第一篇：不等式·用分析法證明不等式

不等式·用分析法證明不等式·教案

教學目標

通過教學，學生掌握和應用分析法證明不等式． 教學重點和難點

理解分析法的證題格式并能熟練應用． 教學過程設計

師：我們已經學習了綜合法證明不等式．綜合法是從已知條件入手去探明解題途徑，概括地說，就是“從已知，看已知，逐步推向未知”． 綜合法的思路如下：（從上往下看）（用投影片）

師：其中，A表示已知條件，由A可以得到它的許多性質，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1還可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，?，而到達結D的只有C，于是我們便找到了A→B→C→D這條通路．當然，有時也可以有其他的途徑達到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有許多不等式的證明題，已知條件很隱蔽，使用綜合法證明有一定困難．

這一命題若用綜合法證明就不知應從何處下手，今天我們介紹用分析法證明不等式，來解決這個問題．

（復習了舊知識，并指出單一用綜合法證明的不足之處，說明了學習分析法的必要性）分析法是從結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，從而找出解題途徑．概括地說，就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知”． 分析法的思路如下：（從下往上看）（用投影片）

師：欲使結論D成立，可能有C，C1，C2三條途徑，而欲使C成立，又有B這條途徑，欲使C1成立，又有B1這條途徑，欲使C2成立，又有B2，B3兩條途徑，在B，B1，B2，B3中，只有B可以從A得到，于是便找到了A→B→C→D這條解題途徑．（對比綜合法敘述分析法及其思路，便于學生深刻理解分析法的實質及其與綜合法的關系）

師：用分析法論證“若A到B”這個命題的模式是：（用投影片）欲證命題B為真，只需證命題B1為真，只需證命題B2為真，??

只需證命題A為真，今已知A真，故B必真．

師：在運用分析法時，需積累一些解題經驗，總結一些常規思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強針對性，較快地探明解題途徑． 下面舉例說明如何用分析法證明不等式．首先解決剛才提出的問題．（板書）

師：這個題目我們曾經用比較法進行過證明，請同學們考慮用分析法如何證明？（學生討論，請一學生回答）

生：因為b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化為a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，這個式子就是已知條件，所以求證的不等式成立．

（學生理解了分析法的原理，應予以肯定，但這個回答不能作為證明過程，學生往往忽略分析法證明的格式，要及時糾正）

師：這位同學“執果索因”，逐步逆找結論成立的充分條件，直至找到明顯成立的不等式為止．很明顯，逆找的過程正是把“欲證”由繁化簡的過程，因而分析法對于形式復雜的證明題是一種行之有效的方法．

但是作為證明過程，這位同學的回答不符合要求．應該如何證明呢？（請一位同學板書）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，進而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法證明的．

證法2：

欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因為a＋b＞0，課堂教學設計說明

教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程．因此，教師應及時提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題的解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直至完成本節課的教學任務．總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態．

本節課練中有講，講中有練，講練結合．在講與練的相互作用下，使學生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學生自己解答，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷提出問題讓學生解答和練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包辦代替的做法．

在安排本節課教學內容時，我注意按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構．

第二篇：分析法證明不等式專題

分析法證明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求證|a|+|b|/|a+b|<=√

2【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由題設條件可知，a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.具體的，即是|a+b|>0

【2】

顯然，由|a+b|>0可知

原不等式等價于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

該不等式等價于不等式：

(|a|+|b|)2≤2.整理即是：

a2+2|ab|+b2≤2(a2+2ab+b2)

【∵|a|2=a2.|b|2=b2.|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2

又ab=0,故接下來就有】】

a2+b2≤2a2+2b2

0≤a2+b2

∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a2+b2>0.推上去，可知原不等式成立。

作為數學題型的不等式證明問題和作為數學證明方法的分析法，兩者皆為中學數學的教學難點。本文僅就用分析法證明不等式這一問題稍作探討。

注:“本文中所涉及到的圖表、公式注解等形式請以pDF格式閱讀原文。”

就是在其兩邊同時除以根號a+根號b，就可以了。

下面我給你介紹一些解不等式的方法

首先要牢記一些我們常見的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，還有琴深不等式(當然這些是翻譯的問題)

然后要學會用一些函數的方法，這是解不等式最常見的方法。分析法，綜合法，做減法，假設法等等這些事容易的。

在考試的時候方法最多的是用函數的方法做，關鍵是找到函數的定義域，還有求出它的導函數。找到他的最小值，最大值。

在結合要求的等等

一句話要靈活的用我們學到的知識解決問題。

還有一種方法就是數學證明題的最會想到的。就是歸納法

這種方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正數a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號ab

令T=根號ab,T^2-2T-3>=0

T>=3orT<=-1(舍)

即，根號ab>=3，故，ab>=9(當且僅當a=b=3是取等號)。

第三篇：不等式證明三(分析法)

Xupeisen110高中數學

教材：不等式證明三（分析法）

目的：要求學生學會用分析法證明不等式。

過程：

一、介紹“分析法”：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題。

二、例

一、求證：3?7?2

5證：

5)

22xy

32∵x2?y2?2xy?xy成立 3只需證：x2?y2?

∴(x?y)?(x?y)22312133

證二：（綜合法）∵(x2?y2)3?x6?y6?3x2y2(x2?y2)?x6?y6?6x3y3

1?x6?y6?2x3y3?(x3?y3)2

∵x > 0，y > 0，∴(x?y)?(x?y)22312133

例

三、已知：a + b + c = 0，求證：ab + bc + ca ≤ 0

證一：（綜合法）∵a + b + c = 0∴(a + b + c)2 = 0

a2?b2?c2展開得：ab?bc?ca??

2例

四、?l????，?2??

?l?周長為l的正方形邊長為，截面積為?? 4?4?2

2?l??l?問題只需證：???> ?? ?2???4?

?l2l2

即證：2>164?22

兩邊同乘

411?，得：2?4l2

因此只需證：4 > ?（顯然成立）

?l??l?∴ ???> ??也可用比較法（取商）證，也不困難。?2???4?

三、作業： 22P18練習1—3及習題6.3余下部分

補充作業：

1．已知0 < ? < ?，證明：2sin2??cot? 2

1?cos?∵0 < ? < ?∴sin? > 0

略證：只需證：4sin?cos??sin?

2． 已知a >0（成立）3． 設a, b, c4ab?4S 即證：2?cosC?23sinC

即：3sinC?cosC?2

?即證：sin(C?)?1（成立）6

第四篇：分析法證明不等式08

分析法證明不等式

教學目標:

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實質——執果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.教學重點:

分析法

教學難點:

分析法實質的理解

教學過程:

一．分析法：

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法.例1求證3?7?25 證明：因為?和2都是正數，所以為了證明??2 只需證明(3?7)2?(2)2

展開得10?221?20

即221?10,21?25

因為21?25成立，所以

(3?7)2?(2)2成立 即證明了??2

注意：①分析法是“執果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與

綜合法是對立統一的兩種方法.綜合法是“由因導果”

②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

例2證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，LL設截面的周長為L，則周長為L的圓的半徑為，截面積為T1()2；周2?2?

LL長為L的正方形邊長為，截面積為()2.所以本題只需證明44

LL?()2?()2.2?4

說明：對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的。

二．課堂練習：

課本P16練習1，2，3

三．課堂小結

師：通過本節學習，要求大家在理解分析法的邏輯關系的基礎上掌握分析法證明不等式，并加深認識不等式證明方法的靈活性，能綜合運用證明不等式的各種方法.四．課后作業

P17習題6.34，5，9

五．板書設計

第五篇：分析法證明不等式

主備人：審核： 包科領導：年級組長：使用時間：

5【教學目標】

1.掌握分析法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用分析法證明不等式。

【重點、難點】

重點：分析法證明不等式。

難點：分析法證明不等式。

【學法指導】

1.據學習目標，自學課本內容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

1，預習p17-p18,【自主探究】

i.分析法：從所要證明的結論入手向已知條件反推直至達到已知條件為

止，這種證明方

法稱為。即“執果索因”的證明方法，即從“未知” 看

“”它

也是證明不等式的一種重要的基本方法。證明時一定要注意書寫格式。

ii.分析法的本質是從需證的不等式出發尋求使結論成立的充分條件，證

明的關鍵是推理每一步都

必須可逆，簡言之，步步可逆。

證明的模式(步驟)以論證“若A則B”為例；欲證明B成立，只需證明B1成立，從而又??

只需證明B2成立，從而又??

????

只需證明A為真，今已知A真,故B必真

可見分析法就是尋求上一步成立的充分條件，可以簡單寫成B?B1?B2?......?A

【合作探究】

證明下列不等式

（1）求證 ：

分析法證明不等式 ?2

（2）已知ａ＞0, b>0且a>b

?

【鞏固提高】

（1），已知a,b,x,y?R,且a2?b2?1,x2?y2?1,求證: ax?by?1

?（2），已知a,b ?R,a?b?1,求證:(a?)(b?)?1

a1b25 4

【能力提升】

已知 a,b ?R,2c?a?b,求證:

c?a?c?

本節小結：

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