第一篇：《三角形內角和定理的證明》教學設計

《三角形內角和定理的證明》教學設計

一、課題：三角形內角和定理的證明

二、教材：北師大版義務教育課程標準實驗教科書數學八年級下冊第六章第五節

三、學習目標：

1、知識與技能目標：學生由對三角內角和定理感性認識上升到理性推理證明，掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。

2、過程與方法目標：學生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展合情推理能力，逐步養成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。

3、情感態度與價值觀目標：經歷三角形內角和定理不同種方法的推理證明過程，培養學生創造性，弘揚個性發展，體驗解決問題的成就感，體會數學證明的嚴謹性和推理意義，培養學習數學的興趣，感悟邏輯推理的數學價值。

四、教材分析

1、內容分析

三角形內角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。

(1)它為以后學習多邊形內角和定理奠定基礎。

(2)實際生活、生產中有廣泛的應用。

(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。

三角形內角和定理的證明過程為學生建立數學思想方法和邏輯推理能力提供一個發展提高平臺，其論證過程總體體現為化歸思想。學過之后，這種思想方法可以類比運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現實。

在證明過程中，學生從中學到的不僅僅是知識、方法及數學邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學習方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節教材內容對學生非智力因素的影響還是非常大的。

2、學情分析：

（1）學生已經在小學和七年級的時候接觸過三角形內角和定理，并且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內角和定理提供了認知基礎。

（2）從學生的學習動機與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。

（3）學生在學習三角形內角和定理的證明過程中，其認知順序可能是建構型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內角和定理。

3、障礙預測：

輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統一的規律，要根據需要而定，另外本節課開始將訓練學生把幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學生來說都有一定接受難度。

五、教學重點、難點

重點：以三角形內角和定理的證明為載體，學習幾何證明思想，以及輔助線的有關知識，體會數形結合思想。

難點：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。

六、設計思路分析：

三角形內角和定理是學生接觸較早的定理之一，其內容和應用早已為學生所熟悉。因此，本節課需要重點解決的問題是定理的證明；在定理證明中，學生將首次接觸和應用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、“如何添加輔助線”就必然成為本節課的重點。

本課基本定位在于，通過三角形內角和定理證明的教學實踐、感受幾何證明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領學生體會數學中的重要思想——數形結合。

借助“撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內角和定理”的過程分析，啟發誘導學生初步體會輔助線及其在證明中的作用。最后，引領學生進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優化”思想。

七、教學策略：

1、學教方式：為真正落實學生的主體地位，教師只是教學過程的組織者、合作者、引導者，特確定了如下學教方式：學生自主探究、合作交流學習，教師引導發現教學。

2、教學支持：為促進學生自主學習，增大課堂容量，提高效率，突出重點，突破難點，本節課將采用多媒體演示教學。

八、教學過程

（一）知識回顧，積累經驗

1、平行線的判定：

2、平行線的性質：

3、證明一個文字命題的一般步驟：

（二）情景再現，導入新課

問題1：我們知道三角形三個內角的和等于180°.你還記得這個結論的探索過程嗎?

（1）數的研究：對于三角形的內角和是180°這樣一個結論，啟發學生回想，我們在小學時是怎樣知道這個結論的。

（通過量角器進行角度的測量，這就是“數”的研究，量角器在這里起到橋的作用。）

問題2：通過前兩節課的學習，我們知道通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定是正確的，測量會產生誤差，問題解決得并不完美。這就促使我們去尋找新的研究方向——形。（體會證明的必要性）

（2）形的研究：對于三角形的內角和是180°這樣一個結論，啟發學生回想，七年級下冊時是怎樣知道這個結論的。

（通過動手操作拼圖，將分散的三個角“搬”到一起，從而構成一個平角或兩角互補，為本節課引出輔助線做好鋪墊）

【設計意圖】（1）鑒于學生對證明已有一定的認識和了解，并且對三角形內角和已經有初步認識，在教學過程設計上并沒有從學生身邊熟悉的事例創設情境，而是簡單地對三角形內角和的知識加以回憶。

（2）學生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結果的準確性，況且當時有些學生量出內角和的度數確實要高于或低于180°。

（3）學生的懷疑是正常的，剪拼得到的結論有一定的合理性，但還需證明來確認，這正是我們這節課要解決的問題 ——教育學生研究問題要有一個嚴謹的科學態度。

（三）活用化歸，證明定理

根據前面給出的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結論：三角形三個內角的和等于180°。

師： 這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？

生：需要先畫圖形，根據命題的條件和結論寫出已知、求證。

師：對，下面大家來證明，哪位同學上黑板給大家板演呢？

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三內角.求證:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這樣,就相當于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.證明：延長BC到D，過點C作直線CE∥AB

∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）

師：同學們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們添畫了射線CE、CD，使處于原三角中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。

我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的三個內角的和等于180°是真命題，這時稱它為定理。即：三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°。

【設計意圖】培養學生有“公理化思想”，能運用基本事實和定理證明問題，有學會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學習的能力，有探究新知的能力。

（四）開啟智慧，分組探究

師：你還有其他方法來證明三角形內角和定理嗎？在證明三角形內角和定理時,小明的想法是把三個角“湊”到A處,他過點A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎? 請你幫小明把想法化為實際行動

證明:過點A作PQ∥BC

∴∠PAB=∠B(兩直線平行,內錯角相等),∠QAC=∠C(兩直線平行,內錯角相等),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換).小明的想法已經變為現實,由此你受到什么啟發?你有新的證法嗎?

1、教師組織學生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。

2、在學生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當的提示和引導。

3、教師指導學生添加輔助線，給出完整的“三角形內角和定理”的證明。

4、分組探究，成果展示

教師指導學生進行全班交流：（1）借助實物投影儀，將學生找到的添加輔助線的方法進行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關注學生的表達以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。（3）引導學生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內、外部均可。然后，進一步引導學生比較哪種最好。

【設計意圖】

1、讓學生在證明的過程中，進一步了解三角形內角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學生的思路．

2、這里是本節課的一個重點，教師在這里要交代①什么是輔助線，添加時要用虛線畫出；②輔助線怎么來的在證明開始時要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚；③規范書寫格式是自上而下的；④有條理的表達上面的分析思路，有一個嚴密的邏輯思維過程。

3、三角形內角和的證明實質是利用化歸思想將三角形內角和轉化為“平角等于180°”或“兩直線平行同旁內角和等于180°這一點應向學生交代清楚

4、給學生充分的自我展示的機會，盡量發現更多的添加輔助線的方法。

（五）實踐應用，培養能力

1、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求證： ∠ADE=50°

2.、已知：如圖，△ABC中，∠B 和∠C的平分線BE，CF交點O.求證： ∠BOC=90°+

12∠A

（六）知識回顧，拓展延伸，如圖，利用幾何畫板，在△ABC中，（1）如果BC不動，把點A“壓”向BC，∠A

就越來越大，而∠B與∠C的和越來越小，由此你

能想到什么？

(2)如果BC不動，把點A“拉離”BC，∠A就越來越小，而∠B與∠C則越來越大，它們的和越來越接近180°，由此你能想到什么？

【設計意圖】引導學生利用運動變化的觀點理解和認識數學，滲透極限思想。

（七）暢談收獲，反思升華

本節課，我們證明了一個很有用的三角形內角和定理。在三角形中，求角的大小可將被求角看作三角形的內角來求。證明的基本思想是：借助輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內角集中在一起，拼成一個平角或兩個互補的角．通過本節課的學習,你有哪些收獲?

（八）課外作業，鞏固練習

課外作業：課本P241習題6.61、2、3（九）板書設計：

三角形內角和定理的證明

三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等于180°。

九、教學反思

《課標》強調：數學教學是數學活動的教學，是師生交往、互動、共同發展的過程。學生是數學學習的主人，教師是學生數學學習的組織者、引導者和合作者。有效的數學教學應當從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供充分的從事數學活動的機會，在活動中激發學生的學習潛能，促使他們在自主探索與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識、技能、思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗，提高解決問題的能力，學會學習，同時使學生在意志力、自信心、理性精神等情感與態度方面得到良好的發展。

作為“幾何證明”的重要組成部分，這節課所涉及的內容對于證明的學習顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進行幾何證明的首次學習，學生對此普遍感到困難；另一方面，這是《義務教育數學課程標準》下的“幾何公理體系”第一次循環的綜合運用，即“兩直線平行，內錯角相等”、“內錯角相等，兩直線平行”的綜合應用。

這篇案例經過了精心設計，尤其是從“數”與“形”兩個角度對輔助線作法的分析與探索，做了相當大的內容準備。

1、在備課時，教師不能只備教材而不備學生，只考慮自己如何“教”而忽視學生如何“學”。在這節課上產生的情況，由于我對學生已有知識經驗估計不足，造成有些內容沒完成。因此，教師在備課時，要充分預計學生已有的知識水平，站在學生的角度來思考：如果自己是學生，我已懂了哪些知識？還有什么問題？不能只考慮自己教得舒暢、教得精彩，而應更多地從學生的角度來思考“教什么”和“怎樣教”，做到以“學”定“教”。充分體現學生是學習的主體。

2、教師的教學方式要適應學生的學習。新課程明確倡導動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式。這就要求教師的角色，應當從過去知識的傳授者轉變為學生自主性、探究性、合作性學習活動的設計者和組織者。在教學過程中，我給學生設置了富有挑戰性的問題情境，讓學生分組合作、自主地去探究和發現方法。

3、本節課教師主導作用的發揮是比較好的，作用體現在讓學生的主體得到充分的展示。

4、要想使學生感受到學習的快樂，就必須讓學生體驗到靠自己力量獲得的成功，體會到探究與發現帶來的樂趣。在教學中，我遵循的基本教學原則是激勵學生展開積極的思維活動。不斷的表揚學生，使學生感到自身的價值存在。

給學生一個展示個性、享受成功的機會。創設民主和諧的氛圍，有助于減輕學生的心理負擔，使學生的個性見解自由表達，獨特做法主動展示。例如：證明方法的多樣性，反映學生思維的多樣性，學生個性的多樣性；放手給學生自己小結體現不同學生有不同發展，交流是一種互補。

本節課老師多次深入到學習困難的學習小組，參與研究，引導他們發現，解決學生遇到的問題。因為每個學生都有按自己的選擇參與學習的權利。都受個體已有認知水平和經驗的限制，學生的學習很可能“遭遇”障礙，這常常會引發學生的失敗感，降低學生學習的自信心，所以老師要適時鼓勵，使學生享受到成功的喜悅。享受到一次成功，就會激勵學生以更大的努力去追求更大的成功。

第二篇：《三角形內角和定理的證明》教學設計

冀教版七年級下冊數學

9.2《三角形內角和外角》

——三角形內角和定理證明教學設計

一．教材分析：

(一)教材的地位和作用：

這節內容是在前面學生對“三角形內角和是180°”這個結論有了一定直觀認識的基礎上編排的，以往對這個結論也曾進行過簡單的說理，這里則以嚴格的步驟演繹證明，旨在讓學生從實踐操作轉移到理性思維上來，使學生初步掌握證明的要求和格式，促使學生養成嚴謹的數學思維方法，發展學生的證明素養。

三角形內角和定理從數量角度揭示三角形三內角之間的關系，是三角形的一個重要性質，既是今后幾何推理的重要依據，又是計算角度的重要方法。教材從學生實踐操作到證明過程的呈現訓練了學生的抽象思維能力和邏輯推理能力；其中輔助線的作法學生第一次接觸，它集中了條件、構造了新圖形、形了成新關系，實現了未知與已知的轉化，起到了解決問題的橋梁作用。

(二)教學目標：

1.知識與技能目標：掌握三角形內角和定理的證明，初步學會作輔助線證明的基本方法，培養學生觀察、猜想、和推理論證能力。

2.過程與方法目標：

（1）對比過去折紙、撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。

（2）通過一題多證、一題多變體會思維的多向性。

（3）引導學生應用運動變化的觀點認識數學。

3.情感與態度目標：通過一題多證激發學生勇于探索的精神，感悟邏輯推理的價值。

（三）教學重難點：

1.重點：探索證明三角形內角和定理的不同方法

2.難點：應用運動變化的觀點認識數學，從拼圖過程中發現并正確引入輔助線是本節課的關鍵。

二．教學方法：引導發現法、嘗試探究法。

三．教學過程：

一、創設情景、提出問題：

在小學，我們已經知道三角形內角和是180°，那它是怎么來的呢？你能給出說理嗎？

二、探究新知

（一）動手操作、探索解法：

畫出一個三角形，并將它的內角剪下，做拼角實驗

歸納：可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內角互補”來說理，也可以搬兩個角、三個角用“平角定義”說明。引導學生合理添加輔助線，為書寫證明過程做好鋪墊。

（二）議一議，開闊思野：

1.‘搬三個角’的特點：把角‘搬’到一起，讓頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角定義。

在證明三角形內角和定理時，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點嗎？引導學生思考。

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：過A點作DE∥BC

C D A E

∵DE∥BC

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)

那么是否可以把三個角集中到三角形的一邊上呢？集中在內部任意一點上呢？外部呢？引導學生開闊思維，大膽探索證明方法。

2.應指出輔助線通常畫為虛線,并在證明前交代說明。添加輔助線不是盲目的，而是證明需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創造條件，以達到證明的目的。

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA．∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)

四．教學反思 ：C D

本課以撕紙法驗證得出“三角形內角和是180°”后，啟發學生還可利用添加輔助線的方法去證明三角形內角和定理。

課堂教學充分發揮課件輔助教學的作用，將知識形象化、生動化、具體化。重視數學思想方法的引導，并及時指導歸納總結。

為了突出重點、突破難點，我對教材做了少量的補充和擴展，利用多媒體直觀形象、節省時間的特點，動畫演示再現學生拼圖過程、解題過程，引導學生從動態角度直觀地思考問題，幫助學生理解運動變化的觀點。

第三篇：《三角形內角和定理》教學設計

《三角形內角和定理》教學設計

一、教材分析

（一）教學內容的地位

本節課是在研究了三角形的有關概念和學生在對“三角形的內角和等于1800”有感性認識的基礎上，對該定理進行推理論證。它是進一步研究三角形及其它圖形的重要基礎，此外，在它的證明中引入了輔助線，而輔助線又是解決幾何問題的一種重要工具，因此本節是本章的一個重點。

（二）教學重點、難點：

三角形內角和等于180度，是三角形的一條重要性質，有著廣泛的應用。雖然學生在小學已經知道這一結論，但沒有從理論的角度進行推理論證，因此三角形內角和等于180度的證明及應用是本節課的重點。

另外，由于學生還沒有正式學習幾何證明，而三角形內角和等于180度的證明難度又較大，因此證明三角形內角和等于180度也是本節課的難點。

突破難點的關鍵：讓學生通過動手實踐獲得感性認識，將實物圖形抽象轉化為幾何圖形得出所需輔助線。

二．教學目標

基于以上分析和數學課程標準的要求，我制定了本節課的教學目標，下面我從以下三個方面進行說明。

（一）知識與技能目標：

會用平行線的性質與平角的定義證明三角形的內角和等于1800，并初步學會利用輔助線解決問題，體會轉化思想在解決問題中的應用。

（二）過程與方法目標：

經歷拼圖試驗、合作交流、推理論證的過程，發展學生的合情推理能力和邏輯思維能力。

（三）情感、態度價值觀目標：

通過操作、交流、探究、表述、推理等活動培養學生的合作精神，體會數學知識內在的聯系與嚴謹性，鼓勵學生大膽質疑，敢于提出不同見解，培養學生良好的學習習慣。

三、學情分析

七年級學生的特點是模仿力強，喜歡動手，思維活躍，但思維往往依賴于直觀具體的形象，而學生在小學已通過量、拼、折等實驗的方法得出了用三角形內角和等于180度這一結論，只是沒有從理論的角度去研究它，學生通過前面的學習已經具備了簡單說理的能力，同時已學習了平行線的性質和判定及平角的定義，這就為學生自主探究，動手實驗，討論交流，嘗試說理做好了準備。

四、教學方法與學法指導：

根據新課程標準的要求，學習活動應體現學生身心發展特點，應有利于引導學生主動探索和發現，因此，我采用了動手操作―觀察實驗―猜想論證的探究式教學方法，整個探究學習的過程充滿了師生之間，生生之間的交流和互動，體現了教師是教學活動的組織者、引導者、合作者，學生才是學習的主體。我將教給學生通過動手實驗、觀察思考、抽象概括從而獲得知識的學習方法，培養他們利用舊知識獲取新知識的能力。

五．教學評價：

1、關注學生探索結論、分析思路和方法的過程。

2、關注學生說理的能力和水平。

3、關注學生參與教學活動的程度。

六．教學活動程序：（設計為四個環節：）

1、糾錯、鞏固

2、探索、交流

3、應用、提高

4、反思、總結

一、學生糾錯，復習鞏固：

找出下面一道題目證明過程中的錯誤。

已知：如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND.求證：MG∥NH

證明：∵AB∥CD

∴∠1=∠2

∴MG∥NH

提問：這個證明過程中存在哪些問題？

在糾錯中，引導學生回憶證明的一般步驟是什么.【設計意圖】：通過對命題證明過程的糾錯，起到復習鞏固知識的作用，明晰了證明命題的一般步驟及注意點；又調動了學生的積極性，激發他們的興趣。

二、探索交流：

問題1：我們已經知道了“三角形的內角和等于180°”這個結論，如何證明這個命題呢？

一般步驟是什么？

【設計意圖】：文字命題的證明是初中幾何教學中的難點，通過問題1可使學生進一步掌握證明的一般步驟。

引導學生根據題意畫出圖形，寫出已知、求證。

問題

2、小學里我們已經通過“測量法”“剪紙法”等實驗的方法，得到了“三角形的內角和等于180°”這個結論.通過前面的學習，我們知道實驗得到的結論并不一定正確，必須進行數學證明，那么如何證明呢？

這就是我們本節課要研究的主要問題，由此導入新課。

【設計意圖】：通過 問題2及追問導入本節課研究的課題，學生進一步明確了證明的必要性，滲透了研究幾何圖形的一般套路（觀察―猜想―驗證），幫助學生積累研究問題的基本經驗。

1、演示：用課件演示“剪紙法”把三角形的三個角拼在一起形成平角的過程。

提問：同學們能否從剛才的演示的過程中受到啟發，用所學的數學知識證明“三角形的內角和等于180°”這個結論。請同學們先獨立思考，再各小組交流討論，看哪個組想的方法多。

2、學生小組交流，教師巡視指導。

【設計意圖】：通過直觀演示，給學生以直觀體驗，能夠激起學生的求知熱情，開闊學生的思維，激發學生的聯想，促進學生主動思維。同時以小組合作交流的方式，通過生生互動，激發學生的探究欲望。由于方法較多，故學生討論中又可以互相借鑒，極大地開闊了學生的視野。

3、小組匯報，教師板演，進一步規范證明的格式。在學生回答過程中，教師適時追問：你解決問題時作輔助線的目的是什么？你是怎么想的？

4、提問：這些方法是把三個角聚在了三角形的哪個位置？還可聚在哪個位置呢？如何證明請同學們課后繼續研討。

【設計意圖】：通過追問，充分展示學生的思維過程。促進學生理解輔助線的作用，對證明方法做到“知其然更知其所以然”。正因為學生的激情被點燃，所以學生的思維不斷閃光，因此會出現很多證明方法，“一題多解”得到了深化。

5、教師總結：（1）、通過證明，我們知道“三角形的內角和等于180°”是一個真命題，所以我們把這個真命題稱為三角形內角和定理。

（2）、通過上面的研究發現，可以把三角形的三個角湊在三角形的邊上、三角形的內部或三角形的外部，從而形成平角，來證明內角和定理；也可把三角形湊成一組平行線的同旁內角，形成互補關系。在這期間我們用到了一個非常重要的“工具”――輔助線。那么輔助線是怎么畫的、它有什么作用呢？（1）輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線.（輔助線通常畫成虛線）（2）它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現出來，起到牽線搭橋的作用.（3）添加輔助線，可構造新圖形，形成新關系，找到聯系已知與未知的橋梁，把問題轉化，但輔助線的添法沒有一定的規律，要根據需要而定,平時做題時要注意總結.【設計意圖】：通過教師總結，進一步讓學生體會到：不同的添輔助線方法，實質是相同的――就是把一個我們不會解的新問題轉化為我們會解的問題，于潛移默化中培養了學生的轉化思想

6、小試身手：

（1）、如圖，在△ABC中，∠ACD是它的一個外角，請你完成下面的表格。

∠A=35° ∠B=40° ∠ACD=

________________________________________°

∠A+∠B=75° ∠ACD=

________________________________________°

∠A+∠B=

________________________________________° ∠ACD=131°

∠A=37° ∠B=

________________________________________° ∠ACD=125°

（2）、你有什么發現？三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和【設計意圖】：通過以上練習，對三角形內角和定理及時鞏固，同時通過表格的填寫讓學生一目了然地發現三角形的外角與它不相鄰的兩個內角之間的數量關系，為證明該定理作鋪墊。還滲透了從“特殊”到“一般”的歸納思想。起到了承上啟下的作用。

7、問題1：你會證明這個結論嗎？（先請學生板演，再讓學生評點。）

【設計意圖】：通過學生板演，及時反饋，可充分暴露學生證明過程中存在的問題，及時糾正，通過學生點評，讓學生當“小老師”，培養學生的語言表達能力，提高了學生課堂參與的主動性和積極性，活躍了課堂氣氛。進一步規范證明的步驟和格式。

問題2：你還有其他證明方法嗎？（教師出示圖形，學生課后完成證明過程。)

【設計意圖】：使學生了解到解決問題時可以從不同的角度思考，有不同的證明方法，通過問題的解決進一步滲透了轉化的數學思想。

8、總結：像這樣，由一個定理直接推出的正確結論，叫做這個定理的推論。它和定理一樣，可以作為進一步證明的依據。三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和就叫做三角形內角和定理的推論。

三角形內角和定理的幾何表述：

△ ABC中,∠A+∠B+∠C=180°

三角形內角和定理推論的幾何表述：

∠ACD是△ABC的一個外角，∠ACD＝ ∠A+∠B

【設計意圖】：通過教師總結，使學生了解定理和推論之間的邏輯關系。對定理運用時的符號語言進行規范。同時將“圖形”進行適當變化，在圖形的變化中促使學生認識定理的本質。

三：應用、提高

9、剛才，我們一起研究了三角形的內角和定理及推論的證明，發現了很多的證明方法，并且在相互學習、互相合作中加深了理解，得到了提升，那么三角形內角和定理及推論在解決數學問題時有哪些應用呢？

例、已知：如圖，AC、BD相交于點O

求證：∠A+∠B=∠C+∠D

①、請同學獨立思考、分析。

②、追問：你是怎樣想到這種方法的？

③、（小結:這是三角形內角和定理的簡單應用，同時這也是一個基本圖形：當兩個三角形的一組角互為對頂角時，剩余的兩個角的和相等。）

【設計意圖】：通過學生獨立思考、分析、解答，培養學生獨立結題的能力，同時教師通過追問。促使學生的思維進一步深化。

練一練：

1、搶答：（1）、三角形的一個內角一定小于180°嗎？一定小于90°嗎？

（2）、一個三角形中最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？最多有幾個銳角？

（3）、一個三角形中最大角不會小于60°嗎？最小角不會大于多少度？

(4)、直角三角形兩銳角之和是多少度？

（5）、一個三角形不在同一個頂點的三個外角中，最多有幾個鈍角？至少有幾個鈍角？

【設計意圖】：通過搶答這種形式，能充分調動學生的積極性。同時教師在學生搶答的過程中適時追問、總結，如問題（3）你是怎么想到的？滲透說明一個命題是假命題的方法（舉反例），為下節課作鋪墊。如通過問題（5），引導學生總結出化歸思想，即將外角的問題轉化為內角的問題來解決。

2、已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC=∠B.求證：∠ADE=∠DAE

（1）讓學生獨立思考。

（2）教師引導，出示問題：你會將要證的相等的兩個角

與已知條件中相等的角聯系起來嗎？

（3）學生板演。

（4）追問：比較這道題目的解題思路與例題的解題思路有什么異同點。

【設計意圖】：為體現學生的主體地位，先讓學生獨立思考。如果學生能夠獨立解決，教師追問：你是怎么想到的?通過追問幫助學生總結幾何證明的一般策略：將未知與已知聯系起來思考，積累解題經驗；若學生感到困難，教師通過問題：“你會將要證的相等的兩個角

與已知條件中相等的角聯系起來嗎？”啟發學生思考。通過將該題的解題思路與例題相比較，進一步優化學生的思維。使學生學會“同中求異，異中求同”的比較策略。

3、延伸與拓展：

求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和

你能想到幾種方法？

【設計意圖】：通過拓展題，體現分層，讓學有余力的學生進行更深入的學習，尊重學生的個性化發展。同時通過一題多解，培養學生思維的靈活性。

四、總結收獲 暢談體會

反思小結：

通過本節課的學習，你取得了哪些成果，說出來與大家分享。

本節課我們學習了三角形內角和定理及推論的證明和應用，并且在研究證明的過程中掌握了很多的數學思想、方法。而且還提高了一題多解的能力。

【設計意圖】：在獨立思考和合作交流中，引導學生梳理本節課在知識和數學思想方法等方面的收獲，形成知識網絡，提升對數學思想方法的理性認識。在總結的同時讓學生體驗收獲知識的快樂，培養敢于展示自我，敢說、敢問、自信的學習品質。

五、課后作業：補充習題97頁――98頁。

第四篇：《三角形內角和定理》教學設計

人教版七年級下冊7.2.1《三角形的內角》教學設計說明

淄博市高青縣實驗中學

邢春林

人教版七年級下冊7.2.1《三角形的內角》教學設計說明

淄博市高青縣實驗中學

邢春林

一、教材分析

（一）教材的地位和作用 《三角形的內角》內容選自人教實驗版九年義務教育七年級下冊第七章第二節第一課時。“三角形的內角和等于180°”是三角形的一個重要性質，它揭示了組成三角形的三個角的數量關系，學好它有助于學生理解三角形內角之間的關系，也是進一步學習《多邊形內角和》及其它幾何知識的基礎。此外，“三角形的內角和等于180°”在前兩個學段已經知道了，但這個結論在當時是通過實驗得出的，本節要用平行線的性質來說明它，說理中引入了輔助線，這些都為后繼學習奠定了基礎，三角形的內角和定理也是幾何問題代數化的體現。

（二）教學目標

基于對教材以上的認識及課程標準的要求，我擬定本節課的教學目標為： 1．知識技能：發現“三角形內角和等于180°”，并能進行簡單應用；體會方程的思想；尋求解決問題的方法，獲得解決問題的經驗。

2．數學思考：通過拼圖實踐、合作探索、交流，培養學生的邏輯推理、大膽猜想、動手實踐等能力。

3．解決問題：會用三角形內角和解決一些實際問題。

4．情感、態度、價值觀：在良好的師生關系下，建立輕松的學習氛圍，使學生樂于學數學，在數學活動中獲得成功的體驗，增強自信心，在合作學習中增強集體責任感。通過添置輔助線教學，滲透美的思想和方法教育。

（三）重難點的確立：

1．重點：“三角形的內角和等于180°”結論的探究與應用。

2．難點：三角形的內角和定理的證明方法（添加輔助線）的討論

二、學情分析

處于這個年齡階段的學生有能力自己動手，他們樂于嘗試、探索、思考、交流與合作，具有分析、歸納、總結的能力，他們渴望體驗成功感和自豪感。因而老師有必要給學生充分的自由和空間，同時注意問題的開放性與可擴展性。

基于以上的情況，我確立了本節課的教法和學法：

三、教法、學法

（一）教法

基于本節課內容的特點和七年級學生的心理特征，我采用了“問題情境－建立模型－解釋、應用與拓展”的模式展開教學。本節課采用多媒體輔助教學，旨在呈現更直觀的形象，提高學生的積極性和主動性，并提高課堂效率。

（二）學法

通過學生分組拼圖得出結論，小組分析尋求說理思路，從不同角度去分析、解決新問題，通過基礎練習、提高練習和拓展練習發掘不同層次學生的不同能力，從而達到發展學生思維能力和自學能力的目的，發掘學生的創新精神。

四、教學過程

我是以6個活動的形式展開教學的，活動1是為了創設情境引入課題，激發學生的學習興趣，活動2是探討三角形內角和定理的證明，證明的思路與方法是本節的難點，活動3到5是新知識的應用，活動6是整節課的小結提高。

具體過程如下：活動1：首先用多媒體展示情境提出問題1，設計意圖是：創設情境，引起學生注意，調動學生學習的積極性，激發學生的學習興趣，導入新課。在此基礎上由學生分組，用事先準備好的三角形拼圖發現三角形的內角和等于180°。設計意圖是：從豐富的拼圖活動中發展學生思維的靈活性，創造性，從活動中獲得成功的體驗，增強自信心，通過小組合作培養學生合作、交流能力。在合作學習中增強集體責任感。再用多媒體演示兩個動畫拼圖的過程。設計意圖：讓學生更加形象直觀的理解拼圖實際上只有兩種，一種是折疊，一種是角的拼合，這為下一環節說理中添加輔助線打好基礎，從而達到突破難點的目的。

前面通過動手大家都知道了三角形的內角和等于180°這個結論，那么你們是否能利用我們前面所學的有關知識來說明一下道理呢？請看問題2，請各小組互相討論一下，討論完后請派一個代表上來說明你們小組的思路[學生的說理方法可能有四種（板書添輔助線的四種可能并用多媒體演示證明方法）]設計的目的：通過添置輔助線教學，滲透美的思想和方法教育，突破本節的難點，了解輔助線也為后繼學習打下基礎。在說理過程中，更加深刻地理解多種拼圖方法。同時讓學生上板分析說理過程是為了培養學生的語言表達能力，邏輯思維能力，多種思路的分析是為了培養學生的發散性思維。

通過活動3中問題的解決加深學生對三角形內角和的理解，初步應用新知識，解決一些簡單的問題，培養學生運用方程思想解幾何問題的能力。

活動4向學生展示分析問題的基本方法，培養學生思維的廣闊性、數學語言的表達能力。把問題中的條件進一步簡化為學生用輔助線解決問題作好鋪墊。同時培養學生建模能力。

活動5通過兩上實際問題的解決加深學生對所學知識的理解、應用。培養學生建模的思想及能力。

活動6的設計目的發揮學生主體意識，培養學生語言概括能力。【教學設計說明】

1、《數學課程標準》指出：“本學段（7～9年級）的數學應結合具體的數學內容，采用?問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展?的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程…… ”因此，在本節課的教學中，我不斷的創造自主探究與合作交流的學習環境，讓學生有充分的時間和空間去動手操作，去觀察分析，去得出結論，并體驗成功，共享成功．

2、體現自主學習、合作交流的新課程理念．無論是例題還是習題的教學均采用“嘗試—交流—討論”的方式，充分發揮學生的主體性，教師起引導、點撥的作用．

3、結合評價表，對學生的課堂表現進行激勵性的評價，一方面有利于調動學生的積極性，另一方面有利于學生進行自我反思。

第五篇：三角形的內角和定理的證明

《三角形的內角和定理的證明》的教學案例與反思

新的數學課程標準指出：數學教學要以學生發展為本，讓學生生動活潑、積極主動地參與數學學習活動，使學生在獲得所必須的基本數學知識和基本技能的同時，在情感、態度、價值觀和能力等方面都得到發展。那么數學教學如何讓學生在自主探索中不斷地、主動地發展呢？近日，我組織了數學《三角形的內角和定理的證明》一課的教學，就其中的證明方法的探索的課堂片段，談談個人的一些做法和想法。

案例：

首先，教師讓學生畫三角形，并提出問題：問題（1）、你知道三角形的內角和是多少？ 問題（2）、你是怎樣得到這個結論的？ 問題（1）的回答較簡單，對于問題（2），讓學生思考、交流，在交流的基礎回答。（測量、折紙）教師加以說明，這種方法得到是不一定正確的，我們應加以證明。問題（3）、你能證明嗎？試試看。《數學課程標準》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴與記憶，動手實踐自主探索和合作交流是學生學習數學的重要方式”。要使學生逐步探究發現三角形三個內角的度數和等于180°，最有效方法是讓學生真正投入到探究活動的全過程中，本節課我讓學生尋求拼折以外的其它方法來求出三角形的內角和。通過小組討論，學生從已有的知識出發，通過作平行線，利用同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補，很快推理出三角形的內角和是180度。溫故而知新，讓學生在自主探究，合作交流中經歷，猜想、驗證、結論這一個過程，體驗探究學習的樂趣。學生分組，探討證明方法，教師巡回指導。之后總結學生探討出來的各種證明方法，由學生相互評價，教師在對學生的各證明方法給出鼓勵性的評價。

反思

以上案例是教學“三角形的內角和定理的證明”所采用的方法。課堂中，教師營造了寬松的學習氛圍，讓學生參與到學習過程中去，自主探索，大膽發表自己的觀點，讓學生在自主探索中獲得了不斷地發展。主要表現在：

一、注重了學生的自主探索

自主探索是學生學習數學的重要方式之一。教師是學生學習的組織者、引導者、合作者，而非知識的灌輸者，因而對一個問題的解決不是要教師將現成的方法傳授給學生，而是教給學生解決問題的策略，給學生一把在知識的海洋中行舟的槳，讓學生在積極思考，大膽嘗試，主動探索中，獲取成功并體驗成功的喜悅。在課堂中，教師放手讓學生自主探索證明三角形內角和定理的方法，讓學生在動手試一試、動口說一說、相互評一評的過程中掌握了證明的各種方法。

二、注重了學生的合作交流

數學課程標準指出：教師要讓學生在具體的操作活動中進行獨立的思考，鼓勵學生發表自己的意見，并與同伴交流。可見，合作交流在數學教學中也相當重要。在課堂中，教師注重了學生的合作交流。

三、注重了評價

在數學課堂教學中，評價的形式有很多，但較多的是由教師對學生的學習作出的評價，教師扮演著“裁判員”的角色。而在這節課中，除了教師對學生的評價外，更重視了學生之間的相互評價：“你覺得他證得怎么樣？”讓學生在相互評價中既培養了能力，又尋找到了問題解決的方法，最終達到自我矯正的目標。

通過這節課給我帶來了更深的啟示：在素質教育不斷發展的今天，作為教師，我們應該不斷更新自己的教學觀念，樹立先進的教學理念，并把先進的教學理念化為教學行為，只有這樣，我們才能改變長期形成的、習慣了的舊的教學方式，才會樹立“以學生發展為本”的理念，讓學生充分從事數學探究活動，發揮學生學習的自主性、主動性、選擇性和創造性，讓學生在自主探索中不斷地發展！