第一篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運用它們證明一些不等式． 2．了解綜合法的意義．

3．通過對定理及其推論的推導(dǎo)、證明、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運用綜合法進行推理論證的能力．

教學(xué)重點和難點

用綜合法證明定理及推論的教學(xué)． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）新課引入

師：我們已學(xué)過用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請完成以下練習(xí)．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實數(shù)）．

2．請問：x2＋1與2x的大小關(guān)系是什么？并證明你的結(jié)論．（教師巡視學(xué)生的解題情況，請學(xué)生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x． 師：兩位同學(xué)的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū) 別嗎？請大家思考． 2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ②

師：同學(xué)們得到的結(jié)論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？ 生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時答不出也沒關(guān)系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問問寫出證法二的同學(xué)是怎么想出來的．

生：我一看到是兩個“平方項”與它們的兩倍“交叉項”比大小，就首先想到了平方公式，這個完全平方一定是非負的；然后再根據(jù)不等式性質(zhì)，就得到了結(jié)論；最后就按這個思路進行的證明．

師：他是從已經(jīng)成立的事實出發(fā)，經(jīng)過正確推理，得到要證的結(jié)論．也就是說他是以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推出②式，這種利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法． 對于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經(jīng)知道用綜合法證明需要一些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，因此我們應(yīng)先證明出一些最重要、最基本的不等式． 2．定理推導(dǎo)

師：通過剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準備好的課本中的這段證明投出來供大家一起閱讀．此處需實物投影儀）證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當(dāng)a≠b時，（a-b）2＞0；當(dāng)a=b時，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應(yīng)予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達，“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）．（板書）師：這個定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和． 師：雖然語言欠準確，但其含意是對的．這個定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項都是二次的，使用時不太方便，誰有辦法將它們的次數(shù)降下來？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個命題大家能證明出來嗎？一時不能完全證出來也沒關(guān)系，想出多少說多少． 生甲：我覺得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個分著不可能證出來，不過合起來的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒能把命題證出，但從他們的發(fā)言中我們得到了一點啟發(fā)：三次的問題轉(zhuǎn)化為二次的解決． 生丁：我證出來了．

（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab．

所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2． 同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來的？

生丁：我覺得證這個題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論．證題時我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗，對a3，b3，c3的降次轉(zhuǎn)化工作不是一個、師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創(chuàng)設(shè)條件、充分利用定理證題．這個問題是用什么方法加以證明的？ 生：綜合法．

師：剛才的證明過程不僅幫我們把問題得以解決，而且還幫助我們加深了對綜合法的認識，從中可體會到應(yīng)如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

師：正確，而且思路很清晰．這個思路你是怎么想出來的？

生：我是一看到這個題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號，題目也就證出來了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒分解出來．再試時，我看a3，b3，c3，3abc這四項都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來了．

師：數(shù)學(xué)中很多時候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過程看，“=”出現(xiàn)在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a同時成立，即a=b=c時等號成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）．

師：這個定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠不只上述這些，推論也可直接證得，同學(xué)們不妨課下試一試．

（三）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）

1．已學(xué)過的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：

3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．

本節(jié)課的課前兩個練習(xí)與兩個定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對二者內(nèi)在聯(lián)系的思考．

由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明． 擺在我們面前的問題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來就是難度加大；方法合理使用，會使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．

顯然，對于需用基本不等式證明的問題，直接用結(jié)論要比再從頭證一遍容易很多． 4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對任意實數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號成立的條件．

（四）布置作業(yè)

《高級中學(xué)課本·代數(shù)·下冊（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習(xí)1，2． 補充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學(xué)設(shè)計說明

這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時又可采用綜合法．因此，我們在課前設(shè)計了兩個練習(xí)題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使生沒有想到，教師點撥起來也并不困難

后順著學(xué)生用綜合法的需要，介紹了4個基本不等式，在它們的證明過程中，使用綜合法，幫助學(xué)生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學(xué)設(shè)計上，我們力圖從學(xué)生的需要出發(fā)，適時地設(shè)計一系列問題，幫助學(xué)生抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的公式、方法能用、會用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式．

表面上看，本節(jié)練習(xí)不夠，但實際上，定理2及推論的證明正是最好的練習(xí)．構(gòu)思這個證明，起點要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的絕對機會．我們認為：最好的習(xí)題就是定理本身的推證過程．這里又是本節(jié)的一個難點，在此花點功夫、適當(dāng)展開是應(yīng)當(dāng)?shù)模煌瑫r學(xué)生對用綜合法證明不等式會有更深刻的體驗．因此講透它比做幾個練習(xí)更有意義．

對于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔(dān)心會沖淡學(xué)生對綜合法的認識，在本節(jié)中并未提及．

在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生有可能直接證出定理2的推論，這也無妨．一般來講，它同樣是要用到兩項的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學(xué)生的實際，順其自然． 至于n個正數(shù)的有關(guān)結(jié)論，根據(jù)教育部98年頒布的《刪減意見》對此不作要求，故在本案中也未涉及．

第二篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運用它們證明一些不等式．

2．了解綜合法的意義．

3．通過對定理及其推論的推導(dǎo)、證明、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運用綜合法進行推理論證的能力．

教學(xué)重點和難點

用綜合法證明定理及推論的教學(xué)． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）新課引入

師：我們已學(xué)過用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請完成以下練習(xí)．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實數(shù)）．

2．請問：x2＋1與2x的大小關(guān)系是什么？并證明你的結(jié)論．（教師巡視學(xué)生的解題情況，請學(xué)生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x．

師：兩位同學(xué)的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū)別嗎？請大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ② 師：同學(xué)們得到的結(jié)論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？

生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時答不出也沒關(guān)系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問問寫出證法二的同學(xué)是怎么想出來的．

生：我一看到是兩個“平方項”與它們的兩倍“交叉項”比大小，就首先想到了平方公式，這個完全平方一定是非負的；然后再根據(jù)不等式性質(zhì)，就得到了結(jié)論；最后就按這個思路進行的證明．

師：他是從已經(jīng)成立的事實出發(fā)，經(jīng)過正確推理，得到要證的結(jié)論．也就是說他是以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推出②式，這種利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法．

對于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經(jīng)知道用綜合法證明需要一些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，因此我們應(yīng)先證明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推導(dǎo)

師：通過剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準備好的課本中的這段證明投出來供大家一起閱讀．此處需實物投影儀）

證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當(dāng)a≠b時，（a-b）2＞0；當(dāng)a=b時，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應(yīng)予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達，“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）．（板書）

師：這個定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和．

師：雖然語言欠準確，但其含意是對的．這個定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項都是二次的，使用時不太方便，誰有辦法將它們的次數(shù)降下來？

師：大家都同意他的作法嗎？有什么不同意見嗎？

師：同學(xué)們思考問題已越來越嚴謹了，的確，從學(xué)生甲的方法應(yīng)得到學(xué)生乙的結(jié)論，學(xué)生丙提到的條件是不可缺少的．由于有這個條件，的情況單獨提出來，做為定理1的推論．

“＝”號）．（板書）

生丁：我與學(xué)生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab對任意

師：學(xué)生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推論，這個推論十 的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)． 3．定理的初步應(yīng)用

師：看到這個問題，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以證明．

師：若想定理幫忙，首先要看是否符合定理的條件．

師：再看是否符合定理的結(jié)構(gòu)．

師：實際上，我們是用定理1的推論進行證明的．

（教師把證明過程板演到黑板上）師：使用定理時，應(yīng)特別注意：等號何時成立，不過這只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推廣

師：我們已研究得到兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這個結(jié)論可以推廣到3，4，?，n（n∈N+）個正數(shù)，在中學(xué)只要掌握到三個正數(shù)的相應(yīng)結(jié)論．請問應(yīng)是什么？

生：應(yīng)該是：三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 師：用符號語言應(yīng)如何表述？請寫到黑板上．（學(xué)生書寫在黑板上）

師：如何證明呢？ 生：??

使式子看起來較為復(fù)雜，能否做適當(dāng)變形使之簡化呢？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個命題大家能證明出來嗎？一時不能完全證出來也沒關(guān)系，想出多少說多少．

生甲：我覺得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個分著不可能證出來，不過合起來的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒能把命題證出，但從他們的發(fā)言中我們得到了一點啟發(fā)：三次的問題轉(zhuǎn)化為二次的解決． 生丁：我證出來了．（學(xué)生口述，教師板書）

證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來的？

生丁：我覺得證這個題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論．證題時我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗，對a3，b3，c3的降次轉(zhuǎn)化工作不是一個、成．

師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創(chuàng)設(shè)條件、充分利用定理證題．這個問題是用什么方法加以證明的？

生：綜合法．

師：剛才的證明過程不僅幫我們把問題得以解決，而且還幫助我們加深了對綜合法的認識，從中可體會到應(yīng)如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，則a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

進而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

師：正確，而且思路很清晰．這個思路你是怎么想出來的？

生：我是一看到這個題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號，題目也就證出來了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒分解出來．再試時，我看a3，b3，c3，3abc這四項都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來了．

師：數(shù)學(xué)中很多時候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過程看，“=”出現(xiàn)在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a同時成立，即a=b=c時等號成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）．

時取“=”號）．

師：這個定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠不只上述這些，推論也可直接證得，同學(xué)們不妨課下試一試．

（三）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）

1．已學(xué)過的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：

“＝”號）．

3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．

本節(jié)課的課前兩個練習(xí)與兩個定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對二者內(nèi)在聯(lián)系的思考． 由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明．

擺在我們面前的問題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來就是難度加大；方法合理使用，會使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．

顯然，對于需用基本不等式證明的問題，直接用結(jié)論要比再從頭證一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對任意實數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號成立的條件．

（四）布置作業(yè)

《高級中學(xué)課本·代數(shù)·下冊（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習(xí)1，2．

補充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學(xué)設(shè)計說明

這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時又可采用綜合法．因此，我們在課前設(shè)計了兩個練習(xí)題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使生沒有想到，教師點撥起來也并不困難．而后順著學(xué)生用綜合法的需要，介紹了4個基本不等式，在它們的證明過程中，使用綜合法，幫助學(xué)生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學(xué)設(shè)計上，我們力圖從學(xué)生的需要出發(fā)，適時地設(shè)計一系列問題，幫助學(xué)生抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的公式、方法能用、會用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式． 表面上看，本節(jié)練習(xí)不夠，但實際上，定理2及推論的證明正是最好的練習(xí)．構(gòu)思這個證明，起點要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的絕對機會．我們認為：最好的習(xí)題就是定理本身的推證過程．這里又是本節(jié)的一個難點，在此花點功夫、適當(dāng)展開是應(yīng)當(dāng)?shù)模煌瑫r學(xué)生對用綜合法證明不等式會有更深刻的體驗．因此講透它比做幾個練習(xí)更有意義． 對于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔(dān)心會沖淡學(xué)生對綜合法的認識，在本節(jié)中并未提及．

在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生有可能直接證出定理2的推論，這也無妨．一般來講，它同樣是要用到兩項的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學(xué)生的實際，順其自然．

第三篇：不等式的證明-綜合法

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級組長：使用時間：

不等式的證明-綜合法

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握綜合法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用綜合法證明不等式。

【重點、難點】

重點：綜合法證明不等式。

難點：綜合法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時獨立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18,【自主探究】

1，綜合法：從出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)（或已知證明過的不等式），推出了所要證明 的結(jié)論，即“”的方法，這種證明不等式的方法稱為綜合法。

2，綜合法證明不等式就是揭示已知和結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知和結(jié)論之間，求證不等式左右兩邊之間的聯(lián)系和差異，恰當(dāng)選擇基本不等式，合理的進行恒等變形，正確的把握切入點，這是證明的關(guān)鍵。

3，綜合法證明不等式常用的不等式：

22（1）a2?0(a?R)（2）a?b2ab（a,b?R）

(3)a?b2ab（a,b?R）

(4)當(dāng)a>0,b>0時,22ab(a?b2)2

（5）當(dāng)a>0,b>0

【合作探究】

證明下列不等式

（1）已知ａ＞0, b>0，c>0求證 ：

（2）已知0

b?cc?aa?b???6abc

【鞏固提高】

（1），已知a>b>c,求證:

（2），（2008年江蘇卷）已知a,b c為正實數(shù),求證:

【能力提升】

已知 a,b,c ?R求證:

114?? a?bb?ca?c111???abc? a3b3c3a?b?c)

本節(jié)小結(jié)：分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者由果索因，利于思考，后者由因?qū)Ч子诒磉_，但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探索方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述繁瑣，如果把“只需證明”不寫，就成了錯誤，所以用分析法分析綜合法書寫，另外用分析法證明的不等式一定能用綜合法證明。

第四篇：綜合法證明不等式詳解范文

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綜合法與不等式的證明

河南省臨潁縣南街村高中 趙先舉 462600

綜合法證明不等式是證明不等式最常用的方法之一,它主要使用不等式的基本性質(zhì)及不等式的變形證明不等式的一種方法.其證明過程是:由已知條件結(jié)合不等式的性質(zhì)進行變形逐步推出要證不等式即A?A1?A2??B也就是“由因?qū)Ч?順藤摸瓜”的思路.其解決的主要題型可以分為以下幾種,下面結(jié)合具體例子加以說明.一、運用不等式的基本性質(zhì)證明不等式

不等式的基本性質(zhì)反映了不等式在變形過程中的規(guī)律,它可以把不等式進行變形或者化簡,對于證明一些簡單的不等式也有很重要的作用.例1.已知c?a?b?0,求證:a

c?a?b

c?b.分析:要證不等式是一個分式不等式可以使用不等式的基本性質(zhì)先證逐步變形即可.證明:因為c?a?b?0,所以,0?c?a?c?b,故

a

c?a?b

c?b1c?a?1c?b,而a?b?0,所以,.即原不等式得證.點評:這類不等式的證明實際上就是根據(jù)不等式的性質(zhì)把基本不等式進行變形.這類問題常用到整式與倒數(shù)的關(guān)系:a?b且ab?0?

1a?1

b.這是把整式向分式轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).二、利用“均值不等式”及變形證明不等式

我們知道,兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).這一結(jié)論通常叫做“均值不等式”,它有很多變形,在很多不等式的證明中都可以得到應(yīng)用.222例2.設(shè)a,b是正實數(shù),x,y?R且a?b?1.求證:ax?by?(ax?by).分析:題設(shè)條件中的a?b?1可以作為一個因式乘到不等式的左邊,再展開進行變形,進而利用不等式的性質(zhì)即可證明.證明:ax?by?(ax?by)(a?b)?ax?ab(x?y)?by

因為x?y?2xy,且a,b是正實數(shù),所以,ax?ab(x?y)?by?ax?2abxy?by=(ax?by).故原不等式得證.點評:其實,很多時候用的不一定是“均值不等式”,而是它的變形,這些變形常用的有:a?b?

2ab,行合理的選擇.例3.已知a,b,c?(0.??),求證:a***22222222222a?b2?(a?b)(1a?1b)?4等.在實際問題中要對這些公式進

bc?b

3ca?c3

ab?a?b?c.分析:這里要證的不等式的左邊是分式的形式,而右邊是整式,直接使用均值不等式(或變形)又不具備條件,于是考慮先把不等式進行變形.因為a,b,c?(0.??),所以,原不等式可以變形為a4?b4?c4?a2bc?ab2c?abc2.?a4?b4?

2?44證明:因為?b?c?2

?44c?a?2?aba222bc,把三式相加,兩邊再除以c222可

?a2b2?b2c2??2ab2c??444222222得:a?b?c?ab?bc?ac.又?b2c2?c2a2?2abc2,三式相加,再除

?22222ca?ab?2abc??

以2可得a2b2?b2c2?a2c2?a2bc?ab2c?abc2.于是可得a4?b4?c4?a2b?c

a32ab?c,兩a邊bc同時除以abc即可得:

bc?b3

ca?c3

ab?a?b?c.點評:本題其實是反復(fù)使用a2?b2?2ab進行放縮.這類問題的特點是,兩邊所有字母的次數(shù)加在一起后次數(shù)相同,例如本題是4次,它們都可以看成a2?b2?c2?a2b2?b2c2?c2a2的變形.三、利用均值不等式證明不等式的小技巧

不等式問題中判斷取等號的條件往往是解決問題的關(guān)鍵.而有一類不等式問題,我們把它的條件和結(jié)論中的字母隨意進行調(diào)換位置后整個問題不發(fā)生任何變化.例如,已知

??a?R,b?R,且a?b?1,求證:ab?1

4.若把問題中的a,b進行調(diào)換后,條件和結(jié)論仍

然不變.我們把滿足這種條件的問題叫做“輪換對稱問題”.掌握這類不等式問題的特點,可以更加靈活地尋找證明不等式的方法.例4.已知a?0,b?0,c?0且a?b?c?1,求證

???.分析:這道題可能會使我們有點無從下手的感覺.但是,它仍然屬于“輪換對稱問題”,那么我們可以猜測,當(dāng)a?b?c?

證明

?6(a?b?c)?12

213時,不等式取等號.此時,??6a?1?32????.6b?1?326c?1?32 ?9.即??9,故?.點評:本題根據(jù)“輪換對稱問題”的特點,把數(shù)值具體化,巧妙地配上口.實際上,很多“輪換對稱問題”給出的不等式都是在所給字母相等時成立等號,利用這一性質(zhì)還可以迅速地求解一些代數(shù)式的最值,特別是對一些選擇題非常有效.總之,均值不等式是證明不等式的一種重要方法,在使用時既要合理使用不等式中的一些結(jié)論,還要不斷總結(jié)一些小技巧,使得證明過程更加簡潔.

第五篇：2、綜合法和分析法證明不等式

南化一中高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義55第六章《不等式》

§6.2綜合法和分析法證明不等式

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】

1． 熟悉證明不等式的綜合法、分析法，并能應(yīng)用其證明不等式；

2． 理解分析法的實質(zhì)是“執(zhí)果索因”；注意用分析法證明不等式的表述格式；

3． 對于較復(fù)雜的不等式，能綜合使用各種方法給予證明。

【重點難點】

綜合法的難點在于從何處出發(fā)進行論證并不明確，因此我們經(jīng)常用分析法尋找解題的思路，再用綜合法表述。分析法是“執(zhí)果索因”，綜合法是“由因?qū)Ч薄Ｒ⒁夥治龇ǖ谋硎龈袷健?/p>

【課前預(yù)習(xí)】

1.“a>1”是“1?1”的（）a

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

2.a?3)

3.證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.設(shè)a,b,c∈R+,則三個數(shù)a?1，b?1，c?1的值，則（）bca

A.都大于2B.至少有一個不大于2C.都小于2D.至少有一個不小于

2【典型例題】

11??3? xy

abc???a??c.（2）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：ca例1（1）已知x,y?R，且2x?y?

1，求證：?

第55課：§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求證：c－c2?ab

1.設(shè)a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是

A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b

2.設(shè)0

A．b<2ab

C．2ab

3.a>b>1,P=lgalgb,Q=

12(lga?lgb),R=lg(a?b

2)

A．R

【本課小結(jié)】

【課后作業(yè)】

1． 已知：a,b,c為正實數(shù).求證：bc

a?acab

b?c?a?b?c.11

2． 設(shè)x>0,y>0,證明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求證：a?b2≤32

4.4． 若x、y是正實數(shù),x+y=1，求證：（1+11

x）(1+y)≥9.-（）（）（）