第一篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法
不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題:
（一）比較法證明不等式
ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn?
2.a,b,m,n?R
3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a?
3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證：
（二）綜合法證明不等式
?a,b,c?R1.設,3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證:
?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc
124???18(2)abc
1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc
（三）分析法證明不等式
1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設,求證:
4.若a,b,c三數均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc
41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322
6.實數a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證:
?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2
(1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab
第二篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式
2a ?b?? ??1?1a?b
2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2
2??2 2??a?b????整式形
式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數形式??1 ?a?0?a???2?a??
1.比較法、分析法、換元法
一.比較法（作差比較或作商比較）
1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負）、得出結論。
2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證
作商、變形、判斷與1的大小、得出結論。
222222例1.設a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb
22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?
1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab
b?a
2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a
二.分析法
a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：
2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2
∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22
∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223
3a3?b3(a?b)3
?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。
2?a?b?練習．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2
2.求證
a2?b2a?a?
均值不等式
例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?
111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a
（2）a?b?c?
例4設a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1 114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c 2.均值換元法： 使用均值換元法能達到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2?? 2225 2 例3.設a，b，c為三角形三邊，求證： 4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c 例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab 2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。 【知識要點】 綜合法：從已知出發，通過一系列正確的推理，得出結論的證明方法。（由因導果）分析法：從要證明的結論出發，尋找使命題成立的充分條件。（執果素因）分析法書寫格式： 題目：已知A，求證B。 證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。 注意： 1．在具體處理問題時，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結合使用。 2．如果采用分析法證明時，要注意書寫的要求。 【基礎訓練】 1．判斷下列推理是否正確： （1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab （2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（） 2（3）要證a 2．某工廠第二年增長率為a，第三年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（） a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222 1a+b 3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22 （A）R 驏驏驏111 4．設a,b,c為正數，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab （A）0?M 【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38 例1．設x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2) 解法指導：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a 只要證logaa+a(x-x2) 18(x-x2)驏1 8÷ 2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因為a>0,所以ax>0,a-x> 0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因為x-x2=-?x-÷+，0 4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號不能成立，í?2???x=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2．設a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c 解法指導：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc 1?2ab。因為c? 0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。 1125例3．設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2 11解法指導：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結論，而xy 得不出要證明的結論。這時可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2? ?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2 (x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因為設x,y是正數，且x?y?1，所以xy?44xy2 立。故要不得證不等式成立。 思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因為2?(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22 變題1：設x,y是正數，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy 1125變題2：設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4 1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4 因為 x,y是正數，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因為x?y?1，所以只要 33332332 證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488 (x?y)2***332 ?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因為xy?8848844 【能力訓練】 一、填空題 222 21．已知a,b?R+，則下列不等式： (1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2．設a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關系為____________。aa+m 二、選擇題 3．(2004年遼寧)對于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（） （A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) 三、解答題 5.設g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設n>0,求證 : 7.若a,b,c均為大于1的數,且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab （1）證明這個命題為真命題； （2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明； （3）將上述命題推廣為關于n個正數的命題（不必證明）。 不等式的證明（分析法與綜合法）B 一、選擇題 1、若a、b?R，c?Q,則使ac?bc成立的充分條件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0 2、若a>b,m>0,則下列不等式恒成立的是（）A．(a?m)2?(b?m)2B． b?mb ?C．(a?m)3?(b?m)3D．? a?ma 3已知0 a (xy)<0B．0 a (xy)<1C．1 a (xy)< 2D．loga(xy)>24、設x,y,z∈(-?,0),則三數x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一個不大于-2D.只少有一個不大于-2 △ 5、設函數f(x x?1，在f(x)的定義域內任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 x?x2f(x)?f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正確的是（）?0④f（122x2?x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R?，則下列個式中成立的是（） A.cos2??lga?sin2??lg(a?b) lg(a?b)C.a cos2? ?b sin2? ?a?bD.a cos2? ?b sin2? ?a?b 二、填空題 7、若a>0且a≠1,則loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、設x,y∈R,且x+y=3,則3x?3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R?,且 xy≥x+y+1,則 x+y的最小值______________。△ 10、設x,y∈R?,0<θ<π,則 三、解答題 11、a、b、c、d∈R?,求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d) 2△ 12、設a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+，求證：（?1a1??2a2）（☆ 13、設a>0,b>0,c>0, 求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1x?yxsin??y(用不等式填空)x?yxsin??y?1?a2?2）≤(?1??2)4?1? 2不等式的證明（分析法與綜合法）B答案； 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略 南化一中高三數學第一輪復習講義55第六章《不等式》 §6.2綜合法和分析法證明不等式 【復習目標】 1． 熟悉證明不等式的綜合法、分析法，并能應用其證明不等式； 2． 理解分析法的實質是“執果索因”；注意用分析法證明不等式的表述格式； 3． 對于較復雜的不等式，能綜合使用各種方法給予證明。 【重點難點】 綜合法的難點在于從何處出發進行論證并不明確，因此我們經常用分析法尋找解題的思路，再用綜合法表述。分析法是“執果索因”，綜合法是“由因導果”。要注意分析法的表述格式。 【課前預習】 1.“a>1”是“1?1”的（）a A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條 2.a?3) 3.證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.設a,b,c∈R+,則三個數a?1，b?1，c?1的值，則（）bca A.都大于2B.至少有一個不大于2C.都小于2D.至少有一個不小于 2【典型例題】 11??3? xy abc???a??c.（2）設a,b,c都是正數，求證：ca例1（1）已知x,y?R，且2x?y? 1，求證：? 第55課：§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數學學案教學方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求證：c－c2?ab 1.設a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是 A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b 2.設0 A．b<2ab C．2ab 3.a>b>1,P=lgalgb,Q= 12(lga?lgb),R=lg(a?b 2) A．R 【本課小結】 【課后作業】 1． 已知：a,b,c為正實數.求證：bc a?acab b?c?a?b?c.11 2． 設x>0,y>0,證明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2 2=1,求證：a?b2≤32 4.4． 若x、y是正實數,x+y=1，求證：（1+11 x）(1+y)≥9.-（）（）（）第三篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法
第四篇：不等式的證明(分析法與綜合法)B
第五篇：2、綜合法和分析法證明不等式
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