第一篇：三垂線定理及逆定理-高中數學知識口訣

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三垂線定理及逆定理

上海市同洲模范學校宋立峰

三垂線定理及逆定理

面內直線面外點，過點引出兩直線； 斜線斜足定射影，斜垂射影必共面。面內直線垂射影，該直線就垂斜線。面內直線垂斜線，垂直射影來作伴。

三垂線定理

影垂不怕線斜(形影不離)

即:垂直射影垂斜線

三垂線定理逆定理

斜垂影隨其身(影隨其身)

即:垂直斜線垂射影

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第二篇：三垂線定理及其逆定理的練習課教案

三垂線定理及其逆定理的練習課教案

教學目標

1．進一步理解、記憶并應用三垂線定理及其逆定理；

2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應用；（課本第122頁第3題）

3．理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應用； 4．了解課本第33頁第11題． 教學重點和難點

教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應用它們來解有關的題．教學的難點是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應用時比較θ2與θ的大小．

教學設計過程

師：上一節課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應用了這兩個定理來解一些有關的題．今天我們要進一步應用這兩個定理來解一些有關的題，先看例1．

例1 如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設∠BAC＝θ．求證：

cosθ1·cosθ2＝cosθ．

師：這是要證明三個角θ，θ2和θ的余弦的關系，θ已經在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使θ2和θ是這兩個直角三角形中的銳角．

11生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時θ2是直角△B′DA中的一個銳角，θ是直角△ABD中的一個銳角．

師：剛才的表述是應用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應用．現在已經知道θ

1、θ2和θ分別在三個直角三角形中，根據三角函數中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公式．

師：這個公式的證明是利用余弦的定義把它們轉化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應用了三垂線定理．當然也可用它的逆定理．

這個公式是在課本第121頁總復習參考題中的第3題．我們為什么要提前講這個公式呢？講這個公式的目的是為了用這個公式，因為在解許多有關題時都要用到這公式．那我們要問在什么條件下可用這個公式？

生：因為θ1是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當圖形中出現斜線與平面所成的角時，才有可能考慮用這公式．

師：為了在使用這個公式時方便、易記，我們規定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來研究一下這個公式的應用．

應用這個公式可解決兩類問題．

第一是求值．即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值． 例如：

θ＝60°，這時θ2＜θ；

當θ1＝45°，θ2＝135°時，cosθ＝cos45°·cos135°＝

第二是比較θ2與θ的大小．因為我們已經規定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進行討論．

（1）θ2＝90°，因為θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當θ＝90°時，我們也可以證明θ＝90°．

2一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．

一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．

所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．

現在我們來研究在θ2是銳角時，θ2與θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．

師：在這個條件下，我們怎樣來比較θ2與θ的大小？

生：因為0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因為0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因為cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數值大的它所對應的角小．所以θ2＜θ．

師：現在我們來討論當θ是鈍角時，θ2與θ的大小．

2（3）90°＜θ2＜180°．

在這個條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來比較θ2與θ的大小，而是一起來看模型（或圖形）．

我們假設θ2的鄰補角為θ′2，θ的鄰補角為θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當θ2是鈍角時，θ也是鈍角，所以它們的兩個鄰補角θ′2和θ′都是銳角，由對第二種情況的討論我們

2知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．

根據以上討論現在小結如下：

當θ2＝90°時，θ＝θ2＝90°，它們都是直角． 當0°＜θ2＜90°時，θ2＜θ，它們都是銳角； 當90°＜θ2＜180°時，θ2＞θ，它們都是鈍角．

關于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應用，今后還要隨著課程的進展而反復提到．現在我們來看例2．

例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．

師：我們先來證明第（1）問．要證直線與平面垂直即要證什么？ 生：要證A1C與平面C1DB內兩條相交的直線垂直． 師：我們先證A1C為什么與DB垂直？

生：連AC，對平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因為AC⊥DB（正方形的性質），所以 A1C⊥DB．（三垂線定理）

同理可證A1C⊥BC1． 因為A1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）

（在證A1C⊥BC1時，根據情況可詳、可略，如果學生對應用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學生把這證明過程再敘述一遍，因為這時是對平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）

師：現在來證第（2）問，垂足G為什么是正△C1DB的中心？

生：因為A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．

師：現在來證第（3）問，我們注意看正方體的對角面A1ACC1，在這對角面內有沒有相似三角形？

生：在正方體的對角面A1ACC1內，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．

師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而例2也是一個基本的題型，對于以后證有關綜合題型時很有用．所以對例2的證明思路和有關結論，盡可能的理解、記住．現在我們來看例3．

例3 如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內，PC⊥平面α于C，D為斜邊AB的中點，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：

（1）P，D兩點間的距離；（2）P點到斜邊AB的距離．

師：現在先來解第（1）問，求P，D兩點間的距離．

師：現在我們來解第（2）問，求P點到AB邊的距離．

生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理）PE就是P點到AB邊的距離．

師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？

生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．

師：這個等積式是怎樣證明的？

生：有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCE∽△ABC，對應邊成比例推出這個等積式．

師：這個等積式很有用，根據這個等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關距離問題時會常常用到，所以要理解、記住、會用．現在就利用這等積式先求CE，再求PE．

師：通過這一題我們要區分兩種不同的距離概念及求法；在求點到直線距離時，經常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上述的等積式來求斜邊上的高．現在我們來看例4．

例4 如圖4，已知：∠BAC在平面α內，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．

求證：∠BAO＝∠CAO．

（這個例題就是課本第32頁習題四中的第11題．這個題也可以放在講完課本第30頁例1以后講．不論在講課本第30頁例1，還是在講這個例時，都應先用模型作演示，使學生在觀察模型后，得出相關的結論，然后再進行理論上的證明，這樣使學生對問題理解得具體、實在，因而效果也較好）

師：當我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現在想一想可以有幾種證法？

生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，連PD，PE，則PD⊥AB，PE⊥AC． 所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO． 師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來證明這題．（利用這公式來證明這個題，完全是由學生想到的，當然如果有的班學生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）

生：因為∠PAO是斜線與平面α所成的角，所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．

師：今天我們是應用三垂線定理及其逆定理來解這四個例題．例

1、例

2、例4是三個基本題．對這三個題一定要會證、記住、會用．關于這三個題的應用，以后還會在講課過程中反復出現．在高考題中也曾用到．

作業

課本第33頁第13題． 補充題

1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］

2．已知：AB是平面α的一斜線，B為斜足，AB＝a．直線AB與平面α所成的角等于θ，AB在平面α內的射影A1B與平面α內過B

3．已知：P為Rt△ABC所在平面外一點，∠ACB＝90°，P到直角頂點C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC

4．已知：∠BAC在平面α內，PA是平面α的斜線，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：

（1）PD的長；

課堂教學設計說明

1．如前所述，在學習過三垂線定理及其逆定理以后，教學要達到第二個“高潮”．也就是說要學生在這一學科的學習上攀登上第二個高峰．攀登第二個高峰要比攀登第一個高峰（求異面直線所成的角）要困難得多．因為題型較雜，知識面較廣，思路較活．這都給學習造成很大的困難．但是，也正是這種困難才能激發起學生的學習興趣和積極性．所以我不論是在北京師大二附中還是在北京九十二中教學時都安排了一節新課，三節到四節練習課，采用精講多練的方法，使學生見到的題型更多，解題的思路更活．使他們比較容易地登上新的高峰，從而使以后的學習較為順利．

2．在解每一個例題時，如何靈活地應用三垂線定理及其逆定理是我們講課的重點，也是時刻要把握住的中心環節．特別是一個空間圖形有多個平面時，首先要找出“基準平面”，也就是說對于哪一個平面來用三垂線定理或其逆定理，在“基準平面”找出后，再找出“第一垂線”，也就是垂直“基準平面”的直線，然后斜線、射影也就迎刃而解了．

3．在講練習課時，要講的例題很多，但一定要講下述四個基本題：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求證：BC⊥平面PAC．

（2）課本第122頁第3題．（3）課本第33頁第11題．

（4）正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直． 因為上述四個基本題和與之對應的基本圖形常常包含于某些綜合題和與之對應的綜合圖形之中，并且往往起著決定性作用．因此，在我們解一些綜合題時，通過觀察和分析，如果發現存在上述情況，就可以將它們化歸為上述基本題和與之對應的基本圖形去解．這是在解立體幾何題時又一重要的化歸思想——“綜合圖形基本化”．（請參看《數學通報》1998年第2期《化歸方法與立體幾何教學》）

這四個基本題都是應用三垂線定理與其逆定理解題典型．對這四個基本題和與之對應的基本圖形，一定要讓學生會證、理解、掌握、記住．這樣才有可能應用它們來解綜合題，這四個基本題是四個臺階，是向上攀登必不可缺的臺階． 4．為了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ來比較θ2與θ的大小，特選三題供老師們選用．

（1）二面角α-AB-β的平面角是銳角，C是α內一點（它不在棱上），點D是C在β內的射影，點E是棱AB上任一點，∠CEB為銳角，求證：∠BEC＞∠DEB．

（提示：∠CED相當于θ1，∠DEB相當于θ2，∠CEB相當于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是兩個銳角，BC在平面α內，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求證：∠BAC＜∠BA′C．

（提示：∠ABA′相當于θ1，∠A′BC相當于θ2，∠ABC相當于θ，因為∠ABC為銳角，所以∠A′BC也為銳角，故 θ＞θ2）

AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．試比較這兩個三角形的內角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因為∠ABC是鈍角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是銳角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）

第三篇：高中數學知識口訣

高中數學知識口訣

根據多年的實踐，總結規律繁化簡；概括知識難變易，高中數學巧記憶。言簡意賅易上口，結合課本勝一籌。始生之物形必丑，拋磚引得白玉出。

一、《集合與函數》

內容子交并補集，還有冪指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。指數與對數函數，兩者互為反函數。底數非１的正數，１兩邊增減變故。函數定義域好求。分母不能等于０，偶次方根須非負，零和負數無對數； 正切函數角不直，余切函數角不平；其余函數實數集，多種情況求交集。兩個互為反函數，單調性質都相同；圖象互為軸對稱，Ｙ＝Ｘ是對稱軸； 求解非常有規律，反解換元定義域；反函數的定義域，原來函數的值域。冪函數性質易記，指數化既約分數；函數性質看指數，奇母奇子奇函數，奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數；圖象第一象限內，函數增減看正負。

二、《三角函數》

三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減現。同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割； 中心記上數字１，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關系是對角，頂點任意一函數，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不變，將其后者視銳角，符號原來函數判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用； １加余弦想余弦，１ 減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范圍； 利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。證不等式的方法，實數性質威力大。求差與０比大小，作商和１爭高下。直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法。

四、《數列》

等差等比兩數列，通項公式Ｎ項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。數列問題多變幻，方程化歸整體算。數列求和比較難，錯位相消巧轉換，取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考： 一算二看三聯想，猜測證明不可少。還有數學歸納法，證明步驟程序化： 首先驗證再假定，從 Ｋ向著K加１，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復數》

虛數單位ｉ一出，數集擴大到復數。一個復數一對數，橫縱坐標實虛部。對應復平面上點，原點與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。箭桿的長即是模，常將數形來結合。代數幾何三角式，相互轉化試一試。代數運算的實質，有ｉ多項式運算。ｉ的正整數次慕，四個數值周期現。一些重要的結論，熟記巧用得結果。虛實互化本領大，復數相等來轉化。利用方程思想解，注意整體代換術。幾何運算圖上看，加法平行四邊形，減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉，伸縮全年模長短。三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質離不得，相等和模與共軛，兩個不會為實數，比較大小要不得。復數實數很密切，須注意本質區別。

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。

七、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線成。垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環現。方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數方程極坐標，數形結合稱典范。笛卡爾的觀點對，點和有序實數對，兩者—一來對應，開創幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數法，實為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關系判。四件工具是法寶，坐標思想參數好；平面幾何不能丟，旋轉變換復數求。解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數入微，數學本是數形學。

第四篇：高中數學知識口訣

高中數學知識口訣

根據多年的實踐，總結規律繁化簡；概括知識難變易，高中數學巧記憶。言簡意賅易上口，結合課本勝一籌。始生之物形必丑，拋磚引得白玉出。

一、《集合與函數》

內容子交并補集，還有冪指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。指數與對數函數，兩者互為反函數。底數非１的正數，１兩邊增減變故。函數定義域好求。分母不能等于０，偶次方根須非負，零和負數無對數；正切函數角不直，余切函數角不平；其余函數實數集，多種情況求交集。兩個互為反函數，單調性質都相同；圖象互為軸對稱，Ｙ＝Ｘ是對稱軸； 求解非常有規律，反解換元定義域；反函數的定義域，原來函數的值域。冪函數性質易記，指數化既約分數；函數性質看指數，奇母奇子奇函數，奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數；圖象第一象限內，函數增減看正負。

二、《三角函數》

三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減現。同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；中心記上數字１，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關系是對角，頂點任意一函數，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不變，將其后者視銳角，符號原來函數判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；１加余弦想余弦，１減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范圍； 利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。證不等式的方法，實數性質威力大。求差與０比大小，作商和１爭高下。直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法。

四、《數列》

等差等比兩數列，通項公式Ｎ項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。數列問題多變幻，方程化歸整體算。數列求和比較難，錯位相消巧轉換，取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考： 一算二看三聯想，猜測證明不可少。還有數學歸納法，證明步驟程序化：首先驗證再假定，從Ｋ向著K加１，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復數》

虛數單位ｉ一出，數集擴大到復數。一個復數一對數，橫縱坐標實虛部。對應復平面上點，原點與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。箭桿的長即是模，常將數形來結合。代數幾何三角式，相互轉化試一試。代數運算的實質，有ｉ多項式運算。ｉ的正整數次慕，四個數值周期現。一些重要的結論，熟記巧用得結果。虛實互化本領大，復數相等來轉化。利用方程思想解，注意整體代換術。幾何運算圖上看，加法平行四邊形，減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉，伸縮全年模長短。三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質離不得，相等和模與共軛，兩個不會為實數，比較大小要不得。復數實數很密切，須注意本質區別。

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。

七、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線成。垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環現。方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數方程極坐標，數形結合稱典范。笛卡爾的觀點對，點和有序實數對，兩者—一來對應，開創幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數法，實為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關系判。四件工具是法寶，坐標思想參數好；平面幾何不能丟，旋轉變換復數求。解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數入微，數學本是數形學。

中學數學常用的數學解題方法

數學的解題方法是隨著對數學對象的研究的深入而發展起來的。教師鉆研習題、精通解題方法，可以促進教師進一步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業務水平和教學能力。下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。

1、配方法 所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法 因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法 換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法 在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法 在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。

7、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：

(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。

8、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

9、幾何變換法 在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本質的認識。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。

10.客觀性題的解題方法 選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。（4）排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，余下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。（5）圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。

高中數學學習有妙法

往往有同學進入高中以后不能適應數學學習，進而影響到學習的積極性，甚至成績一落千丈。為什么會這樣呢？讓我們先看看高中數學和初中數學有些什么樣的轉變吧。

一、高中數學的特點

1、理論加強

2、課程增多

3、難度增大

4、要求提高

二、掌握數學思想

高中數學從學習方法和思想方法上更接近于高等數學。學好它，需要我們從方法論的高度來掌握它。我們在研究數學問題時要經常運用唯物辯證的思想去解決數學問題。數學思想，實質上就是唯物辯證法在數學中的運用的反映。中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個：集合與對應思想，初步公理化思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。

例如，數列、一次函數、解析幾何中的直線幾個概念都可以用函數（特殊的對應）的概念來統一。又比如，數、方程、不等式、數列幾個概念也都可以統一到函數概念。

數學思想方法與解題技巧是不同的，在證明或求解中，運用歸納、演繹、換元等方法解題問題可以說是解題的技術性問題，而數學思想是解題時帶有指導性的普遍思想方法。在解一道題時，從整體考慮，應如何著手，有什么途徑？就是在數學思想方法的指導下的普遍性問題。

有了數學思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。只有在解題思想的指導下，靈活地運用具體的解題方法才能真正地學好數學，僅僅掌握具體的操

作方法，而沒有從解題思想的角度考慮問題，往往難于使數學學習進入更高的層次，會為今后進入大學深造帶來很有麻煩。

在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。

要打贏一場戰役，不可能只是勇猛沖殺、一不怕死二不怕苦就可以打贏的，必須制訂好事關全局的戰術和策略問題。解數學題時，也要注意解題思維策略問題，經常要思考：選擇什么角度來進入，應遵循什么原則性的東西。一般地，在解題中所采取的總體思路，是帶有原則性的思想方法，是一種宏觀的指導，一般性的解決方案。

中學數學中經常用到的數學思維策略有：以簡馭繁、數形結全、進退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動靜轉換、分合相輔。

如果有了正確的數學思想方法，采取了恰當的數學思維策略，又有了豐富的經驗和扎實的基本功，一定可以學好高中數學。

三、學習方法的改進

身處應試教育的怪圈，每個教師和學生都不由自主地陷入“題海”之中，教師拍心某種題型沒講，高考時做不出，學生怕少做一道題，萬一考了損失太慘重，在這樣一種氛圍中，往往忽視了學習方法的培養，每個學生都有自己的方法，但什么樣的學習方法才是正確的方法呢？是不是一定要“博覽群題”才能提高水平呢？

現實告訴我們，大膽改進學習方法，這是一個非常重大的問題。

（一）學會聽、讀

我們每天在學校里都在聽老師講課，閱讀課本或者資料，但我們聽和讀對不對呢？

讓我們從聽（聽講、課堂學習）和讀（閱讀課本和相關資料）兩方面來談談吧。

學生學習的知識，往往是間接的知識，是抽象化、形式化的知識，這些知識是在前人探索和實踐的基礎上提煉出來的，一般不包含探索和思維的過程。因此必須聽好老師講課，集中注意力，積極思考問題。弄清講得內容是什么？怎么分析？理由是什么？采用什么方法？還有什么疑問？只有這樣，才可能對教學內容有所理解。

聽講的過程不是一個被動參預的過程，在聽講的前提下，還要展開來分析：這里用了什么思想方法，這樣做的目的是什么？為什么老師就能想到最簡捷的方法？這個題有沒有更直接的方法？

“學而不思則罔，思而不學則殆”，在聽講的過程中一定要有積極的思考和參預，這樣才能達到最高的學習效率。

閱讀數學教材也是掌握數學知識的非常重要的方法。只有真正閱讀和數學教材，才能較好地掌握數學語言，提高自學能力。一定要改變只做題不看書，把課本當成查公式的辭典的不良傾向。閱讀課本，也要爭取老師的指導。閱讀當天的內容或一個單元一章的內容，都要通盤考慮，要有目標。

比如，學習反正弦函數，從知識上來講，通過閱讀，應弄請以下幾個問題：

(1)是不是每個函數都有反函數，如果不是，在什么情況下函數有反函數？

（2）正弦函數在什么情況下有反函數？若有，其反函數如何表示？

（3）正弦函數的圖象與反正弦函數的圖象是什么關系？

（4）反正弦函數有什么性質？

（5）如何求反正弦函數的值？

（二）學會思考

愛因斯坦曾說：“發展獨立思考和獨立判斷的一般能力應當始終放在首位”，勤于思考，善于思考，是對我們學習數學提出的最基本的要求。一般來說，要盡力做到以下兩點。

1、善于發現問題和提出問題

2、善于反思與反求

第五篇：三垂線定理說課

三垂線定理說課

一 關于教材分析方面

高一《立體幾何》中的“三垂線定理”是安排在“直線與平面的垂直的判定與性質”后進行學習的。它是線面垂直性質的延伸。利用三垂線定理及其逆定理，可把判斷空間兩直線的垂直問題轉化為判斷平面上兩直線的垂直問題：也可以把判斷平面上兩直線的垂直問題，轉化為判斷空間兩直線的垂直問題，它是證明空間兩直線垂直的主要依據，在立體幾何中有核心定理的作用。根據教學大綱的要求和加強對學生的素質教育，培養學生基本能力的需要，結合學生的實際情況，我認為本節課的教學目標有三個：

1理解和掌握三垂線定理及其逆定理的內容、證明和應用。

2、通過對定理的學習，培養學生觀察、猜想和論證數學問題的能力。

3、培養學生邏輯推理證明的能力和相互轉化的思想。

本節課的教學重點為定理的理解和應用。針對學生剛學立體幾何空間想象能力不夠強，識圖和分析問題的能力較弱的實際情況，我確定本節課的教學難點為如何在具體圖形中找出適合三垂線定理（或逆定理）的直線和平面。

二 關于教法和學法方面

為使學生深刻理解定理，靈活應用定理，并培養學生的數學基本能力，我根據教與學的實際情況，確定了以學生為主體，教師主導為原則，以“形成命題 證明命題 剖析命題 應用命題”為主線組織教學。用提問法創設情景，激發學生的思維積極性，通過觀察、猜想、歸納總結、邏輯論證等手段，講練結合的方式，幫助學生掌握教材的重點。通過從模型到圖形，從簡單到復雜，從具體到抽象的方法，引導學生觀察分析圖形，剖析定理，抓住主要矛盾，總結出定理應用規律和方法，幫助學生突破教學難點。達到靈活應用定理的目的，具體的措施將體現于教學的全過程之中。

三 關于教學過程

為了達到上述各項教學目標，我是按下面的程序，有目的地實施教學的：

1.復習提問。因為平面的垂線、平面的斜線及射影是三垂線定理的基礎，直線與平面垂直的判定與性質又是證明三垂線定理的基本方法，因此我用提問的形式讓學生溫故知新，作好新課的鋪墊。

2.有意設疑，引入新課。為了喚起學生學習的興趣，把學生的注意力集中起來，調動學生的思維積極性，我通過提出問題，創設情景，引導學生觀察、猜想，發現新的知識，培養學生的探索能力。主要分下面幾個步驟進行：

(1).設問：根據直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內的任意一條直線都和平面的垂線垂直。我們想一想，平面內的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？

(2).學生思考后，我再引導學生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如圖），使直尺與三角板的斜邊垂直，引導學生猜想發現規律。

經過實驗，發現直尺與三角板在平面內的直角邊垂直時便與

斜邊垂直。

(3).設問：如果直尺在平面內移動到其它位置，那么直尺與三角板的斜邊是否仍垂直呢？學生 根據

“兩異面直線所成的角”的定理很快得到了垂直的結論。

(4)我再啟發學生把猜想、實驗后得到的結論總結出來，表達成數學命題：

平面內的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直，那么就和平面的這條斜線垂直（板書）

3.（1）證明命題。通過對猜想得到的命題的論證，加深學生對命題內容的認識，使學生的思維提高到演繹推理的水平上來。我通過啟發學生進行思考討論后再進行歸納小結，幫助學生理清證明的基本思路，培養學生相互轉化的數學思想。具體體現為思路：要證線線垂直 線面垂直 線線垂直（平面外一直線與平面內兩條相交直線都垂直），具體證明過程由學生自己完成。

（2）.利用命題變換，培養學生思維的靈活性，進一步深化對定理的學習和理解。我把命題中的已知條件“斜線的射影”與結論中的“斜線”相對換，得到新的命題：

平面內的一條直線如果和平面的斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直（板書）通過對比啟發，學生輕而易舉地掌握了新命題的內容和證明。

（3）.利用列表對比教學法，強化對三垂線定理及其逆定理內容的理解和記憶。

4.剖析命題

為了加深對定理的理解，為靈活應用定理奠定基礎，幫助學生化解難點，我通過設問的方式啟發學生積極思維，經學生討論后再總結，揭示定理的應用方法：

（1）.三垂線定理及其逆定理的內容反映了“四線一面”的相互關系，當平面的垂線和斜線確定后，斜線在平面的射影也可確定，如果在平面內能找到一條直線，它與斜線的射影垂直（或與斜線垂直），那么它就與斜線垂直（或與斜線射影垂直）。

（2）.通過教具演示、圖形分析、設問啟發后，我再對靈活應用定理的程序進行總結，使學生對應用定理有章可循，便于操作，提高學生應用定理的自覺性和

效率。大部分學生對程序：“一找垂、面，二找斜線，三定射影，四證直線”理解深刻，掌握牢固，具體內容為：

二找斜線：接著確定平面的斜線：

一找垂面：即先確定平面及平面的垂線：

三定射影：由上面的垂足和斜足確定斜線的射影；

四證直線：即在平面內證明某一條直線與平面的斜線或斜線的射影垂直。（板書）

5應用命題

為了培養學生靈活應用定理的能力，幫助學生掌握重點，化解難點，我精選了兩條有層次的、由易到難的例題，通過引導學生觀察，分析后，我用設問的方法，深入淺出地引導學生尋找證題的基本思路，確定適應定理的“四線一面”，然后，由學生板書解答后，我再較正學生的證明過程，進一步培養學生的書面語言表達能力和邏輯推理能力。

6課堂小結并布置作業。

為了培養學生思維的完整性，我利用提問的方式引導學生進行課堂小結，進一步加深學生對重點內容的掌握和規律問題的認識，再布置有代表性的課外作業幫助學生鞏固教材的重點。

四 教學效果

本節課采用教師為主導學生為主體的啟發式教學方式，學生反映較好，定理記得牢，理解深刻，應用靈活，不僅讓學生學習了新的知識，而且培養了能力。從學生的課后作業看，書寫規范，推理正確，取得較好的教學效果，圓滿完成本節課的教學任務。

（注：本說課稿獲2002年揭陽市高中數學說課稿評比二等獎）