第一篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第28講 怎樣把實際問題化成數學問題(一)

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第二十八講 怎樣把實際問題化成數學問題(一)

數學從邏輯上講，是訓練思維的工具．通過學習數學可以使人更加聰明，辦事更有條理，思維更加靈活而富于創造性．另一方面，如果從應用上講，數學也是一種應用技術，應用數學知識、原理和方法可以解決各種實際問題．那么怎樣把一個實際問題化成數學問題來解決呢？這是一個比較復雜的過程，大體上可以通過以下步驟進行：

(1)了解實際問題中量的關系和圖形元素的關聯；

(2)根據量或圖形間的關系，尋找相應的數學模式；

(3)考慮數學模式中的條件與結論的蘊涵關系，提出數學問題；

(4)應用數學知識、原理，求出數學問題的解答；

(5)由數學問題的解答，對實際問題作出解釋與討論；

(6)推廣數學模式所能解決的更廣泛的實際問題．

但是由于實際問題千變萬化，特別復雜，所以當把實際問題化成數學問題求解時，也有不同的思考方法．下面提出幾點較為常見的方法，供讀者參考．

1．抽象分析法

例1 “七橋問題”．在18世紀東普魯士的首府哥尼斯堡有一條河，叫作布勒格爾河，橫貫城區，在這條河上共架有七座橋(圖2-146)．所謂“七橋問題”就是：一個人要一次走過這七座橋，但對每一座橋只許通過一次，問如何走才能成功？這個問題，引起當時德國人的好奇，很多人都熱衷于解決它，但誰也沒有成功．

歐拉(Euler)是一位大數學家，由于千百人的失敗，使他猜想：這種走法可能根本不存在．但是怎樣證明這種走法不可能呢？歐拉運用抽象分

析法，將之化成數學問題，于1736年證明了他的猜想，使“七橋問題”得到圓滿的解決．那么歐拉是怎樣抽象成數學問題進行思考的呢？

使問題簡單化．

作為解決實際問題的第一步，要盡可能使問題簡單化．為此要抓住問題的要點，做初步的抽象處理．顯然島的大小和橋的長短與問題無關，因此可以不加考慮．如果把島及陸地用點表示，橋用線表示，那么這個問題就成了一筆畫問題(圖2-147)．

在圖2-147中，由A到B有橋1；由B到D有橋2，橋3；由D到C有橋4，橋5；由C到A有橋7；由A到D有橋6，共七座橋．這樣，就把實際問題數學化了，使問題的解決推進了一步．

一般說來，在數學思考中，常把原問題不改變本質地加以變形，使其簡單化，以利于找到解答．例如，列方程解應用問題就是這種思想的一種體現．先把實際問題化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解變形，化為最簡方程，較容易地求出方程的解，實際問題也就解決了．

尋找解決問題的方法．

問題簡化了，也不一定能得到解決，關鍵是如何抓住本質加以分析，從中發現規律性．為此，我們還是從更特殊的情況進行觀察分析．

(1)假如只有三座橋(圖2-148)．對于圖2-148(a)來說，無論從哪個端點起一筆畫出總是可能的．但對圖2-148(b)來說，無論從哪個端點起，一筆畫完總是不可能的．

(2)假如有四座橋(圖2-149)．對于圖2-149(a)，(b)來說，顯然可以一筆畫成．但對圖2-149(c)來說，卻不能一筆畫成．

研究了這些簡單例子，對我們有什么啟發呢？為此，數學家提出了網絡這一概念，以便利用新概念的特性，解決已經提出的問題．

定義 網絡是由有限個點(稱作網絡的頂點)和有限條線(稱作網絡的弧)所組成的圖形．這些點和線滿足以下條件：

(i)每條弧都以不同的兩個頂點作為端點；

(ii)每個頂點至少是一條弧的端點；

(iii)各弧彼此不相交．

這樣，所謂一筆畫問題，就是網絡中的同一條弧不許畫兩次，而把網絡全部勾畫出來的問題．

(3)研究網絡能一筆畫出的特點，尋找解決問題的方法．我們假定一個網絡能一筆畫出來，那么這個網絡中顯然有一點為起點，另一點為終點，其他各點為通過點．設某點為起點，如果以某點為頂點的弧不只一條，那么由某點沿一條弧畫出去，必沿另一條弧畫回來，因此，最初是畫出去，然后進出若干次后，把集中在某點的弧全部通過完畢為止，最后一次必須是畫出去，所以在起點集中的弧必須是奇數條．而終點的情況剛好與起點相反，先是畫進，再畫出，進出若干次，最后一次必是畫進，因此終點也集中奇數條?。瘘c與終點同為一點時，必是先出后進，中間或許經過若干次進出，最終回到起點．因此在該點集中的弧必是偶數條，而在中途通過的點所集中的弧顯然也必定是偶數條．

通過上面分析可知：一個網絡中的點可分為兩類，一類頂點集中了偶數條弧，另一類頂點集中了奇數條?。覀兎Q前者為偶點，后者為奇點．例如，在圖2-149(b)中，A，B為奇點，C，D為偶點．通過對圖2-148和圖2-149的考察，我們可以直觀地想到如下結論：

(i)一個網絡若能一筆畫出來，其中偶點個數必須是0或2．

(ii)一個網絡中的奇點個數若是0或2，那么這個網絡一定能一筆畫出來．

歐拉證明了以上兩條猜想，得到了著名的歐拉定理：一個網絡能一筆畫的條件是當且僅當這個網絡的任意兩個頂點都有弧連接，并且奇數點的個數等于0或2．

(4)回到原問題．利用歐拉定理，“七橋問題”很容易就解決了．因為在圖2-147中，奇點個數是4，不滿足歐拉定理的條件，因此不可能按約定條件通過七座橋．

(5)推廣．如果一個網絡的奇點個數不是0或2，則這個網絡不可能一筆畫成．那么要多少筆才能畫成呢？這就成為多筆畫的問題了．多筆畫的研究發展了網絡理論的研究與應用，后來發展成現代數學的一個分支——圖論．

歸納上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解決實際問題的思維過程：

(1)把實際問題簡單化，抽象成數學問題．

(2)解決問題是靠發現事物間由簡單到復雜、由特殊到一般的內在聯系．

(3)發現的思路是以具體實例作為經驗觀察，由簡到繁地考察構成實例間的基本事實和關系；再由諸特例作出一般的歸納猜想，并加以理論證明．

(4)應用論證后的法則，解決各種難題，實際上是化難為易．

(5)把法則加以推廣，以解決更多的實際問題，并擴展數學的理論和應用．

2．數據處理法

有些實際問題需要收集問題中的若干對應數據，從數據中觀察相關變量的依存關系或對應關系，可以得到大致體現實際問題有關變量變化規律的數學模型，從而解答實際問題．下面舉一個實例，說明這種方法的應用．

例2 怎樣由樹的斷面直徑來推斷樹的高度．

解 第一步：設計變量．根據這個問題，我們可以設預測的某種樹的高度為y，離地面1.5米處的直徑為x厘米．

第二步：收集x，y的對應數據，為此我們測量12棵樹的x，y的對應值，列表如表28．1．

第三步：由對應數據求出y對x的函數關系式．

常用的方法是作圖法．把直徑x看作自變量，高度y看作因變量．每一對(x，y)看作一個點，畫在坐標紙上(圖2-150)，作成散點圖．從散點圖可以直觀地看出兩個變量之間的大致關系．我們從圖2-150可看出，y隨x的增大而增大，并且這些點的分布近似一條直線．

這時，我們在圖上畫出盡可能接近這些點的一條直線，自然，有些點正好在直線上，有的點卻有所偏離，不在直線上，這說明有些誤差，但如果重復測量幾次，誤差不會太大．因此，我們所畫出的直線近似地表示著x和y之間的線性關系，所以這條直線的函數表達式——一次函數式就可作為樹的高度y和直徑x間的關系式了．下面我們就來求出這個一次函數式．

設這條直線的一次函數式為：

y=ax＋b．

為了求出常數a，b，在直線上取兩點，取點的原則是：為使直線位置穩定，取直線上距離較遠的兩點；為便于計算，取坐標數據整齊些的兩點．為此，我們取點(4，8.6)和(40，26)，將此兩點的坐標代入y=ax＋b，得方程組

所以 y=0.48x+6.68．

第四步：利用上述函數關系式，根據直徑x的數值，預報樹高y的數值．例如，當x=15厘米時，樹高y等于多少米？顯然，此時

y=0.48×15＋6.68=13.88(厘米)．

這就是說，當樹的直徑為15厘米時，樹高為13.88米．

上面是用兩對實驗數據(兩個點)求出的直線方程．利用實驗數據的信息較少，因此準確性較差．下面利用平均值法改進一下，作法是：在直線的上、下取兩組靠近直線的點，如(4，8.6)，(9.3，10.7)，(14.3，13.5)為一組；(32，22.4)，(40，26)，(42，28)為一組，用每組x，y的平均值(9.2，10.93)和(38，25.47)作為兩點，再按上面的方法求出直線方程y=0.50x＋6.28，以此作為實驗數據，y對x間的函數關系就比較準確些．

說明 上面的方法，是數學在解決實際問題時的一種應用，經常用在處理實驗數據中，當實驗數據為有序數對(x，y)時，相應地在直角坐標系中描出點(x，y)的散點圖．如果散點圖近于一條直線，要找出變量x，y間的函數關系時，就可用這種方法．然而由實驗數據作出的散點圖不一定近于直線，而近于一條曲線時，也可找到x，y間的函數關系式，不過需要更多的數學知識，我們在此就不介紹了．

3．運籌優化法

有些實際問題，可以根據問題的要求，首先籌劃一些可行的處理方案，然后比較這些方案的優劣，選擇其中一種或幾種方案加以優化組合，并用數學方法加以處理，以便得到最佳的解決方案．下面舉一個實例說明這種方法的應用．

例3 要做20個矩形鋼框，每個由2.2米和1.5米的鋼材各兩根組成，已知原鋼材長4.6米，應如何下料，使用的原鋼材最??？

分析與解 要做成20個矩形的鋼框，就需要2.2米和1.5米的鋼材各40根．一種簡單的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的鋼材各一根，這樣每根原鋼材剩下0.9米的料頭，要做20個鋼框，就要用原鋼材40根，而剩下的料頭總數為0.9×40=36米．

顯然，上述想法，浪費材料，不太合理．因此，我們可以考慮合理套裁，就可以節省原料．下面有三種下料方案可供采用．

為了省料而得到20個鋼框，需要混合使用各種下料方案．設用第Ⅰ種方案下料的原材料根數為x1；用第Ⅱ種方案下料的原材料根數為x2；用第Ⅲ種方案下料的原材料根數為x3．所謂原材料最省，也就是使所剩下的料頭總和最少．為此根據表28．2的方案，可以列出以下的數學模型

y=0.1x1+0.2x2＋0.9x3，解之得

其中0≤x3≤40．把x1，x2代入y得

可以看出，x3越大，y的值也越大，所以x3的取值應盡量小．

當x3=0時，可取x1=14，x2=20．

當x3=1時，x1=13，x2=20，都是用原材料34根，料頭的總數為

y=34×4.6-(2.2+1.5)×40=8.4(米)．

所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13(或14)根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1(或0)根，這樣只需34根原材料就可做出20個鋼框．

練習二十八

1．下列圖形是否可以一筆畫出？

2．圖2-154是3×3的方格型道路網，如果每個小方格的邊長為1千米，那么由A點出發走完全部路段，最后又回到A點，最少要走多少千米？

3．設x表示排在彈簧上的物品的重量(千克)，y表示彈簧伸長的長度(厘米)，已知(x，y)有如下的對應測量值：

(1)畫出此組數據的散點圖；

(2)求出y關于x的函數表示式；

(3)當x=2.3千克時，試預報彈簧伸長的長度．

4．有一批長50米的鋼筋，現要截成長度為9.5米和7米的兩種鋼筋備用，問怎樣截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？

第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第01講因式分解(一)

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第一講 因式分解(一)

多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．

1．運用公式法

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再補充幾個常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數；

(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數；

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數．

運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰當地選擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

(2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)

2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

＝(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2．

本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．

分析 我們已經知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現將此公式變形為

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．

解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為

a3+b3+c3-3abc

顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有

等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論．

例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解．

解 因為

x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以

說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．

2．拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．

例4 分解因式：x3-9x+8．

分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．

解法1 將常數項8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2 將一次項-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4 添加兩項-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種．

例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解(1)將-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)將4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加兩項+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗．

3．換元法

換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．

例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了．

解 設x2+x=y，則

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試．

例7 分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合．

解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．

令y=2x2+5x+2，則

原式=y(y+1)-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．

說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎．

例8 分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解 設x2+4x+8=y，則

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．

說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式．

例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2

=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x

2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2

=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

說明 本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體．

解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．

分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．

解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則

原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2．

練習一

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

2．分解因式：

(1)x3+3x2-4；

(2)x4-11x2y2+y2；

(3)x3+9x2+26x+24；

(4)x4-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；

(2)x4+7x3+14x2+7x+1；

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

第一講 因式分解(一)

多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．

1．運用公式法

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再補充幾個常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數；

(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數；

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數．

運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰當地選擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

(2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)

2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

＝(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2．

本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．

分析 我們已經知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現將此公式變形為

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．

解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為

a3+b3+c3-3abc

顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有

等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論．

例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解．

解 因為

x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以

說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．

2．拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．

例4 分解因式：x3-9x+8．

分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．

解法1 將常數項8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2 將一次項-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4 添加兩項-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種．

例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解(1)將-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)將4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加兩項+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗．

3．換元法

換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．

例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了．

解 設x2+x=y，則

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試．

例7 分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合．

解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．

令y=2x2+5x+2，則

原式=y(y+1)-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．

說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎．

例8 分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解 設x2+4x+8=y，則

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．

說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式．

例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2

=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2

=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2

=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

說明 本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體．

解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．

分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．

解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則

原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2．

練習一

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

2．分解因式：

(1)x3+3x2-4；

(2)x4-11x2y2+y2；

(3)x3+9x2+26x+24；

(4)x4-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；

(2)x4+7x3+14x2+7x+1；

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第12講平行線問題

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第十二講平行線問題

平行線是我們日常生活中非常常見的圖形．練習本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段．

正因為平行線在生活中的廣泛應用，因此有關它的基本知識及性質成為中學幾何的基本知識．

正因為平行線在幾何理論中的基礎性，平行線成為古往今來很多數學家非常重視的研究對象．歷史上關于平行公理的三種假設，產生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使人們認識宇宙空間中起著非常重要的作用．

現行中學中所學的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個公理基礎之上的：“在平面中，經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”．

在此基礎上，我們學習了兩條平行線的判定定理及性質定理．下面我們舉例說明這些知識的應用．

例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°

．

分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個同側內角，因此∠1+∠2=

過C點作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質實現等角轉移．

證 過C點作直線l，使l∥a(圖1－19)．因為a∥b，所以b∥l，所以

∠1+∠2=180°(同側內角互補)．

因為AC平分∠1，BC平分∠2，所以

又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內錯角相等)，所以

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問直線a與直線b是否一定平行？”

由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解．

例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

分析 本題對∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒有給出特定的數值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關．也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即

∠A1+∠A2=∠B1． ①

猜想，常常受到直觀的啟發，但猜想必須經過嚴格的證明．①式給我們一種啟發，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發我們過B1點引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二．

證 過B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．

因為AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而

∠1=∠A1，∠2=∠A2(內錯角相等)，所以

∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．

說明(1)從證題的過程可以發現，問題的實質在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點之間的折線段的數目無關，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．

進一步可以推廣為

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋?-∠Bn-1+∠An=0．

這時，連結A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，?，Bn-1An(當然，仍要保持 AA1∥BAn)．

推廣是一種發展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那么，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到復雜的情況．

(2)這個問題也可以將條件與結論對換一下，變成一個新問題．

問題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問AA1與BA2是否平行？

問題2 如圖1－25所示．若

∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1，問AA1與BAn是否平行？

這兩個問題請同學加以思考．

例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

分析 利用平行線的性質，可以將角“轉移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過F點作BC的平行線恰能實現這個目標．

解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則

∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(內錯角相等)．

因為 AE∥BD，所以

∠1=∠BFA(內錯角相等)，所以

∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．

說明(1)運用平行線的性質，將角集中到適當位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧．

(2)在學過“三角形內角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．

例4 求證：三角形內角之和等于180°．

分析平角為180°．若能運用平行線的性質，將三角形三個內角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決，下面方法是最簡單的一種．

證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則

∠B=∠1，∠C=∠2(內錯角相等)．

顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

說明 事實上，我們可以運用平行線的性質，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內角“轉移”到任意一點得到平角的結論．如將平角的頂點設在某一邊內，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩．同學們不妨試一試這種較為麻煩的證法．

例5 求證：四邊形內角和等于360°．

分析 應用例3類似的方法，添加適當的平行線，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內角及邊，應能減少推理過程．

證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點B引BE∥AD，BF∥CD，并延長 AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內錯角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等)．

由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

說明(1)同例3，周角的頂點可以取在平面內的任意位置，證明的本質不變．

(2)總結例

3、例4，并將結論的敘述形式變化，可將結論加以推廣：

三角形內角和=180°=(3-2)×180°，四邊形內角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．

人們不禁會猜想：

五邊形內角和=(5-2)×180°=540°，?????????? n邊形內角和=(n-2)×180°．

這個猜想是正確的，它們的證明在學過三角形內角和之后，證明將非常簡單．

(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當變形，找到它們本質上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發展人的思維能力的一種重要方法．

例6 如圖1－29所示．直線l的同側有三點A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點在同一條直線上．

分析A，B，C三點在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉換到頂點B處．

證 過B作直線 BD，交l于D．因為AB∥l，CB∥l，所以

∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內錯角相等)．

又∠1+∠2=180°，所以

∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．

A，B，C三點共線．

思考 若將問題加以推廣：在l的同側有n個點A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否還有同樣的結論？

例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

求證：∠3=∠B．

分析 如果∠3=∠B，則應需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應有EF∥AD．這一點從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．

證 因為∠1=∠2，所以

AD∥BC(內錯角相等，兩直線平行)．

因為∠D=90°及EF⊥CD，所以

AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)．

所以 BC∥EF(平行公理)，所以

∠3=∠B(兩直線平行，同位角相等)．

練習十二

1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數．

3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？

4．證明：五邊形內角和等于540°．

5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．

第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數}

中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號表示．例如17除以4，商是4，余數是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．

(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；

(2)求證：a是負偶數；

(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？

自測題三

2．對于任意實數k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．

(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最??？

(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最??？

(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？

自測題四

1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．

7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？

(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？

自測題五

2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a，b，c是三個自然數，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當A點在BC上時，將怎樣？

按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最??？

第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第三十一講復習題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實數x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：

25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質的最小正整數n：

(1)它以數字6結尾；

(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．

27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．

34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．

35．求證：當p，q為奇數時，方程

x2＋px＋q=0

無整數根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．

37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．

46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？

47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？

49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？

50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：

(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；

(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．