第一篇：三角形內(nèi)角和定理的證明 教案

《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)

八（11）班

郭朋朋

一、教材：滬科版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)八年級上冊第13章第2節(jié)

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、知識與技能目標(biāo)：學(xué)生由對三角內(nèi)角和定理感性認(rèn)識上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應(yīng)用。

2、過程與方法目標(biāo)：學(xué)生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實(shí)驗(yàn)和符號化的理性運(yùn)用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。

3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性，弘揚(yáng)個性發(fā)展，體驗(yàn)解決問題的成就感，體會數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和推理意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價值。

三、教材分析

1、內(nèi)容分析

三角形內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。(1)它為以后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎(chǔ)。(2)實(shí)際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。

三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理能力提供一個發(fā)展提高平臺，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學(xué)過之后，這種思想方法可以類比運(yùn)用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉(zhuǎn)化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現(xiàn)實(shí)。

在證明過程中，學(xué)生從中學(xué)到的不僅僅是知識、方法及數(shù)學(xué)邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學(xué)習(xí)方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節(jié)教材內(nèi)容對學(xué)生非智力因素的影響還是非常大的。

2、學(xué)情分析：

（1）學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)的時候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進(jìn)行了猜想與驗(yàn)證及口頭說理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認(rèn)知基礎(chǔ)。

（2）從學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。

（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認(rèn)知順序可能是建構(gòu)型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理。

3、障礙預(yù)測：

輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，要根據(jù)需要而定，另外本節(jié)課開始將訓(xùn)練學(xué)生把幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學(xué)生來說都有一定接受難度。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學(xué)習(xí)幾何證明思想，以及輔助線的有關(guān)知識，體會數(shù)形結(jié)合思想。

難點(diǎn)：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。

五、教學(xué)過程

（一）知識回顧，積累經(jīng)驗(yàn)

1、平行線的判定：

2、平行線的性質(zhì)：

3、證明一個文字命題的一般步驟：

（二）情景再現(xiàn)，導(dǎo)入新課

問題2：前面我們學(xué)習(xí)的三角形三個內(nèi)角的和等于180，是如何說明的？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過回憶結(jié)論的得出，進(jìn)行分析、對比，感受證明的必要性。

教師引導(dǎo)學(xué)生將命題進(jìn)行圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化，為定理的證明做準(zhǔn)備。

問題3：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的與“180”有關(guān)的知識有哪些？

【設(shè)計(jì)意圖】從這里入手為探究實(shí)驗(yàn)的操作指明方向，同時從“數(shù)”的方面引導(dǎo)學(xué)生探索定理的證明思路，逐步滲透“化歸”的數(shù)學(xué)思想。

探究活動

把準(zhǔn)備好的三角形拿出來，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個內(nèi)角的和是否為

??180?？有幾種拼法？拼完后與小組成員交流，比一比看哪組的拼法最多。

【設(shè)計(jì)意圖】探究實(shí)驗(yàn)一方面可以激發(fā)學(xué)生的興趣，另一方面為證明180從“形”的方面提供思路。從拼合的圖形中學(xué)生不但能直觀的看出輔助線與邊的關(guān)系，還能尋找出嚴(yán)密的邏輯證明方法，從而為證明的引出打下伏筆。同時，學(xué)生在合作交流的過程中開闊了思維，鍛煉了動手能力、嚴(yán)密的推理能力以及語言表達(dá)能力，增強(qiáng)了合作意識。

師生活動：

讓學(xué)生每人提前準(zhǔn)備幾個硬紙剪的三角形，并把角剪下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論。

學(xué)生可以展示不同的拼法：

A1?A1MB23CB2312（1）

ACD

A1N213MB23（2）

（三）活用化歸，證明定理

CB23C

根據(jù)前面給出的基本和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結(jié)論：

三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

師： 這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？

生：需要先畫圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論寫出已知、求證。

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三內(nèi)角.求證:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延長BC到D,過點(diǎn)C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.證明：延長BC到D，過點(diǎn)C作直線CE∥AB ∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用基本事實(shí)和定理證明問題，有學(xué)會運(yùn)用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學(xué)習(xí)的能力，有探究新知的能力。

（四）開啟智慧，分組探究

師：你還有其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

1、教師組織學(xué)生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。

2、在學(xué)生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo)。

3、教師指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明。

4、分組探究，成果展示

教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全班交流：（1）借助實(shí)物投影儀，將學(xué)生找到的添加輔助線的方法進(jìn)行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關(guān)注學(xué)生的表達(dá)以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進(jìn)行必要的提示。（3）引導(dǎo)學(xué)生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較哪種最好。

【設(shè)計(jì)意圖】1讓學(xué)生在證明的過程中，進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路．

（五）實(shí)踐應(yīng)用，培養(yǎng)能力

1，在直角三角形ABC中，已知∠A+∠B=90°,求證∠C=90°

推論：直角三角形兩銳角互余

2、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求證： ∠ADE=50°

（六）知識回顧，拓展延伸，3、如圖，直線AB∥CD,在AB、CD外有一點(diǎn)P，連結(jié)

PB、PD，交CD于E點(diǎn)。則∠ B、∠ D、∠ P 之間是否存在一定的大小關(guān)系？

A B C

E

D

P

（七）暢談收獲，反思升華

．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?

第二篇：三角形內(nèi)角和定理教案

9.2三角形內(nèi)角和 教學(xué)案例

學(xué)校：野雞坨鎮(zhèn)丁莊子初級中學(xué)

學(xué)科：數(shù) 學(xué)

姓名：田 明 時間：2018年5月

9.2 三角形內(nèi)角和定理 教學(xué)案例

一、地位和作用

《三角形內(nèi)角和》是冀教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書七年級下冊第九章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行線的性質(zhì)，平角的定義，為這節(jié)課中三角形內(nèi)角和的推理起了鋪墊的作用，這節(jié)課也為后邊學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和起了一定的奠基作用。三角形內(nèi)角和在整個初中的教學(xué)過程中有重要的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會利用輔助線證題，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和驗(yàn)證能力。

過程與方法：

1、在評價學(xué)生的“說理”過程和水平時不應(yīng)要求形式化的推理格式，應(yīng)鼓勵學(xué)生運(yùn)用自己的方式說明理由，只要清楚、正確即可。

2、經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)活動過程，得出三角形內(nèi)角和定理。

情感態(tài)度與價值觀：通過對幾何問題的演繹推理，體會證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：三角內(nèi)角和的證明方法。

三、教學(xué)過程：

（一）引入新課

問題一：三角形一共有幾個內(nèi)角

問題二：老師手有兩個三角形，一個是銳角三角形，一個鈍角三角形，那么是不是鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和呢？ 問題三：三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：，從學(xué)生已經(jīng)掌握的知識出發(fā)，明確本節(jié)課要研究的內(nèi)容。

（二）自主探究，驗(yàn)證新知

1、探索

（1）小學(xué)我們是如何驗(yàn)證這個結(jié)論的？

（2）實(shí)物展示臺展示，三角形發(fā)生變化，但是內(nèi)角和總是180?。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生動手操作，一方面鍛煉動手操作能力，另一方面為下一環(huán)節(jié)的推理作好準(zhǔn)備。

2、引導(dǎo)

（1）前面我們已經(jīng)學(xué)過命題的結(jié)構(gòu)，知道命題由條件和結(jié)論組成，并且知道要說明一個命題的正確性需要說理，那么怎么說明三角形的內(nèi)角和是180?呢？（2）

已知：如圖，ΔABC.A+∠B+∠C=180?

求證：∠

（引導(dǎo)學(xué)生思考：那些地方存在著180?的角？①平角或鄰補(bǔ)角；②平行線間的同旁內(nèi)角）

（說明理由的過程完全可以由學(xué)生自己書寫。）

（3）合作交流

是否還有其他的說明理由的方法？

（平角）

（平行線間的同旁內(nèi)角）

（過邊上一點(diǎn)非頂點(diǎn)作）

（從三角形內(nèi)部一點(diǎn)作）

（三條平行線也可）

設(shè)計(jì)意圖：用多種方法說明三角形的內(nèi)角和定理。用多種方法說明這一命題的正確性，一方面讓學(xué)生初步認(rèn)識說明一個命題正確性可能有多種方法，另一方面讓學(xué)生確信該命題的正確性。

（4）經(jīng)過說理，“三角形內(nèi)角和為180?”作為定理得到了充分的證明。幾何語言：

（三）例題講解

例一：如圖：

在ΔABC中，∠A=30?，∠B=65?,求∠C的度數(shù)。（讓學(xué)生嘗試解決，教師再規(guī)范書寫格式）

（四）課堂練習(xí)

B=62°24′，∠C=28°52′，求∠A的度數(shù)。

1、在ΔABC中，∠

C=36°，∠A與∠B的比是1:2，求∠A，∠B的度數(shù)。

2、在ΔABC中，∠ C=42°，∠A=∠B，求∠B的度數(shù)。

3、在ΔABC中，∠

（五）課堂小結(jié)

1.學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和及其證明方法 2.轉(zhuǎn)化的思想 3.運(yùn)動的觀點(diǎn)

（六）布置作業(yè)

教材第105頁A組1/2/3.四、板書設(shè)計(jì)：

9.2三角形的內(nèi)角和外角

1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和是180?。

2、說明理由： 延長BC到點(diǎn)D，作CE∥BA ?CE∥BA ∴∠1=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠2=∠（兩直線平行，同位角5相等）?∠ 3+∠4+∠5=180°(平角的定義）∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代換）

3、幾何語言：? 在ΔABC中

∠A+∠B+∠C=180°

∴

第三篇：6.5三角形內(nèi)角和定理的證明教案

12999數(shù)學(xué)網(wǎng)

§6.5三角形內(nèi)角和定理的證明

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識認(rèn)知要求 三角形的內(nèi)角和定理的證明.（二）能力訓(xùn)練要求

掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會利用輔助線證題，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力.（三）情感與價值觀要求

通過新穎、有趣的實(shí)際問題，來激發(fā)學(xué)生的求知欲.教學(xué)重點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的證明.教學(xué)難點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的證明方法.教學(xué)過程

一、巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課

大家來看一機(jī)器零件（投影）

為什么銑刀偏轉(zhuǎn)35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？

二、講授新課

為了回答這個問題，先觀察如下的實(shí)驗(yàn)（電腦實(shí)驗(yàn)）

用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動點(diǎn)，放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動收縮于BC上，請同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC??其內(nèi)角會產(chǎn)生怎樣的變化呢？

當(dāng)點(diǎn)A離BC越來越近時,∠A越來越接近180°,而其他兩角越來越接近于0°.三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的.在三角形中，最大的內(nèi)角有沒有等于或大于180°的？

三角形的最大內(nèi)角不會大于或等于180°.12999數(shù)學(xué)網(wǎng)

看實(shí)驗(yàn)：當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時，∠A越來越趨近于0°,而AB與AC逐漸趨向平行，這時，∠B、∠C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.即∠B+∠C→180°.猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少？

這一猜測是否準(zhǔn)確呢？我們曾做過如下

實(shí)驗(yàn)1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行（圖6－38（1））然后把另外兩角相向?qū)φ郏蛊漤旤c(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖（2）、（3）），最后得圖（4）所示的結(jié)果

.（1）（2）（3）（4）

實(shí)驗(yàn)2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起.由實(shí)驗(yàn)可知：我們猜對了！三角形的內(nèi)角之和正好為一個平角.但觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢？請同學(xué)們再來看實(shí)驗(yàn)

.這里有兩個全等的三角形，我把它們重疊固定在黑板上，然后把三角形ABC的上層∠B剝下來，沿BC的方向平移到∠ECD處固定，再剝下上層的∠A，把它倒置于∠C與∠ECD之間的空隙∠ACE的上方.這時，∠A與∠ACE能重合嗎？

這樣我們就可以證明了：三角形的內(nèi)角和等于180°.接下來同學(xué)們來證明：三角形的內(nèi)角和等于180°這個真命題

.已知，如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：作BC的延長線CD，過點(diǎn)C作射線CE∥AB.則

∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠ECD=∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

即：∠A+∠B+∠C=180°.通過推理的過程，得證了命題：三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題，這時稱它為定理.即：三角形的內(nèi)角和定理.在證明三角形內(nèi)角和定理時，小明的想法是把三個角“湊”到A處，他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC.（如圖）他的想法可行嗎？你有沒有其他的證法.小明的想法可行.因?yàn)椋骸逷Q∥BC（已作）

∴∠PAB=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠QAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°

∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代換）

也可以這樣作輔助線.即：作CA的延長線AD，過點(diǎn)A作∠DAE=∠C 也可以在三角形的一邊上任取一點(diǎn)，然后過這一點(diǎn)分別作另外兩邊的平行線，這樣也可證出定理

.即：如圖，在BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴四邊形AFDE是平行四邊形（平行四邊形的定義）

∠BDF=∠C（兩直線平行，同位角相等）

∠EDC=∠B（兩直線平行，同位角相等）

∴∠EDF=∠A（平行四邊形的對角相等）

∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）

∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）

三、課堂練習(xí)

四.課時小結(jié)

這堂課，我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理.證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角.輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它.五、作業(yè)習(xí)題6.6

六、活動與探究

1.證明三角形內(nèi)角和定理時，是否可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P？（如圖（1）），如果把這三個角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)呢？（如圖

（2））“湊”到三角形外一點(diǎn)呢？（如圖（3）），你還能想出其他證法嗎？

（1）（2）

（3）讓學(xué)生在證明這個題的過程中，進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路.［結(jié)果］證明三角形內(nèi)角和定理時，既可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P，也可以把三個角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)；還可以把這三個角“湊”到三角形外一點(diǎn).證明略.五、作業(yè)

教學(xué)反思：要培養(yǎng)學(xué)生形成流暢的思維方式、變通的思維模式和獨(dú)創(chuàng)的思維特性，必須在情感領(lǐng)域?qū)W(xué)生多加以啟迪和引導(dǎo)，充分調(diào)動、運(yùn)用和激勵學(xué)生的好奇心、冒險心、挑戰(zhàn)心和想象力。

第四篇：6.5三角形內(nèi)角和定理的證明教案

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§6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識認(rèn)知要求 三角形的內(nèi)角和定理的證明.（二）能力訓(xùn)練要求

掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會利用輔助線證題，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力.（三）情感與價值觀要求

通過新穎、有趣的實(shí)際問題，來激發(fā)學(xué)生的求知欲.教學(xué)重點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的證明.教學(xué)難點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的證明方法.教學(xué)過程

一、巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課

大家來看一機(jī)器零件（投影）

為什么銑刀偏轉(zhuǎn)35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？

二、講授新課

為了回答這個問題，先觀察如下的實(shí)驗(yàn)（電腦實(shí)驗(yàn)）

用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動點(diǎn)，放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動收縮于BC上，請同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC??其內(nèi)角會產(chǎn)生怎樣的變化呢？

當(dāng)點(diǎn)A離BC越來越近時,∠A越來越接近180°,而其他兩角越來越接近于0°.三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的.在三角形中，最大的內(nèi)角有沒有等于或大于180°的？ 三角形的最大內(nèi)角不會大于或等于180°.12999數(shù)學(xué)網(wǎng) www.tmdps.cn

12999數(shù)學(xué)網(wǎng) www.tmdps.cn 看實(shí)驗(yàn)：當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時，∠A越來越趨近于0°,而AB與AC逐漸趨向平行，這時，∠B、∠C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.即∠B+∠C→180°.猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少？ 這一猜測是否準(zhǔn)確呢？我們曾做過如下

實(shí)驗(yàn)1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行（圖6－38（1））然后把另外兩角相向?qū)φ郏蛊漤旤c(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖（2）、（3）），最后得圖（4）所示的結(jié)果.（1）

（2）

（3）

（4）

實(shí)驗(yàn)2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起.由實(shí)驗(yàn)可知：我們猜對了！三角形的內(nèi)角之和正好為一個平角.但觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢？請同學(xué)們再來看實(shí)驗(yàn).這里有兩個全等的三角形，我把它們重疊固定在黑板上，然后把三角形ABC的上層∠B剝下來，沿BC的方向平移到∠ECD處固定，再剝下上層的∠A，把它倒置于∠C與∠ECD之間的空隙∠ACE的上方.這時，∠A與∠ACE能重合嗎？

這樣我們就可以證明了：三角形的內(nèi)角和等于180°.接下來同學(xué)們來證明：三角形的內(nèi)角和等于180°這個真命題.已知，如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長線CD，過點(diǎn)C作射線CE∥AB.則 ∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

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12999數(shù)學(xué)網(wǎng) www.tmdps.cn ∠ECD=∠B（兩直線平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）即：∠A+∠B+∠C=180°.通過推理的過程，得證了命題：三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題，這時稱它為定理.即：三角形的內(nèi)角和定理.在證明三角形內(nèi)角和定理時，小明的想法是把三個角“湊”到A處，他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC.（如圖）他的想法可行嗎？你有沒有其他的證法.小明的想法可行.因?yàn)椋骸逷Q∥BC（已作）∴∠PAB=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠QAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代換）

也可以這樣作輔助線.即：作CA的延長線AD，過點(diǎn)A作∠DAE=∠C 也可以在三角形的一邊上任取一點(diǎn)，然后過這一點(diǎn)分別作另外兩邊的平行線，這樣也可證出定理.即：如圖，在BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴四邊形AFDE是平行四邊形（平行四邊形的定義）∠BDF=∠C（兩直線平行，同位角相等）∠EDC=∠B（兩直線平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四邊形的對角相等）

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12999數(shù)學(xué)網(wǎng) www.tmdps.cn ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）

三、課堂練習(xí)四.課時小結(jié)

這堂課，我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理.證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角.輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它.五、作業(yè)

習(xí)題6.6

六、活動與探究

1.證明三角形內(nèi)角和定理時，是否可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P？（如圖（1）），如果把這三個角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)呢？（如圖（2））“湊”到三角形外一點(diǎn)呢？（如圖（3）），你還能想出其他證法嗎？

（1）

（2）

（3）

讓學(xué)生在證明這個題的過程中，進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路.［結(jié)果］證明三角形內(nèi)角和定理時，既可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P，也可以把三個角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)；還可以把這三個角“湊”到三角形外一點(diǎn).證明略.五、作業(yè)

教學(xué)反思：要培養(yǎng)學(xué)生形成流暢的思維方式、變通的思維模式和獨(dú)創(chuàng)的思維特性，必須在情感領(lǐng)域?qū)W(xué)生多加以啟迪和引導(dǎo)，充分調(diào)動、運(yùn)用和激勵學(xué)生的好奇心、冒險心、挑戰(zhàn)心和想象力。

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第五篇：三角形內(nèi)角和定理的證明教案剖析

●課題

§6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明 ●教學(xué)目標(biāo)(一教學(xué)知識點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和定理的證明.(二能力訓(xùn)練要求

掌握三角形內(nèi)角和定理,并初步學(xué)會利用輔助線證題,同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力.(三情感與價值觀要求

通過新穎、有趣的實(shí)際問題,來激發(fā)學(xué)生的求知欲.●教學(xué)重點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的證明.●教學(xué)難點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的證明方法.●教學(xué)方法 實(shí)驗(yàn)、討論法.●教具準(zhǔn)備 三角形紙片數(shù)張.投影片三張

第一張:問題 第二張:實(shí)驗(yàn)

第三張:小明的想法●教學(xué)過程 Ⅰ.巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境,引入新課

用橡皮筋構(gòu)成△ABC,其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn),A為動點(diǎn)(如圖6-37,放松橡皮筋后,點(diǎn)A自動收縮于BC上,請同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時所形成的一系列的三角形:△A1BC、△A2BC、△A3BC……其內(nèi)角會產(chǎn)生怎樣的變化呢?

得出結(jié)論:當(dāng)點(diǎn)A離BC越來越近時,∠A越來越接近180°,而其他兩角越來越接近于0°。三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的。三角形的最大內(nèi)角不會大于或等于180°。

當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時,∠A越來越趨近于0°,而AB與AC逐漸趨向平行,這時,∠B、∠

但觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論,并不一定正確、可靠,這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢?請同學(xué)們再來看實(shí)驗(yàn).圖6-39 這里有兩個全等的三角形,我把它們重疊固定在黑板上,然后把三角形ABC的上層∠B 剝下來,沿BC的方向平移到∠ECD處固定,再剝下上層的∠A,把它倒置于∠C與∠ECD 之間的空隙∠ACE的上方.這時,∠A與∠ACE能重合嗎?

圖6-40 已知,如圖6-40,△AB C.求證:∠A+∠B+∠C=180°

證明:作BC的延長線CD,過點(diǎn)C作射線CE∥AB.則 ∠ACE=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等 ∠ECD=∠B(兩直線平行,同位角相等 ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換 即:∠A+∠B+∠C=180°.在證明過程中,我們僅僅添畫了一條射線CE,使處于原三角形中不同位置的三個角,巧妙地拼湊到一起來了.為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.我們通過推理的過程,得證了命題:三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題,這時稱它為定理.即:三角形的內(nèi)角和定理.小明也在證明三角形的內(nèi)角和定理,他是這樣想的.大家來議一議,他的想法可行嗎?

∵PQ∥BC(已作

∴∠PAB=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等 ∠QAC=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等 ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換

圖6-42 也可以這樣作輔助線.即:作CA的延長線AD,過點(diǎn)A作∠DAE=∠C(如圖6-42.也可以在三角形的一邊上任取一點(diǎn),然后過這一點(diǎn)分別作另外兩邊的平行線,這樣也可證出定理.即:如圖6-43,在BC上任取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D分別作DE∥AB交AC于E,DF∥AC 交AB于F.∴四邊形AFDE是平行四邊形(平行四邊形的定義 ∠BDF=∠C(兩直線平行,同位角相等 ∠EDC=∠B(兩直線平行,同位角相等 ∴∠EDF=∠A(平行四邊形的對角相等 ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代換 Ⅲ.課堂練習(xí)

(一課本P196隨堂練習(xí)1、2.圖6-44

1.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個內(nèi)角是多少度?請證明你的結(jié)論.答案:90°60°

如圖6-44,在△ABC中,∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°.圖6-45 如圖6-45,△ABC是等邊三角形,則:∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°

2.如圖6-46,已知,在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,求證:∠ADE=50°.證明:∵DE∥BC(已知

∴∠AED=∠C(兩直線平行,同位角相等 ∵∠C=70°(已知 ∴∠AED=70°(等量代換

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°(三角形的內(nèi)角和定理 ∴∠ADE=180°-∠A-∠AED(等式的性質(zhì) ∵∠A=60°(已知

∴∠ADE=180°-60°-70°=50°(等量代換(二讀一讀P197.(三看課本P195~196,然后小結(jié).Ⅳ.課時小結(jié)

這堂課,我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理.證明的基本思想是:運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起,拼成一個平角.輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁,今后我們還要學(xué)習(xí)它.Ⅴ.課后作業(yè)

(一課本P198習(xí)題6.6 1、2(二1.預(yù)習(xí)內(nèi)容P199~200 2.預(yù)習(xí)提綱

(1三角形內(nèi)角和定理的推論是什么?(2三角形內(nèi)角和定理的推論的應(yīng)用.Ⅵ.活動與探究

1.證明三角形內(nèi)角和定理時,是否可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P?(如圖6-47(1,如果把這三個角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)呢?(如圖6-47(2“湊”到三角形外一點(diǎn)呢?(如圖6-47(3,你還能想出其他證法嗎?

(1(2(3 圖6-47 [過程]讓學(xué)生在證明這個題的過程中,進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路,并

且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路.［結(jié)果］證明三角形內(nèi)角和定理時，既可以把三角形的三個角“湊”到 BC 邊上的一點(diǎn) P，也可以把三個角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)；還可以把這三個角“湊”到三角形外一點(diǎn).●板書設(shè)計(jì) §6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明 一、三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于 180° 圖 6－48 已知，如圖 6－48，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：作 BC 的延長線 CD，過點(diǎn) C 作射線 CE∥BA，則：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）

∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）

二、議一議

三、課堂練習(xí)

四、課時小結(jié)

五、課后作業(yè)