第一篇：數(shù)學選修2-2_推理與證明例題1
知識要點分析：
1.推理
根據(jù)一個或幾個事實（或假設(shè)）得出一個判斷，這種思維方式叫推理.從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實（或假設(shè)），叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫結(jié)論.2.合情推理：
根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出的推理叫合情推理。
合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：
（1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。
（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。
類比推理的一般步驟：
（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。
3.演繹推理：
從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情況；（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。
4.綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?/p>
5.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。分析法的思維特點是：執(zhí)果索因
6.假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，由此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法，用這種方法證明一個命題的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）根據(jù)假設(shè)進行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止；（3）斷言假設(shè)不成立；（4）肯定原命題的結(jié)論成立?？赡艹霈F(xiàn)矛盾的四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾；④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。
7.運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基（或遞推基礎(chǔ)），第二步是歸納遞推（或歸納假設(shè)），兩步缺一不可
8.用數(shù)學歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問題等
【典型例題】
考點一：歸納推理
例
1、通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。
33sin230??sin290??sin2150??2；2；
33sin245??sin2105??sin2165??sin260??sin2120??sin2180??2；2 sin215??sin275??sin2135??
【解題思路】注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性，（2）觀察角的“共性”
【解析】猜想：sin2(??60?)?sin2??sin2(??60?)?
3222證明：左邊=(sin?cos60??cos?sin60?)?sin??(sin?cos60??cos?sin60?)33(sin2??cos2?)?2=右邊 =
2【名師指引】（1）先猜后證是一種常見題型
（2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（周期性）
考點二：類比推理
例
2、觀察下列等式：15C5?C5?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1591317C17?C17?C17?C17?C17?215?27，???
由以上等式推測到一個一般性的結(jié)論：
*對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?
4n?12n?12??12??答案： n1594n?
1【解析】這是一種需用類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項式構(gòu)成，第二項前有??1?n，二項指數(shù)分別為
24n?14n?1,22n?1，因此對于n?N*，4n?14n?14n?12n?1?2???1?2。nC?C
54n?1?C9
4n?1???C
反思：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比
（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等
考點三：演繹推理
例3.證明函數(shù)f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函數(shù).證明：滿足對于任意x1，x2∈D，若x1 因為x1 因為x1，x2<1所以x1+x2－2<0 因此f（x1）－f（x2）<0，即f（x1） 所以函數(shù)f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函數(shù).考點四：綜合法 例 4、對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x?0,1，????)(1?；總有f(x)?0；②f1③若x1?0,x2?0,x1?x2?1，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) 成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).（1）若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值； （2）判斷函數(shù)g(x)?2?1（x?[0,1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明； 【解析】（1）取x1?x2?0可得f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0.又由條件①f(0)?0，故f(0)?0.xg(x)?2?1在[0，1]內(nèi)滿足條件①g(x)?0；（2）顯然 也滿足條件②g(1)?1.若x1?0，x2?0，x1?x2?1，則 x g(x1?x2)?[g(x1)?g(x2)]?2x1?x2?1?[(2x1?1)?(2x2?1)] ?2x1?x2?2x1?2x2?1?(2x2?1)(2x1?1)?0，即滿足條件③，故g(x)為理想函數(shù).【反思】要證明函數(shù)g(x)?2?1（x?[0,1]）滿足三個條件，得緊扣定義，逐個驗證。 考點五：反證法 x 例 5、已知，a,b,c?(0,1)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能同時大于4。 1111?1?a?b??1?b?c??1?c?a?4，4，4 證法一：假設(shè)三式同時大于4，即 11?ab1?bc1?ca????????a,b,c??0,1?，?三式同向相乘得64，又 1?a?a?111?1?bb?1?cc??1?a?a????????2?4，同理4，4 ? 1??1?a?b?1?b?c?1?c?a?64，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證。 2證法二：假設(shè)三式同時大于4，?0?a?1?1?a?0，1?,22 ?1?b??c?1,?1?c?a?1,33?22三式相加得22，這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，22同理?1?a? ?b? ?所以原命題得證 點評：“不能同時大于4”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明。即正難則 反 （1）當遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少等類型問題時，常用反證法。 ?與公理矛盾??與題設(shè)矛盾 ?（2）用反證法的步驟是：①否定結(jié)論?A?B?C②而C不合理?與假設(shè)自相矛盾 ③因此結(jié)論不能否定，結(jié)論成立。 反證法屬于“間接證明法”一類，是從反面角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 考點六：數(shù)學歸納法 3a??a?0,a?ca?1?c,n?N*，其中c為實數(shù)。n1n?1n例 6、設(shè)數(shù)列滿足 求證：an?[0,1]對任意n?N成立的充分必要條件是c?[0,1]； * 證明：必要性：∵a1?0,∴a2?1?c，又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1，即c?[0,1] 充分性：設(shè)c?[0,1]，對n?N用數(shù)學歸納法證明an?[0,1] * 當n?1時，a1?0?[0,1].假設(shè)ak?[0,1](k?1) 則ak?1?cak?1?c?c?1?c?1，且ak?1?cak?1?c?1?c?0 3 3∴ak?1?[0,1]，由數(shù)學歸納法知an?[0,1]對所有n?N*成立 反思：數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1（或n0）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n0且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。 運用數(shù)學歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標、完成解題。 運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。 【本講涉及的數(shù)學思想、方法】 推理在高考中刻意去考查的雖然很少，但實際上對推理的考查卻無處不在，從近幾年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理能力，證明是高考中?？嫉念}型之一，對于反證法很少單獨命題，但是運用反證法分析問題、進行證題思路的判斷則經(jīng)常用到，有獨到之處。 高中數(shù)學（文）推理與證明 知識要點： 1、合情推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理； 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 類比推理的一般步驟： （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的； （4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。 2、演繹推理 分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。 3、證明方法 （1）反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。 反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。 （2）分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 分析法的思維特點是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有??，這只需要證明命題為真，從而又有?? 這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。 （3）綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。 典例分析： 例1：例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？ （2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立： 1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。 2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。 例2：（06年天津）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱 1EF//BC。? 2（1）證明FO//平面CDE； （2）設(shè)BC?，證明EO?平 面CDF。 例3：（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么 （2）用綜合法證明：如果a>b>0，那么 ； ； 例4：用分析法證明：如果ΔABC的三條邊分別為a，b，c，那么： a?bc? 1?a?b1?c 鞏固練習： 1.如果數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則 A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a 52.下面使用類比推理正確的是 A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b” B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc” a?bab??（c≠0）” ccc nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“ 3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)” 結(jié)論顯然是錯誤的，是因為 A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“ 4.設(shè)f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則' f2007(x)? A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx 5.在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數(shù)碼200 4折合成十進制為 A.29B.254C.602D.2004 6.函數(shù)y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四個不等式：①a2?b2?c2?ab?bc?ca；②a?1?a?? ab??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?2.其中不成立的有ba A.1個B.2個C.3個D.4個 2f(x)（x?N*）,f(1)?1 8.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為f(x)?2 4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1 9.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，????則三角形三邊長之間滿足關(guān)系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.2?3?4?32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為10.從1?12，(用數(shù)學表達式表示) 11.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是.12.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4) 當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數(shù)學表達式表示） -202000 sin30?cos60?sin30cos60? 202000 sin20?cos50?sin20cos50? 3，sin15?cos45?sin15cos45? 17、（10分）已知正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且公差d?0，求證：，不可能是等差數(shù)列。 abc18、（14分）已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論。 15、猜想：sin2??cos2(??30?)?sin?cos(??30?)?證明：4 1?cos2?1?cos(600?2?)sin(300?2?)?sin300 sin??cos(??30)?sin?cos(??30)??? 222 cos(600?2?)?cos2?11?2sin(300?2?)sin30011 00 ?1??[sin(30?2?)?]?1??[sin(30?2?)?] 222222 3113 00 ??sin(30?2?)?sin(30?2?) ? 高二數(shù)學選修1-2《推理與證明測試題》 班級姓名學號得分 一、選擇題： 1、與函數(shù)y?x為相同函數(shù)的是（）A.y?x2B.y?x 2xC.y?elnxD.y?log2x22、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b” B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc” C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“a?b c?a c?b c（c≠0）” nnnnnnD.“（ab）?ab” 類推出“（a?b）?a?b” 3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為（） A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 4、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（）。 A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度； C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度；D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。 5、當n?1，2，3，4，5，6時，比較2n和n2的大小并猜想（） A.n?1時，2n?n2B.n?3時，2n?n 2n2n2C.n?4時，2?nD.n?5時，2?n6、已知x,y?R,則“xy?1”是“x?y?1”的（） A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 7、在下列表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一行成等差數(shù) 列,每一列成等比數(shù)列,則a+b+c的值是() A.1B.2C.3D.41 228、對“a,b,c是不全相等的正數(shù)”，給出兩個判斷： ①(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0；②a?b,b?c,c?a不能同時成立，下列說法正確的是（） A．①對②錯 C．①對②對 B．①錯②對 D．①錯②錯 ax?cy ?（） 9、設(shè)a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列，而x,y分別為a,b和b,c的等差中項，則 A．1B．2C．3D．不確定 10、定義運算:x?y?? ?x?y (x?y)(x?y),的是（）例如3?4?4,則下列等式不能成立．．．． A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?z) C．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（其中c?0） 二、填空題： 11、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是。 12、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關(guān)系：AB?AC ?BC。若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩 兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.13、從1?1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3，1?4?9?16??(1?2?3?4)，?,推廣到第n個等式為_________________________.14、已知a1?3，an?1? 3anan? 3，試通過計算a2，a3，a4，a5的值，推測出an＝ 三、解答題： 15、在△ABC中，證明： 16、設(shè)a,b,x,y?R，且a2?b2?1,x2?y2?1,試證：ax?by?1。 17、用反證法證明：如果x? cos2Aa ? cos2Bb ? 1a ? 1b。 2，那么x2?2x?1?0。 18、已知數(shù)列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列； （d?0）.a10,a11,?,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,?,a30是公差為d的等差數(shù)列 （1）若a20?40，求d； （2）試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍； （3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數(shù)列，??，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ 高二數(shù)學選修1-2《推理與證明測試題》答案提示 1—— 10、DCABDBAABC11、____14__________ 12、S?BCD ?S?ABC ?S?ACD ?S?ABD13、1?22?32?42???(?1)n?1?n2?(?1)n?1?(1?2?3?????n) 14、________ 3n ______ cos2Bb15、證明： cos2Aa ?? 1?2sin a A ? 1?2sin b B ? 1a ? 1bB ?sin2Asin2B? ??2??a2?b2? ?? 由正弦定理得： cos2Aa sina 2A ? sinb ? ?? cos2Bb ? 1b a16、證明: 1?(a2?b2)(x2?y2)?a2x2?a2y2?b2x2?b2y 2?a2x2?2aybx?b2y2?(ax?by)2故ax?by? 117、假設(shè)x?2x?1?0，則x??1? 2? 2容易看出?1?要證：?1? 2?2?3212 12，下面證明?1?。，只需證：2?只需證：2? 4，2? 上式顯然成立，故有?1?綜上，x??1? 2? 12。 。而這與已知條件x?相矛盾，因此假設(shè)不成立，也即原命題成立。 18、解：（1）a10?10.a20?10?10d?40,?d?3.（2）a30?a20?10d2?10?1?d?d2?(d?0)，a30 ??1?3??10??d????，2?4????? 當d?(??,0)?(0,??)時，a30??7.5,?? ?.（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列?an?，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當n?1時，數(shù)列a10n,a10n?1,?,a10(n?1)是公差為dn的等差數(shù)列.研究的問題可以是： 試寫出a10(n?1)關(guān)于d的關(guān)系式，并求a10(n?1)的取值范圍.研究的結(jié)論可以是：由a40?a30?10d3?10?1?d?d2?d3?，依次類推可得 a10(n?1)?101?d???d ? n ? n?1 ?1?d?10?,??1?d??10(n?1),d?1, d?1.當d?0時，a10(n?1)的取值范圍為(10,??)等. §2.1.1 合情推理 1.結(jié)合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義； .一、課前準備 （預(yù)習教材P70~ P77，找出疑惑之處）在日常生活中我們常常遇到這樣的現(xiàn)象： （1）看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家，推斷天要下雨；（2）八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈.以上例子可以得出推理是的思維過程.二、新課導(dǎo)學 探究任務(wù)一：考察下列示例中的推理 問題：因為三角形的內(nèi)角和是180??(3?2)，四邊形的內(nèi)角和是180??(4?2)，五邊形的內(nèi)角和是180??(5?2)??所以n邊形的內(nèi)角和是 新知1：從以上事例可一發(fā)現(xiàn)：叫做合情推理。歸納推理和類比推理是數(shù)學中常用的合情推理。探究任務(wù)二： 問題1：在學習等差數(shù)列時，我們是怎么樣推導(dǎo)首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式的？ 新知2 歸納推理就是根據(jù)一些事物的,推出該類事物的的推理歸納是的過程 例子:哥德巴赫猜想： 觀察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,例2設(shè)f(n)?n?n?41,n?N?計算f(1),f(2),f(3,)...f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n=40驗證猜想是否正確。 練1.觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，由此可以歸納出什么規(guī)律？ 三、總結(jié)提升※ 學習小結(jié)1．歸納推理的定義.2.歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1.下列關(guān)于歸納推理的說法錯誤的是（）.A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程C.歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確D.歸納推理具有由具體到抽象的認識功能 2f(x),f(1)?1（x?N*）2.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為（）.f(x)?2421 2A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1111357 3.f(n)?1???????(n?N?)，經(jīng)計算得f(2)?,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)? 23n222 猜測當n?2時，有__________________________.50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：歸納推理的一般步驟。2?！?典型例題 例1用推理的形式表示等差數(shù)列1,3,5,7??2n-1，??的前n項和Sn的歸納過程。已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,??1+2+3+??+n= n(n?1)，觀察下列立方和：13，2 13+23，13+23+33，13+23+33+43，??試歸納出上述求和的一般公式。 2.1.2演繹推理 2.通項公式為 an=cqn?cq?0?的數(shù)列? an? 是等比數(shù)列。并分析證明過程中的三段論 【使用說明及學法指導(dǎo)】 1.先預(yù)習教材p78?--p81,然后開始做導(dǎo)學案 2．針對預(yù)習提綱，深化對演繹推理的一般形式—“三段論”的理解【學習目標】 結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理。 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別 【學習難點重點】 教學重點：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理.1.如圖。在?ABC中，AC>BC,CD是AB ?ACD??BCD教學難點：分析證明過程中包含的“三段論”形式.證明：在?ABC中【課前預(yù)習案 】教材p78?--p81,然后開始做導(dǎo)學案 CD?AB,AC?BC【自學提綱：(基本概念、公式及方法)】 ?AD?BD 一．基礎(chǔ)性知識點,于是?ACD??BCD.1.演繹推理的定義：_______________________________________________________2．演繹推理是由___________到___________的推理； 指出以上證明過程中的錯誤 3．“__________________”是演繹推理的一般模式；包括【提醒】：演繹推理錯誤的主要原因是 ⑴____________---____________________；1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件。⑵____________---____________________； 2、把下列推理恢復(fù)成完全的三段論: ⑶____________---_____________________． 4.三段論的基本格式 （1）因為?ABC三邊長依次為3，4，5，所以?ABC是直角三角形； M—P（M是P）（_________）S—M（S是M）（________）（2）函數(shù)y?2x?5的圖象是一條直線.S—P（S是P）（_________） 用集合的觀點來理解:______________________________________________________二．課前檢測.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)” 結(jié)論顯然是錯誤的，是因為（） A.大前提錯誤 B.小前提錯誤C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤3.用三段論證明：在梯形ABCD中ADBC,AB?DC,則?B??C 例 2、已知lg2?m,計算lg0.8 1.把“函數(shù)y?x2?x?1的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成完全三段論。 2.2.1綜合法和分析法 【學習目標】 結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。【重點難點】 1.結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。 3.根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法。【知識梳理】 復(fù)習1兩類基本的證明方法:和。復(fù)習2 直接證明的兩中方法:和。知識點一綜合法的應(yīng)用 一般地,利用,經(jīng)過一系列的推理論證，最后導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫綜合法。 反思框圖表示要點順推證法；由因?qū)Ч?。? 已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9 變式已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證(?1)(?1)(?1)?8。 小結(jié)用綜合法證明不等式時要注意應(yīng)用重要不等式和不等式性質(zhì),要注意公式應(yīng)用的條件和等號成立的條件,這是一種由因索果的證明。知識點二分析法的應(yīng)用 證明：基本不等式新知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示 要點：逆推證法；執(zhí)果索因 ※ 典型例題 例 2變式：求證 小結(jié)：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 設(shè)在四面體P?ABC中,?ABC?90?,PA?PB?PC,D是AC的中點.求證：PD垂直于?ABC所在的平面。 小結(jié)解決數(shù)學問題時,往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言,或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等,還要通過細致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來。 1.已知a，b，c是全不相等的正實數(shù)，求證 2.在△ABC中，證明 cos2Acos2B1 1???。2222 abab b?c?aa?c?ba?b?c ???3。abc a1b1c 1a1b1c a?b (a?0,b?0)2 2.2.2反證法 學習目標 （1）使學生了解反證法的基本原理；（2）掌握運用反證法的一般步驟；（3）學會用反證法證明一些典型問題.【概念形成】 反證法的思維方法：正難則反 反證法定義：一般地，由證明p ?q與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾。從而判定為假，推出為真的方法，叫做反證法。 【例題分析例 1、已知a,b,c?R,a?b?c?0,abc?1.求證：a,b,c中至少有一個大于 （4結(jié)論為 “唯一”類命題； 課后練習與提高 一、選擇題 1．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是（） Ａ．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) Ｂ．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù) Ｃ．假設(shè)a，b，c至多有一個是偶數(shù) Ｄ．假設(shè)a，b，c至多有兩個是偶數(shù) 2．（1）已知p3?q3?2，求證p?q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p?q≥2，（2）已知a，b?R，a?b?1，求證方程x2?ax?b?0的兩根的絕對值都小于1．用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)x1≥1，以下結(jié)論正確的是（）Ａ．(1)與(2)的假設(shè)都錯誤 Ｂ．(1)與(2)的假設(shè)都正確 Ｃ．(1)的假設(shè)正確；(2)的假設(shè)錯誤 Ｄ．(1)的假設(shè)錯誤；(2)的假設(shè)正確 3．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是（）Ａ．有兩個內(nèi)角是鈍角Ｂ．有三個內(nèi)角是鈍角 Ｃ．至少有兩個內(nèi)角是鈍角 Ｄ．沒有一個內(nèi)角是鈍角 二、填空題 4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1個大于或等于60的反面為_______． 5.已知A為平面BCD外的一點，則AB、CD是異面直線的反面為_______． 三、解答題 6．? 3。 2例2．設(shè)a?b?2，求證a?b?2.反思總結(jié)： 1.反證法的基本步驟： （1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 2.歸繆矛盾： （1）與已知條件矛盾； （2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。 3.應(yīng)用反證法的情形： (1)直接證明困難;(2)需分成很多類進行討論； （3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個” 類命題； 2.3數(shù)學歸納法 教學要求：了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學歸納法的操作步驟，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，并能嚴格按照數(shù)學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.教學難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解.1.教學數(shù)學歸納法概念： 給出定義：歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點：由特殊→一般.不完全歸納法：根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫不完全歸納法.完全歸納法：把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.2、典例分析 題型 一、用數(shù)學歸納法證明恒等式 例 1、例1數(shù)學歸納法證明13＋23＋33＋?＋n3= 題型 二、用數(shù)學歸納法證明不等式 例 2、歸納法證明 題型 三、用數(shù)學歸納法證明幾何問題 例3．平面內(nèi)有n(n?N*)個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,求證:這n個圓把平面分成n?n?2個部分.題型 四、用數(shù)學歸納法證明整除問題 例 4、用數(shù)學歸納法證明32n2－8 n－9?n?N?能被64整除． ＋ 用數(shù)學歸納法證明(3n?1)7n?1(n?N?)能被9整除 2n（n＋1）2 4題型五 歸納、猜想、證明 例5．是否存在常數(shù)a，b，c使等式 1·22?2·32?3·42??n?n?1?? 11119???…＞（n＞1，且n?N）． n?1n?2n?33n10 并證明你的結(jié)論。 n?n?1?1 2?an ?bn?c對一切自然數(shù)n都成立，? 六、強化訓練 1.用數(shù)學歸納法證明“1＋x＋x2＋?＋xn1= ＋ 第二章 推理與證明知識點： 1、歸納推理：把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟： ?通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)； ?從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）； ?證明（視題目要求，可有可無）.2、類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟： ?找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； ?用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； ?檢驗猜想。 3、合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理． 簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式———“三段論”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情況；⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． 5、直接證明與間接證明 ⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.要點：順推證法；由因?qū)Ч?⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.要點：逆推證法；執(zhí)果索因.⑶反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟： (1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)（推理）根據(jù)假設(shè)進行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.6、數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.用數(shù)學歸納法證明命題的步驟; * （1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0(n0?N)時命題成立； * （2）（歸納遞推）假設(shè)n?k(k?n0,k?N)時命題成立，推證當n?k?1時命題也成立.只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.1?x1?x n?2 ?x?1，n?N?”成立時，驗證n=1的過 程中左邊的式子是()(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋?＋x2 6.用數(shù)學歸納法證明 11111111 ??????(n?N),則從k到k＋1時,1－＋－??? 2342n?12nn?1n?22n左邊應(yīng)添加的項為 111111 ?(A)(B)(C)－(D)－ 2k?12k?22k?12k?22k?22k?4 8.如果命題p(n)對n?k成立，那么它對n?k?2也成立，又若p(n)對n?2成立，則下列 結(jié)論正確的是（） A．p(n)對所有自然數(shù)n成立B．p(n)對所有正偶數(shù)n成立 C．p(n)對所有正奇數(shù)n成立D．p(n)對所有大于1的自然數(shù)n成立 1222 ??10.證明 1?33?5 n2n(n?1) ??,n?N*(2n?1)(2n?1)2(2n?1) 15.用數(shù)學歸納法證明：(3n?1)7?1(n?N?)能被9整除 16．是否存在常數(shù)a,b,c使等式1?(n?1)?2(n?2)?????n(n?n)?an?bn?c 對一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。 17.數(shù)列 n ?an?的前n項和Sn?2n?an，先計算數(shù)列的前4項，后猜想an并證明之．第二篇：高二 數(shù)學 選修 推理與證明(文)（模版）
第三篇：高二數(shù)學選修2-2《推理與證明測試題》
第四篇：高二數(shù)學選修1-2《推理與證明測試題》（范文）
第五篇：高二數(shù)學選修2-2第二章推理與證明
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