第一篇：正弦定理證明

新課標(biāo)必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議

江蘇省錫山高級中學(xué)楊志文

新課程必修數(shù)學(xué)5的內(nèi)容主要包括解三角形、數(shù)列、不等式。這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強的應(yīng)用性。在歷次教材改革中都作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）與原全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內(nèi)容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)要求、課程關(guān)注點、內(nèi)容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題談?wù)勛约旱囊恍┰O(shè)想和教學(xué)建議，供大家參考。

一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內(nèi)容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標(biāo)準(zhǔn)》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數(shù)學(xué)5中，獨立成為一章，與必修模塊數(shù)學(xué)4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學(xué)要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學(xué)要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

（3）實習(xí)作業(yè)以測量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標(biāo)準(zhǔn)》對“解三角形”的教學(xué)要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。由此可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關(guān)注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》則關(guān)注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。側(cè)重點放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內(nèi)容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題及教學(xué)建議

原《大綱》中解斜三角形的內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調(diào)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。因此在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標(biāo)準(zhǔn)》要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學(xué)中，既要重視從特殊到一般的探索學(xué)習(xí)過程的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)。教學(xué)中不要直接給出定理進行證明，可通過學(xué)生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數(shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學(xué)建議：建議按如下步驟設(shè)計教學(xué)過程：

(1)從特殊三角形入手進行發(fā)現(xiàn)

讓學(xué)生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結(jié)論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實驗(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學(xué)中，設(shè)計一些關(guān)于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。如可設(shè)計下面的問題進行教學(xué)：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學(xué)建議：

引導(dǎo)學(xué)生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導(dǎo)學(xué)生將

A B

四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。因此建議在教學(xué)中，設(shè)計一些實際應(yīng)用問題，為學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決問題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活及與其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。在題目的設(shè)計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應(yīng)用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過t小時在B處相遇，構(gòu)建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經(jīng)過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應(yīng)用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學(xué)習(xí)

解三角形的內(nèi)容有較強的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計上探索開放，在教學(xué)形式上靈活多樣。可設(shè)計一些研究性、開放性的問題，讓學(xué)生自行探索解決。參考案例：研究性學(xué)習(xí)

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學(xué)建議：這是一個研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當(dāng)??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當(dāng)??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾妫趯W(xué)校開設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第二篇：正弦定理證明

正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因為cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 題目中^2表示平方。2 談?wù)⒂嘞叶ɡ淼亩喾N證法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有 AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓 的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因為AB=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因為j?AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第三篇：正弦定理證明

正弦定理

1.在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍，即

abc???2R sinAsinBsinC

證明：如圖所示，過B點作圓的直徑BD交圓于D點，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，?DAB?90 在Rt?ABD中 ?A ?sinC?sinD??c 2RD

b c c?2R sinCab同理：?2R,?2R

sinAsinBabc所以???2R

sinAsinBsinC2.變式結(jié)論

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC 2）sinA?C

a

B abc ,sinB?,sinC?2R2R2R3）asinB?bsinA,asinC?csinA,csinB?bsinC 4）a:b:c?sinA:sinB:sinC

例題

在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若(3b?c)cosA?acosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC得

(3sinB?sinC)cosA?sinAcosC

?3sinBcosA?sin(A?C)?sin(A?C)?sinB?3sinBcosA?sinB?B?(0,?)?0?sinB?1?cosA?33

第四篇：原創(chuàng)正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況

:

⑴若A為銳角時: ?a?bsinA無解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

?a?b無解⑵若A為直角或鈍角時:? ?a?b一解(銳角)

第五篇：向量證明正弦定理

向量證明正弦定理

表述：設(shè)三面角∠p-ABC的三個面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所對的二面角依次為∠pA，∠pB，∠pC，則Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。

目錄

1證明2全向量證明

證明

過A做OA⊥平面BpC于O。過O分別做OM⊥Bp于M與ON⊥pC于N。連結(jié)AM、AN。顯然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。則Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可證Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得證三面角正弦定理。

全向量證明

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長線上時，同樣可以證得