第一篇：三垂線定理的證明及應(yīng)用教案

三垂線定理的證明及應(yīng)用教案

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握三垂線定理及其應(yīng)用，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力．

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)和新課引入

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線與平面的垂直關(guān)系，請大家回答幾個問題：

(1)直線與平面垂直的定義．

(2)直線與平面垂直的判定定理．

(3)何謂平面的斜線、斜線在平面上的射影．

生：略．

師：(板書)設(shè)斜線l∩α=O，作出l在平面α上的射影．

(師生共同完成圖1．學(xué)生敘述畫法，教師畫圖，再次深化概念．)

[平面的垂線、斜線及斜線在平面上的射影是三垂線定理的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生溫故而知新是十分必要的．]

二、猜想與發(fā)現(xiàn)

師：根據(jù)直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直．現(xiàn)在我們想一想，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？

(演示教具：用兩根鐵絲在桌面上演示，學(xué)生容易看出平面內(nèi)的任意一條直線，并不一定和平面的一條斜線垂直．)

師：那么，是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直呢？

[演示教具：如圖2，設(shè)直線l(鐵絲)和平面α(桌面)斜交，使直線m(鐵絲)和l垂直，把直線m沿直線l平行移動到平面α內(nèi)的n的位置，此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面α內(nèi)有直線與平面的斜線垂直．]

師：如果我們把鐵絲m在平面內(nèi)平行移動，使其到不同的位置(直線)，那么，這些直線與鐵絲l垂直嗎？

[學(xué)生根據(jù)“兩條異面直線所成的角”的原理也很快判定這些直線與l(鐵絲)垂直．]

師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直呢？即怎樣判定平面內(nèi)的直線與平面的一條斜線垂直呢？

[指導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型(如圖3)，使鉛筆與三角板的斜邊垂直，引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面α內(nèi)的直角邊垂直時便與斜邊垂直．]

師：(啟發(fā))如何歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題呢？(學(xué)生們恍然大悟，終于發(fā)現(xiàn)了，平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直．)

師：實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果是否正確還得進(jìn)行證明．

[引入新課是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)．新課引入得好，這節(jié)課就成功了一半，教師根據(jù)教與學(xué)的實(shí)際，提出問題，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)新知識，從而調(diào)動了學(xué)生的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力，體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想．]

三、證明

師：現(xiàn)在我們把由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論表達(dá)成命題的形式．

(學(xué)生敘述，教師板書．)

已知：如圖4，PA、PO分別是平面α的垂線和斜線，AO是PO在平面α上

求證：a⊥PO．

師：這是證明兩條直線互相垂直的問題．在立體幾何中怎樣證明兩條直線互相垂直呢？

(學(xué)生思考、議論，教師歸納．)

師：常用的方法是證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面．現(xiàn)在要證明a⊥平面PAO呢？只要證明a⊥平面PAO內(nèi)的兩條相交直線即可．

證明(師生共同完成．)

師：這個命題的證明，體現(xiàn)了“由線面垂直證線線垂直”的方法．這個方法很重要，大家要給以足夠的重視．

上述命題反映了平面內(nèi)的一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內(nèi)的射影這三者之間的垂直關(guān)系．這就是有名的三垂線定理．下面請大家根據(jù)已知條件和結(jié)論，把三垂線定理完整地表達(dá)出來．(學(xué)生敘述，教師板書．)

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．

[這樣由具體到抽象地研究問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的概括能力．從“猜想”到“證明”是質(zhì)的升華！是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的重要素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生證明猜想結(jié)果，總結(jié)定理，比直接給出定理記得牢，理解得深刻，又能培養(yǎng)學(xué)生的能力．]

四、剖析定理

師：(逐字逐句地閱讀定理，同時圈點(diǎn)重要字眼，并提出下面幾個問題讓學(xué)生討論．)

(1)本定理的證明過程是對水平位置的平面α而進(jìn)行的．那么定理對其他位置的平面是否成立？并說明理由．

(2)直線a是平面α內(nèi)垂直于AO的任意一條直線，a和斜線PO的位置關(guān)系有幾種？反映三垂線定理的圖形有幾種可能的情況？并畫出圖形．

(學(xué)生分組討論，教師巡回指導(dǎo)，適時點(diǎn)撥，解答疑難，啟發(fā)誘導(dǎo)，掌握討論情況，然后教師總結(jié)．)

師：(1)三垂線定理對任意位置的平面都成立．因?yàn)槎ɡ碇胁]有水平平面的限制．定理的實(shí)質(zhì)是研究平面內(nèi)的一條直線與這個平面的斜線及斜線在這個平面內(nèi)的射影三者的垂直關(guān)系，與平面的位置無關(guān)．

(2)因?yàn)閍是平面α內(nèi)的任意一條直線，所以a與斜線PO的位置關(guān)系有兩種情況：一是不過斜足O的異面垂直；一是過斜足O的相交垂直．反映三垂線定理的圖形有四種情況(如圖5)．

以上四種情況的圖形在證題時都是經(jīng)常遇到的，應(yīng)該靈活運(yùn)用三垂線定理．a(chǎn)不過斜足O時的情況容易被忽略，這是證題時確定三垂直關(guān)系的一個難點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)給以足夠的重視．

[剖析定理是幾何教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)．通過剖析，可以加深對定理的理解，為應(yīng)用定理奠定基礎(chǔ)，這是提高教學(xué)質(zhì)量的重要措施．]

五、定理的應(yīng)用

[定理的應(yīng)用是學(xué)習(xí)定理的重要環(huán)節(jié)．它既能鞏固所學(xué)知識又能培養(yǎng)能力．]

師：請同學(xué)們證明下題：

已知：如圖6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面 ABC，連結(jié)PA．求證：BC⊥PA．

(學(xué)生思考后，教師分析．)

ABC，所以，要證明BC⊥PA，只要證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎樣確定PA的射影呢？

請大家把證明過程寫在練習(xí)本上．

(同時指定一學(xué)生上黑板板演．)

生：(板演)因?yàn)镻O、PA是平面的垂線和斜線，連結(jié)AO且延長交BC于D(圖7)，則AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂線定理可得 BC⊥PA．

師：請談?wù)勛C明的思路．

生：先找出平面的垂線、斜線以及這條斜線在平面上的射影，??．

師：他回答完整嗎，生：應(yīng)先確定一個平面及平面內(nèi)的一條直線．

師：這點(diǎn)補(bǔ)充得好！三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法．應(yīng)用三垂線定理的思維過程是：

“一定”——定平面及平面內(nèi)的一條直線；

“二找”——找這個平面的垂線、斜線及斜線在這個平面上的射影；

“三證”——證明平面內(nèi)的一條直線與射影垂直．

[在復(fù)雜圖形中應(yīng)用三垂線定理時，需要先確定反映三垂線定理的基本圖形，然后才能著手證明，因而掌握三垂線的證題步驟是十分必要的．]

師：我們來研究第二道題．(板書．)

已知：正方體ABCD－A1B1C1D1．

求證：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．

先考慮A1C⊥BC1如何證明？

(在此指導(dǎo)下，學(xué)生們通過認(rèn)真觀察，獨(dú)立思考，確定平面BCC1B1及平面內(nèi)的一條直線BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂線，A1C是斜線，從而找到了反映三垂線定理的基本圖形．連結(jié)B1C，用三垂線定理證明A1C⊥BC1．)

證明略．

師：把第(1)小題作為條件證明第(2)小題，只需再證A1C⊥BD就可以了．

[學(xué)生連結(jié)AC，順利地證明了A1C⊥BD，第(2)小題的證明就水到渠成了．證明過程是：

師：在數(shù)學(xué)證明中，相同的證明方法可用“同理可證”代替推理過程．但必須注意推理的嚴(yán)密性．例如，上面的證明過程中，要防止漏掉 BC1∩DB=B．(證明時，有些同學(xué)漏掉了這一點(diǎn)，經(jīng)教師指導(dǎo)才改正，“同理”的運(yùn)用也是如此．)

[講定理的應(yīng)用時，關(guān)鍵是選好例題．這兩道題的安排是由易到難，第一道題是直接應(yīng)用定理，第二道題難度增大，要求學(xué)生在復(fù)雜的圖形中通過觀察和分析確定反映三垂線定理的基本圖形，再應(yīng)用定理，以培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用定理的能力．]

六、小結(jié)

(師生共同進(jìn)行．)

(1)本節(jié)課的教學(xué)可概括為四個字：猜、證、剖、用，即猜想平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理；剖析定理的內(nèi)容；應(yīng)用定理證題．

(2)敘述三垂線定理的內(nèi)容，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本方法，稱為線面垂直法．

(3)此定理是空間兩條直線垂直的判定定理，與平面的位置無關(guān)．運(yùn)用定理的步驟是：“一定、二找、三證明”．

七、課外作業(yè)

課本習(xí)題：略．

補(bǔ)充題：

寫出三垂線定理的逆定理，并加以證明．

課后扎記

學(xué)生們反映這樣講定理好，記得牢，理解得深刻．不僅學(xué)習(xí)了知識，而且培養(yǎng)了能力．從學(xué)生的作業(yè)來看，書寫規(guī)范，推理正確，這反映學(xué)生對此定理掌握得好，運(yùn)用得好．這類課型是體現(xiàn)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想的好形式．

[課后扎記是課堂教學(xué)的繼續(xù)，是不教學(xué)的教學(xué)．主要記載來自學(xué)生的信息，教師教學(xué)中的點(diǎn)滴體會及失敗的教訓(xùn)．為改進(jìn)教學(xué)和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)提供參考資料，本人長期堅(jiān)持，收到了較好效果．]

第二篇：三垂線定理說課

三垂線定理說課

一 關(guān)于教材分析方面

高一《立體幾何》中的“三垂線定理”是安排在“直線與平面的垂直的判定與性質(zhì)”后進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是線面垂直性質(zhì)的延伸。利用三垂線定理及其逆定理，可把判斷空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為判斷平面上兩直線的垂直問題：也可以把判斷平面上兩直線的垂直問題，轉(zhuǎn)化為判斷空間兩直線的垂直問題，它是證明空間兩直線垂直的主要依據(jù)，在立體幾何中有核心定理的作用。根據(jù)教學(xué)大綱的要求和加強(qiáng)對學(xué)生的素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生基本能力的需要，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有三個：

1理解和掌握三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容、證明和應(yīng)用。

2、通過對定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證數(shù)學(xué)問題的能力。

3、培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理證明的能力和相互轉(zhuǎn)化的思想。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為定理的理解和應(yīng)用。針對學(xué)生剛學(xué)立體幾何空間想象能力不夠強(qiáng)，識圖和分析問題的能力較弱的實(shí)際情況，我確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為如何在具體圖形中找出適合三垂線定理（或逆定理）的直線和平面。

二 關(guān)于教法和學(xué)法方面

為使學(xué)生深刻理解定理，靈活應(yīng)用定理，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力，我根據(jù)教與學(xué)的實(shí)際情況，確定了以學(xué)生為主體，教師主導(dǎo)為原則，以“形成命題 證明命題 剖析命題 應(yīng)用命題”為主線組織教學(xué)。用提問法創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生的思維積極性，通過觀察、猜想、歸納總結(jié)、邏輯論證等手段，講練結(jié)合的方式，幫助學(xué)生掌握教材的重點(diǎn)。通過從模型到圖形，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖形，剖析定理，抓住主要矛盾，總結(jié)出定理應(yīng)用規(guī)律和方法，幫助學(xué)生突破教學(xué)難點(diǎn)。達(dá)到靈活應(yīng)用定理的目的，具體的措施將體現(xiàn)于教學(xué)的全過程之中。

三 關(guān)于教學(xué)過程

為了達(dá)到上述各項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)，我是按下面的程序，有目的地實(shí)施教學(xué)的：

1.復(fù)習(xí)提問。因?yàn)槠矫娴拇咕€、平面的斜線及射影是三垂線定理的基礎(chǔ)，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)又是證明三垂線定理的基本方法，因此我用提問的形式讓學(xué)生溫故知新，作好新課的鋪墊。

2.有意設(shè)疑，引入新課。為了喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，把學(xué)生的注意力集中起來，調(diào)動學(xué)生的思維積極性，我通過提出問題，創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)新的知識，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。主要分下面幾個步驟進(jìn)行：

(1).設(shè)問：根據(jù)直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直。我們想一想，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？

(2).學(xué)生思考后，我再引導(dǎo)學(xué)生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如圖），使直尺與三角板的斜邊垂直，引導(dǎo)學(xué)生猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)直尺與三角板在平面內(nèi)的直角邊垂直時便與

斜邊垂直。

(3).設(shè)問：如果直尺在平面內(nèi)移動到其它位置，那么直尺與三角板的斜邊是否仍垂直呢？學(xué)生 根據(jù)

“兩異面直線所成的角”的定理很快得到了垂直的結(jié)論。

(4)我再啟發(fā)學(xué)生把猜想、實(shí)驗(yàn)后得到的結(jié)論總結(jié)出來，表達(dá)成數(shù)學(xué)命題：

平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直，那么就和平面的這條斜線垂直（板書）

3.（1）證明命題。通過對猜想得到的命題的論證，加深學(xué)生對命題內(nèi)容的認(rèn)識，使學(xué)生的思維提高到演繹推理的水平上來。我通過啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考討論后再進(jìn)行歸納小結(jié)，幫助學(xué)生理清證明的基本思路，培養(yǎng)學(xué)生相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。具體體現(xiàn)為思路：要證線線垂直 線面垂直 線線垂直（平面外一直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直），具體證明過程由學(xué)生自己完成。

（2）.利用命題變換，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)一步深化對定理的學(xué)習(xí)和理解。我把命題中的已知條件“斜線的射影”與結(jié)論中的“斜線”相對換，得到新的命題：

平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直（板書）通過對比啟發(fā)，學(xué)生輕而易舉地掌握了新命題的內(nèi)容和證明。

（3）.利用列表對比教學(xué)法，強(qiáng)化對三垂線定理及其逆定理內(nèi)容的理解和記憶。

4.剖析命題

為了加深對定理的理解，為靈活應(yīng)用定理奠定基礎(chǔ)，幫助學(xué)生化解難點(diǎn)，我通過設(shè)問的方式啟發(fā)學(xué)生積極思維，經(jīng)學(xué)生討論后再總結(jié)，揭示定理的應(yīng)用方法：

（1）.三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容反映了“四線一面”的相互關(guān)系，當(dāng)平面的垂線和斜線確定后，斜線在平面的射影也可確定，如果在平面內(nèi)能找到一條直線，它與斜線的射影垂直（或與斜線垂直），那么它就與斜線垂直（或與斜線射影垂直）。

（2）.通過教具演示、圖形分析、設(shè)問啟發(fā)后，我再對靈活應(yīng)用定理的程序進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生對應(yīng)用定理有章可循，便于操作，提高學(xué)生應(yīng)用定理的自覺性和

效率。大部分學(xué)生對程序：“一找垂、面，二找斜線，三定射影，四證直線”理解深刻，掌握牢固，具體內(nèi)容為：

二找斜線：接著確定平面的斜線：

一找垂面：即先確定平面及平面的垂線：

三定射影：由上面的垂足和斜足確定斜線的射影；

四證直線：即在平面內(nèi)證明某一條直線與平面的斜線或斜線的射影垂直。（板書）

5應(yīng)用命題

為了培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用定理的能力，幫助學(xué)生掌握重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，我精選了兩條有層次的、由易到難的例題，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析后，我用設(shè)問的方法，深入淺出地引導(dǎo)學(xué)生尋找證題的基本思路，確定適應(yīng)定理的“四線一面”，然后，由學(xué)生板書解答后，我再較正學(xué)生的證明過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的書面語言表達(dá)能力和邏輯推理能力。

6課堂小結(jié)并布置作業(yè)。

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性，我利用提問的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，進(jìn)一步加深學(xué)生對重點(diǎn)內(nèi)容的掌握和規(guī)律問題的認(rèn)識，再布置有代表性的課外作業(yè)幫助學(xué)生鞏固教材的重點(diǎn)。

四 教學(xué)效果

本節(jié)課采用教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的啟發(fā)式教學(xué)方式，學(xué)生反映較好，定理記得牢，理解深刻，應(yīng)用靈活，不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)了新的知識，而且培養(yǎng)了能力。從學(xué)生的課后作業(yè)看，書寫規(guī)范，推理正確，取得較好的教學(xué)效果，圓滿完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。

（注：本說課稿獲2002年揭陽市高中數(shù)學(xué)說課稿評比二等獎）

第三篇：三垂線定理說課搞

三垂線定理說課稿

一、教材分析 1.教材的地位與作用

本節(jié)課是學(xué)生在已掌握了空間兩條直線的位置關(guān)系、直線與平面垂直的位置關(guān)系等知識基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究空間的兩條直線的垂直關(guān)系,為今后繼續(xù)研究直線與平面的位置關(guān)系,空間兩個平面的位置關(guān)系打下堅(jiān)實(shí)的知識基礎(chǔ).因此,本節(jié)課的內(nèi)容是至關(guān)重要的,它對知識起到了承上啟下的作用.2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)

全日制《立體幾何》全一冊教參及教學(xué)大綱明確指出:高中里開設(shè)立體幾何這門課程,目的是要使學(xué)生系統(tǒng)地掌握空間圖形的基本性質(zhì),從而掌握一些簡單幾何體的畫法,表面積、體積公式,進(jìn)一步發(fā)展他們的邏輯推理能力和空間想象能力,以及應(yīng)用這些知識去分析問題、解決問題的能力.教學(xué)原則明確強(qiáng)調(diào)要將思想教育內(nèi)容滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中,使學(xué)生在獲得知識和培養(yǎng)能力的同時,在思想教育方面也應(yīng)受到良好的熏陶.依據(jù)教學(xué)目的和原則,以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,我制定了本節(jié)課將要完成的教育目標(biāo): a.知識目標(biāo):使學(xué)生初步掌握三垂線定理及其應(yīng)用;b.能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;3.重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)

學(xué)生對三垂線定理的學(xué)習(xí)普遍感到困難的是一時分不清定理中的各條直線間的關(guān)系.為此,在教學(xué)過程中要把握住斜線和它在平面上的射影必定同時垂直于平面內(nèi)的某條直線這一事實(shí)作為重點(diǎn)講解的突破口

重點(diǎn)：三垂線定理的證明；

難點(diǎn)：建立空間三線垂直的思維模型，掌握空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法。

二、學(xué)情分析

1.學(xué)生現(xiàn)狀的分析及對策

雖然高一學(xué)生學(xué)過平面幾何,已經(jīng)具備了一定的幾何知識,在立體幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了空間兩條直線的位置關(guān)系,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),斜線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,但是學(xué)生所具有的空間想象能力畢竟是初步的,另外學(xué)生的基礎(chǔ)又參差不齊,為此,在教學(xué)中要照顧全局,注重提高差生的學(xué)習(xí)興趣,耐心講解,耐心輔導(dǎo).三、教學(xué)方法和手段 1.教學(xué)方法的采用

根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo),以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)

律,我采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的教學(xué)方法,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考,勇于探索,使學(xué)生的心理達(dá)到一種“欲罷不能”的興奮狀 態(tài),從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,體現(xiàn)學(xué)生的主體作用.四、教學(xué)過程： 1.復(fù)習(xí),導(dǎo)入新課

通過復(fù)習(xí)提問前面所學(xué)知識,給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個確定空間兩條直線垂直的方法有哪些的問題情境,學(xué)生回答:兩條相交或異面的直線成直角,直線與平面垂直的性質(zhì)等均可說明兩條直線垂直.今天我們要學(xué)習(xí)一種新的方法,進(jìn)而引出新課——三垂線定理.5.2講授概念，形成新知

通過畫圖介紹正射影、斜線、斜足、斜線段等與三垂線定理有關(guān)的概念，強(qiáng)調(diào)斜線與斜線段、射影與射影線段的區(qū)別。

問題：找出圖1中平面AC的正射影、斜線、斜足、斜線段。設(shè)計說明：作為描述性的概念，易為學(xué)生接受，但要強(qiáng)調(diào)關(guān)健字詞。通過具體例子的應(yīng)用準(zhǔn)確把握這些概念，也為后續(xù)內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)舊知，揭示課題

在立體圖形的性質(zhì)討論或計算中，常常要遇到判定兩條直線垂直的問題或求點(diǎn)到直線距離的問題。這些問題可通過線面垂直的討論或用平移轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)問題的方法來解決，但這樣做比較煩瑣，是否能 找出直接判定空間兩直線垂直的方法呢？ 例、在立方體ABCD-A1B1C1D1中，1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影；

2）直線BD11和直線AC的位置關(guān)系如何？

3）直線BD1和直線AC所成的角 是多少度？

設(shè)計說明：通過對答案的分析討論，以及回憶斜線、射影、直線與直線的位置關(guān)系，揭示這節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容與已學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，為發(fā)現(xiàn)定理打下基礎(chǔ)。

觀察圖1，并回答“若平面內(nèi)的一條直線(AC)和這個平面的一條斜線的射影(BD)垂直時，它是否與這條斜線(BD1)也垂直呢？”引出三垂線定理的內(nèi)容。

設(shè)計說明：通過對具體問題的提問，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察猜想結(jié)論，并思考解決的辦法，通過討論用已有知識解決的繁瑣性，自然引出新方法-三垂線定理。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這也和這條斜線垂直。

設(shè)計說明：引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)圖形，寫出已知、求證。把學(xué)生分成兩組，規(guī)定用幾何、向量兩種方法完成證明。通過對這兩種方法的對比，得出選用向量方法證明的簡單性，突出這節(jié)課的重點(diǎn)是概念教學(xué)。練習(xí)：判斷上述命題是否正確，并說明理由。

1）如果一條直線和斜線在平面上的射影垂直，那么這條直線和斜線垂直；

2）如果平面內(nèi)的一條直線和斜線在此平面上的射影不垂直，那么它和斜線不垂直；

3）如果一條直線和平面的斜線及斜線在此平面上的射影垂直，那么這條直線在此平面內(nèi)。

設(shè)計說明：通過典型的練習(xí)，使學(xué)生從不同的圖形、不同的角度去考察三垂線定理，突出對象的本質(zhì)要素——平面的垂線，從而正確理解三垂線定理，熟練掌握三垂線定理的各種變式及應(yīng)用的關(guān)鍵，這 對強(qiáng)化遷移，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及邏輯思維能力是十分有利的。5.4小結(jié)

概括與三垂線定理有關(guān)的概念及三垂線定理的內(nèi)容。

設(shè)計說明：根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)，采用目標(biāo)式小結(jié)，通過細(xì)化目標(biāo)，使新知識內(nèi)化到學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中，也為本課點(diǎn)睛。

為了便于學(xué)生掌握本節(jié)課的知識點(diǎn),并突出重點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和書寫表達(dá)的規(guī)范化,特把定理的證明和例題的證明過程,作為本節(jié)的板書內(nèi)容.附:板書設(shè)計 1.11 三垂線定理

1.三垂線定理: 3.例題:(內(nèi)容、證明略)(內(nèi)容、證明略)

第四篇：三垂線定理2（小編推薦）

三垂線定理

教師：各位評委老師好,非常高興有這樣一個機(jī)會和大家一起學(xué)習(xí)！教師：下面我們開始上課，今天我們來學(xué)校立體幾何中的三垂線定理。教師：首先我們來回憶一下前面學(xué)習(xí)的幾個知識點(diǎn)。教師：⑴直線與平面垂直的定義是什么？

教師：很好！如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直。其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的平面，交點(diǎn)叫做垂足。

教師：⑵如何判斷直線與平面垂直？

教師：對！如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

教師：⑶什么叫平面的斜線，以及斜線在平面內(nèi)的射影是如何定義的？

教師：如果一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，那么這條直線叫做這個平面的斜線。斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜線的斜足。過斜線上任意一點(diǎn)像平面引垂線，垂足為o，則直線oA就是斜線在平面內(nèi)的射影。

教師：由剛才的復(fù)習(xí)我們知道，平面的垂線垂直于平面內(nèi)的每一條直線，平面的斜線顯然不垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。那么請同學(xué)們思考？在平面內(nèi)能否做出斜線的垂線。

教師：好，我看同學(xué)們已經(jīng)做出來了，通過作圖我們發(fā)現(xiàn)，平面的斜線在平面內(nèi)有垂線(我們把它叫做直線a)，而且不只一條，也就是平面內(nèi)所有與直線a平行的直線都是斜線的垂線。

教師：請同學(xué)們看黑板上的圖形并思考，那么請同學(xué)們思考我們在平面內(nèi)找斜線的垂線時，能否找到即與斜線的射影垂直又與斜線垂直的直線。換句話說如果平面內(nèi)的直線a與平面的斜線PA的射影oA垂直時，直線a是否垂直于平面的斜線PA。同學(xué)們說能，你們是怎么的出的結(jié)論呢，猜測，但是光是猜測并不能說明問題，下面我們就來證明這個結(jié)論。（已知：PO,PA分別是平面?的垂線和斜線，OA是PA在平面?內(nèi)的射影，a??，且a?OA 求證：a?PA；）

（這個圖的字母錯了，O和A反了）

教師：通過剛才的證明我們就找到了判定平面的一條斜線與平面的斜線垂直的方法：只要它與斜線的射影垂直即可。那以后如果讓我們在平面內(nèi)做斜線的垂線，只需做斜線射影的垂線即可。在立體幾何中我們把他叫做三垂線定理。

教師板書：

三垂線定理平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直當(dāng)且僅當(dāng)它和這條斜線的射影垂直。

（逐字逐句地閱讀定理，同時圈點(diǎn)重要字眼）

這就是立體幾何中重要的三垂線定理，它實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的判定定理（即由線面垂直推出了線線垂直）。它集中反映了平面內(nèi)的一條直線、平面的斜線、以及斜線在平面內(nèi)的射影這三者的關(guān)系

三垂線定理是立體幾何知識中的一個重要定理，不僅在于它給了我們一個證明線線垂直的重要方法，而且他也為研究計算空間角，空間距離，奠定了基礎(chǔ)。

教師：請同學(xué)們判斷，三垂線定理的逆命題是否正確？ 教師板書逆命題，學(xué)生證明。

教師：好！通過證明我們知道他的逆命題也是正確的，我們稱之為，三垂線定理的逆定理。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

第五篇：三垂線定理及其逆定理的練習(xí)課教案

三垂線定理及其逆定理的練習(xí)課教案

教學(xué)目標(biāo)

1．進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；

2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應(yīng)用；（課本第122頁第3題）

3．理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應(yīng)用； 4．了解課本第33頁第11題． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來解有關(guān)的題．教學(xué)的難點(diǎn)是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應(yīng)用時比較θ2與θ的大?。?/p>

教學(xué)設(shè)計過程

師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應(yīng)用了這兩個定理來解一些有關(guān)的題．今天我們要進(jìn)一步應(yīng)用這兩個定理來解一些有關(guān)的題，先看例1．

例1 如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內(nèi)，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ．求證：

cosθ1·cosθ2＝cosθ．

師：這是要證明三個角θ，θ2和θ的余弦的關(guān)系，θ已經(jīng)在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使θ2和θ是這兩個直角三角形中的銳角．

11生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時θ2是直角△B′DA中的一個銳角，θ是直角△ABD中的一個銳角．

師：剛才的表述是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應(yīng)用．現(xiàn)在已經(jīng)知道θ

1、θ2和θ分別在三個直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公式．

師：這個公式的證明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應(yīng)用了三垂線定理．當(dāng)然也可用它的逆定理．

這個公式是在課本第121頁總復(fù)習(xí)參考題中的第3題．我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個公式呢？講這個公式的目的是為了用這個公式，因?yàn)樵诮庠S多有關(guān)題時都要用到這公式．那我們要問在什么條件下可用這個公式？

生：因?yàn)棣?是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當(dāng)圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時，才有可能考慮用這公式．

師：為了在使用這個公式時方便、易記，我們規(guī)定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內(nèi)過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來研究一下這個公式的應(yīng)用．

應(yīng)用這個公式可解決兩類問題．

第一是求值．即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值． 例如：

θ＝60°，這時θ2＜θ；

當(dāng)θ1＝45°，θ2＝135°時，cosθ＝cos45°·cos135°＝

第二是比較θ2與θ的大?。?yàn)槲覀円呀?jīng)規(guī)定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進(jìn)行討論．

（1）θ2＝90°，因?yàn)棣?＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當(dāng)θ＝90°時，我們也可以證明θ＝90°．

2一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．

一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．

所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．

現(xiàn)在我們來研究在θ2是銳角時，θ2與θ的大?。?）0°＜θ2＜90°．

師：在這個條件下，我們怎樣來比較θ2與θ的大小？

生：因?yàn)?°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因?yàn)?°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因?yàn)閏osθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對應(yīng)的角?。驭?＜θ．

師：現(xiàn)在我們來討論當(dāng)θ是鈍角時，θ2與θ的大?。?/p>

2（3）90°＜θ2＜180°．

在這個條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來比較θ2與θ的大小，而是一起來看模型（或圖形）．

我們假設(shè)θ2的鄰補(bǔ)角為θ′2，θ的鄰補(bǔ)角為θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當(dāng)θ2是鈍角時，θ也是鈍角，所以它們的兩個鄰補(bǔ)角θ′2和θ′都是銳角，由對第二種情況的討論我們

2知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．

根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：

當(dāng)θ2＝90°時，θ＝θ2＝90°，它們都是直角． 當(dāng)0°＜θ2＜90°時，θ2＜θ，它們都是銳角； 當(dāng)90°＜θ2＜180°時，θ2＞θ，它們都是鈍角．

關(guān)于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應(yīng)用，今后還要隨著課程的進(jìn)展而反復(fù)提到．現(xiàn)在我們來看例2．

例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．

師：我們先來證明第（1）問．要證直線與平面垂直即要證什么？ 生：要證A1C與平面C1DB內(nèi)兩條相交的直線垂直． 師：我們先證A1C為什么與DB垂直？

生：連AC，對平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因?yàn)锳C⊥DB（正方形的性質(zhì)），所以 A1C⊥DB．（三垂線定理）

同理可證A1C⊥BC1． 因?yàn)锳1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）

（在證A1C⊥BC1時，根據(jù)情況可詳、可略，如果學(xué)生對應(yīng)用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學(xué)生把這證明過程再敘述一遍，因?yàn)檫@時是對平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）

師：現(xiàn)在來證第（2）問，垂足G為什么是正△C1DB的中心？

生：因?yàn)锳1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．

師：現(xiàn)在來證第（3）問，我們注意看正方體的對角面A1ACC1，在這對角面內(nèi)有沒有相似三角形？

生：在正方體的對角面A1ACC1內(nèi)，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．

師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而例2也是一個基本的題型，對于以后證有關(guān)綜合題型時很有用．所以對例2的證明思路和有關(guān)結(jié)論，盡可能的理解、記?。F(xiàn)在我們來看例3．

例3 如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內(nèi)，PC⊥平面α于C，D為斜邊AB的中點(diǎn)，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：

（1）P，D兩點(diǎn)間的距離；（2）P點(diǎn)到斜邊AB的距離．

師：現(xiàn)在先來解第（1）問，求P，D兩點(diǎn)間的距離．

師：現(xiàn)在我們來解第（2）問，求P點(diǎn)到AB邊的距離．

生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理）PE就是P點(diǎn)到AB邊的距離．

師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？

生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．

師：這個等積式是怎樣證明的？

生：有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCE∽△ABC，對應(yīng)邊成比例推出這個等積式．

師：這個等積式很有用，根據(jù)這個等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關(guān)距離問題時會常常用到，所以要理解、記住、會用．現(xiàn)在就利用這等積式先求CE，再求PE．

師：通過這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點(diǎn)到直線距離時，經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上述的等積式來求斜邊上的高．現(xiàn)在我們來看例4．

例4 如圖4，已知：∠BAC在平面α內(nèi)，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．

求證：∠BAO＝∠CAO．

（這個例題就是課本第32頁習(xí)題四中的第11題．這個題也可以放在講完課本第30頁例1以后講．不論在講課本第30頁例1，還是在講這個例時，都應(yīng)先用模型作演示，使學(xué)生在觀察模型后，得出相關(guān)的結(jié)論，然后再進(jìn)行理論上的證明，這樣使學(xué)生對問題理解得具體、實(shí)在，因而效果也較好）

師：當(dāng)我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結(jié)論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有幾種證法？

生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，連PD，PE，則PD⊥AB，PE⊥AC． 所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO． 師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來證明這題．（利用這公式來證明這個題，完全是由學(xué)生想到的，當(dāng)然如果有的班學(xué)生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）

生：因?yàn)椤螾AO是斜線與平面α所成的角，所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當(dāng)于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當(dāng)于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．

師：今天我們是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理來解這四個例題．例

1、例

2、例4是三個基本題．對這三個題一定要會證、記住、會用．關(guān)于這三個題的應(yīng)用，以后還會在講課過程中反復(fù)出現(xiàn)．在高考題中也曾用到．

作業(yè)

課本第33頁第13題． 補(bǔ)充題

1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大?。?5°］

2．已知：AB是平面α的一斜線，B為斜足，AB＝a．直線AB與平面α所成的角等于θ，AB在平面α內(nèi)的射影A1B與平面α內(nèi)過B

3．已知：P為Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，∠ACB＝90°，P到直角頂點(diǎn)C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC

4．已知：∠BAC在平面α內(nèi)，PA是平面α的斜線，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：

（1）PD的長；

課堂教學(xué)設(shè)計說明

1．如前所述，在學(xué)習(xí)過三垂線定理及其逆定理以后，教學(xué)要達(dá)到第二個“高潮”．也就是說要學(xué)生在這一學(xué)科的學(xué)習(xí)上攀登上第二個高峰．攀登第二個高峰要比攀登第一個高峰（求異面直線所成的角）要困難得多．因?yàn)轭}型較雜，知識面較廣，思路較活．這都給學(xué)習(xí)造成很大的困難．但是，也正是這種困難才能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性．所以我不論是在北京師大二附中還是在北京九十二中教學(xué)時都安排了一節(jié)新課，三節(jié)到四節(jié)練習(xí)課，采用精講多練的方法，使學(xué)生見到的題型更多，解題的思路更活．使他們比較容易地登上新的高峰，從而使以后的學(xué)習(xí)較為順利．

2．在解每一個例題時，如何靈活地應(yīng)用三垂線定理及其逆定理是我們講課的重點(diǎn)，也是時刻要把握住的中心環(huán)節(jié)．特別是一個空間圖形有多個平面時，首先要找出“基準(zhǔn)平面”，也就是說對于哪一個平面來用三垂線定理或其逆定理，在“基準(zhǔn)平面”找出后，再找出“第一垂線”，也就是垂直“基準(zhǔn)平面”的直線，然后斜線、射影也就迎刃而解了．

3．在講練習(xí)課時，要講的例題很多，但一定要講下述四個基本題：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求證：BC⊥平面PAC．

（2）課本第122頁第3題．（3）課本第33頁第11題．

（4）正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直． 因?yàn)樯鲜鏊膫€基本題和與之對應(yīng)的基本圖形常常包含于某些綜合題和與之對應(yīng)的綜合圖形之中，并且往往起著決定性作用．因此，在我們解一些綜合題時，通過觀察和分析，如果發(fā)現(xiàn)存在上述情況，就可以將它們化歸為上述基本題和與之對應(yīng)的基本圖形去解．這是在解立體幾何題時又一重要的化歸思想——“綜合圖形基本化”．（請參看《數(shù)學(xué)通報》1998年第2期《化歸方法與立體幾何教學(xué)》）

這四個基本題都是應(yīng)用三垂線定理與其逆定理解題典型．對這四個基本題和與之對應(yīng)的基本圖形，一定要讓學(xué)生會證、理解、掌握、記?。@樣才有可能應(yīng)用它們來解綜合題，這四個基本題是四個臺階，是向上攀登必不可缺的臺階． 4．為了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ來比較θ2與θ的大小，特選三題供老師們選用．

（1）二面角α-AB-β的平面角是銳角，C是α內(nèi)一點(diǎn)（它不在棱上），點(diǎn)D是C在β內(nèi)的射影，點(diǎn)E是棱AB上任一點(diǎn)，∠CEB為銳角，求證：∠BEC＞∠DEB．

（提示：∠CED相當(dāng)于θ1，∠DEB相當(dāng)于θ2，∠CEB相當(dāng)于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是兩個銳角，BC在平面α內(nèi)，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求證：∠BAC＜∠BA′C．

（提示：∠ABA′相當(dāng)于θ1，∠A′BC相當(dāng)于θ2，∠ABC相當(dāng)于θ，因?yàn)椤螦BC為銳角，所以∠A′BC也為銳角，故 θ＞θ2）

AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．試比較這兩個三角形的內(nèi)角A和A1的大?。ㄌ崾荆河蒫os∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因?yàn)椤螦BC是鈍角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是銳角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）