第一篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學習目標：

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數）（10）設a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

通過本節的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。通過本節的學習，使學生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養學生的數學計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節的教學應該是比較成功的。

考點預測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于

a,b對稱，不妨設a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學案31頁6、7,33頁3、4.作業：教材P52 練習2、3題.

第二篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時 1課時課型 新授課 使用說明及學法指導

1.先精讀教材P60-P64內容，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案的問題，二次閱讀教材部分內容，并回答，時間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論和質疑.3.必須記住的內容：綜合法和分析法證明不等式.學習目標

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學習，通過對典型案例的探究，激發學習數學激情.學習重點

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.學習難點

根據問題的特點，選擇適當的證明方法.一．預習自學

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數學、、等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結論”.3.分析法：一般的，從要證明的結論出發，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結論歸結為判定一個為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當且僅當時, 等號成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當且僅當時, 等號成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當且僅當時, 等

號成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實數，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達標檢測

1.下列說法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因導果的順推證法Ｂ.分析法是執果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．分析法是()

A．執果索因的逆推法B．執因導果的順推法 C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數列不是等差數列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數，x?

y?,y，則

x的大小關系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實數，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點？

【思考·提示】 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種．平時我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書寫步驟．

第三篇：綜合法和分析法

《綜合法和分析法（1）》導學案

編寫人：馬培文

審核人：杜運鐸

編寫時間：2016-02-24 【學習目標】

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。【重點難點】

1.結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法； 2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

3.根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。【學法指導】

① 課前閱讀課文（預習教材P85～P89，找出疑惑之處）② 思考導學案中的探究問題，并提出你的觀點。

【知識鏈接】

復習1

兩類基本的證明方法:

和

。復習2

直接證明的兩中方法:

和

。知識點一

綜合法的應用 問題

已知a,b?0, 求證

a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。

新知

一般地,利用

,經過一系列的推理論證,最后導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫綜合法。反思

框圖表示

因導果。

【典型例題】

例

1111變式

已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證

(?1)(?1)(?1)?8。

abc

要點

順推證法；由已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

111???9 abc

小結

用綜合法證明不等式時要注意應用重要不等式和不等式性質,要注意公式應用的條件和等號成立的條件,這是一種由因索果的證明。

例2

在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形。

變式

設在四面體P?ABC中,?ABC?90?,PA?PB?PC,D是AC的中點.求證

PD垂直于?ABC所在的平面。

小結

解決數學問題時,往往要先作語言的轉換,如把文字語言轉換成符號語言,或把符號語言轉換成圖形語言等,還要通過細致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來。

【基礎達標】

A1.求證

對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?。

B2.A,B為銳角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求證

A?B?60?.（提示：算tan(A?B)）。

【歸納小結】

綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合

法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題。【知識拓展】

綜合法是中學數學證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設到結論的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發,經過一系列的中間推理,最后導出所要求證的命題,綜合法是一種由因索果的證明方法。【當堂檢測】

1.已知x,y?R,則“xy?1”是“x2?y2?1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.如果a1,a2,???a8為各項都大于零的等差數列，公差d?0，則（）

A．a1a8?a4a5

B．a1a8?a4a5

C．a1?a8?a4?a5

D．a1a8?a4a5

3..設P?1111???，則（）log211log311log411log511A．0?P?1

B．1?P?2

C．2?P?3

D．3?P?4

3314.若關于x的不等式(k2?2k?)x?(k2?2k?)1?x的解集為(,??)，則k的222范圍是。

a?b,y?a?b，則x,y的大小關系是5.已知a,b是不相等的正數，x?2____。

【能力提升】

b?c?aa?c?ba?b?c1.已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

???3。

abc

2.在△ABC中，證明

cos2Acos2B11???。2222

【學習反思】

① 基礎知識 ＿＿＿。

② 學習方法＿＿＿。

③ 情感認知 ＿＿。

高二數學選修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第四篇：綜合法和分析法習題

直接證明與間接證明測試題

一、選擇題

1．下列說法不正確的是（）

Ａ．綜合法是由因導果的順推證法

Ｂ．分析法是執果索因的逆推證法

Ｃ．綜合法與分析法都是直接證法

Ｄ．綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是（）

Ａ．將結論與條件同時否定，推出矛盾

Ｂ．肯定條件，否定結論，推出矛盾

Ｃ．將被否定的結論當條件，經過推理得出的結論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運用

Ｄ．將被否定的結論當條件，原題的條件不能當條件

3．若a，b，c是不全相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca．

證明過程如下：

∵a，b，c?R，∴a2?b2≥2ab，b2?c2≥2bc，c2?a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一個“?”不成立，∴將以上三式相加得2(a?b?c)?2(ab?b?c?ac)，∴a?b?c?ab?bc?ca．此證法是（）22222

2Ａ．分析法

Ｂ．綜合法Ｃ．分析法與綜合法并用Ｄ．反證法

41?．

?1?

?

1，即證7?5?11?

1?，∵35?11，∴原不等式成立．

以上證明應用了（）Ａ．分析法

5．以下數列不是等差數列的是（）

Ａ．

Ｂ．綜合法Ｃ．分析法與綜合法配合使用Ｄ．間接證法

Ｂ．π?2，π?5，π?8

6．使不等式Ａ．a?b

1a?16

Ｄ．20，40，60

成立的條件是（）

Ｂ．a?b

Ｄ．a?b，且ab?0

Ｃ．a?b，且ab?0

二、填空題

7．求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60°，用反證法證明時的假設為“三角形的”．

8．已知a?0，b?0，m?

9．當a?0，b?0時，①(a?b)?

?1?a

?1?

?≥4b?

2n?lg

m與nn的關系為．

；②a2?b2?2≥2a?2b；

；④

2aba?b

≥

以上4個不等式恒成立的是．（填序號）

10．函數f(x)?sinx?2sinx，x?[0，2π]的圖象與直線y?k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是．

11．設函數f(x)?lgx，若0?a,b，且f(a)?f(b)，則ab?．

12．已知平面?，?，?滿足???，???，????l，則l與?的位置關系為．

三、解答題

13．已知a，b，c?(0，1)．求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a不能同時大于

14．已知數列?an?為等差數列，公差d?1，數列?cn?滿足cn?an2?an2?1(n?N?)．判斷數列?cn?是否為等差數列，并證明你的結論．

15．若下列方程：x2?4ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，x2?2ax?2a?0，至少有一個方程有實根，試求實數aa的取值范圍．

．

答案

1.答案：Ｄ2.答案：Ｂ3.答案：Ｂ4.答案：Ａ 5.答案：Ｃ6.答案：Ｄ7.答案：三個內角都小于60° 8.答案： m≤n9.答案：①②③

10.答案：1?k?3 11.答案：(0，1)12.答案：l??

13.證明：假設三式同時大于

14，即(1?a)b?

164

14，(1?b)c?

14，(1?c)a?

14，三式同向相乘，得(1?a)a(1?b)b(1?c)c?

1?1?a?a?又(1?a)a≤???

24??

．①，14164

同理(1?b)b≤

14，(1?c)c≤．，所以(1?a)a(1?b)b(1?c)c≤

與①式矛盾，即假設不成立，故結論正確．

14.答案：是．證明：由條件an?a1?(n?1)，則cn?an2?an2?1??2n?2a1?1． 所以cn?1?cn??2，所以數列?cn?為等差數列．

??1?16a2?4(?4a?3)?0，?

15.解：設三個方程均無實根，則有??2?(a?1)2?4a2?0，?2

??3?4a?4(?2a)?0，

第五篇：2.2.1綜合法和分析法

數學選修1-2第二章推理與證明編號：3姓名：班級：評價：編制人：許朋朋 趙陽領導簽字：

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學目標：

（一）知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

（二）過程與方法: 培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態度與價值觀：，激發學生學習數學的興趣。

二、教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

三、教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

四、教學過程:

（一）導入新課：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的。數學結論的正確性必須通

過邏輯推理的方式加以證明。本節我們將學習兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）新課：

1.綜合法的概念：

綜合法的特點：用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論，綜合法可表示為：?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1：已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a

2)?4abc

例

2、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.注：解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，如把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

例

3、已知a,b?R?,求證aa

bb

?ab

ba

.注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。2.分析法的概念： 分析法的特點：分析法可表示為：?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

例4：求證?7?25。

3.分析法和綜合法結合的應用：在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用：根據條

件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q‘；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以證明結論成立．下面來看一個例子．

數學選修1-2第二章推理與證明編號：3姓名：班級：評價：編制人：許朋朋 趙陽領導簽字：

例5、已知?,??k??

?

(k?Z)，且 sin??cos??2sin?①sin?cos??sin2?②

?tan

2?1?tan2

求證：

1?

1?tan2??2(1?tan2

?)。

（三）課堂小結：

綜合法和分析法的特點：

（四）當堂檢測

1．分析法又叫執果索因法，若使用分析法證明：設a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因應是()A．a－b>0

B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．設a>0，b>0，a＋b＝1.求證：(1)111a＋bab≥8；(2)??a＋1a2＋??b＋1b2≥252.3．若a，b，c為不全相等的正數，求證：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求證(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作業：

1、a,b,c?R?,求證

?a?b?c)

2.設a,b,c為一個三角形的三邊,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

試證s<2a