第一篇：高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)函數(shù)講座高二數(shù)學(xué)講座之導(dǎo)數(shù)與推理與證明student

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)講座之導(dǎo)數(shù)與推理與證明石嘴山市光明中學(xué) 潘學(xué)功

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)講座之導(dǎo)數(shù)與推理與證明

【基礎(chǔ)回歸】

1．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，?，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，?，這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）

A．289B．1024C．1225D．1378

2．在R上定義運(yùn)算?:x?y?x(1?y)，若不等式(x?a)?(x?a)?1對任意實(shí)數(shù)x成立，則（）A．?1?a?1B．0?a?2C．?1?a?3D．?3?a?1 222

23．已知數(shù)列{an}滿足a1?0,an?1?

an?3an?1(n?N*)，則a20=（）A．0B．?3C．3D．/2

22?31151117,1?2?2?,1?2?2?2?，?，則可歸納出式子為（）2342323

41n24．觀察式子：1?A．1?

C．1?122?132???12n?12n?1nB．1?D．1?122?132??1n2?12n?11

22?1

32??1

n2?1

22?1

32??1

n2?2n 2n?1

315．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)?1?1?1???，經(jīng)計(jì)算得f(2)?，f(4)?2，f(8)?5，f(16)?3，2n22

37f(32)?。觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論（）2

A．f(2n)?n?22n?1B．f(n2)?n?2C．f(2n)?D．以上都不對 222

26．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2 成立時(shí)，總可推出f(k?1)≥(k?1)

成立”，那么，下列命題總成立的是若（）成立

A．f(1)?1成立，則f(10)?100B．f(2)?4成立，則f(1)≥1

C．f(3)≥9成立，則k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2D．f(4)≥25成立，則k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2

7．設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對任意的a，b?S，對于有序

元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）．若對任意的a，b?S，有a*(b*a)?b，則對任意的a，b?S，下列等式中不恒成立的是（）

A．(a*b)*a?aB．[a*(b*a)]*(a*b)?aC．b*(b*b)?b

則必有（）

A．bf(a)≤af(b)

【典例剖析】

〖例1〗用分析法證明：?7?22?。

B．a(chǎn)f(b)≤bf(a)C．a(chǎn)f(a)≤f(b)D．bf（b)

≤f(a)D．(a*b)*[b*(a*b)]?b ??)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)?0，對任意正數(shù)a，b，若a?b，8． f(x)是定義在(0，寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

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〖例2〗用三段論證明函數(shù)y??x2?2x在（－∞，1]上是增函數(shù)。

2?2?2?〖例3〗已知：sin30?sin90?sin150?332?2?2?； sin5?sin65?sin125?。22

通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出對任意角度?都成立的一般性的命題，并給予證明。

22xy〖例4〗已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C:2?2?1(a?b?0)上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是 ab

橢圓C上任意一點(diǎn)，且直線PM,PN的斜率都存在(記為kPM,kPN)，則kPM·kPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)

x2y2的定值。試寫出雙曲線E:2?2?1(a?0,b?0)的類似性質(zhì)，并加以證明。ab

【思維訓(xùn)練】

1．對于非零實(shí)數(shù)a，b，以下四個(gè)命題都成立：

① a?12222?0；②(a?b)?a?2ab?b；③ 若|a|?|b|，則a??b；④ 若a?ab，則a?b。a

那么，對于非零復(fù)數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

2())≥0，2．已知二次函數(shù)f(x)?ax?bx?c的導(dǎo)數(shù)為f?(x)，f?(0)?0，對于任意實(shí)數(shù)x，有f(x則f1

f?(0)的最小值為（）

A．3B．5/2C．2D．3/2

3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)

四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為_____

21114.已知函數(shù)f(x)?x，那么f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()?____________ 2341?x2

5．在△ABC中，射影定理可以表示為a?bcosC?ccosB，其中a,b,c分別為角A、B、C的對邊，類似以上定理，在四面體P?ABC中，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面積，?，?，?分別表示面PAB、面PBC、面PAC與底面ABC所成角的大小，請給出一個(gè)空間四面體性質(zhì)的猜想：________________

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第二篇：高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)函數(shù)講座高二數(shù)學(xué)講座之復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù)推理與證明student

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【基礎(chǔ)回歸】

1、(2009廣東)下列n的取值中，使i=1（i是虛數(shù)單位）的是（）

A．n=

22、（2009全國）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

1?7i3、（2009安徽）i是虛數(shù)單位，若?a?bi(a,b?R)，則乘積ab的值是（）

2?iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z?

A．

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(1?i)2(3?4i)

2〖例4〗已知復(fù)數(shù)z滿足: z?1?3i?z,求的值。2z

〖例5〗設(shè)函數(shù)f(x)??13x?x2?(m2?1)x(x?R)，其中m?0。

3（Ⅰ）函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，1）上不單調(diào)，求m的取值范圍；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。

【能力培養(yǎng)】

1、（2008浙江）已知a是實(shí)數(shù)，A．

12、（2008遼寧）復(fù)數(shù)1?1的虛部是（）?2?i1?2i

A．ia?i是純虛數(shù)，則a=（）1?iB．-1C．2D．-2

15B．15C．?i 1

5D．?1

53、（2008寧夏）已知復(fù)數(shù)z?1?i，則z

2?（）z?

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由數(shù)列1，10，100，1000，??，猜測該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是（）

A．10nB．10n?

1nC．10n?1D．11 n5、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，令Tn?S1?S2??Sn，稱T為數(shù)列a，a，??，a的“理想數(shù)”，n12n

已知數(shù)列a1，a2，??，a500的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2，a1，a2，??，a500的“理想數(shù)”為（）

A．2008B．2004C．2002D．2000 ??1,x?0(a?b)?(a?b)?f(a?b)(a?b)的值為（）

6、設(shè)f(x)??，則21,x?0?

A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn), b中較小的數(shù)D．a(chǎn), b中較大的數(shù)

*

7、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1?a,an?b(n?2，n?N)，則an?1?nb?a。類比等差數(shù)列的上述 n?1

*結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(b?0,n?N*)，若b1?c,bn?d(n?3,n?N)，則可以得到bn?1a?3i8．若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a?2?9i

9．如圖所示，函數(shù)y?f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y??x?8，則f?5??

310．若直線y?a與函數(shù)f(x)?x?3x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則a?寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第三篇：高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)函數(shù)講座高二數(shù)學(xué)講座之復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù)推理與證明

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【基礎(chǔ)回歸】

1、(2009廣東)下列n的取值中，使i=1（i是虛數(shù)單位）的是（）

A．n=

22、（2009全國）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

1?7i3、（2009安徽）i是虛數(shù)單位，若?a?bi(a,b?R)，則乘積ab的值是（）

2?iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z?

A．

〖例2〗若z?C且|z|?1，則|z?2?2i|的最小值是（）

A．22?1B．22+1C．2-1D．22 〖例3〗已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2?(y?1)2?1上運(yùn)動。

（1）求

y?1的最大值與最小值；（2）求2x?y的最大值與最小值。x?

2y?1 x?2

整理得：kx?y?2k?1?0（1）令K?

由1??1?2k?1?k2

解得：k??

所以 3 3y?133的最大值為；最小值為— x?23

3（2）令b=2x+y

整理得 2x+y-b=0 由 1??b解得：b?1?或b?1?

所以 2x+y 的最大值為1?5；最小值為1?

5〖例4〗

設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?1，且(3?4i)z是純虛數(shù)，求z。

解：設(shè)z?a?bi,(a,b?R)，由z?1?1；

?

(3?4i)z?(3?4i)(a?bi)?3a?4b?(4a?3b)i是純虛數(shù)，則3a?4b?0

44??a?a????43?1??55?43??,或?，z??i,或??i 5555??b?3?b??3?3a?4b?0??55??

(1?i)2

(3?4i)2

已知復(fù)數(shù)z滿足: z?1?3i?z,求的值.2z

解：設(shè)z?a?bi,(a,b?R)，而z?1?3i?z,1?3i?a?bi?0

a?1?0?a??4??,z??4?3i 則b?3???b?3?0

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(1?i)2(3?4i)22i(?7?24i)24?7i???3?4i 2z2(?4?3i)4?i

〖例5〗設(shè)函數(shù)f(x)??13x?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0 3

（Ⅰ）函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,1)不單調(diào)，求m的取值范圍．

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅲ）

已知函數(shù)f(x)

有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)

0，x1,x2，且x1?x2。若對任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)

恒成立，求m的取值范圍。

函數(shù)f(x)在x?1?m處取得極小值f(1?m)，且f(1?m)=?231m?m2? 33

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（3）解：由題設(shè)，f(x)?x(?

所以方程?121x?x?m2?1)??x(x?x1)(x?x2)33124x?x?m2?1=0由兩個(gè)相異的實(shí)根x1,x2，故x1?x2?3，且??1?(m2?1)?0，33

11解得m??(舍)，m? 22

3因?yàn)閤1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1 2

1若x1?1?x2,則f(1)??(1?x1)(1?x2)?0，而f(x1)?0，不合題意 3

若1?x1?x2,則對任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0,則f(x)???1x(x?x1)(x?x2)?0又f(x1)?0，所以函數(shù)f(x)在x?[x1,x2]的最小值為0，于3

2是對任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充要條件是f(1)?m?13?0,解得?綜?m?333上，m的取值范圍是(,【能力培養(yǎng)】 13)231、（2008浙江）已知a是實(shí)數(shù)，A．

12、（2008遼寧）復(fù)數(shù)

A．ia?i是純虛數(shù)，則a=A 1?i C．2D．-2 B．-1

1511?的虛部是（B）?2?i1?2i11B．C．?i 55D．?1

5z

2?（B）

3、（2008寧夏）已知復(fù)數(shù)z?1?i，則z?

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由數(shù)列1，10，100，1000，??，猜測該數(shù)列的A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn), b中較小的數(shù)D．a(chǎn), b中較大的數(shù)

7、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1?a,an?b(n?2，n?N*)，則an?1?nb?a。類比等差數(shù)列的上述 n?1

結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn

}(b?0,n?N*)，若b1?c,bn?d(n?3,n?N*)，則可以得到bn?1答案： 8．若

a?3i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a? 2?9i 9．如圖1所示，函數(shù)y?f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是 y??x?8，則f?5??

10．若直線y?a與函數(shù)f(x)?x3?3x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則a?

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第四篇：新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)《推理與證明》知識歸納總結(jié)

《推理與證明》知識歸納總結(jié)

第一部分合情推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解合情推理的含義（易混點(diǎn)）

理解歸納推理和類比推理的含義，并能運(yùn)用它進(jìn)行簡單的推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用（難點(diǎn)）

一、知識歸納：

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：

歸納推理:

1.歸納推理:由某類事物的對象具有某些特征，推出該類事物的具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.2.歸納推理的一般步驟:

第一步，通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);

第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）.思考探究:

1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎?

2.統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是否屬歸納推理?

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

.對于任意正實(shí)數(shù)a,b

?成立的一個(gè)條件可以是____.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂

巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖

有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關(guān)系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系

類比推理

1.類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.2.類比推理的一般步驟:

第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想.思考探究:

1.類比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎?

2.(1)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體?

(2)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論?

題型2用類比推理猜想新的命題

[例]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的______.【解題思路】從方法的類比入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即S?

等體積法，V?1，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是3111ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應(yīng)為2231111Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 334

4總結(jié)：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

合情推理

1.定義:歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.簡言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的過程:

→

→

思考探究:

1.歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?

1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。

2）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。第二部分演繹推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解演繹推理的含義（重點(diǎn)）

掌握演繹推理的模式，會利用三段論進(jìn)行簡單推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

合情推理與演繹推理之間的區(qū)別與聯(lián)系

一、知識歸納：

演繹推理的含義:

1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出的結(jié)論.演繹推理又叫推理.2.演繹推理的特點(diǎn)是由的推理.思考探究:

演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?

演繹推理的模式

1.演繹推理的模式采用“三段論”:

(1)大前提——已知的(M是P);

(2)小前提——所研究的(S是M);

(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P).2.從集合的角度看演繹推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性質(zhì)P;

(2)小前提：y∈S且S?M

(3)結(jié)論：y具有性質(zhì)P.演繹推理與合情推理

合情推理與演繹推理的關(guān)系:

(1)從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.第三部分直接證明與間接證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。

知識歸納：

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證

結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止

(3)斷言假設(shè)不成立

(4)肯定原命題的結(jié)論成立

用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題

考點(diǎn)1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??

2?A??

2?B，?y?sinx在(0,)上是增函數(shù)，?sinA?sin(?B)?cosB 22

同理可得sinB?cosC，sinC?cosA ??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點(diǎn)2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?)2?(a?b)2

即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因?yàn)?--所以---” 考點(diǎn)3反證法已知f(x)?a?xx?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根 x?1

x0?2 x0?1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax0??

?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根

總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

第四部分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。

2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題

3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。

知識歸納：

數(shù)學(xué)歸納法的定義：

一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:

(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k（

第五篇：高中數(shù)學(xué)推理與證明測試題

高中數(shù)學(xué)推理與證明測試題

山東淄博五中孫愛梅

一 選擇題（5×12=60分）

1.如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什

么顏色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍數(shù)（M）都是3的倍數(shù)（P），某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M），故某奇數(shù)（S）

是3的倍數(shù)（P）.”上述推理是（）

A．小前提錯(cuò)B．結(jié)論錯(cuò)C．正確的D．大前提錯(cuò)

3．F（n）是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F（k）（k∈N＋）真，則F（k＋1）真，現(xiàn)已知F

（7）不真，則有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命題是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D(zhuǎn)．③④

4.下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語氣都是假定的5．類比平面正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

① 各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；

② 各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；

③ 各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．不充分不必要條件

17．（04·全國Ⅳ，理12）設(shè)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．設(shè)S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋?＋，則（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定義運(yùn)算⊙：x⊙y＝，若關(guān)于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）為偶函數(shù)，且f（2＋x）＝f（2－x），當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），則a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足f（－x）＝－f（x）是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說：“是乙獲獎(jiǎng)”。四位歌手的話只有兩名是對的，則獎(jiǎng)的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空題（4×4=16分）13．“開心辭典”中有這樣的問題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)，現(xiàn)給1131

5出一組數(shù)：,-，-，它的第8個(gè)數(shù)可以是。

228

43214．在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC邊上的射影，則AB2=BDBC.拓展到空間,在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在面BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關(guān)系為。

15．（05·天津）在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黃岡市一模題）當(dāng)a0，a1，a2成等差數(shù)時(shí)，有a0－2a1＋a2＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3成等差數(shù)列時(shí)，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列時(shí)，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此歸納：當(dāng)a0，a1，a2，?，an成等差數(shù)列時(shí)有Cna0－Cna1＋Cna2－?＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，?，an成等差數(shù)列，類比上述方法歸納出的等式為＿＿＿。三 解答題（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求證：18．若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y(tǒng)2－2y＋c＝z2－2z＋，求證：a、b、236

c中至少有一個(gè)大于0.（12分）

19．?dāng)?shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，?）.n

Sn

證明：⑴數(shù)列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法證明：若a＞0，則

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，若在A發(fā)生的條件下B發(fā)生概率為P′，則由A產(chǎn)生B的概率為P·P′.根據(jù)這一事實(shí)解答下題.一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0、1、2、?、100，共101站，一枚棋子開始在第0站（即P0＝1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動一站，出現(xiàn)反面則向前跳動兩站.直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時(shí)，游戲結(jié)束.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率相同，設(shè)棋子跳到第到第n站時(shí)的概率為Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）設(shè)an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB ＝.其證明過程：

BCBE作EG⊥AC于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H，CF⊥AB于點(diǎn)F

∵CE是∠ACB的平分線，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論.B HC

圖

1A

A G

B

圖

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因?yàn)殇J角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足是減函數(shù)

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜測甲、乙對，則丙丁錯(cuò)，甲、乙可看出乙獲獎(jiǎng)則丁不錯(cuò)，所以丙丁中必有一個(gè)是對的，設(shè)丙對，則甲對，乙錯(cuò)，丁錯(cuò).∴答案為C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·?·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此題的關(guān)鍵是對類比的理解.通過對所給等差數(shù)列性質(zhì)的理解，類比去探求等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì).實(shí)際上，等差數(shù)列與等比數(shù)列類比的裨是運(yùn)算級別的類比，即等差數(shù)列中的“加、減、乘、除”與等比數(shù)列中的“乘、除、乘方、開方”相對應(yīng).三 解答題

317(分析法)要證+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需證:+ =3

a+bb+c

即證:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即證:c2+a2=ac+b

2因?yàn)椤鰽BC中，角A、B、C成等差數(shù)列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反證法).證明：設(shè)a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.19(綜合法)．證明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴數(shù)列｛｝為等比數(shù)列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).證明：要證

a2＋2－≥a＋2，只需證

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需證a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需證a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即證a2＋2≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）證明:棋子跳到第n站，必是從第n－1站或第n－2站跳來的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比為－，首項(xiàng)為－的等比數(shù)列（1≤n≤100）.2222．結(jié)論:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設(shè)點(diǎn)E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2圖2 A hB HC

圖1