第一篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第12講 平行線問題
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第十二講平行線問題
平行線是我們日常生活中非常常見的圖形．練習本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段．
正因為平行線在生活中的廣泛應用，因此有關它的基本知識及性質成為中學幾何的基本知識．
正因為平行線在幾何理論中的基礎性，平行線成為古往今來很多數學家非常重視的研究對象．歷史上關于平行公理的三種假設，產生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使人們認識宇宙空間中起著非常重要的作用．
現行中學中所學的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個公理基礎之上的：“在平面中，經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”．
在此基礎上，我們學習了兩條平行線的判定定理及性質定理．下面我們舉例說明這些知識的應用．
例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°
．
分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個同側內角，因此∠1+∠2=
過C點作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質實現等角轉移．
證 過C點作直線l，使l∥a(圖1－19)．因為a∥b，所以b∥l，所以
∠1+∠2=180°(同側內角互補)．
因為AC平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內錯角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問直線a與直線b是否一定平行？”
由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解．
例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
分析 本題對∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒有給出特定的數值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關．也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即
∠A1+∠A2=∠B1． ①
猜想，常常受到直觀的啟發，但猜想必須經過嚴格的證明．①式給我們一種啟發，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發我們過B1點引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二．
證 過B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．
因為AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而
∠1=∠A1，∠2=∠A2(內錯角相等)，所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．
說明(1)從證題的過程可以發現，問題的實質在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點之間的折線段的數目無關，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．
進一步可以推廣為
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋?-∠Bn-1+∠An=0．
這時，連結A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，?，Bn-1An(當然，仍要保持 AA1∥BAn)．
推廣是一種發展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那么，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到復雜的情況．
(2)這個問題也可以將條件與結論對換一下，變成一個新問題．
問題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問AA1與BA2是否平行？
問題2 如圖1－25所示．若
∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1，問AA1與BAn是否平行？
這兩個問題請同學加以思考．
例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
分析 利用平行線的性質，可以將角“轉移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過F點作BC的平行線恰能實現這個目標．
解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則
∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(內錯角相等)．
因為 AE∥BD，所以
∠1=∠BFA(內錯角相等)，所以
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．
說明(1)運用平行線的性質，將角集中到適當位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧．
(2)在學過“三角形內角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．
例4 求證：三角形內角之和等于180°．
分析平角為180°．若能運用平行線的性質，將三角形三個內角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決，下面方法是最簡單的一種．
證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則
∠B=∠1，∠C=∠2(內錯角相等)．
顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．
說明 事實上，我們可以運用平行線的性質，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內角“轉移”到任意一點得到平角的結論．如將平角的頂點設在某一邊內，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩．同學們不妨試一試這種較為麻煩的證法．
例5 求證：四邊形內角和等于360°．
分析 應用例3類似的方法，添加適當的平行線，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內角及邊，應能減少推理過程．
證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點B引BE∥AD，BF∥CD，并延長 AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內錯角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等)．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
說明(1)同例3，周角的頂點可以取在平面內的任意位置，證明的本質不變．
(2)總結例
3、例4，并將結論的敘述形式變化，可將結論加以推廣：
三角形內角和=180°=(3-2)×180°，四邊形內角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人們不禁會猜想：
五邊形內角和=(5-2)×180°=540°，?????????? n邊形內角和=(n-2)×180°．
這個猜想是正確的，它們的證明在學過三角形內角和之后，證明將非常簡單．
(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當變形，找到它們本質上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發展人的思維能力的一種重要方法．
例6 如圖1－29所示．直線l的同側有三點A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點在同一條直線上．
分析A，B，C三點在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉換到頂點B處．
證 過B作直線 BD，交l于D．因為AB∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內錯角相等)．
又∠1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．
A，B，C三點共線．
思考 若將問題加以推廣：在l的同側有n個點A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否還有同樣的結論？
例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．
求證：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，則應需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應有EF∥AD．這一點從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．
證 因為∠1=∠2，所以
AD∥BC(內錯角相等，兩直線平行)．
因為∠D=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)．
所以 BC∥EF(平行公理)，所以
∠3=∠B(兩直線平行，同位角相等)．
練習十二
1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數．
3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？
4．證明：五邊形內角和等于540°．
5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．
第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十二講 自測題
自測題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．
9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對于集合
p={x丨x是1到100的整數}
中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．
(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；
(2)求證：a是負偶數；
(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．
5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？
自測題三
2．對于任意實數k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．
(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最省？
(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？
(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？
自測題四
1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．
6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．
7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？
(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？
自測題五
2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三個自然數，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當A點在BC上時，將怎樣？
按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？
第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十一講復習題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實數x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：
25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質的最小正整數n：
(1)它以數字6結尾；
(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．
27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．
34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．
35．求證：當p，q為奇數時，方程
x2＋px＋q=0
無整數根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．
37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．
46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？
47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？
49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？
50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：
(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；
(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．
第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第08講平行四邊形
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第八講平行四邊形
平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．
由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：
(1)平行四邊形對角相等；
(2)平行四邊形對邊相等；
(3)平行四邊形對角線互相平分．
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：
分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．
證 因為ABCD是平行四邊形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．
例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．
分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發生聯系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．
證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．
因為AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(內錯角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
從而
EH∥AC(內錯角相等，兩直線平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以
FC=EH=AE．
說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發現△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．
人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．
例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內很難發現，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發現，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．
證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，則
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
從而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．
分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．
證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)．求證：
分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．
證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．
分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．
證 因為DEBD=FD，所以
BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
練習十二
1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．
3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．
5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第23講 幾何不等式
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第二十三講 幾何不等式
平面圖形中所含的線段長度、角的大小及圖形的面積在許多情形下會呈現不等的關系．由于這些不等關系出現在幾何問題中，故稱之為幾何不等式．
在解決這類問題時，我們經常要用到一些教科書中已學過的基本定理，本講的主要目的是希望大家正確運用這些基本定理，通過幾何、三角、代數等解題方法去解決幾何不等式問題．這些問題難度較大，在解題中除了運用不等式的性質和已經證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點和性質．
幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式．下面先給出幾個基本定理．
定理1 在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊．
定理2 同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然．
定理3 在兩邊對應相等的兩個三角形中，第三邊大的，所對的角也大，反之亦然．
定理4 三角形內任一點到兩頂點距離之和，小于另一頂點到這兩頂點距離之和．
定理5 自直線l外一點P引直線l的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長．
說明 如圖2-135所示．PA，PB是斜線，HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，則PA＞PB；若PA＞PB，則HA＞HB．事實上，由勾股定理知
PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以
PA2-PB2=HA2-HB2．
從而定理容易得證．
定理6 在△ABC中，點P是邊BC上任意一點，則有
PA≤max｛AB，AC｝，當點P為A或B時等號成立．
說明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的較大者，如圖2-136所示，若P在線段BH上，則由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，從而
PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在線段HC上，同樣有PA≤max｛AB，AC｝．
例1 在銳角三角形ABC中，AB＞AC，AM為中線，P為△AMC內一點，證明：PB＞PC(圖2-137)．
證 在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．
過點P作PH⊥BC，垂足為H，則H必定在線段BM的延長線上．如果H在線段MC內部，則
BH＞BM=MC＞HC．
如果H在線段MC的延長線上，顯然BH＞HC，所以PB＞PC．
例2 已知P是△ABC內任意一點(圖2-138)．
(1)求證：
＜a＋b＋c；
(2)若△ABC為正三角形，且邊長為1，求證：
PA+PB＋PC＜2．
證(1)由三角形兩邊之和大于第三邊得
PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把這三個不等式相加，再兩邊除以2，便得
又由定理4可知
PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．
把它們相加，再除以2，便得
PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以
(2)過P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，如圖2-138所示．于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以
PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC
=AB＋AE＋EC=2．
例3 如圖2-139．在線段BC同側作兩個三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC與BD相交于E，求證：AE＞DE．
證 在DB上取點F，使DF=AC，并連接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC
=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．
由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以
DC＋BF=AC=AB．
在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．
在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
由定理3，∠1＞∠2，所以
AE＞DE．
例4 設G是正方形ABCD的邊DC上一點，連結AG并延長交BC延長線于K，求證：
分析 在不等式兩邊的線段數不同的情況下，一般是設法構造其所
為邊的三角形．
證 如圖2-140，在GK上取一點M，使GM=MK，則
在Rt△GCK中，CM是GK邊上的中線，所以
∠GCM=∠MGC．
而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是
∠MGC＞45°，所以
∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．
由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
例5 如圖2-141．設BC是△ABC的最長邊，在此三角形內部任選一點O，AO，BO，CO分別交對邊于A′，B′，C′．證明：
(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；
(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
證(1)過點O作OX，OY分別平行于邊AB，AC，交邊BC于X，Y點，再過X，Y分別作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大邊，所以
OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．
又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大邊，從而BX也是△BXS中的最大邊，而且SXOC′是平行四邊形，所以
BX＞XS=OC′．
同理
CY＞OB′．
所以
OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．
所以
OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′
≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
=max｛AA′，BB′，CC′｝
下面我們舉幾個與角有關的不等式問題．
例6 在△ABC中，D是中線AM上一點，若∠DCB＞∠DBC，求證：∠ACB＞∠ABC(圖2-142)．
證 在△BCD中，因為∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．
在△DMB與△DMC中，DM為公共邊，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以
∠ACB＞∠ABC．
說明 在證明角的不等式時，常常把角的不等式轉換成邊的不等式．
證 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如圖2
即證BD∠CD．因為△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．
又 CD＞BC-BD，所以
BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．
從而命題得證．
例8 在銳角△ABC中，最大的高線AH等于中線BM，求證：∠B＜60°(圖2-144)．
證 作MH1⊥BC于H1，由于M是中點，所以
于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．
延長BM至N，使得MN=BM，則ABCN為平行四邊形．因為AH為最ABC中的最短邊，所以
AN=BC＜AB，從而
∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．
下面是一個非常著名的問題——費馬點問題．
例9 如圖2-145．設O為△ABC內一點，且
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點(不是O)．求證：
PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．
證 過△ABC的頂點A，B，C分別引OA，OB，OC的垂線，設這三條垂線的交點為A1，B1，C1(如圖2-145)，考慮四邊形AOBC1．因為
∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1為正三角形．
設P到△A1B1C1三邊B1C1，C1A1，A1B1的距離分別為ha，hb，hc，且△A1B1C1的邊長為a，高為h．由等式
S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1
知
所以 h=ha＋hb＋hc．
這說明正△A1B1C1內任一點P到三邊的距離和等于△A1B1C1的高h，這是一個定值，所以
OA＋OB＋OC=h=定值．
顯然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三邊距離和，所以
PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．
這就是我們所要證的結論．
由這個結論可知O點具有如下性質：它到三角形三個頂點的距離和小于其他點到三角形頂點的距離和，這個點叫費馬點．
練習二十三
1．設D是△ABC中邊BC上一點，求證：AD不大于△ABC中的最大邊．
2．AM是△ABC的中線，求證：
3．已知△ABC的邊BC上有兩點D，E，且BD=CE，求證：AB＋AC＞AD＋AE．
4．設△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，求證：BD＞CE．
5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求證：
AB+CF≥AC＋BE．
6．在△ABC中，AB＞AC，AD為高，P為AD上的任意一點，求證：
PB-PC＞AB-AC．
7．在等腰△ABC中，AB=AC．
(1)若M是BC的中點，過M任作一直線交AB，AC(或其延長線)于D，E，求證：2AB＜AD+AE．
(2)若P是△ABC內一點，且PB＜PC，求證：∠APB＞∠APC．
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