第一篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第18講 歸納與發現
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第十八講 歸納與發現
歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．
例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？
分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．
第一層有點數：1； 第二層有點數：1×6； 第三層有點數：2×6； 第四層有點數：3×6；
??
第n層有點數：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為
例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：
(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？
(2)這n個圓共有多少個交點？
分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．
由表18．1易知
S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??
由此，不難推測
Sn-Sn-1＝n．
把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到
Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以
下面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．
因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．
(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．
由表18．2容易發現
a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，??
an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．
n個式子相加
注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．
例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？
分析與解 我們先來研究一些特殊情況：
(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．
(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．
這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．
(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．
這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．
通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：
這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：
例4 設1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：
(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；
(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；
(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；
(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．
由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．
1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)
=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n
=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n
=2！×3+3！×3+?＋n！×n
=3！+3！×3+?+n！×n＝?
=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設x＞0，試比較代數式x3和x2+x+2的值的大小．
分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有
x3＜x2+x+2．①
設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以
x3＞x2+x+2．②
設x=100，則有x3＞x2+x+2．
觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．
那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則
x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．
因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣
(1)當x=2時，x3=x2+x+2；
(2)當0＜x＜2時，因為
x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即
x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為
x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即
x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．
綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．
分析 先由特例入手，注意到
例7 已知E，F，G，H各點分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上(如圖2—101)．
(2)當上述條件中比值為3，4，?，n時(n為自然數)，那S么S四邊形EFGH與S四邊形ABCD之比是多少？
∥AC交DA于M點．由平行截割定理易知
G引GM
(2)設
當k=3，4時，用類似于(1)的推理方法將所得結論與(1)的結論列成表18．5.觀察表18．5中p，q的值與對應k值的變化關系，不難發現：當k=n(自然數)時有
以上推測是完全正確的，證明留給讀者．
練習十八
1．試證明例7中：
2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：
(1)這n條直線共有多少個交點？
(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？
然后做出證明.)
4．求適合x5=656356768的整數x．
(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝
第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題
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第三十二講 自測題
自測題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．
9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對于集合
p={x丨x是1到100的整數}
中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．
(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；
(2)求證：a是負偶數；
(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．
5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？
自測題三
2．對于任意實數k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．
(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最省？
(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？
(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？
自測題四
1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．
6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．
7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？
(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？
自測題五
2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三個自然數，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當A點在BC上時，將怎樣？
按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？
第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十一講復習題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實數x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：
25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質的最小正整數n：
(1)它以數字6結尾；
(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．
27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．
34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．
35．求證：當p，q為奇數時，方程
x2＋px＋q=0
無整數根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．
37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．
46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？
47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？
49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？
50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：
(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；
(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．
第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第08講平行四邊形
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第八講平行四邊形
平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．
由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：
(1)平行四邊形對角相等；
(2)平行四邊形對邊相等；
(3)平行四邊形對角線互相平分．
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：
分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．
證 因為ABCD是平行四邊形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．
例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．
分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發生聯系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．
證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．
因為AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(內錯角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
從而
EH∥AC(內錯角相等，兩直線平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以
FC=EH=AE．
說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發現△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．
人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．
例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內很難發現，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發現，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．
證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，則
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
從而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．
分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．
證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)．求證：
分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．
證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．
分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．
證 因為DEBD=FD，所以
BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
練習十二
1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．
3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．
5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第21講 分類與討論
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第二十一講 分類與討論
分類在數學中是常見的，讓我們先從一個簡單的例子開始．
有四張卡片，它們上面各寫有一個數字：1，9，9，8．從中取出若干張按任意次序排列起來得到一個數，這樣的數中有多少個是質數？
因為按要求所得的數可能是一位數、二位數、三位數和四位數，我們分別給予討論．
任取一張卡片，只能得3個數：1，8，9，其中沒有質數；任取二張卡片，可得7個數：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89兩個是質數；任取三張卡片，可得12個數：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三個數是質數；取四張，所得的任一個四位數的數字和是27，因而是3的倍數，不是質數．綜上所述，質數共有2＋3=5個．
上面的解題方法稱為分類討論法．當我們要解決一個比較復雜的問題時，經常把所要討論的對象分成若干類，然后逐類討論，得出結論．
分類討論法是一種很重要的數學方法．在分類中須注意題中所含的對象都必須在而且只在所分的一類中．分類討論一般分為三個步驟，首先確定分類對象，即對誰實施分類．第二是對對象實施分類，即分哪幾類，這里要特別注意，每次分類要按照同一標準，并做到不重復、不遺漏，有些復雜的問題，還要逐級分類．最后對討論的結果進行綜合，得出結論．
例1 求方程
x2-│2x-1│-4=0 的實根．
x2+2x-1-4=0，x2-2x＋1-4=0，x1＝3，x2=-1．
說明 在去絕對值時，常常要分類討論．
例2 解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超過x的最大整數．
解 由[x]的定義，可得
x≥[x]=x2-2，所以 x2-x-2≤0，解此不等式得
-1≤x≤2．
現把x的取值范圍分成4個小區間(分類)來進行求解．
(1)當-1≤x≤0時，原方程為
x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不滿足-1≤x＜0)．
(2)當0≤x＜1時，原方程為
x2=2．
(3)當1≤x＜2時，原方程為
x2-1=2，所以
(4)當x=2時，滿足原方程．
例3 a是實數，解方程
x│x+1│+a=0．
分析 方程中既含有絕對值，又含有參數a，若以平方化去絕對值的話，則引入了高次方程，把問題更加復雜化了．對這種問題，宜討論x的取值范圍來求解．
解(1)當x＜-1時，原方程變形為
x2＋x-a=0．①
當△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0時，①的解為
(2)當x≥-1時，原方程為
x2＋x＋a=0．②
又x≥-1，即
綜上所述，可得：當a＜0時，原方程的解為
例5 已知三角形中兩角之和為n，最大角比最小角大24°，求n的取值范圍．
解 設三角形的三個角度數分別是α，β，γ，且有α≥β≥γ． 由題設α-γ=24．
(1)若β+γ=n，則α=180°-n，γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n，所以 104°≤n≤112°．
(2)若α＋γ=n，則β=180°-n，于是
所以
所以 112°≤n≤128°．
(3)若α＋β=n，則γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α=2n-204°．于是
180°-n≤2n-204°≤204°-n，所以 128°≤n≤136°．
綜上所述，n的取值范圍是104°≤n≤136°．
例6 證明：若p是大于5的質數，則p2-1是24的倍數．
分析 關于整數的問題，我們常把它分成奇數和偶數(即按模2分類)來討論，有時也把整數按模3分成三類：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根據問題的需要，把整數按模n來分類．本題我們按模6來分類．
證 把正整數按模6分類，可分成6類：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的質數，故p只能屬于6k+1，6k+5這兩類．
當p=6k＋1時，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．
因k，3k＋1中必有一個偶數，此時24│p2-1．
當p=6k＋5時，p2-1=36k2＋60k＋24
＝12k2＋12k
=12k(k＋1)≡0(mod 24)．
所以，P2-1是24的倍數．
例7 證明
A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
＝4max｛x，y，z｝，其中max｛x，y，z｝表示x，y，z這三個數中的最大者．
分析 欲證的等式中含有三個絕對值符號，且其中一個在另一個內，要把絕對值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對我們有所提示，如果x為x，y，z中的最大者，即證A=4x，依次再考慮y，z是它們中的最大值便可證得．
證(1)當x≥y，x≥z時，A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.(2)當y≥z，y≥x時，A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y．
(3)當z≥x，z≥y時，因為
│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
從而 A=4max｛x，y，z｝．
例8 在1×3的矩形內不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩形的每條邊相應地與大矩形的一條邊平行，求兩個小矩形周長和的最大值．
解 兩個小矩形的放置情況有如下幾種：
(2)兩個小矩形都“橫放”，如圖2-124及圖2-125所示，這時兩個小矩形的周長和的最大值是
2(a＋3a)＋2[1-a＋3(1-a)]＝8．
(3)兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，如圖2-126，這時兩個小矩形的周長和為
練習二十一
1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．
2．解關于x的不等式：a(ax-1)＞x-1.3．解方程：││x-3│-2│=a．
4．解方程：x2-2[x]-3=0．
6．設等腰三角形的一腰與底邊分別是方程x2-bx＋a=0的兩根，當這樣的三角形只有一個時，求a的取值范圍．
7．x，y都是自然數，求證：x2+y+1和y2＋4x＋3的值不能同時是完全平方．
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