第一篇：綜合法與分析法(公開課教案)

肥東錦弘中學高中部公開課教案設計·綜合法和分析法 肥東錦弘中學高中部公開課教案設計

2.2.1綜合法與分析法

授課時間：2013.4.16下午第一節地點：高二（15）班授課人：趙尚平

一．教材分析

《直接證明與間接證明》是在學習了推理方法的基礎上學習的，研究的是如何正確利用演繹推理來證明問題．本節課是《直接證明與間接證明》的第一節，主要介紹了兩種證明方法的定義和邏輯特點，并引導學生比較兩種證明方法的優點，進而靈活選擇證明方法，規范證明步驟．本節課的學習需要學生具有一定的認知基礎，應盡量選擇學生熟悉的例子．

二．教學目標

1．知識與技能目標

(1)了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法．

(2)了解綜合法和分析法的思維過程和特點．

2．過程與方法目標

(1)通過對實例的分析、歸納與總結，增強學生的理性思維能力．

(2)通過實際演練，使學生體會證明的必要性，并增強他們分析問題、解決問題的能力．

3．情感、態度及價值觀

通過本節課的學習，了解直接證明的兩種基本方法，感受邏輯證明在數學及日常生活中的作用，養成言之有理、論之有據的好習慣，提高學生的思維能力．

三．教學重難點

重點：綜合法和分析法的思維過程及特點．

難點：綜合法和分析法的應用．

四．教具準備：多媒體.五．教法與學法：師生合作探究

六．教學過程:

（一）創設情境引入新課

證明對我們來說并不陌生，我們在上一節學習的合情推理，所得的結論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學習中，積累了較多的證明數學問題的經驗，但這些經驗是零散的、不系統的，這一節我們將通過熟悉的數學實例，對證明數學問題的方法形成較完整的認識．

（二）新課講授

合情推理分為歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法——直接證明與間接證明.思考:已知a,b>0,求證a(b?c)?b(c?a)?4abc

設計意圖：引導學生應用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義.證明:因為b?c?2bc,a?0,所以a(b?c)?2abc,因為c?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.***

2一.綜合法

1.定義：

證，最后推導出所要證明的結論成立.2.思維特點

3.框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論)

?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1 已知a,b,c是不全相等的正數，a?bb?cc?a?lg?lg?lg

a?lgb?lgc 求證：lg

總結：本題主要綜合運用基本不等式以及對數的運算性質來證明.例2 在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a, b，c,且A,B,C成等差數列, a, b，c

符號語言轉換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

1.定義：一般地，直至最后,把要證

明的結論歸結為判斷一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為

止,這種證明方法叫做分析法.2.它與綜合法是對立統一的兩種3.框圖表示：(用Q表示要證明的結論,Pn表示充分條件)

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

4.分析法的書寫格式：

例3 求證:3?7?2 要證：??

證明：因為3?和25都是正數，只要證：??所以要證3?7?2只需證：?? 只需證(?7)2?(2)2??顯然成立 展開得10?221?20

只需證21?5,上述各步均可逆

只需證21?25 所以,結論成立因為21?25顯然成立，所以?7?25 在本例中，如果我們從“21<25 ”出發，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結論.但

由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難.練習:在銳角?ABC中,求證:tanA?tanB?

1七.課時小結:本節課所學的知識結構

八.作業布置

1．必做題：教材習題2.2 A組2、3題．

2．選做題：教材習題2.2 B組2、3題．

九.板書設計

2.2.1綜合法和分析法一.綜合法二.分析法三.例題分析1.定義1.定義例1練習12.框圖表示2.框圖表示例2練習23.特點.3.特點例3練習3

十.教學反思

備用例題1：已知x,y,z?R,a,b,c?R

求證：?b?c2c?a2a?b2x?y?z

?2(xy?yz?zx)

備用例題2: 已知?1，求證：cos?－sin?＝3(cos?＋sin?)．

第二篇：分析法與綜合法

實驗中學高二數學（理科）學案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

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2.2分析法與綜合法

學習目標：

1.結合已經學過的數學實例，了解直接證明的分析法；

2.會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.3.根據問題的特點，結合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.二．【使用說明及學法指導】

1.先精讀一遍教材，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案問題導學部分二次閱讀并回答提出的問題；

2.限時完成導學案合作探究部分，書寫規范。

3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質疑；

三．自學指導：

證明方法可以分為直接證明和間接證明

1．直接證明分為和

2．直接證明是從命題的或出發，根據以知的定義，公

里，定理，推證結論的真實性。

3．綜合法是從推導到的方法。而分析法是一種從追溯到的思維方法，具體的說，綜合法是從已知的條件出

發，經過逐步的推理，最后達到待證結論，分析法則是從待證的結論出發，一步一步

尋求結論成立的條件，最后達到題設的以知條件或以被證明的事實。綜

合法是由導，分析法是執索。

【預習自測】

【我的疑惑】

課中案 一.【教學重點與難點】： 重點: 分析法的思維過程及特點 難點：分析法的應用 二．合作、探究、展示 變式1求證

實驗中學高二數學（理科）學案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足

為F,求證AF?SC.三.課堂檢測

1.2?,其中最合理的是()

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是()ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

【課堂小結】

1.知識方面

2.數學思想方法

課后案

1.已知y?x?0,且x?y?1,那么()x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2.若a,b,c?R,則a2?b2?c2ab?bc?ac.

第三篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學習目標：

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數）（10）設a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

通過本節的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。通過本節的學習，使學生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養學生的數學計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節的教學應該是比較成功的。

考點預測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于

a,b對稱，不妨設a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學案31頁6、7,33頁3、4.作業：教材P52 練習2、3題.

第四篇：綜合法與分析法 2

高

（二）數學選修2－2第二章 推理與證明 導學案 課題：綜合法與分析法（2）

課型：新課

教學目標：

知識與技能

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法

教學重點：培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點:根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學方法：探究、精講

學習方法:自主、合作探究學習法

教學過程:

【自主學習】學習內容：

一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結論歸結為判定（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種方法叫做。

【合作探究】

探究任務：

1.分析法是合情推理還是演繹推理？

2.綜合法與分析法的區別是什么？

【精講釋疑】

例題分析：

例：基本不等式

要證

a?b?ab，2只需證a?b?ab（a>0，b>0）的證明就用了上述方法。2

a?b?2ab，只需證a?b?2ab?0，只需證(a?)2?0 由于(a?)2?0顯然成立，因此原不等式成立。

變式練習： 變式：求證?7?25。

【內化反饋】

?1x?a＋b，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，則A、B、C的大小關系＋1．已知函數f(x)＝?，a、b∈R，A＝f??a＋b??2??2???

為()

A．A≤B≤C

C．B≤C≤AB．A≤C≤B D．C≤B≤A

2．對任意的銳角α、β，下列不等式關系中正確的是()

A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβ

B．sin(α＋β)＞cosα＋cosβ

C．cos(α＋β)＞sinα＋sinβ

D．cos(α＋β)

3．設a、b、c∈R，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零”的()＋

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

4．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()

A．xC．xx＋y22

1．給出下列不等式：

①a>b>0，且a＋1，則ab>ab； 42b22

2a2＋b2②a，b∈R，且ab<02； ab

③a>b>0，m>0，則a＋ma> b＋mb

?4④?x≥4(x≠0)． ?x?

其中正確不等式的序號為________．

2．已知a、b、c表示△ABC的三邊長，m＞0，求證：

3．若a，b，c為不全相等的正數，求證：lgaa＋mb＋mc＋mbca＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc.【小結】：

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立； 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.【作業】：

教材P100 練習2、3題.

第五篇：_直接證明--綜合法與分析法

教學反思：通過本節的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。

直接證明--綜合法與分析法

1．教學目標：

知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和

綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析

問題和解決問題的能力；

情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準備：與教材內容相關的資料。

5．教學設想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學過程:

學生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b?c)?b(c?a)?4abc

教師活動：給出以上問題，讓學生思考應該如何證明，引導學生應用不等式證明。教師最后歸結證明方法。

學生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

1.綜合法

綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公例

1、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.教師——引導

學生——小組討論

討論：若題設中去掉x?1這一限制條件，要求證的結論如何變換？

2.分析法

證明數學命題時，還經常從要證的結論 Q 出發，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，明尸 2 成立，再去尋求尸 2 成立的充分條件尸 3 件、定理、定義、公理等）為止．乞，再去尋求尸 1 成立的充分條件尸 2 ；為了證 ? ? 直到找到一個明顯成立的條件（已知條即使 Q 成立的充分條件尸 1 ．為了證明尸 1 成立，分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?7?2

學生——自主解決

例4 已知?,??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin2?②1?tan2?1?tan2?求證：。?221?tan?2(1?tan?)

教師——引導

學生——小組合作交流

練習：課本89頁1,2,3

課后作業：第84頁1，2,3

板書設計