第一篇：解析法證明平面幾何題—高二中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座2】

解析法證明平面幾何

解析法，就是用解析幾何的方法來解題，將幾何問題代數(shù)化后求解，但代數(shù)問題未必容易，采用解析法就必須有面對(duì)代數(shù)困難的準(zhǔn)備，書寫必須非常規(guī)范．

解析法的主要技巧：

1．盡量化為簡(jiǎn)單的代數(shù)問題，盡量利用對(duì)稱性建系，選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系與便于使用的方程形式；

2．運(yùn)用各種代數(shù)技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、證明：任意四邊形四條邊的平方和，等于兩條對(duì)角線的平方和，在加上對(duì)角線中點(diǎn)連線的平方的4倍．

例

2、給定任一銳角三角形ABC及高AH，在AH上任取一點(diǎn)D,連結(jié)BD并延長(zhǎng)交AC 與E,又連CD且延長(zhǎng)交AB于F.證明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1??，?u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取點(diǎn)D1,使11?（?，u，m，n都是實(shí)數(shù)）．延長(zhǎng)A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在?ABC的邊AB上取點(diǎn)B1,AC取點(diǎn)C1,使

例

4、如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證： MQ∥NP．

例

5、[29屆IMO]在Rt?ABC中，AD是斜邊上的高，M、N分別是?ABD與?ACD與的內(nèi)心，連接MN并延長(zhǎng)分別交AB與AC于K及L．求證明、：S?ABC?2S?AKL．

課后拓展訓(xùn)練與指導(dǎo)

鉆研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303練習(xí)題

補(bǔ)充幾道題目，請(qǐng)嘗試用解析法研究

1、（2005全國聯(lián)賽二試）在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長(zhǎng)．

C

D

GH

K

B AF2、（全國高中聯(lián)賽二試）如圖，圓O1和圓O2與△ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，并且EG、FH的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)。求P 證直線PA與BC垂直．

O1。O

2C E B3、（20屆IMO）在?ABC中，AB?AC，有一圓內(nèi)切?ABC的外接圓，與AB 與AC分別相切于點(diǎn)P和Q．求證：P和Q連線中點(diǎn)是?ABC的圓圓心．

第二篇：解析法證明平面幾何經(jīng)典問題--舉例

五、用解析法證明平面幾何問題----極度精彩！充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美感！何妨一試？

例

1、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引兩條直線分別交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1圖）（例2圖）

例

2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

【部分題目解答】

例

1、(難度相當(dāng)于高考?jí)狠S題)

如圖，以MN為x軸，A為原點(diǎn)，AO為Y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程為：x2?(y-a)2?r2,設(shè)直線AB的方程為：y?mx,直線AD的方程為：y?nx,點(diǎn)B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；則B、C222x?(y-a)?r,消去y得：（1?m2)x2-2amx?a2-r2?{y?mx2ama2-r

2由韋達(dá)定理知：x1?x2?2;x1x2?2,m?1m?12ana2-r2

同理得：x3?x4?2;x3x4?2, n?1n?1直線CD方程為：y-y2?y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)：xQ?

同理得P點(diǎn)橫坐標(biāo)：xP?x1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要證明AP?AQ，只需證明：xQ?-xP3223?-1441, y2-y3y4-y1

即證明：（x3y2-x2y3）（?y4-y1）?（-x1y4-x4y1）（?y2-y3）

將上式整理得：y3y4(x1?x2)?y1y2(x3?x4)?x1y2y4?x2y1y3?x3y2y4?x4y1y3

注意到：y1?mx1,y2?mx2;y3?nx3,y4?nx4，代入整理得：

左邊?m2x1x2(x3?x4)?n2x3x4(x1?x2),右邊?mn[x1x2(x3?x4)?x3x4(x1?x2)] 把上述韋達(dá)定理的結(jié)論代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m?n)2a-r左邊?m?2?2?n?2?2? 22m?1n?1n?1m?1(m?1)(n?1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m?n)右邊?mn(2???)?m?1n2?1n2?1m2?1(m2?1)(n2?1)

可見：左邊=右邊，故xQ?-xP，即AP?AQ.證畢！

【此題充分體現(xiàn)：化歸思想、設(shè)而不求思想方法、數(shù)形結(jié)合方法、以及分析計(jì)算的能力】 標(biāo)系.例

2、分析：如右圖，建立坐

總體思路：設(shè)點(diǎn)A、B、C、D坐標(biāo)后，求出直線AD、從而求出兩個(gè)角度的正切值，證明這兩個(gè)角度問題的關(guān)鍵是：如何設(shè)點(diǎn)C、D而C、D兩點(diǎn)是相互獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的，故把點(diǎn)C、D設(shè)AD=BC= r，則C點(diǎn)可以看作是以B為圓心，r上的動(dòng)點(diǎn)，類似看待D點(diǎn)，故，設(shè)

C(a?rcosθ,rsinθ)、D(-a?rcos?,rsin?), 從而得N(cosθ?cos?sinθ?sin?,)22

易得：kBC?tan?,kAD?tan?【此處充分展現(xiàn)了圓的,參數(shù)方程的美妙之處】kMN?

sinθ?sin?????tan;cosθ?cos?2

第三篇：高考數(shù)學(xué)證明法高二

數(shù)學(xué)證明法（高二）

明確復(fù)習(xí)目標(biāo)

1．理解不等式的性質(zhì)和證明;

2．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式。

建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：

（1）比差法：步驟是：①作差；②分解因式或配方；③判斷差式符號(hào)；

（2）比商法：要證a>b且b>0，只須證 a?1。b

說明：①作差比較法證明不等式時(shí)，通常是進(jìn)行通分、因式分解或配方，利用各因式的符號(hào)或非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

②證冪、乘積的不等式時(shí)常用比商法，證對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用比差法。運(yùn)用比商法時(shí)必須確定兩式的符號(hào)；

2.綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（如均值不等式，常用不等式，函數(shù)單調(diào)性）作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式的方法。

3.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程

4．對(duì)較復(fù)雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法,或比較法加以證明。

5.要掌握證明不等式的常用方法，此外還要記住一些常用不等式的形式特點(diǎn),運(yùn)用條件,等號(hào)、不等號(hào)成立的條件等。

經(jīng)典例題做一做

【例1】（1）已知a,b∈R,求證:a2+b2+1>ab+a

a

22b22（2）設(shè)a?0,b?0,求證()?()?a2?b2.ba

【例2】已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.111

1【例3】已知?ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,且m為正數(shù).求證:abc??.a?mb?mc?m

【例4】設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜1.a

（1）當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，證明x＜f（x）＜x1；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，求證x0＜x1.2【研討.欣賞】已知a＞1，m＞0，求證：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.提煉總結(jié)以為師

1.比較法是一種最重要的、常用的基本方法，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握.步驟是：作差→變形(分解因式或配方)→判斷符號(hào).對(duì)于積或冪的式子可以作商比較,作商比較必須弄清兩式的符號(hào).2.對(duì)較復(fù)雜的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分條件,再證這個(gè)條件(不等式)成立.3.綜合法是最簡(jiǎn)捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,綜合法寫出.有時(shí)也需要幾種方法綜合運(yùn)用.4.要熟練掌握均值不等式、四種平均值之間的關(guān)系，記住一些常用的不等式，記住它們的形式特點(diǎn)、證明方法和內(nèi)在聯(lián)系。

【解答題】

y11x7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求證：＞ abx?ay?b

(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

8．己知a,b,c都是正數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)2.9.設(shè)x>0,y>0且x≠y,求證x?y?3133??x2?y

?

附錄：不等式基本概念

一．考試要求：

(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明.(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單不等式.(4)掌握簡(jiǎn)單不等式的解法.(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

【注意】不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)還是繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).縱觀歷年試題，涉及不等式內(nèi)容的考題大致可分為以下幾類：①不等式的證明；②解不等式；③取值范圍的問題；④應(yīng)用題.三．基礎(chǔ)知識(shí):

1.常用不等式：

（1）a,b?R?a?b?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))． 2

2a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))． 2

333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).（2）a,b?

R??

（4）柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.（5）a?b?a?b?a?b.2.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當(dāng)x?y時(shí)和x?y有最小值2p；

（2）若和x?y是定值s，則當(dāng)x?y時(shí)積xy有最大值

3.一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)212s.4(a?0,??b2?4ac?0)，22如果a與ax?bx?c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax?bx?c異號(hào)，則其解

集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).4.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí)，有

x?a?x2?a??a?x?a.x?a?x2?a2?x?a或x??a.5.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)a?1時(shí),af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.?f(x)?g(x)?

(2)當(dāng)0?a?1時(shí),af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?

三．基本概念

1、不等式的性質(zhì)：

（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a?b,c?d，則a?c?b?d（若a?b,c?d，則a?c?b?d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，則ac?bd

若a?b?0,0?c?d，則ab?； cd

nn（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若a?b?0，則a?

b?

（4）若ab?0，a?b，則1111?；若ab?0，a?b，則?。abab

2.不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。

3.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。

4.常用不等式有：

??(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；（1?222（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)，取等號(hào)）；

bb?m（3）若a?b?0,m?0，則?（糖水的濃度問題）。aa?m5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

6.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：

標(biāo)根法：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；

（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；

（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。

7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。

8.絕對(duì)值不等式的解法：

（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：

（2）利用絕對(duì)值的定義；

（3）數(shù)形結(jié)合9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。

11.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

a、b同號(hào)或有

0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

a、b異號(hào)或有

0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）

1).恒成立問題

若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?min?A

若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?max?B

第四篇：高二數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運(yùn)用

構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運(yùn)用

作者：酒鋼三中 樊等林

不等式的證明歷來是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是考察學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要方面。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來證明不等式，統(tǒng)稱為函數(shù)法。本文通過一些具體的例子來探討一下怎樣借助構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式。

一、構(gòu)造函數(shù)利用判別式證明不等式 ①構(gòu)造函數(shù)正用判別式證明不等式

在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。

例1.設(shè)：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當(dāng)⊿＝0時(shí)，b?c?0，此時(shí)，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時(shí)，不等式取等號(hào)。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得： a?(b?2)a?b?2b?1?0，此方程恒成立，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式

對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。

例3.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當(dāng)且僅當(dāng)a?,b?,c?時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當(dāng)a?,b?,c?時(shí)，(??)min?36

632abc

二、構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式

例5.設(shè)a﹤1，b﹤1，c﹤1，求證：ab?bc?ac﹥-1.解析：令f(x)?(b?c)x?bc?1為一次函數(shù)。

由于f(1)?(1?b)(1?c)﹥0，且f(x)?(1?b)(1?c)﹥0，∴f(x)在x?(?1,1)時(shí)恒有f(x)﹥0.又∵a?(?1,1)，∴f(a)﹥0，即：ab?bc?ac?1﹥0 評(píng)注：考慮式中所給三個(gè)變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f(a)??1。

三、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式

aba?b?例6.設(shè)a,b?R?，求證：﹥ 1?a1?b1?a?b解析：設(shè)f(x)?又x1?1?，當(dāng)x﹥0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，1?x1?xaba?b?aba?b?2aba?b?ab??f(a?b?ab)，＝﹥＝1?a1?b(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)1?a?b?ab而a,b?R?，∴a?b?ab﹥a?b，∴f(a?b?ab)﹥f(a?b)故有： aba?b?﹥ 1?a1?b1?a?b例7.求證：當(dāng)x﹥0時(shí)，x ﹥ln(1?x)。解析：令f(x)?x?ln(x?1)，∵x﹥0，∴f/(x)?1?1x? ﹥0.x?1x?1又∵f(x)在x?0處連續(xù)，∴f(x)在?0,???上是增函數(shù)，從而，當(dāng)x﹥0時(shí)，f(x)?x?ln(1?x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1?x)成立。

評(píng)注：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見的方法，特別是在引入導(dǎo)數(shù)后，單調(diào)性的應(yīng)用將更加普遍。

四、構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式

xx(x?0)。例8.求證：﹤x21?2xx?xx?x?2xx??＝解析：設(shè)f(x)?-(x?0)，f(?x)?＝x?xx221?21?22?12xxxxx1?(1?2)??x?＝＝f(x).21?2x21?2x??所以f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

當(dāng)x﹥0時(shí)，1?2x﹤0，故f(x)﹤0；當(dāng)x﹤0時(shí)，依圖象關(guān)于y軸對(duì)稱知f(x)﹤0。

xx(x?0)﹤21?2x評(píng)注：這里實(shí)質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來證明的，如何構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關(guān)健。

由上述幾種情況可以看出，能否順利地構(gòu)造函數(shù)利用其函數(shù)性質(zhì)和使用數(shù)學(xué)思想來證明不等式，最重要的是要有扎實(shí)的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨(dú)辟蹊徑，使問題獲得妙解。故當(dāng)x?0時(shí)，恒有f(x)﹤0，即

第五篇：高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考試50題基礎(chǔ)解析版

期中解答題精選50題（基礎(chǔ)版）

1．（2020·浙江）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（4，﹣2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分線方程；

（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），且點(diǎn)M和點(diǎn)N到直線l的距離相等，求直線l的方程.【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0

【詳解】解：（1）平面內(nèi)兩點(diǎn)M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），又直線MN的斜率為，所以線段MN的中垂線的斜率為，線段MN的中垂線的方程為，即x﹣3y＝0.（2）當(dāng)直線l與直線MN平行時(shí)，由（1）知，kMN＝﹣3，所以此時(shí)直線l的方程為y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；

當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（3，1）時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，所以直線方程為x＝3；

綜上知，直線l的方程為x＝3或3x+y﹣9＝0.2．（2020·長(zhǎng)春市第二十九中學(xué)高二期中（文））已知兩條直線

與的交點(diǎn)為P，直線的方程為：

（1）求過點(diǎn)P且與平行的直線方程；

（2）求過點(diǎn)P且與垂直的直線方程．

【答案】（1）；（2）．

【詳解】解：（1）由得,∴，∵，∴過點(diǎn)P且與平行的直線方程為：，即

（2）∵，過點(diǎn)P且與垂直的直線方程為：

即

3．（2021·全國高二期中）已知點(diǎn)在圓C：上．

（Ⅰ）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；

（Ⅱ）過點(diǎn)M（﹣1，1），斜率為的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

【答案】（Ⅰ）圓心，半徑；（Ⅱ）弦長(zhǎng)

【詳解】（Ⅰ）由題可知：

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

所以圓心，半徑

（Ⅱ）直線的方程為，即

則圓心到直線的距離為

所以弦長(zhǎng)

4．（2020·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高二期中（理））已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；

（2）求BC邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.【詳解】（1）因?yàn)锽(1，1)，C(7，3)，所以BC的中點(diǎn)為M(4，2).因?yàn)锳(2，4)在BC邊上的中線上，所以所求直線方程為=，即BC邊上的中線所在直線的方程為x+y-6=0.（2）因?yàn)锽(1，1)，C(7，3)，所以直線BC的斜率為=.因?yàn)锽C邊上的高所在直線與直線BC垂直，所以BC邊上的高所在直線的斜率為-3.因?yàn)锳(2，4)在BC邊上的高上，所以所求直線方程為y-4=-3(x-2)，即BC邊上的高所在直線的方程為3x+y-10=0.5．（2020·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高二期中（理））已知實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.【答案】5.【詳解】

表示點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方，若最小，則也最小，數(shù)形結(jié)合知的最小值為，故的最小值為5.6．（2020·重慶市萬州南京中學(xué)）在直角坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切，（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）過點(diǎn)的直線與圓交于?兩點(diǎn)，如果，求.【答案】（1）；（2）.【詳解】解:（1）圓的方程可化為，圓心，半徑，其中，因?yàn)閳A與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，解得；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，由垂徑定理，不合題意；

故直線斜率存在，設(shè)其方程為，即，圓心到直線的距離，由垂徑定理，即，解得，故直線的方程為，代入圓的方程，整理得，解得，于是，這里，)，所以.7．（2019·靜寧縣第一中學(xué)高二期中（理））過原點(diǎn)O作圓x2+y2-8x=0的弦OA．

(1)求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)延長(zhǎng)OA到N，使|OA|=|AN|，求N點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)x2+y2-4x=“0;“

(2)x2+y2-16x=0

試題分析：（1）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），那么A點(diǎn)坐標(biāo)是（2x，2y），A點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓x2+y2-8x=0的方程，所以，（2x）2+（2y）2-16x=0，化簡(jiǎn)得M

點(diǎn)軌跡方程為x2+y2-4x=0．

（2）設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），那么A點(diǎn)坐標(biāo)是（），A點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓x2+y2-8x=0的方程，得到：（）2+（）2-4x=0，N點(diǎn)軌跡方程為：x2+y2-16x=0．

8．（2019·蕪湖市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)（文））在中，邊上的高所在的直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求直線BC的方程；

（3）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【答案】（1）（2）（3）

試題分析：（1）直線和直線的交點(diǎn)得，即的坐標(biāo)為，（2）∵直線為邊上的高，由垂直得，所以直線BC的方程為

（3）∵的平分線所在直線的方程為，A(-1,0),B（1，2），,設(shè)的坐標(biāo)為，則，解得，即的坐標(biāo)為．

9．（2020·六安市城南中學(xué)高二期中（文））求圓心為且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【答案】．

【詳解】解：由題意可知圓的半徑為，所以所求的圓的方程為

10．（2020·山西大同一中高二期中（理））已知直線

（1）求直線的斜率；

（2）若直線m與平行，且過點(diǎn)，求m的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，可得，所以斜率為；

（2）由直線m與平行，且過點(diǎn)，可得m的方程為，整理得：.11．（2020·清遠(yuǎn)市清新區(qū)鳳霞中學(xué)）圓的圓心坐標(biāo)為，且過點(diǎn)

（1）求圓的方程；

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，說明理由.如果相交，則求弦長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）直線與圓相交；.【詳解】（1）圓的半徑．故圓的方程為．

（2）圓心到直線的距離，即，直線與圓相交，可知弦長(zhǎng)為．

12．（2020·天津市濱海新區(qū)漢沽第六中學(xué)高二期中）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．

（1）斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；

（2）斜率為4，在軸上的截距為；

（3）經(jīng)過，兩點(diǎn)；

【答案】（1）（2）（3）

【詳解】（1）由直線的點(diǎn)斜式方程可得

即

（2）由直線的斜截式方程可得

即

（3）由直線的兩點(diǎn)式方程可得

即

13．（2020·安徽宣城·高二期中（文））若點(diǎn)A與點(diǎn)B到直線的距離相等，求a的值．

【答案】或

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B到直線的距離相等，所以有：或，解得：或.14．（2020·湖北）已知點(diǎn)，直線L經(jīng)過A，且斜率為.（1）求直線L的方程；

（2）求以B為圓心，并且與直線L相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由題意，直線的方程為：，整理成一般式方程，得，∴直線L的方程為；

（2）由已知條件，得所求圓的圓心為，可設(shè)圓B方程為：，∵圓B與直線相切，∴

∴.故圓B的方程為.15．（2020·重慶市鳳鳴山中學(xué)）已知直線，圓C以直線的交點(diǎn)為圓心，且過點(diǎn)A(3,3)，（1）求圓C的方程；

（2）若直線

與圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求|MN|的長(zhǎng)度；

（3）求圓C上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．

【答案】（1）；（2）：（3）．

【詳解】（1）聯(lián)立直線方程，即可得交點(diǎn)C(1,3)，圓C的半徑，∴圓C的方程為：.（2）由C點(diǎn)到直線的距離，∴|MN|=2．

（3）由C點(diǎn)到直線的距離，即圓C上點(diǎn)到直線距離的最大值為．

16．（2020·四川高二期中（理））已知直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)

（1）求出該直線的直線方程(用點(diǎn)斜式表示)

（2）將（1）中直線方程化成斜截式，一般式以及截距式且寫出直線在x軸和y軸上的截距.【答案】（1）；（2）答案見解析.【詳解】解；（1）直線AB的斜率為

故直線AB的點(diǎn)斜式方程為：或.（2）由，得，可化為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x軸上的截距為；在y軸上的截距為

17．（2020·四川省成都市鹽道街中學(xué)高二期中）在中，邊上的高所在的直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，可得.（2）∵邊上的高所在的直線的方程為，∴，即，∴直線的方程為，整理得.18．（2020·合肥市廬陽高級(jí)中學(xué)高二期中（文））直線l經(jīng)過點(diǎn)，（1）直線l與直線垂直，求直線l的方程；

（2）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或

【詳解】（1）直線的斜率為，所以直線的斜率為，直線的方程為，即.（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，所以直線的方程為.19．（2020·九龍坡·重慶市育才中學(xué)）（1）已知直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程.（2）已知直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）．

【詳解】（1）直線的斜率，則，故直線的方程為；

（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，知，則直線的方程為．

20．（2018·北京市第二中學(xué)分校高二期中（理））如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，平面，且，．

（）求與平面所成角的正弦．

（）求二面角的余弦值．

【答案】(1)

.(2)

.詳解：

（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，即，兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，得，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，∴，∴，故與平面所成角的正弦值為．

（）由（）可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，∴，∴，故二面角的余弦值為．

21．（2021·廣西平果二中高二期中（理））如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析;(2).詳解：（1）連接，∵是正方形，是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)與平面所成角為，則.22．（2021·橫峰中學(xué)高二期中（理））如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．

（1）求異面直線EF與所成角的大小．

（2）證明：平面．

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，∴，，．

（1），∴

∴異面直線EF和所成的角為．

（2）

∴，即，∴即．

又∵，平面且

∴平面．

23．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）如圖所示，球O的球心O在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，半徑為1，且球O分別與x?y?z軸的正半軸交于A?B?C三點(diǎn)，已知球面上一點(diǎn).（1）求證：；

（2）求D?C兩點(diǎn)在球O上的球面距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）由題意，，，，；

（2），，D，C兩點(diǎn)在球O上的球面距離為；

24．（2021·重慶市第二十九中學(xué)校高二期中）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)（如圖1），將沿折起到的位置，連接，得到四棱錐（如圖2）

（1）證明：平面平面；

（2）若，連接，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析，（2）.【詳解】（1）連接圖1中的，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?/p>

所以為等邊三角形，所以

所以在圖2中有，因?yàn)?/p>

所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?/p>

（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫?/p>

以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系

所以

所以

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以

所以直線與平面所成角的正弦值

25．（2021·浙江溫州市·高二期中）在等腰梯形中，，E為中點(diǎn)，將沿著折起，點(diǎn)C變成點(diǎn)P，此時(shí)．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【詳解】（1）證明：取BE中點(diǎn)記為H,連結(jié)PH、CH，是CD中點(diǎn),，且，四邊形ABED是平行四邊形，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，由題意可知，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是中線，PH是中線，，又，平面PCH，；

（2）解：由（1）可求得，，又，平面，以為原點(diǎn)，HB，HC，HP所在直線為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面BCP的法向量為，即，令,則，平面BCP的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦值為.26．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高二期中）如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，，，把沿BE折起，使得，得到四棱錐.如圖2所示.（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）在等腰梯形中，，可知，由可得.又，則，則，又，可得平面

（2）又，則以點(diǎn)E為原點(diǎn)，以EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間之間坐標(biāo)系E-BDA.，，設(shè)平面的法向量為，則：

注意到，面AED的法向量，設(shè)平面ABC與平面AED所成銳二面角的平面角為，故

27．（2020·江西宜春市·宜春九中高二期中（文））已知圓，其中

（1）如果圓C與圓外切，求m的值；

（2）如果直線與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為，求m的值．

【答案】（1）；（2）

【詳解】解：（1）圓C的圓心為，半徑

因?yàn)閳AC與圓外切，所以兩圓的圓心距等于其半徑和，即，解得

（2）圓C的圓心到直線的距離

因?yàn)橹本€與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為，所以，解得

28．（2020·合肥市廬陽高級(jí)中學(xué)高二期中（文））（1）求過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知圓C：，圓心在直線上，且圓心在第二象限，半徑長(zhǎng)為求圓的一般方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，線段的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，線段的垂直平分線方程為.，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓心，∵圓心在直線上，∴，即.①

又∵半徑長(zhǎng)，∴.由①②可得或

又∵圓心在第二象限，∴，即.則.故圓的一般方程為.29．（2020·合肥市廬陽高級(jí)中學(xué)高二期中（文））直線l經(jīng)過點(diǎn)，（1）直線l與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4的直線方程.（2）直線l與兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小時(shí)的直線方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】設(shè)直線方程為，由直線l經(jīng)過點(diǎn)可得，（1）由題可得，解得，，則直線方程為；

（2），∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)面積取最小值，則直線方程為.30．（2020·黑龍江佳木斯一中高二期中（文））已知的三個(gè)頂點(diǎn)，．

（1）求邊上的中線所在直線方程以及中線的長(zhǎng)度；

（2）求邊上的高線的長(zhǎng)度．

【答案】（1）；；（2）.【詳解】（1）的三個(gè)頂點(diǎn)，，故邊上的中點(diǎn)，所以邊上的中線的長(zhǎng)度，邊上的中線所在直線方程為，即．

（2）由于邊所在的直線方程為，即，故邊上的高線的長(zhǎng)度，即點(diǎn)到直線的距離為．

31．（2020·通城縣第二高級(jí)中學(xué)高二期中）求過點(diǎn)，且與圓相切的直線l的方程.【答案】或.【詳解】設(shè)切線方程為，即，∵圓心到切線l的距離等于半徑2，∴，解得，∴切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑2.綜上可知，所求直線方程為或.32．（2020·四川省瀘縣第二中學(xué)（理））已知兩條直線，．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，與平行．

【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）若與垂直，則，解得：；

（2）若與平行，則，解得：.33．（2020·湖南湘潭市·湘潭一中高二期中）已知直線：

().（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的最小值并求此時(shí)直線的方程．

【答案】（1）證明見解析；（2）4，.【詳解】（1）證明：直線的方程可化為，令，則，解得，∴無論取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn).（2）由題意可知，再由的方程，得，．

依題意得：，解得．

∵.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，此時(shí)直線的方程為．

34．（2021·全國高二期中）已知斜率為的直線與圓心為的圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上.（1）求圓的方程；

（2）若直線與直線平行，且圓上恰有四個(gè)不同點(diǎn)到直線距離等于，求直線縱截距的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）依題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而圓的半徑.故所求圓的方程為.（2）因?yàn)椋O(shè)：，由圓上恰有四個(gè)不同點(diǎn)到直線距離等于，得圓心到直線的距離，解得.即直線縱截距的取值范圍為.35．（2020·黑龍江哈爾濱·哈九中高二期中（理））已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.（1）求邊上中線所在直線的方程；

（2）求邊上高所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）中點(diǎn)為，直線方程為：，即；

（2），直線方程為：，即.36．（2021·安徽省懷寧中學(xué)高二期中（文））大家知道，等邊三角形的重心(三條中線的交點(diǎn))?外心(三條邊的中垂線的交點(diǎn))?垂心(三條高的交點(diǎn))三點(diǎn)重合.（1）觀察等腰直角三角形(如圖)，若其重心是?外心為?垂心為，判斷??的位置關(guān)系以及線段和的長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系.（2）若是等腰三角形(如圖)，且，驗(yàn)證（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】（1）可得到??三點(diǎn)共線，且；（2）答案見解析.【詳解】（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰直角三角形中，所以有，顯然重心的坐標(biāo)為：，外心的坐標(biāo)為：，顯然垂心與點(diǎn)重合，，所以有，因此??三點(diǎn)共線，且；

（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：

因?yàn)椋杂校@然重心的坐標(biāo)為：，設(shè)，由，即

且，解得，即，設(shè)，因此有：，即，即，，所以有，因此??三點(diǎn)共線，且.37．（2020·安徽立人中學(xué)高二期中（文））已知圓過點(diǎn)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱．

（1）求圓、圓的方程；

（2）過點(diǎn)Q向圓和圓各引一條切線，切點(diǎn)分別為C，D，且，則是否存在一定點(diǎn)M，使得Q到M的距離為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)，并求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1），；（2）存在，Q到M的距離為定值．

【詳解】（1）設(shè)圓的圓心，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對(duì)稱，可得，解得，設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)，代入可得，所以圓的方程為，圓的方程為．

（2）由，根據(jù)切線長(zhǎng)公式，可得，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，所以存在定點(diǎn)使得Q到M的距離為定值．

38．（2021·安徽高二期中（文））已知圓：.（1）若圓的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；

（2）從圓外一點(diǎn)向圓引切線PM，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求使最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，.設(shè)圓的切線在x軸和y軸上的截距分別為a，b，①當(dāng)時(shí)，切線方程可設(shè)為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式，得.所以切線方程為.②當(dāng)時(shí)，切線方程為，即.由點(diǎn)到直線的距離公式，得，.所以切線方程為，.綜上，所求切線方程為，.（2）由圓的切線性質(zhì)可知：，∵，∴.即.整理得.∴.當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴.39．（2021·上海市長(zhǎng)征中學(xué)高二期中）1972年9月，蘇步青先生第三次來到江南造船廠，這一次他是為解決造船難題、開發(fā)更好的船體數(shù)學(xué)放樣方法而來，他為我國計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).造船時(shí)，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由于這條圓弧線的半徑很大，無法在鋼板上用圓規(guī)畫出，因此需要先求出這條圓弧線的方程，再用描點(diǎn)法畫出圓弧線.如圖，已知圓弧的半徑

r

=29米，圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)l

=12米，以米為單位，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求圓弧的方程（答案中數(shù)據(jù)精確到0.001米，）.【答案】

【詳解】

如圖，以所在直線為軸，弦的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓弧的圓心為，連接，則，所以，即圓心的坐標(biāo)為，所以圓弧的方程為

40．（2020·阜陽市耀云中學(xué)高二期中）三角形的頂點(diǎn)是A（，0）、B（，3）、C（0，5）.求這個(gè)三角形的三邊所在直線的方程.【答案】，．

【詳解】由題意直線方程為，即，直線方程為，即，直線方程為，即．

41．（2010·貴州遵義市·高二期中）已知正方形的中心為，一邊所在直線的方程為，求其他三邊所在的直線方程.【答案】，【詳解】正方形的中心到四邊的距離均為，設(shè)正方形中與已知直線平行的邊所在的直線方程為，則，即，解得（舍去）或.故與已知直線平行的邊所在的直線方程為；

設(shè)正方形中與已知直線垂直的邊所在的直線方程為，則，即，解得或，所以正方形另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為和；

綜上所述，正方形其他三邊所在的直線方程分別為，.42．（2020·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，．

（1）求圓的方程；

（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過，三點(diǎn)，則有，解可得：，，故要求圓的方程為；

（2）根據(jù)題意，圓的方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，則圓心到直線的距離，則有：，解可得：，故．

43．（2020·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．求：

（1）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程．

（2）中，邊上的高線所在直線的方程．

【答案】（1）；（2）．

【詳解】解：（1）因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以直線的斜率為，則過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，即.（2）因?yàn)橹本€的斜率為，所以中邊上的高所在直線的斜率為-1，又高所在直線過點(diǎn)，所以高所在直線的方程為，即．

44．（2021·江西高安中學(xué)高二期中（理））如圖所示的幾何體中，是菱形，平面，.（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)交于，連結(jié)，在菱形中，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，又，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，則，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）中證明知，平面，則，兩兩垂直，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由及是菱形，得，，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，求得，所以，同理，可求得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面構(gòu)成的二面角的平面角為，則，又，∴，∴平面與平面構(gòu)成的二面角的正弦值為.45．（2020·安徽淮北·高二期中（理））如圖所示，與都是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，平面，．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，因?yàn)闉檎切危裕?/p>

由于平面平面，平面平面，所以平面．

又因?yàn)槠矫妫裕制矫妫矫妫云矫妫?/p>

（2）連接，則，又平面．

取為原點(diǎn)，直線，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．．

設(shè)平面的法向量為，由

得，解得，取，得．又平面的法向量為，所以，設(shè)所求二面角為，則．

46．（2021·北京一七一中）如圖，在四棱錐中，平面平面，O，M分別為線段AD，DE的中點(diǎn)．四邊形BCDO是邊長(zhǎng)為1的正方形，．

（1）求證：平面ABE；

（2）求直線DE與平面ABE所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）

【詳解】解：（1）如圖取線段中點(diǎn)，連接、，為中點(diǎn)，，又四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．四邊形為平行四邊形，．

面，面，平面；

（2）連接，為中點(diǎn)，．

面，面面，面面．

面．

又面，面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．，，0，，1，，1，，0，，設(shè)面的法向量為，由，可取．，．

直線與平面所成角的正弦值為；

47．（2021·北京延慶·高二期中）如圖，正方體中，棱長(zhǎng)為2，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【詳解】解：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，．

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．

所以，．

所以四邊形是平行四邊形．

所以．

因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?/p>

（Ⅱ）因?yàn)檎襟w中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

所以，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以

所以直線與平面所成角的正弦值．

48．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）如圖1，在等腰梯形中，分別是的兩個(gè)三等分點(diǎn)．若把等腰梯形沿虛線折起，使得點(diǎn)和點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【詳解】解：（1）因?yàn)榉謩e是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以四邊形是正方形；

所以，又因?yàn)椋遥矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?/p>

（2）過作于，過作的平行線交于，則面，又所在直線兩兩垂直，故以它們所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則

同理，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.49．（2020·山西晉城·高二期中（理））如圖，在多面體中，平面，點(diǎn)到平面的距離為，是正三角形，．

（1）證明：．

（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，且，就是點(diǎn)到平面的距離，即平面

平面，又，四邊形是平行四邊形，是正三角形，．

（2）解：由（1）得平面，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，，則由得，令，得．

設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．

50．（2020·天津市天津中學(xué)高二期中）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離；

（4）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則，由題意可知，是平面的一個(gè)法向量，又，所以，又平面，故平面；

（2）解：由（1）可知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，所以，故二面角的正弦值為；

（3）解：因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為；

（4）解：由題意，設(shè)，其中，則，所以，又時(shí)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)橹本€和平面所成角的正弦值為，則，整理可得，又，解得或（舍），故線段的長(zhǎng)為.