第一篇：高考數學推理與證明

高考數學推理與證明

1．（08江蘇10）將全體正整數排成一個三角形數陣：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的規律，第n行（n?3）從左向右的第3個數為▲.n2?n?6【答案】 2

【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式．前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為22

n2?n?6． 2

2.（09江蘇8）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8

3.（09福建15）五位同學圍成一圈依序循環報數，規定：

①第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；

②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次

已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為________.【答案】：5

解析：由題意可設第n次報數，第n?1次報數，第n?2次報數分別為an，an?1，an?2，所以有an?an?1?an?2，又a1?1,a2?1,由此可得在報到第100個數時，甲同學拍手5次。

4.（09上海）8.已知三個球的半徑R1，R2，R3滿足R1?2R2?3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關系是___________.?

【解析】S1?4?R1S1?22

S2?2R2S3?2R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1?

2R2?3R3?

5.（09浙江）15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1593C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125，1

………

由以上等式推測到一個一般的結論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?*

答案：24n?1???1?22n?1。【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，n

第二項前有??1?n，二項指數分別為24n?1,22n?1，因此對于n?N

n*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

第二篇：高考必看：推理與證明

推理與證明

一．本章知識網絡： 推理與證

推理 證明合情推理 演繹推理 直接證明 間接證明 數學歸納

歸納 類比 綜合分析反證

二、推理●1.歸納推理1）歸納推理的定義：從個別事實．．．．中推演出一般性．．．的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。

歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問

題和提出問題。但不完全歸納的結論不一定正確，需要證明。

●2.類比推理1）根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似

類比推理的關鍵是先找到兩類事物的相似點（類比點），從而將一類事物的性質的類比到另一個事物，但要有證明的意識。

●3.演繹推理1）演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。

2）三段論式常用的格式為： M——P（M是P）①S——M（S是M）②S——P（S是P）③

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

三．證明：綜合法，分析法，反證法，數學歸納法

1．解答證明題時，要注意是采用直接證明還是間接證明。在解決直接證明題時，綜合法和分析法往往可以結合起來使用。綜合法的使用是“由因索果”，分析法證明問題是“執果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，因此使用時往往聯合使用。分析法要注意敘述的形式：要證A，只要證明B，B應是A成立的充分條件。

2．應用反證法時，注意：一是“否定結論”部分，把握住結論的“反”是什么？二是“導出矛盾”部分，矛盾有時是與已知條件矛盾，有時是與假設矛盾，而有時又是與某定義、定理、公理或事實矛盾，因此要弄明白究竟是與什么矛盾.對于難于從正面入手的數學證明問題，解題時可從問題的反面入手，探求已知與未知的關系，從而將問題得以解決。因此當遇到“否定性”、“唯一性”、“無限性”、“至多”、“至少”等類型命題時，宜選用反證法。

x成立；? p且? q；? p或? q 3數學歸納法：（兩步驟一結論，關鍵是“用假設、湊目標”）（1）數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或n≥n0且n∈N）結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。（2）運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。（3）運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。

四．知識應用，鞏固提升 一．選擇題

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.2.觀察下列數的特點：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，? 中,第100項是()A．10 B.13 C.14 D.100

3.在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC

2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設三棱錐A—BCD的三個側面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得”（）A.AB

2+AC2

+ AD2

=BC2

+ CD2

+ BD2

B.S

2?ABC

?S2?ACD?S2?ADB?S2?BCD

C.S22S222

?ABC?S?ACD??ADB?S?BCDD.AB×AC×AD=BC ×CD ×BD

4.由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據“三段論”推理

出一個結論，則這個結論是（）A.正方形的對角線相等B.平行四邊形的對角線相等C.正方形是平行四邊形 D.其它

5、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。

A．假設三內角都不大于60度； B 假設三內角都大于60度； C。假設三內角至多有一個大于60度；D。假設三內角至多有兩個大于60度。

6用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n

·1·2?(2n－1)（n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數式為（）。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.2k?1k?1D.2k?

3k?

17．設a,b,c?(??,0),則a?1b,b?1c,c?1

a

（）A．都不大于?2 B．都不小于?2 C．至少有一個不大于?2D．至少有一個不小于?

28．定義運算:x?y???

x(x?y)例如?y

(x?y),3?4?4,則下列等式不能成立．．．．的是（）A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?Cz)．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（c?0）9．（11江西理7）觀察下列各式：5

5=3125，56

=15625，57

=78125，…，則52011的末四位數字為()

A．3125B．5625C．0625D．8125

二．填空題

11.（11陜西理13）觀察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規律，第n個等式為。12．（09浙江文）設等差數列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差數列．類比以上結論有：設等比數列{bn}的前n項積為Tn，則T4，，T16

T成等比數列． 1213、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數是。三．解答題

15、已知正數a,b,c成等差數列，且公差d?0，求證：11

1a,b,c

不可能是等差數列。

16、已知數列{

an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論。

17．(09山東卷理)等比數列{a?

n}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N，點(n,Sn)，均在函數

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均為常數)的圖像上.（1）求r的值；（11）當b=2時，記 bn?2(lo2gan?

1)n?(N? 證明：對任意的)n?N?，不等式b1?1b2?1····bn?1bb?

b2

n

第三篇：2014高考數學考前20天沖刺 推理與證明

2014高考數學考前20天沖刺

推理與證明

1．古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數．如三角形數1，n（n＋1）113，6，10，…，第n個三角形數為＋n.記第n個k邊形數為N(n，k)(k≥3)，222

以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：

11三角形數 N(n，3)＝n2，22

正方形數 N(n，4)＝n2，31五邊形數 N(n，5)＝n2，22

六邊形數 N(n，6)＝2n2－n，……

可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)＝________．

解析：先根據給出的幾個結論，推測出當k為偶數時，N(n，k)的表達式，然后再將n＝10，k＝24代入，計算N(10，24)的值．

?k?由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推測：當k為偶數時，N(n，k)＝?－1?n2－?2?

?k2?n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.?2???

答案：1 000

2．定義映射f：A→B，其中A＝{(m，n)|m，n∈R}，B＝R，已知對所有的有序正整數對(m，n)滿足下述條件：

①f(m，1)＝1，②若n＞m，f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]，則f(2，2)＝________，f(n，2)＝________．

解析：在f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]中，令m＝1，n＝2，得f(2，2)＝2[f(1，2)＋f(1，1)]＝2(0＋1)＝2.令m＝n－1，n＝2，得f(n，2)＝2[f(n－1，2)＋f(n－1，1)]．若n＝1，則f(n，2)＝0；若n＝2，則f(n，2)＝2；若n＞2，則f(n，2)＝2[f(n－1，2)＋f(n－1，1)]＝2[f(n－1，2)＋1]，即f(n，2)＋2＝2[f(n－1，2)＋2]，故得f(n，2)＋2＝2·2n－1，故f(n，2)＝2n－2，此式對n＝1，2也成立．

答案：2 2n－2

3．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．

1V13S1h1111解析：＝·.V21S2h2428S2h23答案：1∶8

第四篇：2014高考數學模塊跟蹤訓練：推理與證明1

2014高考數學模塊跟蹤訓練

一、選擇題

1．如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規律往下排起來，那么第36顆珠子（）

Ａ．是白色的Ｂ．是黑色的Ｃ．是白色的可能性大Ｄ．是黑色的可能性大

Ａ

2．由直線與圓相切時，圓心與切點連線與直線垂直，想到平面與球相切時，球心與切點連線與平面垂直，用的是（）

Ａ．歸納推理Ｂ．演繹推理Ｃ．類比推理Ｄ．特殊推理

Ｃ

3．用演繹法證明函數y?x是增函數時的大前提是（）

Ａ．增函數的定義Ｂ．函數y?x滿足增函數的定義

Ｄ．若x1?x2，則f(x1)?f(x2)33Ｃ．若x1?x2，則f(x1)?f(x2)

Ａ

sinB?cosA?cosB，則該三角形是（）4．△ABC中，若sinA?

Ａ．直角三角形Ｂ．鈍角三角形Ｃ．銳角三角形Ｄ．以上都不可能 Ｂ

5．已知直線a，b是異面直線，直線c∥a，那么c與b的位置關系（）

Ａ．一定是異面直線Ｂ．一定是相交直線

Ｃ．不可能是平行直線Ｄ．不可能是相交直線

Ｃ

6．在等差數列?an?中，若an?0，公差d?0，則有a4?a6?a3?a7，類比上述性質，在等比數列?bn?中，若bn?0，q?1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是（）

Ａ．b4?b8?b5?b7

Ｃ．b4?b7?b5?b8

Ａ

二、填空題

7．若△ABC內切圓半徑為r，三邊長為a，b，c，則△ABC的面積S?Ｂ．b5?b7?b4?b8 Ｄ．b4?b5?b7?b8 1r(a?b?c)，根

2據類比思想，若四面體內切球半徑為R，四個面的面積為S1，S2，S3，S4，則四面體的體積為．

1R(S1?S2?S3?

S4)

38．求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60?，用反證法證明時的假設為．三角形的三個內角都小于60?

9．m克糖水中有n克糖(m?n?0)，若再添加t克糖(t?0)，則糖水變甜了，試根據這一事實得出一個不等式．

nn?t ?mm?t

寫出該數列的一個通項公式an???，．

n?N*)

1．設a?，b?

c?，則a，b，c的大小關系是． a?c?b

12．半徑為r的圓的面積S(r)??r，周長C(r)?2?r，r看作(0，??)上的變量，則2

(?r2)??2?r．①

①式可用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數．

對于半徑為R的球，若將R看作(0，??)上的變量，請你寫出類似于①的式子：

②式可用語言敘述為：．

?43??2； ?R?4?R???3?

球的體積函數的導數等于球的表面積函數

三、解答題

13．數列?an?中，a1?2，an?1?

表達式． an，n?N*，依次計算a2，a3，a4，并歸納猜想an的3an?1

a2?2222，a3?，a4?．猜想an?． 713196n?5

14．當一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大．將此結論由平面類比例到空間時，你能夠得出什么樣的結論，并證明你的結論．

由平面類比到空間可得如下結論：當一個球與一個正方體的表面積相等時，這個球的體積比正方體的體積大．

證明略．

15．已知a，b，c?(0，1)，求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a不能同時大于1． 4

證明略．

第五篇：數學《推理與證明(文科)

！

文科數學《推理與證明》練習題

2013-5-10

1.歸納推理和類比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確

2.命題“有些有理數是無限循環小數，整數是有理數，所以整數是無限循環小數”是假命題，推理錯誤的原因是使用了（）

A．歸納推理B．類比推理C． “三段論”，但大前提錯誤D．“三段論”，但小前提錯誤

3.三角形的面積為S?1?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，2可得出四面體的體積為（）

111abcB、V?ShC、V??S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四33

31個面的面積，r為四面體內切球的半徑）D、V?(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)3A、V?

4.當n?1，2，3，4，5，6時，比較2和n的大小并猜想（）

n2n2n2n2A.n?1時，2?nB.n?3時，2?nC.n?4時，2?nD.n?5時，2?n n

25.已知數列?an?的前n項和為Sn，且a1?1,Sn?n2an n?N，試歸納猜想出Sn的表達式為（）*

A、2n2n?12n?12nB、C、D、n?1n?1n?1n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規則為：明文a,b,c,d對應密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16．當接受方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

7.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為?

（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

8.下面使用類比推理恰當的是.①“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”

②“(a+b)c=ac+bc”類推出“a?bab=+” ccc

a?bab=+(c≠0)” ccc

nnn③“(a+b）c=ac+bc”類推出“nnn④“（ab）=ab”類推出“(a+b)=a+b”

9．“?AC,BD是菱形ABCD的對角線，?AC,BD互相垂直且平分。”補充以上推理的大前提是。

10．由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據 “三段論”推理出一個結論，則這個結論是。

11.補充下列推理的三段論：

（1）因為互為相反數的兩個數的和為0，又因為a與b互為相反數且所以b=8.（2）因為又因為e?2.71828?是無限不循環小數，所以e是無理數．

12.在平面直角坐標系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；則類似的，在空間直角坐標系中，平面的一般方程為________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.13.在平面幾何里，有勾股定理：“設?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB?AC?BC。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積與底面積間的關系，可以得妯的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.14.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個式子為．

15.對函數f(n),n?N*，若滿足f(n)??222?n?100??n?3，試由f?10?4,f?10?3和??????ffn?5n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測f?2??f?31??16.若函數f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數點后第n位數字，例

如f(2)?4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個f）17.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)=；當ｎ＞４時，f(n)＝（用n表示）.18.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊

形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則

f(4)=_____;f(n)=_____________．

19.在等差數列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2?????an?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，類比上述性質，相應地：在等比數列?bn?中，若b9?1，則有等式.：

20.某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○?，按這種規律往下排，那么第36個圓的顏色應是.21.求垂直于直線2x?6y?1?0并且與曲線y?x?3x?5相切的直線方程

32322．已知函數f(x)?ax?3(a?2)x2?6x?3 2

（1）當a?2時，求函數f(x)極小值；

（2）試討論曲線y?f(x)與x軸公共點的個數。

《2.1合情推理與演繹推理》知識要點梳理

知識點一：推理的概念根據一個或幾個已知事實(或假設)得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結論．

知識點二：合情推理根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果、個人的經驗和直覺等，經過觀察、分析、比較、聯想、歸納、類比等推測出某些結果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。

1.歸納推理

（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。

（2）一般模式：部分整體，個體一般

（3）一般步驟：

①通過觀察個別情況發現某些相同性質；

②從已知的相同的性質中猜想出一個明確表述的一般性命題；

③檢驗猜想.（4）歸納推理的結論可真可假

2.類比推理

（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據當前問題的需要，選擇恰當的類比對象.（4）一般步驟：

①找出兩類對象之間的相似性或一致性；

②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；

③檢驗猜想.（5）類比推理的結論可真可假

知識點三：演繹推理

（1）定義：從一般性的原理出發，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結論的推理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情況；

③ 結論——根據一般原理，對特殊情況作出的結論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質，是的子集，那么中所有元素都具有性質

（4）演繹推理的結論一定正確

演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結論一定是正確的，它是完全可靠的推理。

合情推理與演繹推理（文科）答案

1——7.D C C D A C A8.③

9.菱形對角線互相垂直且平分。10.②③?①。11.（1）a=-8；（2）無限不循環小數都是無理數

12.Ax?By?Cz?D?0；(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2；

13.S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ABD；

14.122222?22?32?42???(?1)n?1?n2??(1?2?3???n)；

18．【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式 15.97，98；16.1；17.5； n+1）(n-2)；

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?1

【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系.19.【解析】：在等差數列?an?中，由a10?0，得a1?a19?a2?a18???an?a20?n

?an?1?a19?n?2a10?0

所以a1?a2???an???a19?0即a1?a2???an??a19?a18???an?1

又?a1??a19,a2??a18,?a19?n??an?1

?a1?a2???an??a19?a18???an?1?a1?a2???a19?n

若a9?0，同理可得a1?a2??an?a1?a2???a17?n

相應地等比數列?bn?中，則可得：b1b2?bn?b1b2?b17?nn?17,n?N*

【點評】已知性質成立的理由是應用了“等距和”性質，故類比等比數列中，相應的“等距積”性質，即可求解。

20.白色

21.解：設切點為P(a,b)，函數y?x3?3x2?5的導數為y'?3x2?6x

切線的斜率k?y'|x?a?3a2?6a??3，得a??1，代入到y?x?3x?5

得b??3，即P(?1,?3)，y?3??3(x?1),3x?y?6?0??32

22．解：（1）a2f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)極小值為f(1)?? 2a

2（2）①若a?0，則f(x)??3(x?1)，?f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

②若a?0，?f(x)極大值為f(1)??a2?0，?f(x)的極小值為f()?0，2a

?f(x)的圖像與x軸有三個交點；

③若0?a?2，f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

'2④若a?2，則f(x)?6(x?1)?0，?f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

⑤若a?2，由（1）知f(x)的極大值為f()??4（點； 2a1323?)??0，?f(x)的圖像與x軸只有一個交a44

綜上知，若a?0,f(x)的圖像與x軸只有一個交點；若a?0，f(x)的圖像與x軸有三個交點。