第一篇：三角形內角平分線定理

三角形內角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊之比。已知：如圖8-4甲所示，AD是△ABC的內角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC;

思路1：過C作角平分線AD的平行線，用平行線分線段成比例定理證明。

證明1：過C作CE∥DA與BA的延長線交于E。

則： BA/AE=BD/DC;

∵∠BAD=∠AEC；（兩線平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（兩線平行，內錯角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）

∴∠AEC=∠ACE；（等量代換）

∴AE=AC；

∴BA/AC=BD/DC。

結論1：該證法具有普遍的意義。

思路2：利用面積法來證明。

已知：如圖8-4乙所示，AD是△ABC的內角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC

證明2：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵∠BAD=∠CAD；（已知）

∴DE=DF；

∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高時，三角形面積之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高時，三角形面積之比等于底之比）

∴BA/AC=BD/DC

結論2：遇到角平分線，首先要想到往角的兩邊作平行線，構造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的兩邊作垂線，構造翻轉的直角三角形全等，第三，要想到長截短補法，第四，你能想到用該定理解決問題嗎？

第二篇：三角形內角和定理教案

9.2三角形內角和 教學案例

學校：野雞坨鎮丁莊子初級中學

學科：數 學

姓名：田 明 時間：2018年5月

9.2 三角形內角和定理 教學案例

一、地位和作用

《三角形內角和》是冀教版義務教育課程標準實驗教科書七年級下冊第九章第二節第一課時的內容。在這之前，學生已經學習過平行線的性質，平角的定義，為這節課中三角形內角和的推理起了鋪墊的作用，這節課也為后邊學習多邊形的內角和起了一定的奠基作用。三角形內角和在整個初中的教學過程中有重要的作用。

二、教學目標

知識與技能：掌握三角形內角和定理，并初步學會利用輔助線證題，同時培養學生觀察、猜想和驗證能力。

過程與方法：

1、在評價學生的“說理”過程和水平時不應要求形式化的推理格式，應鼓勵學生運用自己的方式說明理由，只要清楚、正確即可。

2、經歷實驗活動過程，得出三角形內角和定理。

情感態度與價值觀：通過對幾何問題的演繹推理，體會證明的必要性，培養學生的邏輯推理能力。

教學重點：三角形內角和定理的證明及應用。教學難點：三角內角和的證明方法。

三、教學過程：

（一）引入新課

問題一：三角形一共有幾個內角

問題二：老師手有兩個三角形，一個是銳角三角形，一個鈍角三角形，那么是不是鈍角三角形的內角和大于銳角三角形的內角和呢？ 問題三：三角形的三個內角有什么關系？

設計意圖：，從學生已經掌握的知識出發，明確本節課要研究的內容。

（二）自主探究，驗證新知

1、探索

（1）小學我們是如何驗證這個結論的？

（2）實物展示臺展示，三角形發生變化，但是內角和總是180?。

設計意圖：讓學生動手操作，一方面鍛煉動手操作能力，另一方面為下一環節的推理作好準備。

2、引導

（1）前面我們已經學過命題的結構，知道命題由條件和結論組成，并且知道要說明一個命題的正確性需要說理，那么怎么說明三角形的內角和是180?呢？（2）

已知：如圖，ΔABC.A+∠B+∠C=180?

求證：∠

（引導學生思考：那些地方存在著180?的角？①平角或鄰補角；②平行線間的同旁內角）

（說明理由的過程完全可以由學生自己書寫。）

（3）合作交流

是否還有其他的說明理由的方法？

（平角）

（平行線間的同旁內角）

（過邊上一點非頂點作）

（從三角形內部一點作）

（三條平行線也可）

設計意圖：用多種方法說明三角形的內角和定理。用多種方法說明這一命題的正確性，一方面讓學生初步認識說明一個命題正確性可能有多種方法，另一方面讓學生確信該命題的正確性。

（4）經過說理，“三角形內角和為180?”作為定理得到了充分的證明。幾何語言：

（三）例題講解

例一：如圖：

在ΔABC中，∠A=30?，∠B=65?,求∠C的度數。（讓學生嘗試解決，教師再規范書寫格式）

（四）課堂練習

B=62°24′，∠C=28°52′，求∠A的度數。

1、在ΔABC中，∠

C=36°，∠A與∠B的比是1:2，求∠A，∠B的度數。

2、在ΔABC中，∠ C=42°，∠A=∠B，求∠B的度數。

3、在ΔABC中，∠

（五）課堂小結

1.學習了三角形內角和及其證明方法 2.轉化的思想 3.運動的觀點

（六）布置作業

教材第105頁A組1/2/3.四、板書設計：

9.2三角形的內角和外角

1、三角形內角和定理：三角形的內角和是180?。

2、說明理由： 延長BC到點D，作CE∥BA ?CE∥BA ∴∠1=∠4(兩直線平行，內錯角相等）

∠2=∠（兩直線平行，同位角5相等）?∠ 3+∠4+∠5=180°(平角的定義）∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代換）

3、幾何語言：? 在ΔABC中

∠A+∠B+∠C=180°

∴

第三篇：《三角形內角和定理》教學設計

人教版七年級下冊7.2.1《三角形的內角》教學設計說明

淄博市高青縣實驗中學

邢春林

人教版七年級下冊7.2.1《三角形的內角》教學設計說明

淄博市高青縣實驗中學

邢春林

一、教材分析

（一）教材的地位和作用 《三角形的內角》內容選自人教實驗版九年義務教育七年級下冊第七章第二節第一課時。“三角形的內角和等于180°”是三角形的一個重要性質，它揭示了組成三角形的三個角的數量關系，學好它有助于學生理解三角形內角之間的關系，也是進一步學習《多邊形內角和》及其它幾何知識的基礎。此外，“三角形的內角和等于180°”在前兩個學段已經知道了，但這個結論在當時是通過實驗得出的，本節要用平行線的性質來說明它，說理中引入了輔助線，這些都為后繼學習奠定了基礎，三角形的內角和定理也是幾何問題代數化的體現。

（二）教學目標

基于對教材以上的認識及課程標準的要求，我擬定本節課的教學目標為： 1．知識技能：發現“三角形內角和等于180°”，并能進行簡單應用；體會方程的思想；尋求解決問題的方法，獲得解決問題的經驗。

2．數學思考：通過拼圖實踐、合作探索、交流，培養學生的邏輯推理、大膽猜想、動手實踐等能力。

3．解決問題：會用三角形內角和解決一些實際問題。

4．情感、態度、價值觀：在良好的師生關系下，建立輕松的學習氛圍，使學生樂于學數學，在數學活動中獲得成功的體驗，增強自信心，在合作學習中增強集體責任感。通過添置輔助線教學，滲透美的思想和方法教育。

（三）重難點的確立：

1．重點：“三角形的內角和等于180°”結論的探究與應用。

2．難點：三角形的內角和定理的證明方法（添加輔助線）的討論

二、學情分析

處于這個年齡階段的學生有能力自己動手，他們樂于嘗試、探索、思考、交流與合作，具有分析、歸納、總結的能力，他們渴望體驗成功感和自豪感。因而老師有必要給學生充分的自由和空間，同時注意問題的開放性與可擴展性。

基于以上的情況，我確立了本節課的教法和學法：

三、教法、學法

（一）教法

基于本節課內容的特點和七年級學生的心理特征，我采用了“問題情境－建立模型－解釋、應用與拓展”的模式展開教學。本節課采用多媒體輔助教學，旨在呈現更直觀的形象，提高學生的積極性和主動性，并提高課堂效率。

（二）學法

通過學生分組拼圖得出結論，小組分析尋求說理思路，從不同角度去分析、解決新問題，通過基礎練習、提高練習和拓展練習發掘不同層次學生的不同能力，從而達到發展學生思維能力和自學能力的目的，發掘學生的創新精神。

四、教學過程

我是以6個活動的形式展開教學的，活動1是為了創設情境引入課題，激發學生的學習興趣，活動2是探討三角形內角和定理的證明，證明的思路與方法是本節的難點，活動3到5是新知識的應用，活動6是整節課的小結提高。

具體過程如下：活動1：首先用多媒體展示情境提出問題1，設計意圖是：創設情境，引起學生注意，調動學生學習的積極性，激發學生的學習興趣，導入新課。在此基礎上由學生分組，用事先準備好的三角形拼圖發現三角形的內角和等于180°。設計意圖是：從豐富的拼圖活動中發展學生思維的靈活性，創造性，從活動中獲得成功的體驗，增強自信心，通過小組合作培養學生合作、交流能力。在合作學習中增強集體責任感。再用多媒體演示兩個動畫拼圖的過程。設計意圖：讓學生更加形象直觀的理解拼圖實際上只有兩種，一種是折疊，一種是角的拼合，這為下一環節說理中添加輔助線打好基礎，從而達到突破難點的目的。

前面通過動手大家都知道了三角形的內角和等于180°這個結論，那么你們是否能利用我們前面所學的有關知識來說明一下道理呢？請看問題2，請各小組互相討論一下，討論完后請派一個代表上來說明你們小組的思路[學生的說理方法可能有四種（板書添輔助線的四種可能并用多媒體演示證明方法）]設計的目的：通過添置輔助線教學，滲透美的思想和方法教育，突破本節的難點，了解輔助線也為后繼學習打下基礎。在說理過程中，更加深刻地理解多種拼圖方法。同時讓學生上板分析說理過程是為了培養學生的語言表達能力，邏輯思維能力，多種思路的分析是為了培養學生的發散性思維。

通過活動3中問題的解決加深學生對三角形內角和的理解，初步應用新知識，解決一些簡單的問題，培養學生運用方程思想解幾何問題的能力。

活動4向學生展示分析問題的基本方法，培養學生思維的廣闊性、數學語言的表達能力。把問題中的條件進一步簡化為學生用輔助線解決問題作好鋪墊。同時培養學生建模能力。

活動5通過兩上實際問題的解決加深學生對所學知識的理解、應用。培養學生建模的思想及能力。

活動6的設計目的發揮學生主體意識，培養學生語言概括能力?！窘虒W設計說明】

1、《數學課程標準》指出：“本學段（7～9年級）的數學應結合具體的數學內容，采用?問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展?的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程…… ”因此，在本節課的教學中，我不斷的創造自主探究與合作交流的學習環境，讓學生有充分的時間和空間去動手操作，去觀察分析，去得出結論，并體驗成功，共享成功．

2、體現自主學習、合作交流的新課程理念．無論是例題還是習題的教學均采用“嘗試—交流—討論”的方式，充分發揮學生的主體性，教師起引導、點撥的作用．

3、結合評價表，對學生的課堂表現進行激勵性的評價，一方面有利于調動學生的積極性，另一方面有利于學生進行自我反思。

第四篇：三角形內角和定理教學反思

三角形內角和定理（1）教學反思

“三角形的內角和定理”我們在初一的時候就已經學會運用了，但是這個定理到底如何證明呢?這時，本節的目標就已經明確下來了。證明的過程中，通過課前準備好的三角形道具，讓學生通過撕撕拼拼的方法，把三角形的三個內角拼成我們所熟悉的平角或者是同旁內角的關系，輔助線就自然而然的運用到其中。本節的重點和難點也就自然而然地被突破。

課后我認為本節中的成功之處有以下幾點：

1、引入簡單精煉，給了全體學生的自信心，能使所以學生的注意力迅速地集中到課堂上來；

2、利用拼圖的方法來找到“三角形內角和定理”的證明方法的過程中，學生充分地配合，學生的思維得到了最大限度的發揮，而且采用此種方法來引出輔助線在幾何中應用，巧妙地分散了本節的重點和難點，事實也證明學生的接受程度很好；

3、教師在多媒體上展示每個三角形都是用三種不同顏色的彩紙拼成的，學生在學習的過程中看起來會更加的清晰、醒目；

4、在本節課的整個流程中，師生之間的配合非常地默契，教師能夠關注每一個學生，學生的思維也在短短的45分鐘內得到了充分地發散和發揮，通堂的氣氛活躍、輕松。

課后我認為本節課中的不足之處：

1、在學生拼圖尋求“三角形內角和定理”證明之前的鋪墊，有些過快，導致個別學生不太明白這些鋪墊對于利用拼圖來證明定理時有什么用途；

2、不完全相信學生的能力，比如在學生討論拼圖方法后，讓學生到黑板上來展示作品的時候，我似乎不敢距離學生太遠，恐怕中間會出現什么差錯。而實踐證明學生完全是通過自己來完成作品的展示的；

3、還是沒有改掉急躁的毛病，一些問題還是急于說出答案，沒有給學生們足夠的思考時間，這是其一。其二，教師講得過多，沒有把課堂還給學生。

第五篇：三角形的內角和定理教案

三角形的內角和定理

舊市學校 李姿慧

教學目標

1.知識與技能 ：

⑴掌握三角形內角和定理的證明。

⑵初步體會添加輔助線證題，培養學生觀察、猜想和論證的能力 2.過程與方法 ：

經歷探索三角形內角和定理的過程，初步體會思維的多樣性，給學生滲透化歸的數學思想。

3.情感態度與價值觀：

通過師生的共同活動，培養學生的邏輯思維能力，進而激發學生的求知欲和學習的 積極主動性。使學生主動探索，敢于實驗，勇于發現，合作交流。

教學重點

三角形內角和定理的證明及其簡單的應用。

教學難點

在三角形內角和定理的證明過程中如何添加輔助線。

教學用具

多媒體、三角板、學生每人準備一個紙片三角板。

教學過程

一、引入新課

分享小故事：《內角三兄弟之爭》

在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結.可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了??”“為什么？” 老二很納悶.同學們，你們知道其中的道理嗎？從而引出本節課的課題《三角形的內角和定理》

二、合作探究

1、［師］現在，我們來看兩個電腦的動畫演示，驗證這個結論是不是正確的。

動畫演示一 ［師］先將△ABC中的∠A通過平移和旋轉到如上圖所示的位置，再將圖中的∠B通過平移到上圖所示的位置。

拖動點A，改變△ABC的形狀，三角形的三個內角和總等于180°

2.動畫演示二

［師］先將三角形紙片(圖(1))一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行(圖(2))，然后把另外兩角相向對折，使其頂點與已折角的頂點相重合(圖(3)(4)。)［師］由電腦的動畫演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角總是一個平角，由此得到三角形的三個內角之和等于180°。[讓學生直觀感受,調動其研究興趣]

我們通過觀察與實驗的方法猜想得到的結論不一定正確可靠，要判定一個數學結論正確與否，需要進行有根有據的推理、證明。這就是我們這節課所要研究的內容。

3、定理證明

［師］接下來我們來證明這個命題：三角形的三個內角之和等于180°。這是一個文字命題，證明時需要先做什么呢?

［生］需要先畫出圖形、根據命題的條件和結論，結合圖形寫出已知、求證。[有本章前面幾節作為基礎，學生有能力畫圖，寫已知，求證。] ［師］很好!怎樣證明呢?[ 聯想前面撕角拼角的方法，學生能想到。讓學生體會轉化的數學思想方法，把新知識化為舊知識。] ［生］添加輔助線，延長BC到點D，過點C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，進而將三個內角拼成平角。[通過以上分析、研究，讓學生講解依據：根據平行線的性質，利用同位角,內錯角把三角形三內角轉化為一個平角。使學生親身參與數學研究的過程，并在過程中體會數學研究的樂趣。] [實驗法] 已知：△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：延長BC到點D，過點C作CE∥AB

∵CE∥AB

∴∠A=∠ACE(兩直線平行，內錯角相等)

∠B=∠ECD(兩直線平行，同位角相等)

∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°

∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代換)

[教師引導，要把三角形三個內角轉化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。]

4、探究討論：

五個學生為一組，探索三角形內角和定理的其它證法分析、證明方法。

［師］現在，各組派一名代表說明證明的思路。[學生自己得出的猜想和證明會更讓他們樂于接受，而方法也在此過程中滲透給了學生。]

證法1.［生1］過點A作直線PQ∥BC，使三個角湊到“A”處。[通過分析、研究，讓不同做法的學生講解依據。]根據平行線的性質，利用內錯角，把三角形三內角轉化為一個平角。

證明：過點A作直線PQ∥BC

∵PQ∥BC

∴∠B=∠PAB(兩直線平行，內錯角相等)

∠C=∠QAC(兩直線平行，內錯角相等)

∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°

∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)證法2：［生5］過點A作AD∥BC，有∠C=∠2，將三個內角拼成一對同旁內角。

證明：過點A作射線AQ∥BC

∴∠C=∠QAC(兩直線平行，內錯角相等)

∠QAC+∠BAC+∠B=180°(兩直線平行，同旁內角互補)

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)3 ［師］同學們討論得真棒。我們由180°聯想到一平角等于180°，一對鄰補角之和等于180°，兩直線平行，同旁內角互補。由此，大家提供了這么多的的證明方法，說明你們能學以致用。接下來，我們做練習以鞏固三角形內角和定理。[根據以上幾種輔助線的作法，選擇一種,師生合作，寫出示范性證明過程。其余由學生自主完成證明過程。目的是培養學生的思維能力和推理能力。進一步搞清作輔助線的思路和合乎邏輯的分析方法，充分讓學生表述自己的觀點，這個過程對培養學生的能力極為重要，依據不充分時，學生可爭論，師生共同小結。]

三、例題講解

【例】在△ABC中，∠A=55°，∠B=25°，求∠C的度數。

變式一：∠A=40°，∠B比∠C大30°，求∠B、∠C的度數。

變式二：∠A的度數是∠B的度數的3倍，∠C比∠B大15°, 求∠A、∠B、∠C的度數。

[學生自主探索，教師巡視、診斷，讓學生上臺板演，學生辨析，教師小結。] [使學生靈活應用三角形內角和定理。用代數方法解決幾何問題（方程思想）是重要的方法。]

四、隨堂練習

1.（蘇州·中考）△ABC的內角和為（）

A．180° B．360° C．540° D．720°

2.在直角三角形ABC中,一個銳角為40°,則另一個銳角是_______°.3.（濟寧·中考）若一個三角形三個內角度數的比為2︰3︰4，那么這個三角形是（）

A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形

五、師生共同小結

本節課你們收獲了什么？

六、課外作業

1.教材課后練習1、2、2.學法大視野第三課時 教學反思

三角形的有關知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且幾乎是研究所有其它圖形的工具和基礎.而三角形內角和定理又是三角形中最為基礎的知識，也是學生最為熟悉且能與小學、中學知識相關聯的知識，看似簡單，但如果處理不好，會導致學生有厭煩心理。

本節課的教學實現以下特點：

（1）通過折紙與剪紙等操作讓學生獲得直接經驗，然后從學生的直接經驗出發，逐步轉到符號化處理，最后達到推理論證的要求。（2）充分展示學生的個性，體現“學生是學習的主人”這一主題。

本節課的教學設計經過實際的教學檢驗，教學設計的不足之處：由于可能學生課前預習不夠充分，所以導致課堂上氛圍不夠，學生提供的三角形內角和定理的證明方法很多超出教師的考慮范圍，學生還有一些證明方法，由于時間所限，無法在課內――展示。其次在小組合作交流時有個別后進生沒有參與進去，沒有真正達到小組合作學習的效果。