第一篇：定積分在數列和式不等式證明中的應用

定積分在數列和式不等式證明中的應用

湖北省宜昌市第二中學曹超

郵編：443000電子郵箱：c220032003@yahoo.cn

數列和式不等式?ai?A(或?ai?A)的證明通常要用到放縮法，由于放縮法技巧性強，且無固定模式，i?

1i?1

n

n

在實際解題過程中同學們往往難以掌握。學習了定積分的相關知識后，我們可以利用定積分的定義及幾何意義證明此類不等式，下面筆者僅就兩例對這種方法加以介紹。

例1

證明：1)?1?

第2題）

證明：

構造函數f(x)?

1?

1????

1（n?N?）（高中人教（A）版選修4-5P29?，作出函數圖象，圖（1）中n-1個矩形的面積

和

1????

應為直線x?1，x?n，x軸和曲

線

f(x)?

所圍成曲邊梯形面積的不足近似值，故

?????

?

?

n

x

?

2dx=2x

2n

=2，所以

圖（1）

1?

?

????

?1?。

圖（2）中n

個矩形的面積和1?

??????

應為直線

x?1，x?n?1，x軸和曲

線f(x)?所圍成的曲邊梯形

面積的過剩近似值，故1?

?

?????

?

n?1

x

?

dx=

圖（2）

2x2

n1

=2，不等式得證。

評析：

教材對本題證明給出了提示：?

?

?

?

?

①，實際解題過程中，由于不等式①技巧性強，思維量大，學生如不參考提示很難得到。事實

上，如圖（3）所示，根據定積分的定義及幾何意義，在區間?n,n?1?(n?N?)上的曲邊梯形的面積大于以區間的右端點n?1對應的函數值f(n?1)為一邊的長，以1

為鄰邊的長的矩形的面積，小于以區間的左端點n對

圖（3）

應的函數值f(n)為一邊的長，以1為鄰邊的長的矩形的面積，即

?

?

n?1n

x

?

dx?2x2

n?1n

?

?

代數變形技巧得到，更非“空穴來風”，而是有著明確幾何意義的代數表示，數形結合思想在這里得以充分地體現。

例 2對于任意正整數n，試證：（1）當n?N時，求證：ln(n?1)?lnn?

（2）

1n?1

?

1n?2

?????

1n?n

?ln

3?

1n+1

分析：此題的設計意圖是利用第（1）問的結論證明第（2）問。但如果沒有第一問作鋪墊，第（2）問的證明很難用代數方法得到，如果利用例1所述方法，那么證明變得非常簡潔。

證明：（1）證明略。

（2）構造函數f(x)?

1x

(x?0)，作出函數圖象，根據y?f(x)

在區間?n,2n?上定積分定義及其幾何意義，圖（4）中n個矩形的面積和小于由直線x?n，x?2n，x軸和曲線f(x)?圍

1x

所，即

成?

?n的12?

曲

邊梯形的面積

n?1

21n1

l???n2nx??x

n??(n?2l

7n?)n，l不等式nln

得證。

圖（4）

新課標新增的微積分知識有著豐富的數學背景及內涵，所蘊含的數學思想方法為我們問題的解決提供了新的視角，所以我們在平常學習過程中應予以足夠的重視。最后提供兩道練習題供同學們參考。

1、2、求證：()?()?????（n

n

n

n

n?1

nnn)?()?2nn

1n?

1n?1

?

（n?N）

????

1n

?

證明：對于大于1的正整數n，n?2

?1

第二篇：利用定積分證明數列和型不等式

利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數)或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數)型

例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)已知正整數，求證

.分析

這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構造函數數圖象可知，在區間

并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函

上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因為，所以.所以

.例2 求證

.證明 構造函數

而函數在，又，上是凹函數，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構造函數可知，在區間 上，因，又其函數是凹函數，由圖

3個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為前項之和，中間的的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的時這三個數

可當作是某數列的前列的通項不等式

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數處的切線方程為

（Ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點（Ⅱ）若 在內恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明（Ⅲ）不等式數列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為

左邊是通項為的數列的前項之和，則當的時，此式適合，故只要證當 時，即，也就是要證

.由此構造函數，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點評 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構造函數利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數形結合解法直觀便于操作.積分法是在新課標下證明不等式的一個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復雜問題的關鍵是要善于聯想善于分析問題和轉化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，

第三篇：利用定積分證明數列和型不等式

利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數)

或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數)型

例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)

已知正整數，求證

.分析這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構造函數

數圖象可知，在區間并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因為，所以.所以

.例2求證

.證明構造函數而函數

在，又，上是凹函數，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構造函數知，在區間

上，因，又其函數是凹函數，由圖3可

個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前

項之和，中間的的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的時這三個數

可當作是某數列的前

列的通項不等式

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間

上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩

個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數

處的切線方程為的圖象在點

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在內恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明（Ⅲ）不等式

列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為

左邊是通項為的數列的前項之和，則當的數時，此式適合，故只要證當

時，即，也就是要證

.由此構造函數，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，

第四篇：關于和式的數列不等式證明方法

關于“和式”的數列不等式證明方法

方法：先求和，再放縮

例

1、設數列?an?滿足a1?0且an

?n,2an?1?1?an?1?an，n

?N*，記Sn??bk,證明：Sn?1.k?1n

（Ⅰ）求?an?的通項公式；（Ⅱ）設bn?

【解析】：（Ⅰ）由

?1?1

1??1.得??為等差數列，1?a1?an?11?ann??

前項為

1111

?1,d?1,于是?1?(n?1)?1?n，?1?an?,an

?1?

1?a11?annn

（Ⅱ）bn?

n

?

?

?

?

Sn??bk?k

?1

?????1??1 練習：數列{an}為等差數列，an為正整數，其前n項和為Sn，數列{bn}為等比數列，且

a1?3,b1?1，數列{ban}是公比為64的等比數列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證

1113?????.S1S2Sn

4解：（1）設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數，an?3?(n?1)d，bn?qn?1

?ban?1q3?ndd6

??q?64?2?

q3?(n?1)d依題意有?ban①

?

S2b2?(6?d)q?64?

由(6?d)q?64知q為正有理數，故d為6的因子1,2,3,6之一，解①得d?2,q?8

故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8

n?1

（2）Sn?3?5???(2n?1)?n(n?2)∴

1111111

??????????

S1S2Sn1?32?43?5n(n?2)

11111111?(1?????????)232435nn?211113?(1???)? 22n?1n?24

方法：先放縮，再求和 例

1、（放縮之后裂項求和）（遼寧卷21）．

在數列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差數列，bn，an?1，bn?1成等比數列（n?N）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測|an|，|bn|的通項公式，并證明你的結論；（Ⅱ）證明：

*

5??…??． a1?b1a2?b2an?bn1

2本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力．滿分12分． 解：（Ⅰ）由條件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1 由此可得

a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25． ···················································· 2分

猜測an?n(n?1)，bn?(n?1)． ······················································································· 4分 用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立． ②假設當n=k時，結論成立，即

ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，那么當n=k+1時，2ak

ak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1??2?(k?2)2．

bk

所以當n=k+1時，結論也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn(n?1)對一切正整數都成立． ·········································· 7分（Ⅱ）

5??．

a1?b161

2n≥2時，由（Ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n． ·············································· 9分 故

11111?111?

??…??????…?? a1?b1a2?b2an?bn62?2?33?4n(n?1)?

?

11?111111???????…??? 62?2334nn?1?11?11?115??????? 62?2n?1?6412

?

綜上，原不等式成立．··································································································· 12分（例

2、（放縮之后等比求和）

（06福建）已知數列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N).*

（Ⅰ）求數列?an?的通項公式；（Ⅱ）證明：

an1a1a2n

????...?n?(n?N*)23a2a3an?1

22n

（III）.設bn?an(an?1)，數列?bn?的前n項和為sn，令Tn?，sn

（i）求證：T1?T2?T3??Tn?n；

（ii）求證：T1?T2?T3??Tn?；

本小題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力。滿分14分。

（I）解：?an?1?2an?1(n?N),*

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2為首項，2為公比的等比數列。?an?1?2n.即 an?2?1(n?N).*

（II）證法一：?41

4k?1k2?

1...4kn?1?(an?1)kn.?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),??bn?是等差數列。

證法二：同證法一，得(n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2.設b2?2?d(d?R),下面用數學歸納法證明 bn?2?(n?1)d.（1）當n?1,2時，等式成立。

（2）假設當n?k(k?2)時，bk?2?(k?1)d,那么

k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d.k?1k?1k?1k?1這就是說，當n?k?1時，等式也成立。bk?1?

根據（1）和（2），可知bn?2?(n?1)d對任何n?N都成立。

*

?bn?1?bn?d,??bn?是等差數列。

ak2k?12k?11

?k?1??,k?1,2,...,n,（III）證明：?

ak?12?12(2k?1)

2?

aa1a2n

??...?n?.a2a3an?12

ak2k?11111111??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?12

方法：先放縮，再化類等差等比

例1（有界性放縮，迭加）、各項為正數的等比數列?an?中，a1?a3?10，a3?a5?40,n?N*；

（1）求數列?an?的通項公式；（2）設b1?1，bn?1nn?

1?1?，求證：bn?1?bn?3?n?1 bnan

2an?2；分析；（1）（2）證明：因為an?1?(1?

所以an?0，n

n

所以an?1與an同號，又因為a1?1?0，)an，2n

n

an?0，即an?1?an．所以數列{an}為遞增數列，所以an?a1?1，n2nn12n?1

即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．

22222

12n?1112n?1

令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，兩式相減得：

2222222

11111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1，22222222

n?1

故得an?1?an?3?n?1．

即an?1?an?

例2（利用有界性化為類等比）、（安徽卷21）．（本小題滿分13分）

設數列?an?滿足a0?0,an?1?can?1?c,c?N,其中c為實數

*

（Ⅰ）證明：an?[0,1]對任意n?N成立的充分必要條件是c?[0,1]；

*

1n?1*，證明：an?1?(3c),n?N;312222

（Ⅲ）設0?c?，證明：a1?a2??an?n?1?,n?N*

31?3c

（Ⅱ）設0?c?

解(1)必要性 ：∵a1?0,∴a2?1?c，又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1，即c?[0,1]

充分性 ：設 c?[0,1]，對n?N用數學歸納法證明an?[0,1]當n?1時，a1?0?[0,1].假設ak?[0,1](k?1)

則ak?1?cak?1?c?c?1?c?1，且ak?1?cak?1?c?1?c??0

*

∴ak?1?[0,1]，由數學歸納法知an?[0,1]對所有n?N*成立

(2)設 0?c?，當n?1時，a1?0，結論成立 3

當n?2 時，∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)∵0?C?

12,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?03

∴1?an?3c(1?an?1)

∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c)∴an?1?(3c)

(3)設 0?c?

n?1

n?1

(1?a1)?(3c)n?1

(n?N*)

122，當n?1時，a1?0?2?，結論成立 31?3c

n?1

當n?2時，由（2）知an?1?(3c)

?0

∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1 22222n?1∴a2]1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)

2(1?(3c)n)2

?n?1??n?1?

1?3c1?3c

第五篇：利用定積分證明數列和型不等式剖析

利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數型，求證例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題已知正整數

.分析 這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構造函數知，在區間 并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函數圖象可上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1

即，因為，所以.所以.例2 求證

.證明 構造函數而函數在和小于曲邊梯形的面積，又，上的個矩形的面積之

上是凹函數，由圖象知，在區間

圖

2即，所以

.例

3證明。

證明

構造函數區間 上，因，又其函數是凹函數，由圖3可知，在個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3 即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為項之和，中間的通項不等式的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的前時這三個數列的可當作是某數列的前

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數處的切線方程為（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若； 在內恒成立，求的取值范圍；.的圖象在點（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明

（Ⅲ）不等式項之和，我們也可把右邊當作是通項為的數列的前項之和，此式適合即，左邊是通項為，則當，故只要證當的數列的前時，時，也就是要證

由此構造函數積，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.，所以，故原不等式成