第一篇：數(shù)形結(jié)合法在不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)而言之就是把數(shù)學(xué)中“數(shù)”和數(shù)學(xué)中“形”結(jié)合起來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合具體地說(shuō)就是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明中，主要以“形”助“數(shù)”。

以“形”助“數(shù)” ：

由于“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維，起著解決問(wèn)題的定性作用，因此我們可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題。我們能夠從所給問(wèn)題的情境中辨認(rèn)出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的“模式”，這種模式是指數(shù)與形的一種特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)。這種把數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問(wèn)題的方法，就是圖形分析法。數(shù)量問(wèn)題圖形化是數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題的條件，將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題一般有三種途徑：應(yīng)用平面幾何知識(shí)，應(yīng)用立體幾何知識(shí)，應(yīng)用解析幾何知識(shí)將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題。解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般來(lái)講都是首先對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，分解成已知是什么（條件），要求得到的是什么（目標(biāo)），然后再把條件與目標(biāo)相互比較，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，對(duì)于“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”這類(lèi)問(wèn)題，解決問(wèn)題的基本思路： 明確題中所給的條件和所求的目標(biāo)，從題中已知條件或結(jié)論出發(fā)，先觀察分析其是否相似（相同）于已學(xué)過(guò)的基本公式（定理）或圖形的表達(dá)式，再作出或構(gòu)造出與之相適合的圖形，最后利用已經(jīng)作出或構(gòu)造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解（求證）的目標(biāo)去解決問(wèn)題。

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類(lèi)：一類(lèi)是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類(lèi)是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類(lèi)是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義。

不等式的證明在中學(xué)階段甚至是大學(xué)階段都是很重要的知識(shí)模塊，其證明的方法也不計(jì)其數(shù)，但是利用數(shù)形結(jié)合的方法證明卻是其中巧妙便捷的方法之一。下面就以實(shí)際例子加以闡述。

C

1?111?11119

????????9，當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c?1時(shí)，??13?abc?abca?b?c

?a?b?c?3

結(jié)構(gòu)取聯(lián)想更多的關(guān)于此問(wèn)題的特征表達(dá)，不單獨(dú)的考慮不等式問(wèn)題，而是將所有已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)都聯(lián)系在一起來(lái)思考，這樣就會(huì)找到更多捷徑.

第二篇：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合法

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合法

覃斗中學(xué)徐慧賢

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)總體目標(biāo)明確提出：“讓學(xué)生獲得未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。數(shù)學(xué)知識(shí)本身那固然重要，但是對(duì)于學(xué)生的后續(xù)的學(xué)習(xí)，生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終身受益的是數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想思想方法有：化歸思想方法，分類(lèi)思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，函數(shù)思想方法，方程思想方法，模型思想方法，統(tǒng)計(jì)思想方法，用字母代替數(shù)學(xué)的思想方法，運(yùn)動(dòng)變換思想方法等。

初中數(shù)學(xué)的兩個(gè)分支——代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究”形“的。但是研究代數(shù)要借助于“形”，研究幾何要借助于“數(shù)”，幾何圖形的形象直觀，便于理解，代數(shù)方法的一般性，解題過(guò)程的機(jī)械化，可操作性強(qiáng)，便于把握，因此數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法。數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)的好“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。

數(shù)學(xué)史中的數(shù)形結(jié)合：“中國(guó)的儒家傳統(tǒng)文化和教育統(tǒng)一貫重“一”或整體的價(jià)值”,這種注重“一以貫之”的整體性和直覺(jué)性的思維模式，是“數(shù)形結(jié)合”思想產(chǎn)生的本源。《九章算術(shù)》中所給出的各種籌算運(yùn)演規(guī)則，如開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)、割圓術(shù)、陽(yáng)馬術(shù)、盈不足術(shù)等，從命名上就可以發(fā)現(xiàn)這些“程序”性法則（類(lèi)似于算法）的直觀性。現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支“交叉滲透，學(xué)科整合”，無(wú)不體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合長(zhǎng)盛不衰的魅力。早在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過(guò)程中，就把數(shù)和形聯(lián)系起來(lái)了。我國(guó)宋元時(shí)期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒以坐標(biāo)為橋梁，在點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間、曲線與方程之間建立起來(lái)對(duì)應(yīng)關(guān)系，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，從而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來(lái)，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期不能解決的問(wèn)題，例如立方倍積、三等分任意角、化圓為方等問(wèn)題，最終也借助于代數(shù)方法得到了完滿的解決。即使在近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中，幾何問(wèn)題的代數(shù)化也是一條重要的方法原則，有著廣泛的應(yīng)用。溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，不僅使幾何學(xué)獲得了代數(shù)化的有力工具，也使許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具有了明顯的直觀性，在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)問(wèn)題的具體情形，或者把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來(lái)研究，后者把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)來(lái)研究，以便以數(shù)助形或以形助數(shù)，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。

數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用：

函數(shù)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

1、圖形信息的獲取，建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型。不少函數(shù)問(wèn)題以圖形的形式出現(xiàn)，圖形中包含豐富的代數(shù)知識(shí)，仔細(xì)觀察圖形、圖像、把握?qǐng)D形的特點(diǎn)、找出圖形中的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

例1：某校部分住校生，放學(xué)后到學(xué)校鍋爐房打水，每人接水 2升，他們先同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)放水籠頭，后來(lái)因故障關(guān)閉一個(gè)放水籠頭。假設(shè)前后兩人接水間隔時(shí)間忽略不計(jì)，且不發(fā)生潑灑，鍋爐內(nèi)的余水量y（升）與接水時(shí)間x（分）的函數(shù)圖像如圖。

請(qǐng)結(jié)合圖像，回答下列問(wèn)題：

（1）根據(jù)圖中信息，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)結(jié)論；

（2）問(wèn)前15位同學(xué)接水結(jié)束共需要幾分鐘？

（3）小敏說(shuō)：“今天我們寢室的8位同學(xué)去鍋爐房連續(xù)接完水恰好用了3分鐘。”你說(shuō)可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：此類(lèi)題型為圖像信息問(wèn)題，所有的信息由圖像反映，圖形是折線，分為兩段，代數(shù)模型為：兩個(gè)不同的一次函數(shù)。根據(jù)圖形可得到點(diǎn)的坐標(biāo)（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意義為：到2分鐘，鍋爐內(nèi)原有水96升，接水2分鐘后，鍋爐內(nèi)的余水量為80升，接水4分鐘，鍋爐內(nèi)的余水量為72升；2分鐘前的水流量為每分鐘8升等。利用待定系數(shù)法的代數(shù)方法求出函數(shù)解析式，利用代數(shù)的精確性說(shuō)理解題。

解：（1）略

（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=-8x+96（0≤x≤2），當(dāng)x＞2時(shí)，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同學(xué)接完水時(shí)余水量為96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同學(xué)接完水需5.5分鐘。

（3）若小敏他們是一開(kāi)始接水的，則接水時(shí)間為8×2÷8=2（分），即8位同學(xué)接完水，只需要2分鐘，與接水時(shí)間恰好3分鐘不符。

若小敏他們是在若干位同學(xué)接完水后開(kāi)始接水的，設(shè)8位同學(xué)從t分鐘開(kāi)始接水，當(dāng)0＜t≤2則8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

當(dāng)t＞2時(shí)，則8×2÷4=4（分）

即8位同學(xué)接完水，需7分鐘，與接水時(shí)間恰好3分鐘不符。

所以小敏說(shuō)法是可能的，即從1分鐘開(kāi)始8位同學(xué)連續(xù)接完水恰好用了3分鐘。

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要有滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)和自覺(jué)性，用心挖掘，在教學(xué)中，深入淺出的、潛移默化的、可行的讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。由此可見(jiàn)加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”思想教育，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)就顯得尤為重要。總之，數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法是相輔相成的。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，必然涉及很多的概念，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，它是在感覺(jué)、知覺(jué)、思維形成表象的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而逐步形成的理性認(rèn)識(shí)結(jié)果，它蘊(yùn)涵著豐富的思想內(nèi)涵。如果能充分揭示“數(shù)”與“形”的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，一定能使枯燥的數(shù)學(xué)增加幾分趣味性，也能幫助學(xué)生拓展知識(shí)，強(qiáng)化思維。

第三篇：《數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

李志剛 山東省安丘市第一中學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】 函數(shù)的零點(diǎn)一直是近年來(lái)全國(guó)各地高考卷上的熱點(diǎn)，因其綜合性強(qiáng)，讓很多同學(xué)感到困難.本文通過(guò)對(duì)高考試卷中有關(guān)零點(diǎn)問(wèn)題的研究，來(lái)說(shuō)明如何將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于函數(shù)零點(diǎn) 的問(wèn)題中，使零點(diǎn)問(wèn)題變得直觀形象，從而有效地將問(wèn)題解決.【教學(xué)思想、方法】 數(shù)形結(jié)合 分類(lèi)討論 轉(zhuǎn)化與化歸 函數(shù)與方程【教學(xué)過(guò)程】

函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)中增加的內(nèi)容，一直是近年來(lái)全國(guó)各地高考考查的熱點(diǎn).含有零點(diǎn)問(wèn)題的試題常在函數(shù)、方程、圖象等方面進(jìn)行知識(shí)交匯，可以很好地考查高中的四大數(shù)學(xué)思想.所以零點(diǎn)問(wèn)題常常以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)，是同學(xué)們最常見(jiàn)的失分點(diǎn)之一，這讓很多同學(xué)感到學(xué)習(xí)上有障礙.另一方面，數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形 結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，化難為易，化抽象為直觀.由于零點(diǎn)問(wèn)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想，所以在高考試卷中一直備受青睞.通過(guò)對(duì)高考試卷上有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的研究，總結(jié)出如何將數(shù)形結(jié)合思想在零點(diǎn)問(wèn)題中進(jìn) 行恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用.題目中常有已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這種方法可以使問(wèn)題直觀地得以解決.多媒體展示： 1.針對(duì)題型：

(1)確定零點(diǎn)的大致范圍，多出現(xiàn)在選擇題中；(2)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，多出現(xiàn)在選擇題中；

(3)利用已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，多出現(xiàn)在選擇題、填空題、解答題中均有可能出現(xiàn)。

2.解決方案：

(1)直接畫(huà)出函數(shù)圖像，觀察圖像得出結(jié)論。

(2)不能直接畫(huà)出函數(shù)圖像的，可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，通過(guò)判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或要求的參數(shù)范圍。

例題講解：

?kx?2,x?0已知函數(shù)f(x)???k?R?，若函數(shù)y＝|f(x)|+k有三個(gè)零點(diǎn)，則

?lnx,x?0實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.k?2B.?1?k?0C.?2?k??1D.k??2

[解析] ：對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，先讓函數(shù)等于零。然后移向構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像和y＝－k 的圖像，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

解：令|f(x)|+k =0，則|f(x)|=-k，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像和y＝－k的圖像，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)．由于|f(x)|≥0，故必須－k≥0，即k≤0.顯然，k＝0 時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 k< 0，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，只要－k≥2，即k≤－2．

【注】結(jié)合FLASH課件展示動(dòng)態(tài)圖像，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要性。

歸納小結(jié)：

1.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合； 2.還應(yīng)把握兩類(lèi)知識(shí)：(1)靈活構(gòu)造函數(shù)；

(2)圖像的各類(lèi)變換：平移、伸縮、對(duì)稱、周期性變換等。

【教學(xué)反思】 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)若存在零點(diǎn)，可以考慮零點(diǎn)定理.但作為壓軸題的最后一問(wèn)，直接運(yùn)用零點(diǎn)定理肯定會(huì)有難度，通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)出題者給出的第一問(wèn)對(duì)第二問(wèn)有提示作用，這樣就可以創(chuàng)造條件來(lái)運(yùn)用零點(diǎn)定理.這種現(xiàn)象在高考試卷最后的一兩道解答題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，另外，函數(shù)問(wèn)題通常都要使用數(shù)形結(jié)合的思想，這樣才可以使很多問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.以高考題為例，對(duì)利用數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用做了初步研 究.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)四大常用思想方法之一，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化，變抽象思維為形象思維，有利于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、難點(diǎn)，運(yùn) 用數(shù)形結(jié)合的思想，可以使零點(diǎn)問(wèn)題不再讓學(xué)生 感到困難.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)缺 形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，可見(jiàn)數(shù)和形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，并在平時(shí)的訓(xùn)練中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，可以促使學(xué)生在解決零點(diǎn)問(wèn)題的能力上得到改善和提高！

第四篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

引言

不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，而導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中起著關(guān)鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個(gè)系列問(wèn)題來(lái)看待,不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,也是難點(diǎn)之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學(xué)歸納法等等,然而有一些問(wèn)題用上面的方法來(lái)解決是很困難的,我們?cè)趯W(xué)完導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一內(nèi)容以后,可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關(guān)知識(shí)解決一些不等式證明的問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)也是微積分的初步基礎(chǔ)知識(shí)，是研究函數(shù)、解決實(shí)際問(wèn)題的有力工，它包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。不等式的證明在數(shù)學(xué)課題中也是一個(gè)很重要的問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題能夠培養(yǎng)我們理解問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。本文針這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例。

一、利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式

定義 設(shè)函數(shù)f?f?x?在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫(xiě)為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個(gè)增量比稱為函?x數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導(dǎo)數(shù)f'?x0?則為f在x0處關(guān)于x的變化率。

以下是導(dǎo)數(shù)的定義的兩種等價(jià)形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設(shè)f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因?yàn)?f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導(dǎo)數(shù)的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因?yàn)閔?1???0, 326例

2、已知函數(shù)f?y??要證當(dāng)x?1時(shí)，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數(shù)。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因?yàn)?當(dāng)y?1時(shí), h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數(shù)，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結(jié)論中不等式的一邊；再利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫(xiě)成含變量之商不等式，則可嘗試?yán)弥兄倒?/p>

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當(dāng)?shù)姆趴s到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對(duì)一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設(shè)f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當(dāng)h?0時(shí)，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當(dāng)?1?h?0時(shí)，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結(jié)論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來(lái)證明不等式的關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論與已知條件歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設(shè)函數(shù)f和g滿足(i)在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時(shí)為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設(shè) f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對(duì)使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構(gòu)造輔助函數(shù)f?y?和g?y?，則對(duì)任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明思路 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f?x?，并確定區(qū)間[a,b]；然后利用導(dǎo)數(shù)確定f?x?在[a,b]上的單調(diào)性；最后根據(jù)f?x?的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式.1.直接構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調(diào)遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號(hào)不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進(jìn)一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時(shí)，f''?y??0，有f'?y?單調(diào)增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調(diào)增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構(gòu)造函數(shù)并來(lái)證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對(duì)數(shù)的底)證明 設(shè)f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因?yàn)?lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對(duì)于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導(dǎo)數(shù)思想,先通過(guò)特征不等式構(gòu) 造一個(gè)函數(shù), 再判定其函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。

構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)；  2.用不等式兩邊適當(dāng)“求商”構(gòu)造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過(guò)取對(duì)數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設(shè)f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，故在[0,1]上連續(xù), 據(jù)最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當(dāng)c?(0,]時(shí)，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當(dāng)c?(,1)時(shí), f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f?x? 在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特點(diǎn)(如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn))進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)分析余項(xiàng)在?點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。值得說(shuō)明的是泰勒公式有時(shí)要結(jié)合其它知識(shí)一起使用,如當(dāng)使用的不等式中含有積分號(hào)時(shí),一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進(jìn)行證明;當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合式時(shí),需要作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡(jiǎn)捷。

五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式

由連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的性質(zhì),若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。

若函數(shù)f的最大(小)值點(diǎn)x0在區(qū)間(a,b)內(nèi),則x0必定是f的極大(小)點(diǎn)。又若f在x0可導(dǎo),則x0還是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，再求出f?x?在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值，進(jìn)而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當(dāng)r?1時(shí)，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因?yàn)?f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點(diǎn)為x?又因?yàn)楫?dāng)r?1時(shí)，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當(dāng)y?1時(shí), ey?證明 作輔助函數(shù) 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且當(dāng)y?0時(shí)，f'(y)?0 ；當(dāng)0?y?1時(shí)，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點(diǎn)，f?0??1是f?y?的極大值.因?yàn)楫?dāng)y由小變大時(shí)，f?y?由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減, 故f?0??1同時(shí)也是f?y?的最大值, 所以，當(dāng)y?1時(shí)，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對(duì)不等式的證明過(guò)程中，可以以不等式的特點(diǎn)為根據(jù)，以此來(lái)構(gòu)造函數(shù)，從而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)得出函數(shù)的最值，而此項(xiàng)作用也是導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當(dāng)此函數(shù)為最大或最小值的時(shí)候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠(yuǎn)成立的，從而可以將證明不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值的問(wèn)題上來(lái)。

六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數(shù)y?f?x?的圖形為凹的，即對(duì)任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2時(shí)成立． 22 8 例

10、設(shè)r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號(hào)僅在r?h 時(shí)2由上式看出，左邊是函數(shù)f?k??klnk在r，h兩點(diǎn)處的值的平均值，而右邊是它在中點(diǎn)r?h處的函數(shù)值．這時(shí)只需證f''?k??0即可． 2證明 構(gòu)造輔助函數(shù)

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號(hào)僅在r?h 時(shí)成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設(shè)f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數(shù)

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設(shè)?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因?yàn)橛?/p>

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結(jié):通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應(yīng)用原理，挖掘?qū)?shù)的各種性質(zhì)。多做此類(lèi)難題，不但有利于我們?cè)趯W(xué)習(xí)和考試中輕松解決同類(lèi)問(wèn)題，更有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維和推理論證能力。因而導(dǎo)數(shù)在不等式證明當(dāng)中的應(yīng)用很有研究?jī)r(jià)值。

第五篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

作者：唐力 張歡

來(lái)源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學(xué)不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過(guò)程太難，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)方法來(lái)證明不等式，往往能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數(shù)y=f（x）滿足：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少有在一點(diǎn)ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.