第一篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第15講 相似三角形(一)[大全]
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第十五講 相似三角形(一)
兩個形狀相同的圖形稱為相似圖形，最基本的相似圖形是相似三角形．對應角相等、對應邊成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比為1的兩個相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情況，而三角形相似是三角形全等的發展，兩者在判定方法及性質方面有許多類似之處．因此，在研究三角形相似問題時，我們應該注意借鑒全等三角形的有關定理及方法．當然，我們又必須同時注意它們之間的區別，這里，要特別注意的是比例線段在研究相似圖形中的作用．
關于相似三角形問題的研究，我們擬分兩講來講述．本講著重探討相似三角形與比例線段的有關計算與證明問題；下一講深入研究相似三角形的進一步應用．
例1 如圖2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
分析 由于BC是△ABC與△DBC的公共邊，且AB∥EF∥CD，利用平行線分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
解 在△ABC中，因為EF∥AB，所以
同樣，在△DBC中有
①＋②得
設EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
說明 由證明過程我們發現，本題可以有以下一般結論：“如本題
請同學自己證明．
例2 如圖2-65所示． ABCD的對角線交于O，OE交BC于E，交AB的延長線于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
分析 本題所給出的已知長的線段AB，BC，BF位置分散，應設法利用平行四邊形中的等量關系，通過輔助線將長度已知的線段“集中”到一個可解的圖形中來，為此，過O作OG∥BC，交AB于G，構造出△FEB∽△FOG，進而求解．
解 過O作OG∥BC，交AB于G．顯然，OG是△ABC的中位線，所以
在△FOG中，由于GO∥EB，所以
例3 如圖2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分
分析 因為AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，則△ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可實現求證的目標．
證 過D引DE∥AB，交AC于E．因為AD是∠BAC的平分線，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
又
∠BAD=∠EDA=60°，所以△ADE是正三角形，所以
EA=ED=AD． ①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
由①，②得
從而
例4 如圖2-67所示． ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G．求證：
分析 與例2類似，求證中諸線段的位置過于“分散”，因此，應利用平行四邊形的性質，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證．
證 延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
在△OED與△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，所以 △OED≌△OBH(AAS)．
從而
DE=BH=AI，例5(梅內勞斯定理)一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長線)分別交于D，E，F(如圖2-68所示)．求
分析 設法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進行求證．
證 過B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質知
說明 本題也可過C引CG∥EF交AB延長線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進行求證．
例6 如圖2-69所示．P為△ABC內一點，過P點作線段DE，FG，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
分析 由于圖中平行線段甚多，因而產生諸多相似三角形及平行四邊形．利用相似三角形對應邊成比例的性質及平行四邊形對邊相等的性質，首先得到一個一般關系：
進而求d．
因為FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形．△BHI∽△AFG∽△ABC，從而
將②代入①左端得
因為
DE=PE＋PD=AI＋FB，④
AF=AI＋FI，⑤
BI=IF＋FB． ⑥
由④，⑤，⑥知，③的分子為
DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
從而
即
下面計算d．
因為DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得
解得d＝306．
練習十五
1．如圖2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O點，過O的直線分別交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
2．已知P為
ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q
3．如圖 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN與對角線BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
4．P為△ABC內一點，過P點作DE，FG，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖2-73所示)．求證：
5．如圖 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．
6．已知P為△ABC內任意一點，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F．求證：
不少于2．
第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第16講 相似三角形(二)
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第十六講 相似三角形(二)
上一講主要講述了相似三角形與比例線段之間的關系的計算與證明，本講主要講述相似三角形的判定與性質的應用．
例1 如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．
分析 設法通過添輔助線構造相似三角形，這里應注意利用角平分線產生等角的條件．
證 過B引BE∥AC，且與AD的延長線交于E．因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因為BE∥AC，所以
∠2=∠3．
從而∠1=∠3，AB=BE．顯然
△BDE∽△CDA，所以 BE∶AC=BD∶DC，所以 AB∶AC=BD∶DC．
說明 這個例題在解決相似三角形有關問題中，常起重要作用，可當作一個定理使用．類似的還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習中出現，請同學們自己試證．
在構造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(如內錯角相等、同位角相等)，將等角“轉移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法．
例2 如圖 2-77所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D，且交AM延長線于F．求證：EF∥AB．
分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質，構造三角形，設法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB．
證 過B引BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．因為AE是∠BAC的平分線，所以
∠BAE=∠CAE．
因為BG∥AC，所以
∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以 BA=BG．
又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以
∠ABF=∠HBF，從而
AB∶BH=AF∶FH．
又M是BC邊的中點，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而
BH=AC，所以 AB∶AC=AF∶FH．
因為AE是△ABC中∠BAC的平分線，所以
AB∶AC=BE∶EC，所以 AF∶FH=BE∶EC，即
(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式變為
AM∶MB=FM∶ME．
在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以
△MEF∽△MAB
(兩個三角形兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．)．所以
∠ABM=∠FEM，所以 EF∥AB．
例3 如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
即可，為此若能設法利用長度分別為AB，BC，CA及l=AB＋AC這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決．
注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎添加輔助線，構造一個三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問題．
證 延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結ED．下面證明，△ADE∽△ABC．
設∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則
∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以
∠ACE=180°-4α＝3α，所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
從而
∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．
又由作圖
AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以
∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以 △ABC∽△DAE，所以
例4 如圖2-79所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH.分析 要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC應該相似．
證 在Rt△PBC中，因為BH⊥PC，所以
∠PBC=∠PHB=90°，從而 ∠PBH=∠PCB．
顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以
由已知，BP=BQ，BC=DC，所以
因為∠ABC=∠BCD=90°，所以
∠HBQ=∠HCD，所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．
又因為
∠BHQ＋∠QHC=90°，所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即 DH⊥HQ．
例5 如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PM⊥QM．求證：
PB2＋QC2=PM2＋QM2．
分析與證明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則
PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．
于是求證式等價于
PB2+QC2=PA2+QA2，①
等價于
PB2-PA2=QA2-QC2． ②
因為M是BC中點，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有
AD=BD，AE=CE，②等價于
(AD＋PD)2-(AD-PD)2
=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③
③等價于
AD·PD=AE·EQ． ④
因為ADME是矩形，所以
AD=ME，AE=MD，故④等價于
ME·PD=MD·EQ． ⑤
為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．
下面我們來證明這一點．
事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以
∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥
在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME，所得差角相等，即
∠PMD=∠QME． ⑦
由⑥，⑦，所以
△MPD∽△MEQ．
由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，從而①成立，則原命題獲證．
例6 如圖2-81所示．△ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的長．
解 取AF的中點G，連接DF，EG．由平行線等分線段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以
△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．
所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以
FM=3(厘米)．
又在△BDF中，E是BD的中點，且EH∥DF，所以
因為EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，從而
顯然，H是BF的中點，所以
故所求的三條線段長分別為
練習十六
1．如圖2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．
2．如圖2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求證：EF∥BC．
3．如圖2-84所示．在△ABC內有一點P，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求證：
PB2＝PA·PC．
(提示：設法證明△PAB∽△PBC．)
4．如圖2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點，E在斜邊AB上，且AE∶EB=2∶1．求證：CE⊥AD．
5．如圖2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點，延長BP交AC于E，過E作EF⊥BC于F．求證：EF2=AE·EC．
6．在△ABC中，E，F是BC邊上的兩個三等分點，BM是AC邊上的中線，AE，AF分別與BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．
第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第01講因式分解(一)
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第一講 因式分解(一)
多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．
1．運用公式法
在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再補充幾個常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數．
運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰當地選擇公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)
2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．
分析 我們已經知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現將此公式變形為
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為
a3+b3+c3-3abc
顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有
等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解．
解 因為
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以
說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．
2．拆項、添項法
因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．
解法1 將常數項8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 將一次項-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加兩項-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解(1)將-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)將4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加兩項+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗．
3．換元法
換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了．
解 設x2+x=y，則
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試．
例7 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2，則
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎．
例8 分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 設x2+4x+8=y，則
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式．
例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2
=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x
2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
說明 本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體．
解法2
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．
練習一
1．分解因式：
(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．分解因式：
(1)x3+3x2-4；
(2)x4-11x2y2+y2；
(3)x3+9x2+26x+24；
(4)x4-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
第一講 因式分解(一)
多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．
1．運用公式法
在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再補充幾個常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數．
運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰當地選擇公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)
2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．
分析 我們已經知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現將此公式變形為
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為
a3+b3+c3-3abc
顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有
等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解．
解 因為
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以
說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．
2．拆項、添項法
因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．
解法1 將常數項8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 將一次項-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加兩項-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解(1)將-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)將4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加兩項+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗．
3．換元法
換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了．
解 設x2+x=y，則
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試．
例7 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2，則
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
說明 對多項式適當的恒等變形是我們找到新元(y)的基礎．
例8 分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 設x2+4x+8=y，則
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式．
例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2
=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
說明 本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體．
解法2
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．
練習一
1．分解因式：
(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．分解因式：
(1)x3+3x2-4；
(2)x4-11x2y2+y2；
(3)x3+9x2+26x+24；
(4)x4-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十二講 自測題
自測題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．
9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對于集合
p={x丨x是1到100的整數}
中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．
(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；
(2)求證：a是負偶數；
(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．
5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？
自測題三
2．對于任意實數k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．
(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最省？
(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？
(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？
自測題四
1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．
6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．
7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？
(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？
自測題五
2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三個自然數，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當A點在BC上時，將怎樣？
按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？
第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題
全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十一講復習題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實數x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：
25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質的最小正整數n：
(1)它以數字6結尾；
(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．
27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．
34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．
35．求證：當p，q為奇數時，方程
x2＋px＋q=0
無整數根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．
37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．
46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？
47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？
49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？
50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：
(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；
(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．
![下載全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第15講 相似三角形(一)[大全]word格式文檔](http://static.xiexiebang.com/skin/default/images/icon_word.png){kind=icon}
點擊咨詢 