第一篇：全國初中數學競賽輔導(初3) 第19講 平面幾何中的幾個著名定理

第十九講*平面幾何中的幾個著名定理

幾何學起源于土地測量，幾千年來，人們對幾何學進行了深入的研究，現已發展成為一門具有嚴密的邏輯體系的數學分支．人們從少量的公理出發，經過演繹推理得到不少結論，這些結論一般就稱為定理．平面幾何中有不少定理，除了教科書中所闡述的一些定理外，還有許多著名的定理，以這些定理為基礎，可以推出不少幾何事實，得到完美的結論，以至巧妙而簡捷地解決不少問題．而這些定理的證明本身，給我們許多有價值的數學思想方法，對開闊眼界、活躍思維都頗為有益．有些定理的證明方法及其引伸出的結論體現了數學的美，使人們感到對這些定理的理解也可以看作是一種享受．下面我們來介紹一些著名的定理．

1．梅內勞斯定理

亞歷山大里亞的梅內勞斯(Menelaus，約公元100年，他和斯巴達的Menelaus是兩個人)曾著《球面論》，著重討論球面三角形的幾何性質．以他的名子命名的“梅內勞斯定理”現載在初等幾何和射影幾何的書中，是證明點共線的重要定理．

定理 一直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或延長線分別相交于X，Y，Z，則

證 過A，B，C分別作直線XZY的垂線，設垂足分別為Q，P，S，見圖3－98．由△AXQ∽△BXP得

同理

將這三式相乘，得

說明(1)如果直線與△ABC的邊都不相交，而相交在延長線上，同樣可證得上述結論，但一定要有交點，且交點不在頂點上，否則定理的結論中的分母出現零，分子也出現零，這時定理的結論應改為

AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．

(2)梅內勞斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的邊AB和AC上分別取點X，Z，在BC的延長線上取點Y，如果

那么X，Y，Z共線”．梅內勞斯定理的逆定理常被用來證明三點共線．

例1 已知△ABC的內角∠B和∠C的平分線分別為BE和CF，∠A的外角平分線與BC的延長線相交于D，求證：D，E，F共線． 證如圖3－99有

相乘后得

由梅內勞斯定理的逆定理得F，D，E共線．

例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一點S，則AB與A′B′，BC與B′C′，AC與A′C′的交點F，D，E共線．

證 如圖3－100，直線FA′B′截△SAB，由梅內勞斯定理有

同理，直線EC′A′和DC′B′分別截△SAC和△SBC，得

將這三式相乘得

所以D，E，F共線．

2．塞瓦定理

意大利數學家塞瓦(G．Ceva)在1678年發表了下面的十分有用的定理，它是證明共點線的重要定理．

定理 在△ABC內任取一點P，直線AP，BP，CP分別與邊BC，CA，AB相交于D，E，F，則

證 如圖3－101，過B，C分別作直線AP的垂線，設垂足為H和K，則

由于△BHD∽△CKD，所以

同理可證

將這三式相乘得

說明(1)如果P點在△ABC外，同樣可證得上述結論，但P點不能在直線AB，BC，CA上，否則，定理的結論中的分母出現零，分子也出現零，這時，定理的結論應改為

BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．

(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的邊BC，CA，AB上分別取點D，E，F，如果

那么直線AD，BE，CF相交于同一點．”

證 如圖3－102，設AD和BE相交于P，作直線CP，交直線AB于F′，由塞瓦定理得

所以 F′B=FB，即F′與F重合，所以AD，BE，CF相交于同一點．

塞瓦定理的逆定理常被用來證明三線共點．

例3 求證：三角形的三條中線、三條內角平分線和三條高所在的直線分別相交于同一點．

證(1)如果D，E，F分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點，則

由塞瓦定理的逆定理得中線AD，BE，CF共點．

(2)如果D，E，F分別是△ABC的內角平分線AD，BE，CF與邊BC，CA，AB的交點，則

由塞瓦定理的逆定理得角平分線AD，BE，CF共點．

(3)設D，E，F分別是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．

(i)當△ABC是銳角三角形時(如圖3－103)，D，E，F分別在BC，CA，AB上，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以

由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共點．

(ii)當△ABC是鈍角三角形時，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos(180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A)=-bcosA，FB=acosB，所以

由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共點．

(iii)當△ABC是直角三角形時，高AD，BE，CF都經過直角頂點，所以它們共點．

例4 在三角形ABC的邊上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的邊BC，CA，AB的對邊的中點，證明：直線AA1，BB1，CC1相交于一點．

證 如圖3－104．設直線AA1，BB1，CC1與邊BC，CA，AB的交點分別為A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于從點B和C到邊AA1的垂線的長度之比，即

其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理

將上述三式相乘得

根據塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共點．

3．斯臺沃特定理

定理 △ABC的邊BC上任取一點D，若BD=u，DC=v，AD=t，則

證 過A作AE⊥BC，E為垂足(如圖3－105)，設DE=x，則有

AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延長線上，則v-x換成x-v．)于是得

消去x得

(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，這就是中線長公式．

(2)當AD是△ABC的內角平分線時，由三角形的內角平分線的性質

設a+b+c=2p，得

這就是內角平分線長公式．

(3)當AD是△ABC的高時，AD2=b2-u2=c2-v2．

再由u+v=a，解得

所以

若設AD=ha，則

這就是三角形的高線長公式．當D在BC的延長線上時，用-v代替v，同樣可得高線長線公式．

這就是三角形的面積公式．

倫公式

例5 如圖3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分線，E在BC上，BE=CD．求證：

AE2-AD2=(c-b)2．

證 為方便起見，設BD=u，DC=v，則BE=v，EC=u．由斯臺沃特定理得

所以

因為AD是角平分線，所以

于是

4．托勒密定理

托勒密(Ptolemy，約公元85～165年)是古代天文學的集大成者．一般幾何教科書中的“托勒密定理”(圓內接四邊形的對邊積之和等于對角線之積)，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．

定理 如果四邊形內接于圓，那么它的兩對對邊的乘積之和等于它的對角線的乘積．

證 設四邊形ABCD有外接圓O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(圖3－107)．若四邊形ABCD的四邊都相等，則四邊形ABCD為圓內接菱形，即正方形，結論顯然成立．若四邊不全相等，不失一般性，設

∥BD，于是△ABD≌△EDB，從而AD=BE．

又

而

S四邊形ABCD=S四邊形BCDE，所以

即

(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα． 由于

∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，所以

AD×BC+AB×CD=AC×BD．

說明(1)托勒密定理可以作如下推廣：“在凸四邊形ABCD中，AB×CD+AD×BC≥AC×BD．

當且僅當四邊形ABCD是圓內接四邊形時，等號成立．”

由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．

(2)托勒密定理的證明方法很多，這里采用的是面積證法．還可采用相似三角形或余弦定理證明，請讀者自行完成．

例6 如圖3－108．過A的圓截平行四邊形ABCD的邊和對角線分別于P，Q，R，求證：

AP×AB+AQ×AD=AR×AC．

證 連結PQ，PR，QR．在圓內接四邊形APRQ中，由托勒密定理得

AP×QR+AQ×PR=AR×PQ．

又因為∠1=∠2，∠3=∠4，所以△PQR∽△CAB，于是

設上面的比值為k，并考慮到BC=AD，有 QR=k·AB，PR=k·AD，PQ=k·CA，于是可推得

AP×AB+AQ×AD=AR×AC．

例7 如圖3－109．等邊△ABC內接于△XYZ，A在YZ上，B在ZX上，C在XY上，證明：

證 對四邊形ABXC運用托勒密定理，得

AX·BC≤BX·AC+XC·AB，所以

AX≤BX+XC．

同樣地

BY≤CY+YA，CZ≤AZ+ZB．

將上述三式相加就得所要證明的不等式．

等號成立的充分必要條件是X，Y，Z在△ABC的外接圓上，但∠ZBX，∠XCY，∠YAZ都等于π，因此等號成立只能是X，Y，Z分別與C，A，B重合的情況．

平面幾何中的著名定理，除了上述所介紹的梅內勞斯定理、塞瓦定理、斯臺沃特定理、托勒密定理外，還有斯泰納-萊默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫萊定理等等．這里，限于篇幅，因此不作討論．

練習十九

1．已知△ABC的內角∠B和∠C的平分線分別為BE和CF，∠A的外角平分線與BC的延長線相交于D．求證：D，E，F共線．

2．過△ABC的三個頂點A，B，C分別作△ABC的外接圓的切線，分別和BC，CA，AB的延長線交于D，E，F．求證：D，E，F三點共線．

3．在△ABC的邊BC上任取一點D，設∠ADB和∠ADC的角平分線分別交AB，AC于F和E．求證：AD，BE，CF相交于同一點．

4．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD和AC的長．

PA(PA+PC)=PB(PB+PD)．

6．設P是等邊三角形ABC所在平面上的任意一點，那么根據P落

PC+PA=PB或PC+PA＞PB．

第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數}

中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號表示．例如17除以4，商是4，余數是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．

(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；

(2)求證：a是負偶數；

(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？

自測題三

2．對于任意實數k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．

(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最?。?/p>

(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最??？

(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？

自測題四

1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．

7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？

(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？

自測題五

2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a，b，c是三個自然數，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當A點在BC上時，將怎樣？

按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最??？

第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第三十一講復習題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實數x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：

25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質的最小正整數n：

(1)它以數字6結尾；

(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．

27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．

34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．

35．求證：當p，q為奇數時，方程

x2＋px＋q=0

無整數根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．

37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．

46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？

47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？

49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？

50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：

(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；

(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．

第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第08講平行四邊形

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：

(1)平行四邊形對角相等；

(2)平行四邊形對邊相等；

(3)平行四邊形對角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因為ABCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發生聯系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因為AD∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內錯角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內錯角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發現△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內很難發現，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發現，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．

證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因為DEBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第14講 中位線及其應用

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第十四講 中位線及其應用

中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．

例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面積．

分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質及條件中所給出的數量關系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長．

解 由已知，E，F分別是AB，BD的中點，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以

由條件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，從而 AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點，所以EG是△ABC的一條中位線，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以

例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求證：GH∥BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

分析 若延長AG，設延長線交BC于M．由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點；同樣，延長AH交BC于N，H是AN的中點，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進而，利用△ABC的三邊長可求出GH的長度．

(1)證 分別延長AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

從而，G是AM的中點．同理可證

△ACH≌△NCH(ASA)，從而，H是AN的中點．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即

HG∥BC．

(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

從而

MN=18-4-9=5(厘米)，說明(1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”．

(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對邊”．同學們不妨自己證明．

(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結論GH∥BC仍然成立．同學們也不妨試證．

例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內的一點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點．求證：A′C′=B′D′．

分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點，有經驗的同學知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′

與B′D′則是它的對角線，從而四邊形A′B′C′D′應該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點．

證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

從而

AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以

A′C′=B′D′． ①

說明 在解題過程中，人們的經驗?？善鸬揭l聯想、開拓思路、擴大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經驗，對尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結，積累經驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．

例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F分別是AC，BD的中點．求證：

分析 在多邊形的不等關系中，容易引發人們聯想三角形中的邊的不

形中構造中位線，為此，取AD中點．

證 取AD中點G，連接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點)，所以

同理，由F，G分別是BD和AD的中點，從而，FG是△ABD的中位線，所以

在△EFG中，EF＞EG-FG． ③

由①，②，③

例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．

分析 本題等價于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

在E點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解．

證 取梯形另一腰AD的中點F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以

因為AD=AB+CD，所以

從而

∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內角和等于180°)．從而

∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．

例6 如圖2-60所示．△ABC外一條直線l，D，E，F分別是三邊的中點，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求證：

AA1+EE1=FF1+DD1．

分析 顯然ADEF是平行四邊形，對角線的交點O平分這兩條對角線，OO1恰是兩個梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．

證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對角線AE，DF互相平分，設它們交于O，作OO1⊥l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以

即 AA1+EE1=FF1+DD1．

練習十四

1．已知△ABC中，D為AB的中點，E為AC上一點，AE=2CE，CD，BE交于O點，OE=2厘米．求BO的長．

2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長．

3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分別是AB，BC，AC的中點．求證：∠BFE=∠EGD．

4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F分別是CD，AB的中點，延長AD，BC，分別交FE的延長線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．

5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分別是BC，CA，AB的中點(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．

6．如圖2-63所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．

7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F分別是AB，CD