第一篇：高二 數學 選修 推理與證明(文)（模版）

高中數學（文）推理與證明

知識要點：

1、合情推理

根據一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理；

根據兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。

類比推理的一般步驟：

（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那么它們在另一些性質上也可能相同或類似，類比的結論可能是真的；

（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。

2、演繹推理

分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據一般性的真命題（或邏輯規則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。

3、證明方法

（1）反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數學證明方法。

反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

注意：可能出現矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。

（2）分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

分析法的思維特點是：執果索因；

分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有??，這只需要證明命題為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。

（3）綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發現兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規律？

（2）把下面在平面內成立的結論類比推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立：

1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。

2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。

例2：（06年天津）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱

1EF//BC。?

2（1）證明FO//平面CDE；

（2）設BC?，證明EO?平

面CDF。

例3：（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么

（2）用綜合法證明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法證明：如果ΔABC的三條邊分別為a，b，c，那么：

a?bc? 1?a?b1?c

鞏固練習：

1.如果數列?an?是等差數列，則

A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”

結論顯然是錯誤的，是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

4.設f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則'

f2007(x)?

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數碼200

4折合成十進制為

A.29B.254C.602D.2004

6.函數y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四個不等式：①a2?b2?c2?ab?bc?ca；②a?1?a??

ab??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?2.其中不成立的有ba

A.1個B.2個C.3個D.4個

2f(x)（x?N*）,f(1)?1 8.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1

9.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，????則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.2?3?4?32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規律為10.從1?12，(用數學表達式表示)

11.函數y＝f（x）在（0，2）上是增函數，函數y=f(x+2)是偶函數，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關系是.12.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)

當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數學表達式表示）

第二篇：高二數學選修2-2第二章推理與證明

§2.1.1 合情推理

1.結合已學過的數學實例，了解歸納推理的含義；

.一、課前準備

（預習教材P70~ P77，找出疑惑之處）在日常生活中我們常常遇到這樣的現象：

（1）看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家，推斷天要下雨；（2）八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈.以上例子可以得出推理是的思維過程.二、新課導學

探究任務一：考察下列示例中的推理

問題：因為三角形的內角和是180??(3?2)，四邊形的內角和是180??(4?2)，五邊形的內角和是180??(5?2)??所以n邊形的內角和是

新知1：從以上事例可一發現：叫做合情推理。歸納推理和類比推理是數學中常用的合情推理。探究任務二：

問題1：在學習等差數列時，我們是怎么樣推導首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式的？

新知2 歸納推理就是根據一些事物的,推出該類事物的的推理歸納是的過程 例子:哥德巴赫猜想：

觀察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,例2設f(n)?n?n?41,n?N?計算f(1),f(2),f(3,)...f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n=40驗證猜想是否正確。

練1.觀察圓周上n個點之間所連的弦，發現兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，由此可以歸納出什么規律？

三、總結提升※ 學習小結1．歸納推理的定義.2.歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發現某些相同的性質；②從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1.下列關于歸納推理的說法錯誤的是（）.A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程C.歸納推理得出的結論具有或然性，不一定正確D.歸納推理具有由具體到抽象的認識功能

2f(x),f(1)?1（x?N*）2.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為（）.f(x)?2421

2A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)?

2?2x?1x?12x?1111357

3.f(n)?1???????(n?N?)，經計算得f(2)?,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)?

23n222

猜測當n?2時，有__________________________.50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：歸納推理的一般步驟。2。※ 典型例題

例1用推理的形式表示等差數列1,3,5,7??2n-1，??的前n項和Sn的歸納過程。已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,??1+2+3+??+n=

n(n?1)，觀察下列立方和：13，2

13+23，13+23+33，13+23+33+43，??試歸納出上述求和的一般公式。

2.1.2演繹推理

2.通項公式為

an=cqn?cq?0?的數列?

an?

是等比數列。并分析證明過程中的三段論

【使用說明及學法指導】

1.先預習教材p78?--p81,然后開始做導學案

2．針對預習提綱，深化對演繹推理的一般形式—“三段論”的理解【學習目標】

結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理。

了解合情推理與演繹推理之間的聯系與差別

【學習難點重點】

教學重點：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理.1.如圖。在?ABC中，AC>BC,CD是AB

?ACD??BCD教學難點：分析證明過程中包含的“三段論”形式.證明：在?ABC中【課前預習案 】教材p78?--p81,然后開始做導學案

CD?AB,AC?BC【自學提綱：(基本概念、公式及方法)】 ?AD?BD

一．基礎性知識點,于是?ACD??BCD.1.演繹推理的定義：_______________________________________________________2．演繹推理是由___________到___________的推理； 指出以上證明過程中的錯誤 3．“__________________”是演繹推理的一般模式；包括【提醒】：演繹推理錯誤的主要原因是

⑴____________---____________________；1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件。⑵____________---____________________；

2、把下列推理恢復成完全的三段論:

⑶____________---_____________________． 4.三段論的基本格式

（1）因為?ABC三邊長依次為3，4，5，所以?ABC是直角三角形；

M—P（M是P）（_________）S—M（S是M）（________）（2）函數y?2x?5的圖象是一條直線.S—P（S是P）（_________）

用集合的觀點來理解:______________________________________________________二．課前檢測.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數” 結論顯然是錯誤的，是因為（）

A.大前提錯誤 B.小前提錯誤C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤3.用三段論證明：在梯形ABCD中ADBC,AB?DC,則?B??C

例

2、已知lg2?m,計算lg0.8

1.把“函數y?x2?x?1的圖象是一條拋物線”恢復成完全三段論。

2.2.1綜合法和分析法

【學習目標】

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。【重點難點】

1.結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

3.根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。【知識梳理】

復習1兩類基本的證明方法:和。復習2 直接證明的兩中方法:和。知識點一綜合法的應用

一般地,利用,經過一系列的推理論證，最后導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫綜合法。

反思框圖表示要點順推證法；由因導果。例1 已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9

變式已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證(?1)(?1)(?1)?8。

小結用綜合法證明不等式時要注意應用重要不等式和不等式性質,要注意公式應用的條件和等號成立的條件,這是一種由因索果的證明。知識點二分析法的應用

證明：基本不等式新知：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點：逆推證法；執果索因 ※ 典型例題

例

2變式：求證

小結：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 設在四面體P?ABC中,?ABC?90?,PA?PB?PC,D是AC的中點.求證：PD垂直于?ABC所在的平面。

小結解決數學問題時,往往要先作語言的轉換,如把文字語言轉換成符號語言,或把符號語言轉換成圖形語言等,還要通過細致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來。

1.已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

2.在△ABC中，證明

cos2Acos2B1

1???。2222

abab

b?c?aa?c?ba?b?c

???3。abc

a1b1c

1a1b1c

a?b

(a?0,b?0)2

2.2.2反證法

學習目標

（1）使學生了解反證法的基本原理；（2）掌握運用反證法的一般步驟；（3）學會用反證法證明一些典型問題.【概念形成】

反證法的思維方法：正難則反

反證法定義：一般地，由證明p

?q與假設矛盾，或與某個真命題矛盾。從而判定為假，推出為真的方法，叫做反證法。

【例題分析例

1、已知a,b,c?R,a?b?c?0,abc?1.求證：a,b,c中至少有一個大于

（4結論為 “唯一”類命題；

課后練習與提高

一、選擇題

1．用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是（）

Ａ．假設a，b，c都是偶數 Ｂ．假設a，b，c都不是偶數

Ｃ．假設a，b，c至多有一個是偶數 Ｄ．假設a，b，c至多有兩個是偶數

2．（1）已知p3?q3?2，求證p?q≤2，用反證法證明時，可假設p?q≥2，（2）已知a，b?R，a?b?1，求證方程x2?ax?b?0的兩根的絕對值都小于1．用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設x1≥1，以下結論正確的是（）Ａ．(1)與(2)的假設都錯誤 Ｂ．(1)與(2)的假設都正確

Ｃ．(1)的假設正確；(2)的假設錯誤 Ｄ．(1)的假設錯誤；(2)的假設正確

3．命題“三角形中最多只有一個內角是鈍角”的結論的否定是（）Ａ．有兩個內角是鈍角Ｂ．有三個內角是鈍角 Ｃ．至少有兩個內角是鈍角 Ｄ．沒有一個內角是鈍角

二、填空題

4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1個大于或等于60的反面為_______． 5.已知A為平面BCD外的一點，則AB、CD是異面直線的反面為_______．

三、解答題

6．?

3。

2例2．設a?b?2，求證a?b?2.反思總結：

1.反證法的基本步驟：

（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確

2.歸繆矛盾：

（1）與已知條件矛盾；

（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。

3.應用反證法的情形：

(1)直接證明困難;(2)需分成很多類進行討論；

（3)結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個” 類命題；

2.3數學歸納法

教學要求：了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.教學難點：數學歸納法中遞推思想的理解.1.教學數學歸納法概念：

給出定義：歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法.特點：由特殊→一般.不完全歸納法：根據事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法叫不完全歸納法.完全歸納法：把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法.2、典例分析

題型

一、用數學歸納法證明恒等式

例

1、例1數學歸納法證明13＋23＋33＋?＋n3=

題型

二、用數學歸納法證明不等式 例

2、歸納法證明

題型

三、用數學歸納法證明幾何問題 例3．平面內有n(n?N*)個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,求證:這n個圓把平面分成n?n?2個部分.題型

四、用數學歸納法證明整除問題

例

4、用數學歸納法證明32n2－8 n－9?n?N?能被64整除．

＋

用數學歸納法證明(3n?1)7n?1(n?N?)能被9整除

2n（n＋1）2

4題型五 歸納、猜想、證明 例5．是否存在常數a，b，c使等式

1·22?2·32?3·42??n?n?1??

11119???…＞（n＞1，且n?N）． n?1n?2n?33n10

并證明你的結論。

n?n?1?1

2?an

?bn?c對一切自然數n都成立，?

六、強化訓練

1.用數學歸納法證明“1＋x＋x2＋?＋xn1=

＋

第二章 推理與證明知識點：

1、歸納推理：把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：

?通過觀察個別情況發現某些相同的性質；

?從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）； ?證明（視題目要求，可有可無）.2、類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：

?找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

?用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； ?檢驗猜想。

3、合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.歸納推理和類比推理統稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理． 簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式———“三段論”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情況；⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷．

5、直接證明與間接證明

⑴綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.要點：順推證法；由因導果.⑵分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.要點：逆推證法；執果索因.⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：

(1)（反設）假設命題的結論不成立；(2)（推理）根據假設進行推理,直到導出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設不成立；(4)（結論）肯定原命題的結論成立.6、數學歸納法

數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法.用數學歸納法證明命題的步驟;

*

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0(n0?N)時命題成立；

*

（2）（歸納遞推）假設n?k(k?n0,k?N)時命題成立，推證當n?k?1時命題也成立.只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.1?x1?x

n?2

?x?1，n?N?”成立時，驗證n=1的過

程中左邊的式子是()(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋?＋x2

6.用數學歸納法證明

11111111

??????(n?N),則從k到k＋1時,1－＋－???

2342n?12nn?1n?22n左邊應添加的項為

111111

?(A)(B)(C)－(D)－

2k?12k?22k?12k?22k?22k?4

8.如果命題p(n)對n?k成立，那么它對n?k?2也成立，又若p(n)對n?2成立，則下列

結論正確的是（）

A．p(n)對所有自然數n成立B．p(n)對所有正偶數n成立 C．p(n)對所有正奇數n成立D．p(n)對所有大于1的自然數n成立

1222

??10.證明

1?33?5

n2n(n?1)

??,n?N*(2n?1)(2n?1)2(2n?1)

15.用數學歸納法證明：(3n?1)7?1(n?N?)能被9整除

16．是否存在常數a,b,c使等式1?(n?1)?2(n?2)?????n(n?n)?an?bn?c 對一切正整數n都成立？證明你的結論。

17.數列

n

?an?的前n項和Sn?2n?an，先計算數列的前4項，后猜想an并證明之．

第三篇：高二數學選修2-2《推理與證明測試題》

-202000

sin30?cos60?sin30cos60?

202000

sin20?cos50?sin20cos50?

3，sin15?cos45?sin15cos45?

17、（10分）已知正數a,b,c成等差數列，且公差d?0，求證：，不可能是等差數列。

abc18、（14分）已知數列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論。

15、猜想：sin2??cos2(??30?)?sin?cos(??30?)?證明：4

1?cos2?1?cos(600?2?)sin(300?2?)?sin300

sin??cos(??30)?sin?cos(??30)???

222

cos(600?2?)?cos2?11?2sin(300?2?)sin30011 00

?1??[sin(30?2?)?]?1??[sin(30?2?)?]

222222

3113 00

??sin(30?2?)?sin(30?2?)

?

第四篇：高二文科數學選修1-2《推理與證明》測試題

高二數學選修1-2《推理與證明》測試題

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；請將答案直接填入下列表格內.）

1.如果數列?an?是等差數列，則A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”結論顯然是錯誤的，是因為A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4.設f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則f2007(x)?

A.sinx B.－sinx

01'C.cosx 23D.－cosx 5.在十進制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進制中數碼2004折合成十進制為

A.29B.254C.602D.200

41D.1

21ab222??2 ；④7.下面的四個不等式：①a?b?c?ab?bc?ca；②a?1?a??；③4ba6.函數y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a=A.C.11 B.84

?a22?b2?c2?d2??ac?bd?.其中不成立的有A.1個B.2個C.3個D.4個 ???

8.拋物線x2?4y上一點A的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點的距離為A.2B.3C.4D.5

9.設 f(x)?|x?1|?|x|, 則f[f()]?A.?

????1212B.0 C.1 2 D.110.已知向量a?(x?5,3), b?(2,x),且a?b, 則由x的值構成的集合是

A.{2,3}B.{-1, 6}C.{2}D.{6}

11.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 ?

2f(x)（x?N*）,f(1)?1，猜想f(x）的表達式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?112.已知f(x?1)?

二.解答題：本大題共5小題，每小題8分，共40分.13.證明：2，不能為同一等差數列的三項.14.在△ABC中，sinA?sinB?sinC，判斷△ABC的形狀.cosB?cosC

15.已知：空間四邊形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，判斷直線EF與平面ABD的關系，并證明你的結論.1?x)?x，求f(x)的最大值.16.已知函數f(x)?ln（17.△ABC三邊長a,b,c的倒數成等差數列，求證：角B?90.三．填空題.本大題共4小題，每空4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

18.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：

AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之

間滿足的關系為.2?3?4?3，3+4+5+6+7=5中，可得到一般規律為(用數學表達式表示)19.從1?1，20.函數y＝f（x）在（0，2）上是增函數，函數y=f(x+2)是偶函數，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關系是.21.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)=；當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數學表達式表示）

四.解答題.（每題13分，共26分.選答兩題，多選則去掉一個得分最低的題后計算總分）

21?1???22.在各項為正的數列?an?中，數列的前n項和Sn滿足Sn??an? 2?an??

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數列?an?的通項公式；（3）求Sn

23.自然狀態下魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n?N，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn成正比，這些比例系數依次為正常數a,b,c.（Ⅰ）求xn?1與xn的關系式；（Ⅱ）猜測：當且僅當x1，a,b,c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）24.設函數f(x)?xsinx(x?R).（1）證明：f(x?2k?)?f(x)?2k?sinx,k?Z；

x0

（2）設x0為f(x)的一個極值點，證明[f(x0)]?.2

1?x0

?

五.解答題.（共8分.從下列題中選答1題，多選按所做的前1題記分）25.通過計算可得下列等式：

22?12?2?1?132?22?2?2?142?32?2?3?1┅┅(n?1)2?n2?2?n?

1將以上各式分別相加得：(n?1)?1?2?(1?2?3???n)?n即：1?2?3???n?類比上述求法：請你求出1?2?3???n的值.26.直角三角形的兩條直角邊的和為a，求斜邊的高的最大值 27.已知f(x)(x?R)恒不為0，對于任意x1,x2?R 等式f?x1??f?x2??2f?

n(n?1)

?x1?x2?

??

?2??x?x2?f?1?恒成立.求證：f(x)是偶函數.?2?

a?bc

?

1?a?b1?c

28.已知ΔABC的三條邊分別為a，b，c求證：

高二數學選修1-2 推理與證明測試題答案

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；請將答案直接填入下列表格內.）

二.解答題：本大題共5小題，每小題8分，共40分.13.證明：假設

2、、為同一等差數列的三項，則存在整數m,n滿足

3=2+md①=2+nd②

①?n-②?m得：n-m=2(n-m)兩邊平方得： 3n+5m-2mn=2(n-m)

左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數?無理數 所以，假設不正確。即

2、、不能為同一等差數列的三項 14.?ABC是直角三角形； 因為sinA=

sinB?sinC

cosB?cosC

據正、余弦定理得 ：（b+c）(a-b-c)=0； 又因為a,b,c為?ABC的三邊，所以 b+c?0

222

所以 a=b+c 即?ABC為直角三角形.15.平行；提示：連接BD，因為E，F分別為BC，CD的中點，EF∥BD.16.提示：用求導的方法可求得f(x)的最大值為0

a2?c2?b22ac?b2b2b2b

??1?17.證明：cosB?=1? ?1?

2ac2ac2acb(a?c)a?c?a,b,c為△ABC三邊，?a?c?b，?1?

b

?0?cosB?0 ?B?900.a?c

三．填空題.本大題共4小題，每空4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

2222

18.S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ADB.19.n?(n?1)?(n?2)?......?(3n?2)?(2n?1)2

20.f(2.5)>f(1)>f(3.5)21.5； n+1）(n-2)．

四.解答題.（每題13分，共26分.選答兩題，多選則去掉一個得分最低的題后計算總分）22.（1）a1?1,a2?

（2）an?n?n?1；（3）Sn?n.2?1,a3?3?2；

23.解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

22cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1?且僅當a>b，且x1?

a?b

.因為x1>0，所以a>b.猜測：當c

a?b

時，每年年初魚群的總量保持不變.c

24.證明：1）f(x?2k?)?f(x)?（x?2k?）sin(x?2k?)-xsinx

（x?2k?）sinx-xsinx=2k?sinx=

2)f?(x)?sinx?xcosx

f?(x0)?sinx0?x0cosx0?0①又sin2x0?cos2x0?1②

x02x02x042222由①②知sinx0=所以[f(x0)]?x0sinx0?x0 ?222

1?x01?x01?x0

五.解答題.（共8分.從下列題中選答1題，多選按所做的前1題記分）25.[解] 2?1?3?1?3?1?13?2?3?2?3?2?1

43?33?3?32?3?3?1┅┅

(n?1)3?n3?3?n2?3?n?1

將以上各式分別相加得：(n?1)3?13?3?(12?22?32???n2)?3?(1?2?3??n)?n 所以： 1?2?3???n??

11?n

[(n?1)3?1?n?3n] 32

n(n?1)(2n?1)

26.a 4

27.簡證：令x1?x2，則有f?0??1，再令x1??x2?x即可 28.證明：設f(x)?

x,x?(0,??)1?x

設x1,x2是(0,??)上的任意兩個實數，且x2?x1?0，f(x1)?f(x2)?

x1xx1?x2

?2?

1?x11?x2(1?x1)(1?x2)

x

在(0,??)上是增函數。1?x

因為x2?x1?0，所以f(x1)?f(x2)。所以f(x)?由a?b?c?0知f(a?b)?f(c)即

a?bc

?.1?a?b1?c

第五篇：高二數學選修1-2《推理與證明測試題》（范文）

高二數學選修1-2《推理與證明測試題》

班級姓名學號得分

一、選擇題：

1、與函數y?x為相同函數的是（）A.y?x2B.y?x

2xC.y?elnxD.y?log2x22、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“a?b

c?a

c?b

c（c≠0）”

nnnnnnD.“（ab）?ab” 類推出“（a?b）?a?b”

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。

A.假設三內角都不大于60度；B.假設三內角都大于60度；

C.假設三內角至多有一個大于60度；D.假設三內角至多有兩個大于60度。

5、當n?1，2，3，4，5，6時，比較2n和n2的大小并猜想（）

A.n?1時，2n?n2B.n?3時，2n?n

2n2n2C.n?4時，2?nD.n?5時，2?n6、已知x,y?R,則“xy?1”是“x?y?1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7、在下列表格中,每格填上一個數字后,使每一行成等差數

列,每一列成等比數列,則a+b+c的值是()

A.1B.2C.3D.41 228、對“a,b,c是不全相等的正數”，給出兩個判斷：

①(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0；②a?b,b?c,c?a不能同時成立，下列說法正確的是（）

A．①對②錯 C．①對②對

B．①錯②對

D．①錯②錯

ax?cy

?（）

9、設a,b,c三數成等比數列，而x,y分別為a,b和b,c的等差中項，則

A．1B．2C．3D．不確定

10、定義運算:x?y??

?x?y

(x?y)(x?y),的是（）例如3?4?4,則下列等式不能成立．．．．

A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?z)

C．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（其中c?0）

二、填空題：

11、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數是。

12、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：AB?AC

?BC。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩

兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.13、從1?1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3，1?4?9?16??(1?2?3?4)，?,推廣到第n個等式為_________________________.14、已知a1?3，an?1?

3anan?

3，試通過計算a2，a3，a4，a5的值，推測出an＝

三、解答題：

15、在△ABC中，證明：

16、設a,b,x,y?R，且a2?b2?1,x2?y2?1,試證：ax?by?1。

17、用反證法證明：如果x?

cos2Aa

?

cos2Bb

?

1a

?

1b。

2，那么x2?2x?1?0。

18、已知數列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數列；

（d?0）.a10,a11,?,a20是公差為d的等差數列；a20,a21,?,a30是公差為d的等差數列

（1）若a20?40，求d；

（2）試寫出a30關于d的關系式，并求a30的取值范圍；

（3）續寫已知數列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數列，??，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列.提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

高二數學選修1-2《推理與證明測試題》答案提示

1——

10、DCABDBAABC11、____14__________

12、S?BCD

?S?ABC

?S?ACD

?S?ABD13、1?22?32?42???(?1)n?1?n2?(?1)n?1?(1?2?3?????n)

14、________

3n

______

cos2Bb15、證明：

cos2Aa

??

1?2sin

a

A

?

1?2sin

b

B

?

1a

?

1bB

?sin2Asin2B?

??2??a2?b2?

??

由正弦定理得：

cos2Aa

sina

2A

?

sinb

?

??

cos2Bb

?

1b

a16、證明: 1?(a2?b2)(x2?y2)?a2x2?a2y2?b2x2?b2y

2?a2x2?2aybx?b2y2?(ax?by)2故ax?by?

117、假設x?2x?1?0，則x??1?

2?

2容易看出?1?要證：?1?

2?2?3212

12，下面證明?1?。，只需證：2?只需證：2?

4，2?

上式顯然成立，故有?1?綜上，x??1?

2?

12。

。而這與已知條件x?相矛盾，因此假設不成立，也即原命題成立。

18、解：（1）a10?10.a20?10?10d?40,?d?3.（2）a30?a20?10d2?10?1?d?d2?(d?0)，a30

??1?3??10??d????，2?4?????

當d?(??,0)?(0,??)時，a30??7.5,??

?.（3）所給數列可推廣為無窮數列?an?，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數列，當n?1時，數列a10n,a10n?1,?,a10(n?1)是公差為dn的等差數列.研究的問題可以是：

試寫出a10(n?1)關于d的關系式，并求a10(n?1)的取值范圍.研究的結論可以是：由a40?a30?10d3?10?1?d?d2?d3?，依次類推可得

a10(n?1)?101?d???d

?

n

?

n?1

?1?d?10?,??1?d??10(n?1),d?1, d?1.當d?0時，a10(n?1)的取值范圍為(10,??)等.