1.結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的分析法；

2.會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點，結合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.二．【使用說明及學法指導】

1.先精讀一遍教材，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案問題導學部分二次閱讀并回答提出的問題；

2.限時完成導學案合作探究部分，書寫規(guī)范。

3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質疑；

三．自學指導：

證明方法可以分為直接證明和間接證明

1．直接證明分為和

2．直接證明是從命題的或出發(fā)，根據(jù)以知的定義，公

里，定理，推證結論的真實性。

3．綜合法是從推導到的方法。而分析法是一種從追溯到的思維方法，具體的說，綜合法是從已知的條件出

發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達到待證結論，分析法則是從待證的結論出發(fā)，一步一步

尋求結論成立的條件，最后達到題設的以知條件或以被證明的事實。綜

合法是由導，分析法是執(zhí)索。

【預習自測】

【我的疑惑】

課中案 一.【教學重點與難點】： 重點: 分析法的思維過程及特點 難點：分析法的應用 二．合作、探究、展示 變式1求證

實驗中學高二數(shù)學（理科）學案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足

為F,求證AF?SC.三.課堂檢測

1.2?,其中最合理的是()

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是()ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

【課堂小結】

1.知識方面

2.數(shù)學思想方法

課后案

1.已知y?x?0,且x?y?1,那么()x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2.若a,b,c?R,則a2?b2?c2ab?bc?ac.

第四篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時 1課時課型 新授課 使用說明及學法指導

1.先精讀教材P60-P64內容，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案的問題，二次閱讀教材部分內容，并回答，時間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論和質疑.3.必須記住的內容：綜合法和分析法證明不等式.學習目標

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學習，通過對典型案例的探究，激發(fā)學習數(shù)學激情.學習重點

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.學習難點

根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法.一．預習自學

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數(shù)學、、等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結論”.3.分析法：一般的，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結論歸結為判定一個為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當且僅當時, 等號成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當且僅當時, 等號成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當且僅當時, 等

號成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達標檢測

1.下列說法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因導果的順推證法Ｂ.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．分析法是()

A．執(zhí)果索因的逆推法B．執(zhí)因導果的順推法 C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數(shù)，x?

y?,y，則

x的大小關系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù)，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點？

【思考·提示】 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種．平時我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書寫步驟．

第五篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學習目標：

結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據(jù)問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數(shù)）（10）設a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

通過本節(jié)的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。通過本節(jié)的學習，使學生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養(yǎng)學生的數(shù)學計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學應該是比較成功的。

考點預測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發(fā)，一步步探求結論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于

a,b對稱，不妨設a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數(shù)x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學案31頁6、7,33頁3、4.作業(yè)：教材P52 練習2、3題.