第一篇：不等式的證明(分析法與綜合法)B
不等式的證明（分析法與綜合法）B
一、選擇題
1、若a、b?R，c?Q,則使ac?bc成立的充分條件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0
2、若a>b,m>0,則下列不等式恒成立的是（）A．(a?m)2?(b?m)2B．
b?mb
?C．(a?m)3?(b?m)3D．? a?ma
3已知0 a (xy)<0B．0 a (xy)<1C．1 a (xy)< 2D．loga(xy)>24、設x,y,z∈(-?,0),則三數x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一個不大于-2D.只少有一個不大于-2 △ 5、設函數f(x x?1，在f(x)的定義域內任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 x?x2f(x)?f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正確的是（）?0④f（122x2?x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R?，則下列個式中成立的是（） A.cos2??lga?sin2??lg(a?b) lg(a?b)C.a cos2? ?b sin2? ?a?bD.a cos2? ?b sin2? ?a?b 二、填空題 7、若a>0且a≠1,則loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、設x,y∈R,且x+y=3,則3x?3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R?,且 xy≥x+y+1,則 x+y的最小值______________。△ 10、設x,y∈R?,0<θ<π,則 三、解答題 11、a、b、c、d∈R?,求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d) 2△ 12、設a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+，求證：（?1a1??2a2）（☆ 13、設a>0,b>0,c>0, 求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1x?yxsin??y(用不等式填空)x?yxsin??y?1?a2?2）≤(?1??2)4?1? 2不等式的證明（分析法與綜合法）B答案； 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略 2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。 【知識要點】 綜合法：從已知出發，通過一系列正確的推理，得出結論的證明方法。（由因導果）分析法：從要證明的結論出發，尋找使命題成立的充分條件。（執果素因）分析法書寫格式： 題目：已知A，求證B。 證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。 注意： 1．在具體處理問題時，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結合使用。 2．如果采用分析法證明時，要注意書寫的要求。 【基礎訓練】 1．判斷下列推理是否正確： （1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab （2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（） 2（3）要證a 2．某工廠第二年增長率為a，第三年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（） a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222 1a+b 3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22 （A）R 驏驏驏111 4．設a,b,c為正數，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab （A）0?M 【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38 例1．設x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2) 解法指導：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a 只要證logaa+a(x-x2) 18(x-x2)驏1 8÷ 2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因為a>0,所以ax>0,a-x> 0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因為x-x2=-?x-÷+，0 4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號不能成立，í?2???x=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2．設a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c 解法指導：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc 1?2ab。因為c? 0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。 1125例3．設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2 11解法指導：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結論，而xy 得不出要證明的結論。這時可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2? ?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2 (x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因為設x,y是正數，且x?y?1，所以xy?44xy2 立。故要不得證不等式成立。 思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因為2?(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22 變題1：設x,y是正數，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy 1125變題2：設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4 1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4 因為 x,y是正數，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因為x?y?1，所以只要 33332332 證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488 (x?y)2***332 ?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因為xy?8848844 【能力訓練】 一、填空題 222 21．已知a,b?R+，則下列不等式： (1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2．設a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關系為____________。aa+m 二、選擇題 3．(2004年遼寧)對于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（） （A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) 三、解答題 5.設g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設n>0,求證 : 7.若a,b,c均為大于1的數,且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab （1）證明這個命題為真命題； （2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明； （3）將上述命題推廣為關于n個正數的命題（不必證明）。 2011—2012學第二學期高二數學教案選修4-5不等式第5課時江蘇省鄭梁梅高級中學高二數學教案（理） 主備人：馮龍云做題人: 顧華章審核人: 曾慶亞 不等式的證明—綜合法和分析法(1) 一、教學目的： 1、理解綜合法和分析法證明不等式的原理與思維特點； 2、掌握由學過的基本不等式來證明一些新的不等式。 二、教學重難點： 重難點：綜合法和分析法證明不等式 三、教學方法：通過對比，體會兩種方法的異同，感受不等式證明中思路、方法的多樣性。 四、教學過程： 新課講授： 綜合法證題的思維過程：條件?結論 分析法證題的思維過程：結論?條件 例題講解： 例 1、已知a、b是正數，求證： 例 2例 3、已知a、b、m均是正數，且a< b，求證： ab?≥2 baa?ma> b+mb 例 4、已知a、b、c?R，求證：a?b?c≥ab?bc?ca 例 5、已知a、b、c、d?R，求證： a?b 例 6、已知a、b、c是正數，求證：a?b?c≥3abc并指出等號成立的條件 例 7、已知a、b、c是不全相等的正數，且abc?1。求證：a?b?c? 五、課堂練習： （1）xy?0，求證：xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx 28江蘇省鄭梁梅高級中學高二數學作業（理） 班級姓名學號_______ 1、設x?R下列式子正確的有 （1）、xg(l1)2xg)(l? （3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x a2?b2aba?b22、若a,b?R，且ab?0，則在①?ab②??2③ab??? 2ba 2a?b2a2?b2 ④?這四個式子中，恒成立的個數是??223、已知a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，則下列式子正確的是 （1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c4、設m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比較大小：mn____xy5、若x?3y-1?0，則2?8的最小值為___________ 6、比較大小：lg9?lg11______ 1三、簡答題： 7、已知a,b,c?R。求證： 8、已知a,b?R且a?b。求證： ?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b9、已知a、b、c是互不相等的實數。求證： a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c) 10、已知a,b,c?R，且abc?1。求證：(1?a)(1?b)(1?c)?811、已知a,b,c?R。求證： 12、已知a、b、c均是正數，且a?b?c?1。求證：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc13、已知a、b、c是不全相等的正數。 求證： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc 222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc 【§5.4不等式證明——綜合法與分析法】班級姓名學號 例1．設a,b,c∈R+，求證：2（a?ba?b?c 3?ab)?3(?).23 例2．求證：a2?b2?b2?c2?c2?a2?(a?b?c).例3．若a,b,c均為大于1的數，且ab=10，求證：logac+logbc≥4lgc.111100 例4．若正數a,b,c滿足a+b+c=1，求證：(a?)2?(b?)2?(c?)2?.abc3 【基礎訓練】 1．若實數x,y滿足xy>0且x2y=2，則xy+x2的最小值是（）A．3B．2C．1D．不存在 2．若0 （A． 12B．a2+b2C．2abD．a 3．已知a、b∈R+，則下列不等式不一定成立的是 （A．a+b+1?22B．(a?b)(11a?b)? 42C． a2?bab ?a?b D． 2ab a?b ?ab 4．下列四個命題中，不正確的是 （A．若0 2則cos(1+a) B．若0 1?a ?1?a?2a C．若實數x,y滿足y=x2則log2(2x+2y)的最小值是7 8D．若a、b∈R則a2+b 2+ab+1>a+b 5．ab+bc+ac=3則a+b+c的最小值是___________________.6．+7與1?的大小關系是____________________.【備用題】 n 2S??aR?,i?1,2,...n)，求證：SSSnk?1k(ak?S?a??...??.1S?a2S?an n?1【拓展練習】 1．a （A．a b ?1B．|a|>－b C．11a?b D．b2>a2 2．a,b∈R+，M=a2?b22,A?a?b2,G?ab,H? 111，則M、A、G、H間的大小關系是（a?b2 A．M≥A≥G≥HB．M≥H≥A≥GC．A≥G≥M≥HD．A≥G≥H≥M 3．0 B．a+b C．2ab D．2ab 4．6?22與?的大小關系是________________.）））））） 5．a+b+c=1,a,b,c∈R+，則abc與1的大小關系是______________.27 6．a>b>0，求證：a2?b2?2ab?b2?a 7．x>0，求證：2x?1 3x?1?2(x?1) 3x?4 8．a,b,c∈R+，求證：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3≥256a2b2c3.9．x,y,z,a均大于1，且logaxyz=9，求證：logxa+logya+logza≥1.10．已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：a?1?2b?1?22.11n?1111111．n∈N，求證：（1?)n?(1?).（提示：(1?)n?1?(1?)(1?)...(1?))nn?1nnnn 南化一中高三數學第一輪復習講義55第六章《不等式》 §6.2綜合法和分析法證明不等式 【復習目標】 1． 熟悉證明不等式的綜合法、分析法，并能應用其證明不等式； 2． 理解分析法的實質是“執果索因”；注意用分析法證明不等式的表述格式； 3． 對于較復雜的不等式，能綜合使用各種方法給予證明。 【重點難點】 綜合法的難點在于從何處出發進行論證并不明確，因此我們經常用分析法尋找解題的思路，再用綜合法表述。分析法是“執果索因”，綜合法是“由因導果”。要注意分析法的表述格式。 【課前預習】 1.“a>1”是“1?1”的（）a A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條 2.a?3) 3.證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.設a,b,c∈R+,則三個數a?1，b?1，c?1的值，則（）bca A.都大于2B.至少有一個不大于2C.都小于2D.至少有一個不小于 2【典型例題】 11??3? xy abc???a??c.（2）設a,b,c都是正數，求證：ca例1（1）已知x,y?R，且2x?y? 1，求證：? 第55課：§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數學學案教學方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求證：c－c2?ab 1.設a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是 A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b 2.設0 A．b<2ab C．2ab 3.a>b>1,P=lgalgb,Q= 12(lga?lgb),R=lg(a?b 2) A．R 【本課小結】 【課后作業】 1． 已知：a,b,c為正實數.求證：bc a?acab b?c?a?b?c.11 2． 設x>0,y>0,證明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2 2=1,求證：a?b2≤32 4.4． 若x、y是正實數,x+y=1，求證：（1+11 x）(1+y)≥9.-（）（）（）第二篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法
第三篇：綜合法與分析法證明不等式(一)5
第四篇：5.4不等式證明——綜合法與分析法
第五篇：2、綜合法和分析法證明不等式
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