第一篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第05講 恒等式的證明
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第五講 恒等式的證明
代數式的恒等變形是初中代數的重要內容，它涉及的基礎知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運算法則，因式分解的知識與技能技巧等等，因此代數式的恒等變形是學好初中代數必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先復習一下基本知識，然后進行例題分析．
兩個代數式，如果對于字母在允許范圍內的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數式恒等．
把一個代數式變換成另一個與它恒等的代數式叫作代數式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數式相等．
證明恒等式，沒有統一的方法，需要根據具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明．對于后者，同學們要善于利用附加條件，使證明簡化．下面結合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．
1．由繁到簡和相向趨進
恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導)和“相向趨進”(即將等式兩邊同時轉化為同一形式)．
例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．
分析 將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡成右邊．
證 因為x+y+z=xyz，所以
左邊=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)
=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右邊．
說明 本例的證明思路就是“由繁到簡”．
例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且
證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，則
又因為
所以
所以
說明 本例的證明思路是“相向趨進”，在證明方法上，通過設參數k，使左右兩邊同時變形為同一形式，從而使等式成立．
2．比較法
a=b(比商法)．這也是證明恒等式的重要思路之一．
例3 求證：
分析 用比差法證明左-右=0．本例中，這個式子具有如下特征：如果取出它的第一項，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項；若對第二項的字母實行上述輪換，則可得出第三項；對第三項的字母實行上述輪換，可得出第一項．具有這種特性的式子叫作輪換式．利用這種特性，可使輪換式的運算簡化．
證 因為
所以
所以
說明 本例若采用通分化簡的方法將很繁．像這種把一個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．
不為零．證明：
(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
全
同理
所以
所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
說明 本例采用的是比商法．
3．分析法與綜合法
根據推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結論出發，尋求在什么情況下結論是正確的，這樣一步一步逆向推導，尋求結論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結論正確，即所謂“執果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因導果”，即從已知條件出發順向推理，得到所求結論．
證 要證 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要證
a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證
這最后的等式正好是題設，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立．
說明 本題采用的方法是典型的分析法．
例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數，求證：a=b=c=d．
證 由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
因為(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以
a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因為a，b，c，d都為正數，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
a＝b，c=d．
所以
ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．
說明 本題采用的方法是綜合法．
4．其他證明方法與技巧
求證：8a+9b+5c=0．
a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．
所以
6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得
6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)
=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．
說明 本題證明中用到了“遇連比設為k”的設參數法，前面的例2用的也是類似方法．這種設參數法也是恒等式證明中的常用技巧．
例8 已知a+b+c=0，求證
2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．
分析與證明 用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．
左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2
=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
=(a2-b2-c2)2-4b2c2
=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)
=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]
=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．
說明 本題證明過程中主要是進行因式分解．
分析 本題的兩個已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法．
證 由已知
說明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．
例10 證明：
(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．
分析與證明 此題看起來很復雜，但仔細觀察，可以使用換元法．令
y+z-2x=a，① z+x-2y=b，② x+y-2z=c，③
則要證的等式變為
a3+b3+c3=3abc．
聯想到乘法公式：
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以將①，②，③相加有
a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以
(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．
說明 由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發揮效力．
例11 設x，y，z為互不相等的非零實數，且
求證：x2y2z2=1．
分析 本題x，y，z具有輪換對稱的特點，我們不妨先看二元的所以x2y2=1．三元與二元的結構類似．
證 由已知有
①×②×③得x2y2z2=1．
說明 這種欲進先退的解題策略經常用于探索解決問題的思路中．
總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關鍵是代數式的變形技能．同學們要在明確變形目的的基礎上，深刻體會例題中的常用變形技能與方法，這對以后的數學學習非常重要．
練習五
1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求證：2b=a+c．
2．證明：
(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3
=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．
3．求證：
5．證明：
6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求證：
x=y=z或x+y+z=0．
7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求證：
(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．
第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題
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第三十二講 自測題
自測題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．
9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對于集合
p={x丨x是1到100的整數}
中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．
(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；
(2)求證：a是負偶數；
(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．
5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？
自測題三
2．對于任意實數k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．
(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最省？
(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？
(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？
自測題四
1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．
6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．
7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？
(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？
自測題五
2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三個自然數，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當A點在BC上時，將怎樣？
按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？
第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題
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第三十一講復習題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實數x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：
25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質的最小正整數n：
(1)它以數字6結尾；
(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．
27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．
34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．
35．求證：當p，q為奇數時，方程
x2＋px＋q=0
無整數根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．
37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．
46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？
47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？
49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？
50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：
(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；
(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．
第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第08講平行四邊形
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第八講平行四邊形
平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．
由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：
(1)平行四邊形對角相等；
(2)平行四邊形對邊相等；
(3)平行四邊形對角線互相平分．
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：
分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．
證 因為ABCD是平行四邊形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．
例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．
分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發生聯系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．
證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．
因為AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(內錯角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
從而
EH∥AC(內錯角相等，兩直線平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以
FC=EH=AE．
說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發現△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．
人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．
例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內很難發現，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發現，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．
證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，則
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
從而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．
分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．
證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)．求證：
分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．
證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．
分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．
證 因為DEBD=FD，所以
BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
練習十二
1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．
3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．
5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第23講 幾何不等式
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第二十三講 幾何不等式
平面圖形中所含的線段長度、角的大小及圖形的面積在許多情形下會呈現不等的關系．由于這些不等關系出現在幾何問題中，故稱之為幾何不等式．
在解決這類問題時，我們經常要用到一些教科書中已學過的基本定理，本講的主要目的是希望大家正確運用這些基本定理，通過幾何、三角、代數等解題方法去解決幾何不等式問題．這些問題難度較大，在解題中除了運用不等式的性質和已經證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點和性質．
幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式．下面先給出幾個基本定理．
定理1 在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊．
定理2 同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然．
定理3 在兩邊對應相等的兩個三角形中，第三邊大的，所對的角也大，反之亦然．
定理4 三角形內任一點到兩頂點距離之和，小于另一頂點到這兩頂點距離之和．
定理5 自直線l外一點P引直線l的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長．
說明 如圖2-135所示．PA，PB是斜線，HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，則PA＞PB；若PA＞PB，則HA＞HB．事實上，由勾股定理知
PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以
PA2-PB2=HA2-HB2．
從而定理容易得證．
定理6 在△ABC中，點P是邊BC上任意一點，則有
PA≤max｛AB，AC｝，當點P為A或B時等號成立．
說明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的較大者，如圖2-136所示，若P在線段BH上，則由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，從而
PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在線段HC上，同樣有PA≤max｛AB，AC｝．
例1 在銳角三角形ABC中，AB＞AC，AM為中線，P為△AMC內一點，證明：PB＞PC(圖2-137)．
證 在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．
過點P作PH⊥BC，垂足為H，則H必定在線段BM的延長線上．如果H在線段MC內部，則
BH＞BM=MC＞HC．
如果H在線段MC的延長線上，顯然BH＞HC，所以PB＞PC．
例2 已知P是△ABC內任意一點(圖2-138)．
(1)求證：
＜a＋b＋c；
(2)若△ABC為正三角形，且邊長為1，求證：
PA+PB＋PC＜2．
證(1)由三角形兩邊之和大于第三邊得
PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把這三個不等式相加，再兩邊除以2，便得
又由定理4可知
PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．
把它們相加，再除以2，便得
PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以
(2)過P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，如圖2-138所示．于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以
PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC
=AB＋AE＋EC=2．
例3 如圖2-139．在線段BC同側作兩個三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC與BD相交于E，求證：AE＞DE．
證 在DB上取點F，使DF=AC，并連接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC
=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．
由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以
DC＋BF=AC=AB．
在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．
在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
由定理3，∠1＞∠2，所以
AE＞DE．
例4 設G是正方形ABCD的邊DC上一點，連結AG并延長交BC延長線于K，求證：
分析 在不等式兩邊的線段數不同的情況下，一般是設法構造其所
為邊的三角形．
證 如圖2-140，在GK上取一點M，使GM=MK，則
在Rt△GCK中，CM是GK邊上的中線，所以
∠GCM=∠MGC．
而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是
∠MGC＞45°，所以
∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．
由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
例5 如圖2-141．設BC是△ABC的最長邊，在此三角形內部任選一點O，AO，BO，CO分別交對邊于A′，B′，C′．證明：
(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；
(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
證(1)過點O作OX，OY分別平行于邊AB，AC，交邊BC于X，Y點，再過X，Y分別作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大邊，所以
OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．
又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大邊，從而BX也是△BXS中的最大邊，而且SXOC′是平行四邊形，所以
BX＞XS=OC′．
同理
CY＞OB′．
所以
OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．
所以
OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′
≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
=max｛AA′，BB′，CC′｝
下面我們舉幾個與角有關的不等式問題．
例6 在△ABC中，D是中線AM上一點，若∠DCB＞∠DBC，求證：∠ACB＞∠ABC(圖2-142)．
證 在△BCD中，因為∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．
在△DMB與△DMC中，DM為公共邊，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以
∠ACB＞∠ABC．
說明 在證明角的不等式時，常常把角的不等式轉換成邊的不等式．
證 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如圖2
即證BD∠CD．因為△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．
又 CD＞BC-BD，所以
BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．
從而命題得證．
例8 在銳角△ABC中，最大的高線AH等于中線BM，求證：∠B＜60°(圖2-144)．
證 作MH1⊥BC于H1，由于M是中點，所以
于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．
延長BM至N，使得MN=BM，則ABCN為平行四邊形．因為AH為最ABC中的最短邊，所以
AN=BC＜AB，從而
∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．
下面是一個非常著名的問題——費馬點問題．
例9 如圖2-145．設O為△ABC內一點，且
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點(不是O)．求證：
PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．
證 過△ABC的頂點A，B，C分別引OA，OB，OC的垂線，設這三條垂線的交點為A1，B1，C1(如圖2-145)，考慮四邊形AOBC1．因為
∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1為正三角形．
設P到△A1B1C1三邊B1C1，C1A1，A1B1的距離分別為ha，hb，hc，且△A1B1C1的邊長為a，高為h．由等式
S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1
知
所以 h=ha＋hb＋hc．
這說明正△A1B1C1內任一點P到三邊的距離和等于△A1B1C1的高h，這是一個定值，所以
OA＋OB＋OC=h=定值．
顯然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三邊距離和，所以
PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．
這就是我們所要證的結論．
由這個結論可知O點具有如下性質：它到三角形三個頂點的距離和小于其他點到三角形頂點的距離和，這個點叫費馬點．
練習二十三
1．設D是△ABC中邊BC上一點，求證：AD不大于△ABC中的最大邊．
2．AM是△ABC的中線，求證：
3．已知△ABC的邊BC上有兩點D，E，且BD=CE，求證：AB＋AC＞AD＋AE．
4．設△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，求證：BD＞CE．
5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求證：
AB+CF≥AC＋BE．
6．在△ABC中，AB＞AC，AD為高，P為AD上的任意一點，求證：
PB-PC＞AB-AC．
7．在等腰△ABC中，AB=AC．
(1)若M是BC的中點，過M任作一直線交AB，AC(或其延長線)于D，E，求證：2AB＜AD+AE．
(2)若P是△ABC內一點，且PB＜PC，求證：∠APB＞∠APC．
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