第一篇：2、綜合法和分析法證明不等式
南化一中高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義55第六章《不等式》
§6.2綜合法和分析法證明不等式
【復(fù)習(xí)目標(biāo)】
1． 熟悉證明不等式的綜合法、分析法，并能應(yīng)用其證明不等式；
2． 理解分析法的實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”；注意用分析法證明不等式的表述格式；
3． 對(duì)于較復(fù)雜的不等式，能綜合使用各種方法給予證明。
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
綜合法的難點(diǎn)在于從何處出發(fā)進(jìn)行論證并不明確，因此我們經(jīng)常用分析法尋找解題的思路，再用綜合法表述。分析法是“執(zhí)果索因”，綜合法是“由因?qū)Ч薄Ｒ⒁夥治龇ǖ谋硎龈袷健?/p>
【課前預(yù)習(xí)】
1.“a>1”是“1?1”的（）a
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條
2.a?3)
3.證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.設(shè)a,b,c∈R+,則三個(gè)數(shù)a?1，b?1，c?1的值，則（）bca
A.都大于2B.至少有一個(gè)不大于2C.都小于2D.至少有一個(gè)不小于
2【典型例題】
11??3? xy
abc???a??c.（2）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：ca例1（1）已知x,y?R，且2x?y?
1，求證：?
第55課：§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求證：c－c2?ab 1.設(shè)a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是 A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b 2.設(shè)0 A．b<2ab C．2ab 3.a>b>1,P=lgalgb,Q= 12(lga?lgb),R=lg(a?b 2) A．R 【本課小結(jié)】 【課后作業(yè)】 1． 已知：a,b,c為正實(shí)數(shù).求證：bc a?acab b?c?a?b?c.11 2． 設(shè)x>0,y>0,證明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2 2=1,求證：a?b2≤32 4.4． 若x、y是正實(shí)數(shù),x+y=1，求證：（1+11 x）(1+y)≥9.-（）（）（） 2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。 【知識(shí)要點(diǎn)】 綜合法：從已知出發(fā)，通過(guò)一系列正確的推理，得出結(jié)論的證明方法。（由因?qū)Ч┓治龇ǎ簭囊C明的結(jié)論出發(fā)，尋找使命題成立的充分條件。（執(zhí)果素因）分析法書寫格式： 題目：已知A，求證B。 證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。 注意： 1．在具體處理問(wèn)題時(shí)，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結(jié)合使用。 2．如果采用分析法證明時(shí)，要注意書寫的要求。 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1．判斷下列推理是否正確： （1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab （2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（） 2（3）要證a 2．某工廠第二年增長(zhǎng)率為a，第三年增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則（） a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222 1a+b 3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22 （A）R 驏驏驏111 4．設(shè)a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab （A）0?M 【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38 例1．設(shè)x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2) 解法指導(dǎo)：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a 只要證logaa+a(x-x2) 18(x-x2)驏1 8÷ 2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因?yàn)閍>0,所以ax>0,a-x> 0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因?yàn)閤-x2=-?x-÷+，0 4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號(hào)不能成立，í?2???x=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2．設(shè)a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c 解法指導(dǎo)：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc 1?2ab。因?yàn)閏? 0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。 1125例3．設(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2 11解法指導(dǎo)：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結(jié)論，而xy 得不出要證明的結(jié)論。這時(shí)可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2? ?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2 (x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因?yàn)樵O(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，所以xy?44xy2 立。故要不得證不等式成立。 思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因?yàn)??(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22 變題1：設(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy 1125變題2：設(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4 1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4 因?yàn)?x,y是正數(shù)，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因?yàn)閤?y?1，所以只要 33332332 證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488 (x?y)2***332 ?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因?yàn)閤y?8848844 【能力訓(xùn)練】 一、填空題 222 21．已知a,b?R+，則下列不等式： (1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2．設(shè)a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關(guān)系為_(kāi)___________。aa+m 二、選擇題 3．(2004年遼寧)對(duì)于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（） （A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) 三、解答題 5.設(shè)g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設(shè)n>0,求證 : 7.若a,b,c均為大于1的數(shù),且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab （1）證明這個(gè)命題為真命題； （2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明； （3）將上述命題推廣為關(guān)于n個(gè)正數(shù)的命題（不必證明）。 不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問(wèn)題: （一）比較法證明不等式 ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn? 2.a,b,m,n?R 3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a? 3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證： （二）綜合法證明不等式 ?a,b,c?R1.設(shè),3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證: ?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc 124???18(2)abc 1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc （三）分析法證明不等式 1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設(shè),求證: 4.若a,b,c三數(shù)均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc 41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322 6.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證: ?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2 (1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab 不等式的證明（分析法與綜合法）B 一、選擇題 1、若a、b?R，c?Q,則使ac?bc成立的充分條件是（）A．a(chǎn)>b>0,c<0B．a(chǎn)>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0 2、若a>b,m>0,則下列不等式恒成立的是（）A．(a?m)2?(b?m)2B． b?mb ?C．(a?m)3?(b?m)3D．? a?ma 3已知0 a (xy)<0B．0 a (xy)<1C．1 a (xy)< 2D．loga(xy)>24、設(shè)x,y,z∈(-?,0),則三數(shù)x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一個(gè)不大于-2D.只少有一個(gè)不大于-2 △ 5、設(shè)函數(shù)f(x x?1，在f(x)的定義域內(nèi)任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 x?x2f(x)?f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正確的是（）?0④f（122x2?x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R?，則下列個(gè)式中成立的是（） A.cos2??lga?sin2??lg(a?b) lg(a?b)C.a cos2? ?b sin2? ?a?bD.a cos2? ?b sin2? ?a?b 二、填空題 7、若a>0且a≠1,則loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、設(shè)x,y∈R,且x+y=3,則3x?3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R?,且 xy≥x+y+1,則 x+y的最小值______________。△ 10、設(shè)x,y∈R?,0<θ<π,則 三、解答題 11、a、b、c、d∈R?,求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d) 2△ 12、設(shè)a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+，求證：（?1a1??2a2）（☆ 13、設(shè)a>0,b>0,c>0, 求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1x?yxsin??y(用不等式填空)x?yxsin??y?1?a2?2）≤(?1??2)4?1? 2不等式的證明（分析法與綜合法）B答案； 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略 高一數(shù)學(xué)【學(xué)案】第二章《不等式—*不等式的證明》 §*2.5.2不等式的證明（2）—分析法和綜合法 1．掌握用比較法證明簡(jiǎn)單不等式； ．．． 2．掌握用分析法證明簡(jiǎn)單不等式 .．．． 問(wèn)1什么是分析法？如何運(yùn)用分析法證明不等式？ 問(wèn)2什么是綜合法？如何運(yùn)用綜合法證明不等式？ [*分析法] 例1（人教B版選修4-5P22例4） ? 例2（P47例2）用分析法證明： 已知x?y? 022 例8（人教B版選修4-5P21例2） 已知a，b，c為正數(shù)，求證： a3?b3?c3 （1）?abc；3 當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)等號(hào)成立.（2）a?b?c?3 例9（人教B版選修4-5P21例2） 已知a?b?c?1，x?y?z?1，求證：ax?by?cz?1.222222 111例10已知：a,b,c同號(hào)且互不相等，a?b?c?1.求證：???9.abc 1.用綜合法證明：如果a，b為正數(shù)，則ab? 1ba???4.abab x212.用綜合法證明：如果x為實(shí)數(shù)，則.?41?x2 3.用分析法證明：如果a，b為正數(shù)，且a? b，則 2ab?.a?b a2?14.用分析法或綜合法證明：?1?2?1.a?1 5.?2? a2b2?b2c2?c2a2 ?abc.6.設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a?b?c 7.已知a?0，b?0，求證：a?b?ab?ab.3-553223第二篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法
第三篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法
第四篇：不等式的證明(分析法與綜合法)B
第五篇：§2.5.2不等式的證明 分析法和綜合法
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