第一篇：正弦定理,余弦的多種證明

正弦(余弦)定理的另類證明

課本利用向量法證明正弦定理，本文來介紹的另外兩種證法.正弦定理:在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即a=bsinAsinB=csinC.證法1：（等積法）在任意斜三角形ABC中,S△111absinC?acsinB?bcsinA，222兩邊同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinBsinCABC=

.C點評：證法1主要利用了任意斜三角形面積可分別轉化為三角形不同邊與其對應高的乘積的12.此證法體現了轉化與化歸的思想方法.abAOBDc證法2：（外接圓法）如圖1所示，設O為△ABC的外接圓的圓心，連接CO并延長交圓O于D，連接BD，則A=D，BCaa所以sinA?sinD?CD,即??2R.同理 2RsinAbsinB=2R，csinC＝2R.故 a=b=csinAsinBsinC=2R(R為三角形外接圓半徑).點評：證法2建立了三角形中的邊與對角、外接圓半徑三者之間的聯系，這三者知二可求一，為正弦定理增添了新內容，體現了數形結合的思想.小結：由以上證明過程，我們可以得到正弦定理的幾種變形形式： 1.a: b: c = sinA : sinB :sinC;2.a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;3.sinA=2aR;sinB= 2bR;sinC=2cR.（其中R為△ABC外接圓的半徑）

在解決三角形問題時，一定要根據問題的具體情況，恰當地選用公式.公式選擇得當、方法運用對路是簡化問題的必要手段．

余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活．

對于任意三角形 三邊為a,b,c 三角為A,B,C 滿足性質

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

證明： 如圖：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2（證明中前面所寫的a,b,c皆為向量，^2為平方）拆開即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆開，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可證其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是將CosA移到右邊表示一下。------------------平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 從余弦定理和余弦函數的性質可以看出, 如果一個三角形兩邊的平方和等于第三 邊的平方,那么第三邊所對的角一定是直 角,如果小于第三邊的平方,那么第三邊所 對的角是鈍角,如果大于第三邊,那么第三邊

所對的角是銳角.即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍。

第二篇：正弦定理證明

新課標必修數學5“解三角形”內容分析及教學建議

江蘇省錫山高級中學楊志文

新課程必修數學5的內容主要包括解三角形、數列、不等式。這些內容都是高中數學中的傳統內容。其中“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性。在歷次教材改革中都作為中學數學中的重點內容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數學課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學《數學教學大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數學5第一部分“解三角形”的課程內容、教學目標要求、課程關注點、內容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學中應注意的幾個問題談談自己的一些設想和教學建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數學5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數學5中，獨立成為一章，與必修模塊數學4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應用的教學，提高運用所學知識解決實際問題的能力。

（3）實習作業以測量為內容，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標準》對“解三角形”的教學要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》則關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。側重點放在學生探究和推理能力的培養上。

4、內容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應用，突出其工具性和應用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學生理解數學中的量化思想、進一步學習數學奠定基礎。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學中應注意的幾個問題及教學建議

原《大綱》中解斜三角形的內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學過程中，突出幾何的作用和數學量化思想，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創造過程。因此在教學中應注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學中，既要重視從特殊到一般的探索學習過程的教學，又要重視數學的理性思維的培養。教學中不要直接給出定理進行證明，可通過學生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數量上的規律，發現正弦定理的結論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發現和探索數學知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發現與證明

教學建議：建議按如下步驟設計教學過程：

(1)從特殊三角形入手進行發現

讓學生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發現三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎？

例如，量得三角板三內角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發現規律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結論，只是我們通過實驗(近似結果)發現的一個結果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學中，設計一些關于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學生綜合應用知識解決問題的能力。如可設計下面的問題進行教學：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學建議：

引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導學生將

A B

四邊形問題轉化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。因此建議在教學中，設計一些實際應用問題，為學生體驗數學在解決問題中的作用，感受數學與日常生活及與其他學科的聯系，培養學生的數學應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應用

參考案例1．航海中甲船在A處發現乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖，將實際問題轉化為解三角形問題。若設甲船與乙船經過t小時在B處相遇，構建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結果保留1位小數).F 教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關三角形中，構造出解三角形的數學模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學習

解三角形的內容有較強的應用性和研究性，可為學生提供豐富的研究性素材。建議在教學內容的設計上探索開放，在教學形式上靈活多樣。可設計一些研究性、開放性的問題，讓學生自行探索解決。參考案例：研究性學習

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學生在課外自行尋找研究性、應用性的題目去做，寫出研究或實驗報告，在學校開設的研究性學習課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學《數學教學大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數學課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第三篇：原創正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況

:

⑴若A為銳角時: ?a?bsinA無解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

?a?b無解⑵若A為直角或鈍角時:? ?a?b一解(銳角)

第四篇：正弦定理證明

正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1.在銳角△ABC中，設三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因為cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 題目中^2表示平方。2 談正、余弦定理的多種證法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有 AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓 的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。因為AB=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因為j?AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第五篇：正弦定理證明

正弦定理證明

1.三角形的正弦定理證明：

步驟1.在銳角△ABC中，設三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

2.三角形的余弦定理證明：

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^

2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因為cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2談正、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA

=b?c?sin∠CAB

=c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。

證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。

因為AB=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因為j?AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

過A作，在Rt中，法二：，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結合⑴、有

即.同理可證

.三、正余弦定理的統一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根據向量的運算：

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如圖5，,設軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數量積，可知，即

將(1)式改寫為

化簡得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)