第一篇：原創(chuàng)正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過(guò)A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過(guò)C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況

:

⑴若A為銳角時(shí): ?a?bsinA無(wú)解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無(wú)解a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

?a?b無(wú)解⑵若A為直角或鈍角時(shí):? ?a?b一解(銳角)

第二篇：正弦定理證明

新課標(biāo)必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議

江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)楊志文

新課程必修數(shù)學(xué)5的內(nèi)容主要包括解三角形、數(shù)列、不等式。這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性。在歷次教材改革中都作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，一直被保留下來(lái)。在這次新課程改革中，新普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）與原全日制普通高級(jí)中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《大綱》）相比，“解三角形”這塊內(nèi)容在安排順序上進(jìn)行了新的整合。本文就《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)要求、課程關(guān)注點(diǎn)、內(nèi)容處理上等方面的變化進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析，并對(duì)教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題談?wù)勛约旱囊恍┰O(shè)想和教學(xué)建議，供大家參考。

一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內(nèi)容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個(gè)單元。而在新課程《標(biāo)準(zhǔn)》中重新進(jìn)行了整合，將其安排在必修模塊數(shù)學(xué)5中，獨(dú)立成為一章，與必修模塊數(shù)學(xué)4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學(xué)要求的變化

原大綱對(duì)“解斜三角形”的教學(xué)要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問(wèn)題。

（2）通過(guò)解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（3）實(shí)習(xí)作業(yè)以測(cè)量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和實(shí)際操作的能力。《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“解三角形”的教學(xué)要求是：

（1）通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。由此可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》在計(jì)算方面降低了要求，取消了“利用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問(wèn)題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關(guān)注點(diǎn)的變化

原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點(diǎn)放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》則關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。側(cè)重點(diǎn)放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內(nèi)容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識(shí)的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。解三角形處理的是三角形中長(zhǎng)度、角度、面積的度量問(wèn)題，長(zhǎng)度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫(huà)方向的，長(zhǎng)度、方向是向量的特征，有了長(zhǎng)度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題及教學(xué)建議

原《大綱》中解斜三角形的內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點(diǎn)放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)展開(kāi)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。這就要求在教學(xué)過(guò)程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的探究過(guò)程、再創(chuàng)造過(guò)程。因此在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

1．要重視探究和推理

《標(biāo)準(zhǔn)》要求“通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學(xué)中，既要重視從特殊到一般的探索學(xué)習(xí)過(guò)程的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)。教學(xué)中不要直接給出定理進(jìn)行證明，可通過(guò)學(xué)生對(duì)三角形邊與角的正弦的測(cè)量與計(jì)算，研究邊與其對(duì)角的正弦之間的比，揭示它們?cè)跀?shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再?gòu)睦碚撋线M(jìn)行論證，從而掌握正弦定理。從中體會(huì)發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學(xué)建議：建議按如下步驟設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程：

(1)從特殊三角形入手進(jìn)行發(fā)現(xiàn)

讓學(xué)生觀察并測(cè)量一個(gè)三角板的邊長(zhǎng)。

提出問(wèn)題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)與其對(duì)角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對(duì)于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問(wèn)題：上述規(guī)律，對(duì)任意三角形成立嗎？(2)實(shí)驗(yàn)，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測(cè)量三邊長(zhǎng)及其三個(gè)對(duì)角，然后用計(jì)算器計(jì)算每一邊與其對(duì)角正弦值的比，填入下面表中，驗(yàn)證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測(cè)量誤差，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)任意三角形，有結(jié)論：

abc，即在一個(gè)三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等。

提出問(wèn)題：上述的探索過(guò)程所得出的結(jié)論，只是我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開(kāi)|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過(guò)點(diǎn)C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>900（如圖2），過(guò)點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問(wèn)題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請(qǐng)同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對(duì)的圓周角相等等知識(shí)，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。建議在正弦定理、余弦定理的教學(xué)中，設(shè)計(jì)一些關(guān)于正弦定理、余弦定理的綜合性問(wèn)題，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。如可設(shè)計(jì)下面的問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長(zhǎng).教學(xué)建議：

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而B(niǎo)D需在△ABD中求解.再引導(dǎo)學(xué)生將

A B

四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實(shí)際應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。因此建議在教學(xué)中，設(shè)計(jì)一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，為學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活及與其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在題目的設(shè)計(jì)中要注意對(duì)恒等變形降低要求，避免技巧性強(qiáng)的變形和繁瑣的運(yùn)算。

參考案例：解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問(wèn)甲船沿什么方向，用多少時(shí)間才能與

乙船相遇？

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過(guò)t小時(shí)在B處相遇，構(gòu)建?ACB，容易計(jì)算出AB?20海里,BC?20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問(wèn)題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經(jīng)過(guò)0.5小時(shí)與乙船相遇.參考案例2．為了測(cè)量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點(diǎn)，使AB?BC?60m，在A，B，C三點(diǎn)

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點(diǎn)，測(cè)得仰角分別為45，54.2，60，若測(cè)量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫(huà)出示意圖如圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

解三角形問(wèn)題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長(zhǎng)。將問(wèn)題中的已

知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應(yīng)用余弦定理，使問(wèn)題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學(xué)習(xí)

解三角形的內(nèi)容有較強(qiáng)的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上探索開(kāi)放，在教學(xué)形式上靈活多樣。可設(shè)計(jì)一些研究性、開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生自行探索解決。參考案例：研究性學(xué)習(xí)

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)裁法，使裁得矩形的面積最大?并說(shuō)明理由．

教學(xué)建議：這是一個(gè)研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫(xiě)成研究報(bào)告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

參考答案：這是一個(gè)如何下料的問(wèn)題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點(diǎn)來(lái)看，涉及到線段的長(zhǎng)度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過(guò)解三角形求出矩形的邊長(zhǎng)，再計(jì)算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問(wèn)題的結(jié)論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點(diǎn)M在圓弧上，設(shè)?MOA??，則：

時(shí)，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當(dāng)??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當(dāng)??30?時(shí)，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫(xiě)出研究或?qū)嶒?yàn)報(bào)告，在學(xué)校開(kāi)設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進(jìn)行交流，評(píng)價(jià)。

參考文獻(xiàn)：

①全日制普通高中級(jí)學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀》。嚴(yán)士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第三篇：正弦定理證明

正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類(lèi)推。過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因?yàn)閏osC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 題目中^2表示平方。2 談?wù)?、余弦定理的多種證法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有 AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓 的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因?yàn)閖?AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第四篇：正弦定理證明

正弦定理證明

1.三角形的正弦定理證明：

步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。

2.三角形的余弦定理證明：

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^

2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類(lèi)推。

過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因?yàn)閏osC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2談?wù)?、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA

=b?c?sin∠CAB

=c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。

證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因?yàn)閖?AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

過(guò)A作，在Rt中，法二：，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、有

即.同理可證

.三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如圖5，,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知，即

將(1)式改寫(xiě)為

化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

第五篇：正弦定理證明

正弦定理

1.在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍，即

abc???2R sinAsinBsinC

證明：如圖所示，過(guò)B點(diǎn)作圓的直徑BD交圓于D點(diǎn)，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，?DAB?90 在Rt?ABD中 ?A ?sinC?sinD??c 2RD

b c c?2R sinCab同理：?2R,?2R

sinAsinBabc所以???2R

sinAsinBsinC2.變式結(jié)論

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC 2）sinA?C

a

B abc ,sinB?,sinC?2R2R2R3）asinB?bsinA,asinC?csinA,csinB?bsinC 4）a:b:c?sinA:sinB:sinC

例題

在?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若(3b?c)cosA?acosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC得

(3sinB?sinC)cosA?sinAcosC

?3sinBcosA?sin(A?C)?sin(A?C)?sinB?3sinBcosA?sinB?B?(0,?)?0?sinB?1?cosA?33