第一篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：通過對(duì)銳角三角形中邊與角的關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

2、過程與方法：讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學(xué)生體會(huì)完全歸納法在定理證明中的應(yīng)用；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問題的運(yùn)算能力和探索數(shù)學(xué)規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：通過對(duì)銳角三角形邊與角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

難點(diǎn)：①正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。

三、教法與學(xué)法分析

本節(jié)課是教材第一章《解三角形》的第一節(jié)，所需主要基礎(chǔ)知識(shí)有直角三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)。在教法上，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為更有效的突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)中采用探究式課堂教學(xué)模式，首先從學(xué)生熟悉的銳角三角形情形入手，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，將新知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)建立起密切的聯(lián)系，通過學(xué)生自己的親身體驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用新知識(shí)解決新問題，即在教學(xué)過程中，讓學(xué)生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導(dǎo)等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學(xué)過程中鼓勵(lì)學(xué)生合作交流、動(dòng)手實(shí)踐，通過對(duì)定理的推導(dǎo)、解讀、應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、總結(jié)、歸納解答過程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學(xué)法上，采用個(gè)人探究、教師講解，學(xué)生討論相結(jié)合的方法，讓學(xué)生在問題情境中學(xué)習(xí)，自覺運(yùn)用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重視學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求真的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、學(xué)情分析

對(duì)于高一的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時(shí)，由于學(xué)生目前還沒有學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量，因此，對(duì)于正弦定理的證明方法——向量法，本節(jié)課沒有涉及到。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。

五、教學(xué)工具

多媒體課件

六、教學(xué)過程 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個(gè)好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：

工人師傅的一個(gè)三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長(zhǎng)為1m，但他不知道AC和BC的長(zhǎng)

是多少而無(wú)法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長(zhǎng)度嗎？ 教師：請(qǐng)大家思考，看看能否用過去所學(xué)過的知識(shí)解決

這個(gè)問題？（約2分鐘思考后學(xué)生代表發(fā)言）學(xué)生活動(dòng)一:

（教師提示）把這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長(zhǎng)”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個(gè)過程，我們把它習(xí)慣上叫解三角形，要求邊的長(zhǎng)度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進(jìn)行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學(xué)生：如圖，過點(diǎn)A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識(shí)可分別求出CD和BD的長(zhǎng)度，把所求出的CD和BD的長(zhǎng)度相加即可求出BC的長(zhǎng)度。教師：這位同學(xué)的想法和思路非常好，簡(jiǎn)直是一位天才

（同時(shí)再一次回顧該同學(xué)具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對(duì)BC進(jìn)行求解呢？ 學(xué)生：可以

教師：那么具體應(yīng)該怎么做呢？

學(xué)生：過點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來，只需要將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長(zhǎng)度 教師：總結(jié)學(xué)生的做法

通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長(zhǎng)度用已知的邊和角表示出來

接下來，只需要將題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。定理的發(fā)現(xiàn)：

oo教師：如果把本題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學(xué)生1：同樣的做法（仍得作高）

學(xué)生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長(zhǎng)度 教師：還需要再次作高嗎？ 學(xué)生：不用

教師：對(duì)于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長(zhǎng)”的問

題是否都可以用上述兩個(gè)等式進(jìn)行解決呢？ 學(xué)生：可以

教師：既然這兩個(gè)等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個(gè)

等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應(yīng)用這兩個(gè)等式 并進(jìn)行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個(gè)等式的形式是否容易記憶呢？ 學(xué)生：不容易

教師：能否美化這個(gè)形式呢？

學(xué)生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個(gè)結(jié)論，到底表達(dá)的是什么意思呢？ 學(xué)生：在銳角三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個(gè)等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就

讓我們分別來驗(yàn)證一下，看看這個(gè)等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個(gè)等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗(yàn)證呢？請(qǐng)大家思考。

學(xué)生活動(dòng)二：驗(yàn)證

教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導(dǎo)公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉(zhuǎn)化為）

學(xué)生：學(xué)生可分小組進(jìn)行完成，最終可由各小組組長(zhǎng)

匯報(bào)本小組的思路和做法。（結(jié)論成立）

教師：我們?cè)阡J角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)等式成立，接下來，用類比的方法對(duì)

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)等式對(duì)于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時(shí)能否說：“這

個(gè)等式對(duì)于任意的三角形都成立”呢？ 學(xué)生：可以

教師：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過程

證明：（1）當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)；

在直角三角形ABC中：若 因?yàn)椋?/p>

所以：

故：

即：

（3）當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)（角C為鈍角）

過點(diǎn)A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對(duì)于任意的三角形都有

教師：這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的正弦定理（給出定理的內(nèi)容）

（解釋定理的結(jié)構(gòu)特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學(xué)生：在一個(gè)等式中可以做到“知三求一” 定理的應(yīng)用

教師：接下來，讓我們來看看定理的應(yīng)用（回到剛開始的那個(gè)實(shí)際問題，用正弦

定理解決）（板書步驟）

成立。

隨堂訓(xùn)練

學(xué)生：獨(dú)立完成后匯報(bào)結(jié)果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應(yīng)用，其實(shí)正弦定理的應(yīng)用相

當(dāng)廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測(cè)

高塔遠(yuǎn)看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應(yīng)用推向高潮）

課堂小結(jié)：

1、知識(shí)方面：正弦定理：

2、其他方面：

過程與方法：發(fā)現(xiàn)

推廣

猜想

驗(yàn)證

證明

（這是一種常用的科學(xué)研究問題的思路與方法，希望同學(xué)們?cè)诮?/p>

后的學(xué)習(xí)中一定要注意這樣的一個(gè)過程）

數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業(yè)布置： ①書面作業(yè)：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓(xùn)練中的已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？

板書設(shè)計(jì)：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應(yīng)用：

檢測(cè)評(píng)估：

第二篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)目標(biāo):通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標(biāo):讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測(cè)角儀和皮尺，你能測(cè)出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測(cè)出觀看鐵塔的仰角，再測(cè)出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測(cè)出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)實(shí)際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個(gè)側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個(gè)角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個(gè)量可以把三個(gè)式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對(duì)，很美、很對(duì)稱的一個(gè)式子，用文字來描述就是：“在一個(gè)直角三角形中，各邊與

它所對(duì)角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們?cè)趲缀萎嫲逯序?yàn)證一下，對(duì)任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對(duì)角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗(yàn)證我們得到，在任意的三角形中都有各個(gè)邊和他所對(duì)的角的正弦值相等。

在上面這個(gè)對(duì)稱的式子中涉及到了三角形三個(gè)角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗(yàn)證是不夠的，那能不

能對(duì)這個(gè)定理給出一個(gè)證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對(duì)正弦定理進(jìn)行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個(gè)式子同時(shí)處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個(gè)式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運(yùn)算同時(shí)涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個(gè)邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個(gè)向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個(gè)又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過做點(diǎn)A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來得到）

【生】：做A點(diǎn)的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式子的兩邊同時(shí)做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡(jiǎn)000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時(shí)做數(shù)量積運(yùn)算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡(jiǎn)即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對(duì)

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個(gè)式子，它是一個(gè)比例式。對(duì)于一個(gè)比例式來說，如果

我們知道其中的三項(xiàng)，那么就可以根據(jù)比例的運(yùn)算性質(zhì)得到第四項(xiàng)。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對(duì)角求另外一邊的對(duì)角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實(shí)大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實(shí)只要有上面的任意一個(gè)條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】?jī)?yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運(yùn)算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因?yàn)閮蓚€(gè)角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺(tái)板演）

【隨堂檢測(cè)】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對(duì)于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實(shí)對(duì)于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀(jì)金榜P86自測(cè)自評(píng)、例

1、例

2板書設(shè)計(jì)：

六、教學(xué)反思

第三篇：正弦定理教案[定稿]

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理從容說課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)也有著密切的聯(lián)系．教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)于過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．教學(xué)重點(diǎn)1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)1.正弦定理的探索和證明； 2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)．教具準(zhǔn)備直角三角板一個(gè)三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能 1.通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法； 2.會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法 1.讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系； 2.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理； 3.進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作．

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力； 2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．教學(xué)過程導(dǎo)入新課 師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)．師思考：∠C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？生顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角∠C的大小的增大而增大．師能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 師在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系．如右圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.推進(jìn)新課 [合作探究]師那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如右圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作△ABC的外接圓，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等，來證明這一關(guān)系．師很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過的知識(shí)來解決此問題，我們一起來看下面的證法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對(duì)于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點(diǎn)評(píng):上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識(shí),將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)而求證,此證法在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí),易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識(shí)拓展]師接下來,我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識(shí)來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識(shí)中,哪一知識(shí)點(diǎn)體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?生 可以通過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sinθ=Cos(90°-θ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90°-θ,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進(jìn)一步的運(yùn)算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進(jìn)一步體會(huì)向量法證明正弦定理的過程,并

注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識(shí)點(diǎn).點(diǎn)評(píng):(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時(shí)間后,應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點(diǎn)為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運(yùn)用.(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識(shí)的同時(shí),進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B) ∴.(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90°,過點(diǎn)A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.綜上所述,正弦定理對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進(jìn)一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用. [教師精講]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價(jià)于(形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題.①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對(duì)容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們?cè)诮忸}時(shí)要分清題目所給的條件．一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．師接下來,我們通過例題評(píng)析來進(jìn)一步體會(huì)與總結(jié).［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根據(jù)正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引導(dǎo)](1)此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無(wú)需作進(jìn)一步的檢驗(yàn),使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí),感到目的很明確,同時(shí)體會(huì)分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈0.899 9.因?yàn)?°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）當(dāng)B≈64°時(shí)， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）當(dāng)B≈116°時(shí)， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引導(dǎo)]通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形.當(dāng)然對(duì)于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對(duì)于這一點(diǎn),我們通過下面的例題來體會(huì).變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精確到1°)和C(保留兩個(gè)有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.當(dāng)A1≈65°時(shí)，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.當(dāng)A2≈115°時(shí)，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°應(yīng)舍去. ∴當(dāng)B=41°時(shí)，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本題無(wú)解.點(diǎn)評(píng):此練習(xí)目的是使學(xué)生進(jìn)一步熟悉正弦定理,同時(shí)加強(qiáng)解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時(shí)了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形.布置作業(yè)

（一）課本第10頁(yè)習(xí)題1.1 第1、2題.

（二）預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P5～P 8余弦定理 [預(yù)習(xí)提綱](1)復(fù)習(xí)余弦定理證明中所涉及的有關(guān)向量知識(shí).(2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系.(3)利用余弦定理能解決哪些有關(guān)三角形問題.板書設(shè)計(jì)正弦定理 1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題:(1)平面幾何法(1)已知兩角和一邊(2)向量法(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角

第四篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》授課教案

湖南師范大學(xué) 數(shù)計(jì)院 數(shù)學(xué)一班 李雪

教材：人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修五第一章第一節(jié)

學(xué)生：高一年級(jí)學(xué)生

教學(xué)課時(shí)：8分鐘

一、教材分析：

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，也是三角形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，是解三角形重要手段之一，也是解決實(shí)際生活中許多測(cè)量問題的工具。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了三角形的相關(guān)性質(zhì)，它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

理解并掌握正弦定理的證明，能初步運(yùn)用正弦定理解三角形。

2.過程與方法

探索正弦定理的證明過程，由特殊到一般，數(shù)學(xué)歸納的思想證明結(jié)論。灌輸數(shù)學(xué)建模的思想，學(xué)會(huì)在給定情境中建立數(shù)學(xué)模型。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過對(duì)公式證明過程的探究與發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)

1學(xué)的信心，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的整潔對(duì)稱美和與其數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容及其證明。

難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

四、教學(xué)過程 ：

1.探究假設(shè)

在直角三角形中，證明過程： abc??成立，對(duì)其進(jìn)行證明。sinAsinBsinC

得出結(jié)論：abc?? sinAsinBsinC

探究問題：這個(gè)結(jié)論是否能推廣到一般三角形？若成立，給出理由。若不成立，能否舉出反例呢？

2.驗(yàn)證假設(shè)

? 首先在銳角三角形中進(jìn)行討論（板書）

驗(yàn)證過程：

E

過C點(diǎn)作AB邊的垂線CD，sinA?CD

得到：b

sinB?CD

a

CD?bsinA

?asinB b

sinB?a

sinA

同理，過A點(diǎn)作BC邊的垂線AE，sinC?AE

得到：b

sinB?AE

c

AE?bsinC?csinB b

sinB?c

sinC

得出結(jié)論：a

sinA?b

sinB?c

sinC

? 再次在鈍角三角形中進(jìn)行討論

3.得出結(jié)論：

正弦定理（laws of sines）: 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.即：任意三角形中，a

sinA?b

sinB?c

sinC成立

4.例題詳解：

例：AC=, BC=1,B=120o，求角A的度數(shù)。

解：由正弦定理可知

代入數(shù)據(jù)得：

故：

故A=150o或者30o

AC

sin

B?BC

sinA

sinA=

15.課堂小結(jié)：

? 正弦定理abc??及其證明 sinAsinBsinC

? 正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

6.課后思考：

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角時(shí),三角形的解是唯一的嗎？

五、板書設(shè)計(jì)

第五篇：正弦定理教案（精選4篇）

篇1：《正弦定理》教案

《正弦定理》教案

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是高一數(shù)學(xué)第五章《三角比》第三單元中正弦定理的第一課時(shí)，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是坐標(biāo)法等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關(guān)系，它與后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本節(jié)課其主要任務(wù)是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應(yīng)用，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，學(xué)生通過對(duì)定理證明的探究和討論，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)情分析

對(duì)高一的學(xué)生來說，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識(shí)，具有一定觀察分析、解決問題的能力；但另一方面對(duì)新舊知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用往往會(huì)出現(xiàn)思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，注意前后知識(shí)間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題。

三、設(shè)計(jì)思想：

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來理解就是：知識(shí)不僅是通過教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1、在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)和處理幾何圖形的常用方法出發(fā)，探索和證明正弦定理，體驗(yàn)坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)論證的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2、理解三角形面積公式，能運(yùn)用正弦定理解決三角形的兩類基本問題，并初步認(rèn)識(shí)用正弦定理解三角形時(shí)，會(huì)有一解、兩解、無(wú)解三種情況。

3、通過對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)既來源于生活，又服務(wù)與生活。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索與證明。

突破難點(diǎn)的手段：抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給于適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。

六、復(fù)習(xí)引入：

1、在任意三角形行中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?

2、在ABC中，角A、B、C的正弦對(duì)邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?

結(jié)論：

證明：(向量法)過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

七、教學(xué)反思

本節(jié)是“正弦定理”定理的第一節(jié)，在備課中有兩個(gè)問題需要精心設(shè)計(jì)。一個(gè)是問題的引入，一個(gè)是定理的證明。通過兩個(gè)實(shí)際問題引入，讓學(xué)生體會(huì)為什么要學(xué)習(xí)這節(jié)課，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手進(jìn)行設(shè)計(jì)，尋求解決問題的方法。具體的'思路就是從解決課本的實(shí)際問題入手展開，將問題一般化導(dǎo)出三角形中的邊角關(guān)系——正弦定理。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)既能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，也能讓學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，有效提高學(xué)生解決問題的能力。

1、在教學(xué)過程中，我注重引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)生，發(fā)展，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問題是如何解決的，給學(xué)生解決問題的一般思路。從學(xué)生熟悉的直角三角形邊角關(guān)系，把銳角三角形和鈍角三角形的問題也轉(zhuǎn)化為直角三角形的性，從而得到解決，并滲透了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等思想。

2、在教學(xué)中我恰當(dāng)?shù)乩枚嗝襟w技術(shù)，是突破教學(xué)難點(diǎn)的一個(gè)重要手段。利用《幾何畫板》探究比值的值，由動(dòng)到靜，取得了很好的效果，加深了學(xué)生的印象。

3、由于設(shè)計(jì)的內(nèi)容比較的多，教學(xué)時(shí)間的超時(shí)，這說明我自己對(duì)學(xué)生情況的把握不夠準(zhǔn)確到位，致使教學(xué)過程中時(shí)間的分配不夠適當(dāng)，教學(xué)語(yǔ)言不夠精簡(jiǎn)，今后我一定避免此類問題，爭(zhēng)取更大的進(jìn)步。

篇2：高中數(shù)學(xué)正弦定理教案

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，也是三角形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，知識(shí)儲(chǔ)備已足夠。它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，也是解決實(shí)際生活中許多測(cè)量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理的證明，運(yùn)用正弦定理解三角形。

能力目標(biāo)：探索正弦定理的證明過程，用歸納法得出結(jié)論，并能掌握多種證明方法。

情感目標(biāo)：通過推導(dǎo)得出正弦定理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的整潔對(duì)稱美和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

四、教法分析

依據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，本節(jié)知識(shí)遵循以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，采用與學(xué)生共同探索的教學(xué)方法，命題教學(xué)的發(fā)生型模式，以問題實(shí)際為參照對(duì)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，讓學(xué)生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化，并且運(yùn)用例題和習(xí)題來強(qiáng)化內(nèi)容的掌握，突破重難點(diǎn)。即指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法。學(xué)生采用自主式、合作式、探討式的學(xué)習(xí)方法，這樣能使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和探究精神。

五、教學(xué)過程

本節(jié)知識(shí)教學(xué)采用發(fā)生型模式：

1、問題情境

有一個(gè)旅游景點(diǎn)，為了吸引更多的游客，想在風(fēng)景區(qū)兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測(cè)得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B測(cè)得山腳與A山頂之間的夾角是300。求需要建多長(zhǎng)的索道？

可將問題數(shù)學(xué)符號(hào)化，抽象成數(shù)學(xué)圖形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此題可運(yùn)用做輔助線BC邊上的高來間接求解得出。

提問：有沒有根據(jù)已提供的數(shù)據(jù)，直接一步就能解出來的方法？

思考：我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系。那我們能不能得到關(guān)于邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？

2、歸納命題

我們從特殊的三角形直角三角形中來探討邊與角的數(shù)量關(guān)系：

在如圖Rt三角形ABC中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義

篇3：高中數(shù)學(xué)正弦定理教案

一、教材分析

“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，在這次課程改革中，被保留下來，并獨(dú)立成為一章。這部分內(nèi)容從知識(shí)體系上看，應(yīng)屬于三角函數(shù)這一章，從研究方法上看，也可以歸屬于向量應(yīng)用的一方面。從某種意義講，這部分內(nèi)容是用代數(shù)方法解決幾何問題的典型內(nèi)容之一。而本課“正弦定理”，作為單元的起始課，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通過這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從“實(shí)際問題”抽象成“數(shù)學(xué)問題”的建模過程中，體驗(yàn) “觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。同時(shí)在解決問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的力量，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)。

二、學(xué)情分析

我所任教的學(xué)校是我縣一所農(nóng)村普通中學(xué)，大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，對(duì)“一些重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法”的應(yīng)用意識(shí)和技能還不高。但是，大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣較高，比較喜歡數(shù)學(xué)，尤其是象本節(jié)課這樣與實(shí)際生活聯(lián)系比較緊密的內(nèi)容，相信學(xué)生能夠積極配合，有比較不錯(cuò)的表現(xiàn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)和技能：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，推證正弦定理及簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的解三角形問題。

過程與方法：學(xué)生參與解題方案的探索，嘗試應(yīng)用觀察——猜想——證明——應(yīng)用”等思想方法，尋求最佳解決方案，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。同時(shí)，通過實(shí)際問題的探討、解決，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)成就感，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，鍛煉探究精神。樹立“數(shù)學(xué)與我有關(guān)，數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)”的理念。

2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明;正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理證明及應(yīng)用。

四、教學(xué)方法與手段

為了更好的達(dá)成上面的教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，本節(jié)課我準(zhǔn)備采用“問題教學(xué)法”，即由教師以問題為主線組織教學(xué)，利用多媒體和實(shí)物投影儀等教學(xué)手段來激發(fā)興趣、突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提高課堂效率，并引導(dǎo)學(xué)生采取自主探究與相互合作相結(jié)合的`學(xué)習(xí)方式參與到問題解決的過程中去，從中體驗(yàn)成功與失敗，從而逐步建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

五、教學(xué)過程

為了很好地完成我所確定的教學(xué)目標(biāo)，順利地解決重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，同時(shí)本著貼近生活、貼近學(xué)生、貼近時(shí)代的原則，我設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)過程：

(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問題1：寧?kù)o的夜晚，明月高懸，當(dāng)你仰望夜空，欣賞這美好夜色的時(shí)候，會(huì)不會(huì)想要知道：那遙不可及的月亮離我們究竟有多遠(yuǎn)呢?

1671年兩個(gè)法國(guó)天文學(xué)家首次測(cè)出了地月之間的距離大約為 385400km，你知道他們當(dāng)時(shí)是怎樣測(cè)出這個(gè)距離的嗎?

問題2：在現(xiàn)在的高科技時(shí)代，要想知道某座山的高度，沒必要親自去量，只需水平飛行的飛機(jī)從山頂一過便可測(cè)出，你知道這是為什么嗎?還有，交通警察是怎樣測(cè)出正在公路上行駛的汽車的速度呢?要想解決這些問題， 其實(shí)并不難，只要你學(xué)好本章內(nèi)容即可掌握其原理。(板書課題《解三角形》)

[設(shè)計(jì)說明]引用教材本章引言，制造知識(shí)與問題的沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)的興趣。

(二)特殊入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問題3：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)和解直角三角形》這一章，老師想試試你的實(shí)力，請(qǐng)你根據(jù)初中知識(shí)，解決這樣一個(gè)問題。在Rt⊿ABC中sinA= ，sinB= ,sinC= ,由此，你能把這個(gè)直角三角形中的所有的邊和角用一個(gè)表達(dá)式表示出來嗎?

引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊情形下的正弦定理。

(三)類比歸納，嚴(yán)格證明

問題4：本題屬于初中問題，而且比較簡(jiǎn)單，不夠刺激，現(xiàn)在如果我為難為難你，讓你也當(dāng)一回老師，如果有個(gè)學(xué)生把條件中的Rt⊿ABC不小心寫成了銳角⊿ABC，其它沒有變，你說這個(gè)結(jié)論還成立嗎?

[設(shè)計(jì)說明]此時(shí)放手讓學(xué)生自己完成，如果感覺自己解決有困難，學(xué)生也可以前后桌或同桌結(jié)組研究，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法證明這個(gè)結(jié)論，在巡視的過程中讓不同方法的學(xué)生上黑板展示，如果沒有用向量的學(xué)生，教師引導(dǎo)提示學(xué)生能否用向量完成證明。

篇4：高中數(shù)學(xué)《正弦定理》教案

高中數(shù)學(xué)正弦定理教案，一起拉看看吧。

本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力．

本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計(jì)算器的使用與近似計(jì)算，這是一種基本運(yùn)算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，則應(yīng)及時(shí)糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費(fèi)過多的時(shí)間．

本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．

三維目標(biāo)

1．通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

2．通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的能力．通過學(xué)生的積極參與和親身實(shí)踐，并成功解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關(guān)系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得到asinA＝bsinB，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究．

思路2.(情境導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，在林場(chǎng)中設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和B，某日兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員分別測(cè)到C處有火情發(fā)生．在A處測(cè)到火情在北偏西40°方向，而在B處測(cè)到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現(xiàn)在要確定火場(chǎng)C距A、B多遠(yuǎn)？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長(zhǎng)．”這就是一個(gè)解三角形的問題．為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識(shí)，今天要探究的是解三角形的第一個(gè)重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí)．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？

2聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三 角形中角與它所對(duì)的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？

3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對(duì)一般三角形是否仍然成立？

4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？

5什么叫做解三角形？

6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨龋窟@些實(shí)際問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測(cè)量中的一些問題．

關(guān)于任意三角形中大邊對(duì)大角、小 邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.

那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析．

如下圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.

(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)

通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點(diǎn)出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理——正弦定理．

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

asinA＝bsinB＝csinC

上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明．教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對(duì)大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系．因?yàn)槿绻螦＜∠B，由三角形性質(zhì)，得a＜b.當(dāng)∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調(diào)性，可知sinA＜sinB.當(dāng)∠A是銳角，∠B是鈍角時(shí)，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調(diào)性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.

正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．

討論結(jié)果：

(1)～(4)略．

(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．

(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是唯一的．②已知三 角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和 角，即“兩邊一對(duì)角問題”．這類問題的答案有時(shí)不是唯一的，需根據(jù)實(shí)際情況分類討論．

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．

活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.

此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得

∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

根據(jù)正弦定理，得

b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

點(diǎn)評(píng)：(1)此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理180°求出第三個(gè)角，再利用正弦定理．