第一篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第10講 整式的乘法與除法[教育]

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第十講 整式的乘法與除法

中學代數中的整式是從數的概念基礎上發展起來的，因而保留著許多數的特征，研究的內容與方法也很類似．例如，整式的四則運算就可以在許多方面與數的四則運算相類比；也像數的運算在算術中占有重要的地位一樣，整式的運算也是代數中最基礎的部分，它在化簡、求值、恒等變形、解方程等問題中有著廣泛的應用．通過整式的運算，同學們還可以在準確地理解整式的有關概念和法則的基礎上，進一步提高自己的運算能力．為此，本講著重介紹整式運算中的乘法和除法．

整式是多項式和單項式的總稱．整式的乘除主要是多項式的乘除．下面先復習一下整式計算的常用公式，然后進行例題分析．

正整數指數冪的運算法則：

(1)aM· an=aM+n；(2)(ab)n=anbn；

(3)(aM)n=aMn；(4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；

常用的乘法公式：

(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；

(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展開后，x2項的系數 ．

解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因為x2項只在-(x-1)3中出現，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2項的系數即可．根據乘法公式有

(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2項的系數為3．

說明 應用乘法公式的關鍵，是要理解公式中字母的廣泛含義，對公式中的項數、次數、符號、系數，不要混淆，要達到正確、熟練、靈活運用的程度，這樣會給解題帶來極大便利．

(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．

解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)

=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)

=13x-7=9-7=2．

說明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．

例3 化簡(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n為大于1的整數．

解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-

1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n

=1+(-x)n．

說明 本例可推廣為一個一般的形式：

(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．

例4 計算

(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；

(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．

分析與解(1)這兩個多項式對應項或者相同或者互為相反數，所以可考慮應用平方差公式，分別把相同項結合，相反項結合．

原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2

=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．

(2)(x+2y)(x-2y)的結果是x2-4y2，這個結果與多項式x4-8x2y2+16y4相乘時，不能直接應用公式，但

x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2

與前兩個因式相乘的結果x2-4y2相乘時就可以利用立方差公式了．

原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3

=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．

例5 設x，y，z為實數，且

(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2

=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解 先將已知條件化簡：

左邊=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右邊=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．

所以已知條件變形為

2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即

(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．

因為x，y，z均為實數，所以x=y=z．所以

說明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所區別，請仔細琢磨，靈活運用公式，會給解題帶來益處．

我們把形如

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

(n為非負整數)的代數式稱為關于x的一元多項式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多項式．

多項式的除法比較復雜，為簡單起見，我們只研究一元多項式的除法．像整數除法一樣，一元多項式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一個一元多項式f(x)除以另一個一元多項式g(x)時，總存在一個商式q(x)與一個余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次數小于g(x)的次數．特別地，當r(x)=0時，稱f(x)能被g(x)整除．

例6 設g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．

解法1 用普通的豎式除法

解法2 用待定系數法．

由于f(x)為3次多項式，首項系數為1，而g(x)為2次，首

r(x)= bx+ c．

根據f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得

x3-3x2-x-1

比較兩端系數，得

例7 試確定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．

解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若設

f(x)=x4+ax2-bx+2，假如f(x)能被x2+3x+2整除，則x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，當x=-1時，f(-1)=0，即

1+a+b+2=0，①

當x=-2時，f(-2)=0，即

16+4a+2b+2=0，②

由①，②聯立，則有

練習十

1．計算：

(1)(a-2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；

(2)(x+y)4(x-y)4；

(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．

2．化簡：

(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；

(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；

(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．

3．已知z2=x2+y2，化簡

(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．

4．設f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．

第二篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第18講 歸納與發現

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第十八講 歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．

第一層有點數：1； 第二層有點數：1×6； 第三層有點數：2×6； 第四層有點數：3×6；

??

第n層有點數：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為

例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以

下面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．

因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發現

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，??

an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個式子相加

注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．

(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．

這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．

通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

例4 設1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設x＞0，試比較代數式x3和x2+x+2的值的大小．

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．

那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

(1)當x=2時，x3=x2+x+2；

(2)當0＜x＜2時，因為

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．

分析 先由特例入手，注意到

例7 已知E，F，G，H各點分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上(如圖2—101)．

(2)當上述條件中比值為3，4，?，n時(n為自然數)，那S么S四邊形EFGH與S四邊形ABCD之比是多少？

∥AC交DA于M點．由平行截割定理易知

G引GM

(2)設

當k=3，4時，用類似于(1)的推理方法將所得結論與(1)的結論列成表18．5.觀察表18．5中p，q的值與對應k值的變化關系，不難發現：當k=n(自然數)時有

以上推測是完全正確的，證明留給讀者．

練習十八

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

然后做出證明.)

4．求適合x5=656356768的整數x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝

第三篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題

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第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設E，F分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數}

中的元素a，b，如果a除以b的余數用符號表示．例如17除以4，商是4，余數是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數根．

(1)求證：這兩個整數根一個是奇數，一個是偶數；

(2)求證：a是負偶數；

(3)當方程的兩整數根同號時，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數不可能是三個整數的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F，連結DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調運，才能使學校支出的運費最少？

自測題三

2．對于任意實數k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實數a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數x，使得對每一個自然數y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．

(1)現有三個單位，游園人數分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最省？

(2)若三個單位的游園人數分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？

(3)若游園人數為x人，你能找出一般買門票最省錢的規律嗎？

自測題四

1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數不可能被11整除．

7．設x1，x2，…，x9均為正整數，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？

(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？

自測題五

2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a，b，c是三個自然數，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當A點在BC上時，將怎樣？

按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？

第四篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第三十一講復習題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數，比較M，N的大小．

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實數x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數a和整數b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數和等于弦上的高的平方的倒數．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：

25．已知n是正整數，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質的最小正整數n：

(1)它以數字6結尾；

(2)如果把數字6移到第一位之前，所得的數是原數的4倍．

27．求出整數n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個數任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個數任意排列為b1，b2，?，b27，計算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數m的取值范圍．

34．求所有的正實數a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數根．

35．求證：當p，q為奇數時，方程

x2＋px＋q=0

無整數根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．

37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數學問題加以解釋．

46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？

47．在一條運河的兩側有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側)，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？

49．三個同學在街頭散步，發現一輛汽車違反了交通規則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數是相同的，第二個同學記得后兩位數也相同，第三個同學記得這個四位數恰好是一個數的平方數．根據這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？

50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現獲得如下一組數據：

(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；

(2)求出關于x的函數y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．

第五篇：全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集第08講平行四邊形

全國初中數學競賽輔導(八年級)教學案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：

(1)平行四邊形對角相等；

(2)平行四邊形對邊相等；

(3)平行四邊形對角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因為ABCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發生聯系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因為AD∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內錯角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內錯角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發現△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內很難發現，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發現，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．

證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因為DEBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分