第一篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法
2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。
【知識要點】
綜合法：從已知出發，通過一系列正確的推理，得出結論的證明方法。（由因導果）分析法：從要證明的結論出發，尋找使命題成立的充分條件。（執果素因）分析法書寫格式：
題目：已知A，求證B。
證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。
注意：
1．在具體處理問題時，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結合使用。
2．如果采用分析法證明時，要注意書寫的要求。
【基礎訓練】
1．判斷下列推理是否正確：
（1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab （2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（） 2（3）要證a 2．某工廠第二年增長率為a，第三年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（） a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222 1a+b 3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22 （A）R 驏驏驏111 4．設a,b,c為正數，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab （A）0?M 【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38 例1．設x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2) 解法指導：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a 只要證logaa+a(x-x2) 18(x-x2)驏1 8÷ 2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因為a>0,所以ax>0,a-x> 0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因為x-x2=-?x-÷+，0 4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號不能成立，í?2???x=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2．設a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c 解法指導：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc 1?2ab。因為c? 0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。 1125例3．設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2 11解法指導：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結論，而xy 得不出要證明的結論。這時可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2? ?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2 (x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因為設x,y是正數，且x?y?1，所以xy?44xy2 立。故要不得證不等式成立。 思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因為2?(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22 變題1：設x,y是正數，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy 1125變題2：設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4 1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4 因為 x,y是正數，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因為x?y?1，所以只要 33332332 證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488 (x?y)2***332 ?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因為xy?8848844 【能力訓練】 一、填空題 222 21．已知a,b?R+，則下列不等式： (1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2．設a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關系為____________。aa+m 二、選擇題 3．(2004年遼寧)對于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（） （A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) 三、解答題 5.設g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設n>0,求證 : 7.若a,b,c均為大于1的數,且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab （1）證明這個命題為真命題； （2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明； （3）將上述命題推廣為關于n個正數的命題（不必證明）。 不等式的證明（分析法與綜合法）B 一、選擇題 1、若a、b?R，c?Q,則使ac?bc成立的充分條件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0 2、若a>b,m>0,則下列不等式恒成立的是（）A．(a?m)2?(b?m)2B． b?mb ?C．(a?m)3?(b?m)3D．? a?ma 3已知0 a (xy)<0B．0 a (xy)<1C．1 a (xy)< 2D．loga(xy)>24、設x,y,z∈(-?,0),則三數x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一個不大于-2D.只少有一個不大于-2 △ 5、設函數f(x x?1，在f(x)的定義域內任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 x?x2f(x)?f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正確的是（）?0④f（122x2?x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R?，則下列個式中成立的是（） A.cos2??lga?sin2??lg(a?b) lg(a?b)C.a cos2? ?b sin2? ?a?bD.a cos2? ?b sin2? ?a?b 二、填空題 7、若a>0且a≠1,則loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、設x,y∈R,且x+y=3,則3x?3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R?,且 xy≥x+y+1,則 x+y的最小值______________?！?/p> 10、設x,y∈R?,0<θ<π,則 三、解答題 11、a、b、c、d∈R?,求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d) 2△ 12、設a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+，求證：（?1a1??2a2）（☆ 13、設a>0,b>0,c>0, 求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1x?yxsin??y(用不等式填空)x?yxsin??y?1?a2?2）≤(?1??2)4?1? 2不等式的證明（分析法與綜合法）B答案； 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略 2011—2012學第二學期高二數學教案選修4-5不等式第5課時江蘇省鄭梁梅高級中學高二數學教案（理） 主備人：馮龍云做題人: 顧華章審核人: 曾慶亞 不等式的證明—綜合法和分析法(1) 一、教學目的： 1、理解綜合法和分析法證明不等式的原理與思維特點； 2、掌握由學過的基本不等式來證明一些新的不等式。 二、教學重難點： 重難點：綜合法和分析法證明不等式 三、教學方法：通過對比，體會兩種方法的異同，感受不等式證明中思路、方法的多樣性。 四、教學過程： 新課講授： 綜合法證題的思維過程：條件?結論 分析法證題的思維過程：結論?條件 例題講解： 例 1、已知a、b是正數，求證： 例 2例 3、已知a、b、m均是正數，且a< b，求證： ab?≥2 baa?ma> b+mb 例 4、已知a、b、c?R，求證：a?b?c≥ab?bc?ca 例 5、已知a、b、c、d?R，求證： a?b 例 6、已知a、b、c是正數，求證：a?b?c≥3abc并指出等號成立的條件 例 7、已知a、b、c是不全相等的正數，且abc?1。求證：a?b?c? 五、課堂練習： （1）xy?0，求證：xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx 28江蘇省鄭梁梅高級中學高二數學作業（理） 班級姓名學號_______ 1、設x?R下列式子正確的有 （1）、xg(l1)2xg)(l? （3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x a2?b2aba?b22、若a,b?R，且ab?0，則在①?ab②??2③ab??? 2ba 2a?b2a2?b2 ④?這四個式子中，恒成立的個數是??223、已知a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，則下列式子正確的是 （1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c4、設m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比較大?。簃n____xy5、若x?3y-1?0，則2?8的最小值為___________ 6、比較大?。簂g9?lg11______ 1三、簡答題： 7、已知a,b,c?R。求證： 8、已知a,b?R且a?b。求證： ?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b9、已知a、b、c是互不相等的實數。求證： a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c) 10、已知a,b,c?R，且abc?1。求證：(1?a)(1?b)(1?c)?811、已知a,b,c?R。求證： 12、已知a、b、c均是正數，且a?b?c?1。求證：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc13、已知a、b、c是不全相等的正數。 求證： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc 222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc 不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題: （一）比較法證明不等式 ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn? 2.a,b,m,n?R 3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a? 3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證： （二）綜合法證明不等式 ?a,b,c?R1.設,3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證: ?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc 124???18(2)abc 1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc （三）分析法證明不等式 1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設,求證: 4.若a,b,c三數均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc 41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322 6.實數a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證: ?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2 (1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab §4.2.2證明不等式的基本方法—綜合法與分析法 【學習目標】 能熟練運用綜合法與分析法來證明不等式。 【新知探究】 1．用綜合法證明不等式：從已知條件出發，利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，又稱為順推證法或由因導果法。 2．用分析法證明不等式：從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件或充要條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的命題成立的方法叫分析法，又稱為逆推證法或執果索因法。 3．不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達 【自我檢測】 1．分析法是從要證的不等式出發，尋求使它成立的A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 2．若a＞b＞c，則D.既不充分又不必要條件 113+_______.（填“＞”“=”“＜”）a?bb?ca?c 222222【典型例題】 例1．已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc． 變式訓練：課本P25頁習題2.2第2題 例2．已知x1?x2?x3?xn?1且x1,x2,?,xn都是正數，求證：(1?x1)(1?x2)?(1?xn)?2.例3．求證2?7?3?6 變式訓練：課本P26頁習題2.2第3題 –“學海無涯苦作舟，書山有路勤為徑” n a2b2?b2c2?c2a 2?abc.例4．若a,b,c>0，求證：a?b?c 變式訓練：已知：a?b?c?0，求證：ab?bc?ca?0.例5．設a、b∈R，關于x的方程x2＋ax＋b＝0的實根為α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求證：｜α｜＜1，｜β｜＜1.變式訓練：課本P26頁習題2.2第6題 yyxx例6．是否存在常數C，使得不等式+≤C≤+對任意正數x、y恒成2x?yx?2yx?2y2x?y 立?試證明你的結論.【課堂練習】課本P26頁習題2.2第4，5，7，8，9題 –“天下事，必作于細”第二篇：不等式的證明(分析法與綜合法)B
第三篇：綜合法與分析法證明不等式(一)5
第四篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法
第五篇：證明不等式的基本方法—綜合法與分析法
點擊咨詢 